Tractatus geometrie. Summa de Arithmetica et Geometria, Proportioni et Proportionalita Pars II

Tractatus Geometrie. Pars secunda principalis huius operis et primo eius divisio.

Ora col nome di Jesu. Segue la seconda parte principale dela presente opera. In la quale (commo in principio promettemmo) se tracta dela quantitá conti- nua: cioé geometria quanto ala pratica se aspecti: e anco la theorica de tutte le operationi sempre con degni fondamenti de philosofi chiari e aperti per litterati e vulgari commo nel processo vederasse. E questa tutta chia- maremo tractato. E divideremola in .8. altri parti partiali a reverentia dele .8. beatitudine. E ciascuna sia decta distinctione: e quelle poi subsequenter distingueremo in capituli. Nela prima voglio dimostrare comme le figure quadrate e triangolari sonno da essere recate a quantitá di bracci qua- dri o de altra mesura. Nela seconda voglio mostrare quando un ponto è dato fuor o dentro d’ uno triangolo e da quello si muovi una li- nea a sapere la sua quantita. Nela terza del modo de trovare l’ area delle superficie di .4. lati col modo de misurare le figure di piú di .4. faccie. Nela quarta del modo di mesu- rare li cerchi: e le superficie in monte. Nela quinta del modo de dividere le superficie in parti. Nela sex- ta el modo di trovare l’ area corporale deli corpi. Nela septima del modo de misurare col viso, cioé col vedere. Nela octava e ultima: alcuno caso trattaremo de geometria belli e gentili e così faremo fine lasciando lo mendare del superfluo o mancamento a chi leggi et cetera.

Rettamente volendo tractare è di bisogno accioché particularmente sia trovato quello che desideri: dividere questa distinctione in .8. capituli. Deli quali il primo conterá certe diffinitioni. El .2o. certe demostrationi e conclosioni del primo de Euclide. El .3o. certe conclusioni e demo- strationi del .2o. de Euclide. Quarto certe dimostrationi e conclusioni del sexto de Eu- clide. Quinto in che modo se usa a misurare secondo lo strumento fiorentino secondo el quale in questo tra- ctato al piú ci reggemo. Sexto comme se misurano le figure quadrate. Septimo commo se misura- no li triangoli de ciscuna sorte. Octavo e ultimo comme si truovano li chatetti: over perpendicu lari deli triangoli e comme secondo un modo vulgare s’ usa in sul terreno a misurare. E così veniamo ala prima parte. De quinque circa quam principaliter pratica geometrica versatur et ad bonum agrimensorem spectant. Et de eo pro declaratione cum principiis per sé notis. Capitulum primum prime distinctionis.

Cinque cose sonno necessarie a sapere a chi vuole essere perfectamente pratico nell’ arte di geometria. Delle quali la prima è puncto. Seconda linea. Terza angolo. Quarta superfi- cie. Quinta e ultima corpo. E peroché noi seguitiamo per la magior parte. L. Pisano Io inten- do de chiarire che quando si porrá alcuna proposta senza autore quella sia di detto. L. E quan- do d’ altri sia qui sará l’ autorità aducta. Adunche diffinendo diremo in questo modo. Puncto è quello che non á parte. La linea è una lunghezza senza ampieza quasi una via imaginata: della quale li termini sonno .2. puncti. E sonno di doi maniere linee. Una è detta linea recta. L’ altra è detta linea curva. Li- nea recta è quella che da un ponto a un altro è menata diritta. Linea curva è quella che fa arco. L’ an- golo è il toccamento di doe linee. E possonsi comporre gli angoli de linee recte e di linee curve. E l’ an- golo de linee recte si dice Angolo rettilineo. E l’ angolo di due linee curve si dice curvilineo. L’ angolo de rette linee puó essere in .3. modi. De’ quali uno è quello che è facto dalla squadra e chiamase angolo retto. Un altro se dice angolo obtuso. E questo è quello che è magiore che ’l retto. E un altro se dice angolo acuto: e questo è quello che è minore che ’l retto. Quando una linea retta stará sopra una linea retta e gli due angoli sieno infra loro iguali ciascuno di quegli angoli se dice angolo retto. E la li- nea che sta sopra l’ altra se dice chatetto: over perpendiculare. El termine è fine dela cosa. La figu- ra è quella che sotto a uno o piú termini è constituita. La figura di rette linee: è quella che è circundata da linee rette. La superficie è quella che á lunghezza e larghezza: della quale li termini sonno le linee. La figura di .3. lati è quella che da .3. linee rette è fatta. La figura quadrilatera è quella che è fatta da .4. li- nee rette. La figura multilatera è quella che è fatta da molte linee. Cerchio è una figura piana contenuta da una sola linea che è nominata circunferentia over periferia. Dentro ala qual linea è uno pon- to detto centro di cerchio dal quale tutte le linee che sonno menate alla circunferentia son- no eguali fra loro. Diametro di cerchio è una linea recta che passa sopra il centro: e da ciascun la- to tocca la circunferentia e divide il cerchio in due parti equali. Semicirculo, cioé mezo cerchio è una figura piana contenuta dal diametro del cerchio e dala mitá dela circunferentia. Portione di cer- chio è una figura contenuta d’ una linea retta e dela parte dela circunferentia magiore over minore del semicirculo. Settore di cerchio è una figura piana contenuta da doi linee recte producte dal centro ala perifera: e compreso da quella l’ archo: cioé parte d’ essa perifera. Le linee equedistanti sonno

quelle che in una medesima superficie collocate e infinitamente menate da ciascuno lato mai si toccano. E sonno dette linee equidistanti: quelle che menate sopra quelle una linea recta fa- rá li .2. angoli dentro iguali a .2. angoli retti. E l’ angolo di fuora del’ uno sia iguali al’ angolo dentro del’ altra. El quale è aposto a quello di fuora. Comme sieno .2. linee equidistanti .ab. e .cd. Sopra le quali passi la linea recta .ez. segando le linee sopra i ponti .fg. Dico che quando l’ an- golo .bfz. con l’ angolo .fgd. sonno iquali a .2. angoli retti allora le ditte linee sonno equidistan- ti. Overo quando l’ angolo .efb. di fuora è iguali al’ angolo .fgd. Over l’ angolo .efa. di fuora sia iguali al’ angolo .fgc. dentro. Allora le ditte linee sonno equidistanti commo chiaro appa- re. Li corpi sonno di molte maniere comme colonne: cassi: Pozzi: Arche: Piramidi: e altre figure secondo la loro diversitá. Le quali figure nella sexta distinctione apertamente sieno mo- stre. Aduncha a questa prima parte over capitulo faren fine. Substantia omnium conclusionum libri primi Euclidis brevissima. Capitulum secun- dum. prime distinctionis. Senza el tractato de Euclide male si puó fare per coloro che vogliono misurare over attendere ad alcuna sottilitá. E peró quelle demostrationi: diffinitioni: con- clusioni che io vederó necessarie quelle porró solamente. Ponendo il testo. Impero- chè aprovato è per tutti li geometri e non ha bisogno le sue cose con demostratio- ni fare chiare. E in questa parte diremo certe cose nel suo primo libro dette: niente di meno bi- sognano consentire queste cose che sonno ditte .5. petitioni, cioé che: Da un ponto a un altro una li- nea si puó menare diritta. Seconda: che sopra uno centro si puó fare uno cerchio di quan- to spatio vuoi. Terza: che tutti gli angoli retti in fra loro sonno iguali. Quarta: quando una linea retta caderá sopra .2. linee rette e gli .2. angoli da una parte presi e sieno minori di .2. an- goli retti, quelle doi linee senza dubio menate in quella parte si congiogneranno. La quinta: doi linee rette non inchiudano superficie. Le sequenti se dicano conceptioni, cioé: E quelle cose che a una medesima cosa sonno iguali, infra loro sonno iguali. E, se le cose iguali sonno multiplicate o partite per cose iguali, l’ avenimento sia iguali. E, se dele cose iguali si trae over s’ agiongne cose iguali, lo rimanente: over l’ agiognimen- to sia iguali. E, se dele cose iguali s’ agiugne over trae le cose non iguali, el rimanente: over lo agiognimento sia non iguiali. Ogni tutto è magiore che la sua parte. Se una cosa si pone sopra a un’ altra e non avanza e non n’ é avanzata, siano intra loro iguali. Prima conclosione. Sia data una linea retta terminata della quale voglio si facia uno triangolo equi- latero e ciascun suo lato sia la detta linea: cioé che per gli altri .2. lati sia quanto la detta linea. .2.

Sia dato un ponto ad alcuna linea recta: dallo quale si debba menare una linea iguali ala ditta linea. .3.

Sieno proposte .2. linee e sia de bisogno dela magiore torne una parte iguali ala minore. .4.

D’ ogni .2. triangoli deli quali li .2. lati del’ uno sonno iguali a .2. lati del’ altro e gli .2. an- goli di quelli triangoli contenuti da’ detti .2. lati iguali fieno infra loro iguali, cioé l’ uno a l’ altro. Dico che gli altri .2. angoli del’ uno triangolo fieno iguali agli altri .2. angoli del’ altro triangolo: collocati in medesimo luogo. E la basa del’ uno alla basa del’ al- tro. E tutto il triangolo a tutto el triangolo. .5.

D’ ogni triangolo de .2. lati iguali gli angoli che sonno sopra la basa sonno iguali. .6.

Ancora se .2. angoli d’ alcuno triangolo sonno iguali li lati che fanno quegli angoli son- no iguali infra loro. .7.

Se da .2. ponti terminanti alcuna linea .2. linee usciranno: e congiongniasi a uno ponto e da quelli medesimi ponti altre .2. linee iguali ale prime ciascuna alla sua conterminale a una che in altro ponto concorrino in quella medesima parte è impossbile. .8.

D’ ogni .2. triangoli deli quali e .2. lati dell’ uno sonno iguali a .2. lati del’ altro. E la basa del’ uno ala basa del’ altro sia iguali. Dico e .2. angoli che contengono e .2. lati igual del’ uno: sonno iguali a .2. angoli che contengono e .2. lati iguali del altro. .9.

Sia dato uno angolo lo quale voglio dividere per mezo, cioé per igual parti. .10.

Sia data una linea retta la quale voglio dividere in .2. parti iguali. .11.

Sia data una linea retta nella quale sia uno ponto alo quale bisogni menare una per- pendiculare. .12.

Sia dato un ponto fuore della linea data: dal quale bisogni menare una perpendiculare infino alla linea data. .13.

Ogni linea retta che sta sopra una linea retta li .2. angoli fatti da quello sonno retti o sonno iguali a .2. angoli retti sempre. .14.

Se doi linee dal ponto d’ una linea escono in diverse parti. E gli .2. angoli fatti intorn’ a quel- le sieno retti, over iguali a .2. retti, quelle doi linee che escono congionte fieno e una sola linea. .15.

D’ ogni .2. linee rette segandose infra loro: gli angoli contraposti sonno iguali. E per questo è manifesto li .4. angoli fatti da quelle sonno iguali a .4. angoli retti. .16.

Se ciascuno deli lati d’ un triangolo si mena diritto fará l’ angolo de fuora magiore che ciascuno degli angoli dentro oposti a quello angolo. Cioé comme se si menerá del triangolo .abc. il lato .ab. infino al .d. Dico l’ angolo .cbd. essere magiore che l’ angolo .cab. over dell’ angolo .acb. Li .2. angoli d’ ogni triangolo sonno minori di .2. angoli retti: commo tolli qual .17. voli .2. angoli del triangolo .abc. Dico che fienno minori di .2. angoli retti. .18.

El magiore angolo d’ ogni triangolo è sempre opposito al piú longo lato di quel triangolo. Comme sia l’ angolo .bac. del triangolo .acb. magiore di ciascuno degli altri angoli. Dico il lato .bc., ch’ é oppo- sto a quello angolo sia magiore di ciascuno degli altri lati del triangol detto. .19.

El magiore lato d’ ogni triangolo è sempre opposto al magiore angolo del detto trian- golo. E questo per la passata se manifesta. .20.

D’ ogni triangolo li .2. lati sempre fieno magiori che ’l terzo lato. Comme sia il triangolo .abc. Dico che lo lato .ab. e .ac. agionti insiemi sonno magiori delo lato .bc. E così degli altri. .21.

Se da .2. ponti terminali d’ uno triangolo doi linee usciranno e congionghise infra ’l triango- lo (cioé dentro al triangolo) quelle doi linee sonno piú brievi che gli doi lati del triangolo che da detti ponti si muovano. E conterranno magiore angolo. Comme sia il triangolo .abc. e dagli ponti .b. e .c. si menino le linee .bd. e .cd. che si congionghino nel ponto .d. dico che le .2. dette linee sonno minori dela linea .ab. e .ac. E che l’ angolo .d. fatto dale .2. linee: è magiore che l’ angolo .bac. del detto triangolo. .22.

Sienno proposte .3. linee rette. De le quali le. 2. quali voi sieno magiori del’ altra. E volsi dele .3. ditte linee rette constituire un triangolo: faremo in questo modo. Sienno .3. linee date rette .a.b.c. e agiontone insieme .2. qual voi: sienno magiori che l’ altra (che altramen- te el triangolo non si potrebbe conporre per la .20a.) e voglio dele .3. dette linee conporre uno triango- lo. Piglieró una linea retta che sia .de. Ala quale non pongo fine determinato: e dala parte de .d. piglio .df. iguali alla linea .a. comme insegna la .3a. E poi tolgo .fg. iguali ala linea .b. e il .gh. tolgo iguali ala linea .c. E fatto il ponto .f. centro scriveró uno cerchio secondo la quantitá .fd. E sia cerchio .kd. E ancora il ponto .g. faró centro di cerchio e discriveró un cerchio secondo la quantitá .gh. e sia cerchio .hk. li quali .2. cerchi si segheranno in .2. ponti de’ quali l’ uno è il ponto .k. E produ- reró la linea .kf. e .kg. e sia fatto el triangolo .fkg. constituto di .3. linee iguali alle .3. linee da- te: imperoché .fk. sia iguali ala linea .a. e .gk. sia iguali ala linea .c. e .fg. è iguali ala linea .b. e co- sí è il proposito. .23.

Sia dato una linea retta sopra la quale nel termine d’ essa voglio fare uno angolo iguali a uno angolo dato. sia dato la linea .fe. e nel termine .f. voglio fare uno angolo iguali al’ angolo contenuto dale linee .a.b. dato: agiongneró alo detto ango- lo la basa .c. e s’ ará uno triangolo .abc. E ala linea .fe. agiongneró la linea .fd. dala parte del .f. in modo che sia una colla linea .fe. e porró .fd. iguali al lato .a. E dela linea .fe. ne piglieró il ponto .g. e sia la linea .fg. iguali al lato .b. e la linea .gh. porró iguali ala linea over basa .c. e sopra il ponto .f. faró centro e descriveró uno cerchio .dk. secondo la quantitá .fd. E similmente sopra il pon- to .g. porró il pie’ dele sexte immobile: e farró il cerchio .hk. secondo la quantitá .gh. li quali .2. cer- chi s’ intersegano nel ponto .k. Onde menerai la linea .fk. e la linea .gk. e haremo le .2. linee. .kf. e .fg. del triangolo .kfg. iguali a’ .2. lati .a. e .b. del triangolo .abc. e la basa .gk. iguali ala ba- sa .c. comme si pose. Aduncha l’ angolo .f. è iguali al’ angolo dato: che è il proposito. .24.

Ogni .2. triangoli de’ quali .2. lati dell’ uno ae due lati dell’ altro sonno iguali. E l’ an- golo che è fatto dae due lati dell’ uno triangolo sia magiore che l’ altro angolo fatto dae .2. lati iguali dell’ altro triangolo. Dico la basa di quello triangolo che á magiore angolo sia magiore che la basa del’ altro triangolo che á minore an- golo. Comme sienno .2. triangoli .abc. e .def. E sia i lati .ab. e .ac. del triangolo .abc. iguali a doe lati .de. e .df. del triangolo .def. E l’ angolo .a. sia magiore dell’ angolo .d. dico che la basa .bc. sia magiore dela basa .ef. E questo è il proposito. .25.

E cosí per averso dico che stando li .2. triangoli in detta forma ma sia la basa .bc. ma- giore dela basa .ef. dico l’ angolo .a. essere magiore dello angolo .d. .26.

D’ ogni .2. triangoli de’ quali e .2. angoli del’ uno ai doi angoli del’ altro ciascuno al suo relativo sia iguali. E la basa del’ uno sia iguali ala basa del’ altro sará ciascu- no de’ .2. lati del’ uno iguali ae .2. lati del’ altro ciascuno al suo respiciente e l’ ango- lo opposto ala basa del’ uno è iguali al’ angolo opposto ala basa del’ altro. E tut- to il triangolo sia iguali a tutto el triangolo. Comme sia e .2. angoli .b. e .c. del triangolo .abc. iguali ae .2. angoli .e.f. del triangolo .def. E la basa .bc. sia iguali ala basa .ef., dico l’ angolo .a. essere iguali al’ angolo .de. E gli doi lati .ab. e .ac. del triangolo .abc. essere iguali ae .2. lati .de. e .df. del triangolo .def. e tutto il triangolo .abc. sia iguali a tutto il triangolo .def. .27.

Se una linea retta caderá sopra .2. linee recte e gli .2. angoli coalterni fra loro fieno iguali: quelle .2. linee certamente fieno equedistanti. Comme sia la linea .ab. retta che caggia sopra le linee .cd. e .ef. e seghi le dette linee ne’ ponti .g. e .h. E sia l’ angolo .dgh. iguali al’ angolo .chg., dico le linee .cd. e .ef. essere equedistanti. .28.

Se una linea caderá sopra .2. linee e sia l’ angolo di fuora iguali al’ angolo opposto dentro. Dico le doe linee essere equedistanti. Over quando e .2. angoli di fuora da una parte over e .2. angoli dentro da una parte fieno iguali a .2. angoli retti dico quelle .2. linee ancora essere equedistanti. Comme sia caduta la linea .ab. sopra la linea .cd. e sopra la linea .ef. e sia l’ angolo .agd. di fuora iguali al’ angolo .ghf. dentro. Allora di- co le doe linee .cd. e .ef. sonno equedistanti. Over presi e .2. angoli .agc. e .bhe. di fuori e sieno iguali a .2. angoli retti, dico ancora le .2. linee, cioé .cd. e .ef. essere equedistanti. .29.

Se a .2. linee equedistanti caderá una linea, fieno .2. angoli coalterni iguali. Over e .2. an- goli intrinseci da una parte iguali a .2. retti fieno. Over e .2. angoli di fuora fieno iguali a .2. retti. E questo chiaro appare per le .2. passate. .30.

Se sieno .2. o piú linee a una linea equedistanti, dico tutte infra loro sonno equedistanti. Comme sia la linea .ab. e .cd. equedistanti ala linea .ef., dico che .ab. e .cd. sonno infra loro eque- distanti. .31.

Sia dato un ponto fuori d’ una linea dal quale bisogni menare una linea equedistan- te a quella linea data. Nota che s’ intende che ’l ponto sia dato fuori della linea: quan- do menato la linea da ogni lato quanto voi non passerá sopra quello ponto. Sia adunca il ponto .a. dato fuori della linea .bc., dal quale è bisogno menare la linea equedistan- te ala linea .bc. Meneró la linea .ac. comme viene. E constitueró uno angolo .cae. iguali al’ ango- lo .bca. sia adonca .ae. equedistante al .bc. che è il proposito: perché sonno coalterni .32.

Se si mena el lato d’ alcuno triangolo per lo dritto sia l’ angolo di fuora iguali ad a- mendoi gli angoli a quello opposti. E tutti .3. gli angoli d’ uno triangolo son iguali a .2. retti angoli. Comme sia il triangolo .abc. del quale il lato .bc. si meni infino al .d. dico l’ angolo .c. di fuora essere iguali ad amendoi insiemi gli angoli .a. e .b. dentro. E che, agionto insiemi tutti .3. gli angoli di quel triangolo, cioé l’ angolo .a. e l’ angolo .b. e l’ an- golo .c. fieno quanto .2. angoli retti. .33.

Se alle sommitá di .2. linee equedistanti e iguali .2. linee sonno congionte, elle fieno igua- li e ancora equedistanti. Comme sia la linea .ab. equedistante e iguali ala linea .dc. dico che, menato la linea .ac. e .bd. fieno iguali e equedistanti: cioé che la linea .ac. sia iguale e equedistante ala linea .bd. che si manifesta. .34.

Ogni superficie d’ equedistanti lati le linee e gli angoli ex aversi collocati di quelle superficie sonno iguali. E il diametro la divide per mezzo. Comme sia la superficie de equedistanti lati .abcd., cioé che .ac. sia equedistante al .db. e .dc. sia equedistante al .ab. Dico che .db. sia iguali al .ac. e .cd. sia iguali al .ab. e l’ angolo .a. sia iguali al’ an- golo .d. e l’ angolo .c. al’ angolo .b. E il diametro .da. dividerá la detta superficie per .2. iguali parti, é questo chiaro e manifesto. .35.

Tutte le superficie d’ equedistanti lati sopra una basa e in medesime linee constitu- te sonno infra loro iguali. Comme sieno .2. linee equedistanti .ab. e .cd. infra le quali si fa- cia la superficie .acfe. d’ equedistanti lati sopra la basa .ce. e ancora, sopra la medesi- ma basa, si faccia la superficie .gc. e .be. d’ equedistanti lati, dico le .2. pprima dette superficie essere iguali. Tutti e pararelli in base iguali e in medesime linee constituti sonno .36. iguali. El paralello è una superficie di .4. lati equedistanti. Adonca sieno .2. superficie paralellograme: cioé. 2. paralelli .abcd. e .efgh. d’ equedistanti lati e habino le base .cd. e .gh. iguali. E sienno infra doe linee medesime: cioé equedistanti. Dico il paralello .abcd. essere iguali al paralello .efgh. .37.

Tutti i triangoli fatti con una medesima basa e infra doi medesime linee equedistanti sonno in- fra loro iguali. Comme sienno .2. triangoli .abc. e .dbc. fatti con una basa .bc. e infra doi linee medesi- me: cioé equedistanti che sonno .ac. e .bf., dico e detti .2. triangoli essere iguali infra loro. .38.

Se i triangoli sopra le base iguali caderanno infra doi linee equedistanti, saranno infra loro igua- li. Comme sienno .2. triangoli .abc. e .def. fatti sopra le base .bc. e .ef. iguali e sienno infra le linee .ag. e .bh. equedistanti. Dico che li sonno iguali infra loro: cioé il triangolo .abc. è iguali al triangolo .def. .39.

Tutti i triangoli iguali, se haranno una medesima basa. E verso una parte e fienno fat- ti infra .2. linee equedistanti. Comme sienno .2. triangoli .abc. e .dbc. fatti sopra la basa .bc. e sienno infra loro iguali e verso una parte. Dico che li sonno infra doi linee equedistanti: que- sta è conversa alla .37a. E nota che di questa e dela passata che se alcuna linea retta segherá e .2. lati d’ alcuno triangolo per igual parte: ella sará al terzo lato equedistante. Comme sia il trian- golo .abc. del quale e .2. lati .ab. e .bc. sienno segati dala linea .de. per igual parte: cioé .ab. nel ponto .d. e .bc. nel ponto .e., dico la linea .de. sará equedistante ala linea .ac. .40.

Se .2. triangoli iguali sopra le base iguali d’ una medesima linea: cioé che menando l’ una basa in verso l’ altra sia con quella una medesima linea verso una parte, dico essere in- fra doi linee equedistanti e detti triangoli. Sienno .2. triangoli .abc.dfe. fatti iguali e son- no sopra .2. base iguali che sonno .bc. e .fe. d’ una medesima linea .be. e verso una parte. Dico i ditt[i] triangoli essere infra doi linee equedistanti che sia il proposito. .41.

Se uno paralello e uno triangolo fienno fatti in medesime base e in equedistanti linee. El paralello sia doppio al triangolo. Comme sia il paralello .abcd. e il triangolo .edb. cia- scuno sopra la basa .bd. e sienno fatti infra le linee .af. e .bh. che sonno equedistanti. Dico el detto paralello essere doppio al detto triangolo. Similmente si puó provare che si ’l paralello e il triangolo sonno nelle base iguali e nelle linee equedistanti, fienno fatti in questo mo- do che ’l paralello sará doppio al triangolo. E, benché Euclide non la ponesse, facilmente si ma- nifesta. .42.

Io voglio desegnare una superficie d’ equedistanti lati che habbia e .2. angoli contra- posti iguali a uno angolo dato e la detta superficie sia iguali a uno triangolo dato. Comme sia lo dato angolo .a. e lo asegnato triangolo sia .bcd. voglio fare una superfi- cie de equedistanti lati iguali al triangolo dato dela quale e .2. angoli contraposti sienno iguali a l’ an- golo .a. dato. Meneró la linea .bf. dal ponto .b. equedistanti ala linea .cd. e divido la basa .cd. nel ponto .e. per lo mezzo. E meneró la linea .be. e dal ponto .b. meneró .bf. equedistante ala linea .cd. commo è ditto. E sia per la .38a. el triangolo .bed. iguali al triangolo .bec. Perché il triangolo .bed. è mittá del triangolo .bcd. Constitueró sopra il ponto .e. l’ angolo .deg. iguali al’ angolo .a. e faró il paralello .gedf. iguale al detto triangolo: imperoché per la passata egli è doppio al trian- golo .bed. adonca habiamo constituto uno paralello .gedf. iguali al triangolo .bcd. e gli .2. an- goli contraposti: cioé l’ angolo .ged. e l’ angolo. gfd. ciascuno è iguali al’ angolo .a. che è il pro- posito. .43.

E suplimenti d’ ogni paralello che sonno fatti dal diametro sonno infra loro iguali. Comme sia il paralello .abcd. nel quale si faccia il diametro .bc. E menisi .ef. equedistante al’ uno e l’ altro lato .ab. e .cd. la quale segherá il diametro nel ponto .k. Alo quale .gkh. equedistanti al’ uno e l’ altro lato .ca. e .bd. E sia il paralello .abcd. diviso in .4. paralelli de’ quali .2. eckh. e .gkbf. sonno detti stare intorno al diametro, gli altri: cioé .aegk. e .kfhd. sonno detti supplementi; questi .2. supplementi dico che sonno infra loro iguali. .44.

Sia proposta una linea ala quale sia de bisogno desegnare una superficie d’ equedistanti la- ti: ala quale sienno gli angoli contraposti iguali al’ angolo dato e la detta superficie sia iguali al triangolo asegnato. Desegnare una superficie d’ equedistanti lati a una li- nea over sopra una linea e di quella linea fare uno lato ala detta superficie. Sia adon- ca la data linea .ab. e il dato angolo .c. e il dato triangolo .def. Sopra ala linea .ab. voglio de- segnare una superficie d’ equedistanti lati per tal modo che la linea .ab. sia uno lato dela detta superficie. Dela quale superficie e .2. angoli contraposti sienno iguali al’ angolo .c. E quella tutta sia iguali al trian- golo .def. Ora é da questa ala .42a. imperoché qui è dato uno lato della superficie, cioé la linea .ab. e a quel- la non è dato alcuno. E questo adonca volendo fare ala linea .ab., agiongo secondo la rettitudine de- la linea data .ag. che pongo iguali ala linea .ef. che è la basa del dato triangolo. Sopra la quale constituiró uno triangolo iguale e equilatero al triangolo dato in questo modo. Faró l’ angolo .agk. iguali al’ angolo .e. e l’ angolo .gak. iguali al’ angolo .f. per la .23a. E perché la linea .ga. è posta iguali ala linea .ef. sará per la .26a. il triangolo .gka. iguale e equilatero al triangolo .efd.; divideró

adonca .ga. per igual parte nel ponto .h. e meneró .hk. E meneró dal ponto .k. la linea .kn. equedistan- te ala linea .gb., sará adonca per la .38a. el triangolo .ahk. iguali al triangolo .khg. Alora sopra il ponto .a. faró l’ angolo .gal. iguali al’ angolo dato: cioé al’ angolo .c. e compiuto, sopra la basa .ah. infra le linee .gb. e .mn. equedistanti faró la superficie d’ equedistanti lati .lmah. la quale per la .41a. sia doppia al trian- golo .kha. Onde ella è iguali a tutto il triangolo .kga. Per la qual cosa sará iguali al triangolo .def. proposto. Meneró adonca .bn. equedistante ala linea .al. e produceró il diametro .na. El quale me- neró infino che concorrerá nel ponto .o. e compiuto faró una superficie d’ equedistanti lati .mnoq. E me- neró la linea .la. infino che concorrerá con la linea .qo. che sia la linea .lap. Sará adonca per la pas- sata .abpq. iguali al supplemento .lmha. Per la qual cosa e al triangolo .def. E perché per la .15a. l’ angolo .lah. è iguali al’ angolo .bap. e peró l’ angolo .bap. è iguali al’ angolo .c. E peró è fatto sopra la data linea .ab. la superficie d’ equedistanti lati .abpq. iguali al dato triangolo .def. dela quale l’ uno e l’ al- tro angolo contraposti sonno iguali al’ angolo .c. E quelli .2. angoli sonno l’ angolo .a. e l’ angolo .q., cioé dico che ciascuno deli angoli .a. e .q. sonno iguali al’ angolo .c. dato. E così habiamo il proposito. .45.

Io voglio d’ una linea data comporre un quadrato. Comme sia data la linea .ab. dela qua- le voglio descrivere uno quadrato: dali ponti .a. e .b. meno le linee .ac. e .bd. perpendicu- lari ala linea .ab. che fienno equedistanti per la .28a. e fienno .ac. e .bd. E farolle iguali ala linea .ab. E menise la linea .cd., sia quella iguale e equedistante ala linea .ab. per la .33a. E perché l’ uno e l’ altro angolo è retto: cioé l’ angolo .a. e .b. per l’ ultima parte dela .29a. sará .c. e .d. retto. Adonca per la diffinitione de’ quadrati .abcd. é quadrato ch’ é il proposito. .46.

In ogni triangolo rettangolo el quadrato del lato opposto al’ angolo retto è iguale ae .2. quadrati che dagli altri doi lati sonno constituti. Comme sia il triangolo .abc. Del quale l’ angolo .a. sia retto. Dico che ’l quadrato delo lato .bc. è iguali ali .2. quadrati fatti delo lato .ab. e delo lato .ac. che è il proposito. .47.

Se ’l quadrato d’ uno lato d’ un triangolo é quanto li quadrati degli altri doi lati, quello angolo è ret- to. Questa è opposta ala passata. Havendo con brevitá veduto il primo de Euclide. Adonca alcune conclusioni del secondo diremo e peró al secondo capitolo faciendo fine direm del terzo. Declaratio e demostratio secundi libri Euclidis. Capitulum tertium prime distinctionis. Ogni paralello d’ angoli retti è detto contenersi in sule doi linee che fanno gli ango- li retti. El paralello (commo é detto) è una superficie d’ equedistanti lati. El paralello di retti angoli è una superficie havente tutti gli angoli retti ed é fatto del produtto d’ u- no de’ suoi lati contenente l’ angolo retto nel’ altro lato. E peró è detto contenersi in su quelli lati.

Quelle superficie che sonno intorno al diametro d’ ogni spatio di paralello sonno detti paralelli che stanno intorno al diametro. De’ quali ciascuno con gli .2. supplementi si no- mina gnomone. Sia dicemmo nela .43a. quali erano li supplementi e quali paralelli che stanno intorno al diametro. Dico adonca che sia uno paralello .abcd. del quale il diametro .ad. sia diviso da doi linee .ef. e .gh. menate equedistanti a’ lati opposti del detto paralello segantesi sopra il diametro .ad. nel ponto .k. e fanno .4. paralelli i quali sonno li paralelli .agek.kfhd. .kehc.kgfb. Deli quali paralelli .agek. e .khfd., perché il diametro del gran paralello gli se- ga per mezzo, si dicono paralelli che stanno intorno al diametro. Gli altri che ’l diametro non gli sega sonno detti supplementi che amendoi e supplementi agionti con l’ uno o con l’ altro de’ paralelli che stanno intorno al diametro se dici Gnomone. Commo se dimostra da lato. Sienno proposti .2. qual voi quadrati. Dove al’ uno sia de bisogno agiongnere uno gnomo- ne iguali al’ altro quadrato. Commo sienno proposti .2., cioé .ab. e .cd. E sia proposto di fa- re un gnomone intorno al quadrato .ab. iguale al quadrato cd. Per la qual cosa fare, me- nise un lato del quadrato .ab. infino ala equalitá delo lato del quadrato .cd. continuo e deritto. E sia .fe. El quale .fe. sia iguali a uno lato del quadrato .cd. E dal ponto .e. si meni una linea retta al .a. e sia il triangolo .afe. ortogonio imperoché l’ angolo .f. è retto. E il quadrato .cd. è commo el quadrato del .ef. E il quadrato .fa. è iguali al quadrato .ab. Adonca il quadrato .ae. è iguali al quadrato .ab. e .cd. E perché .efa. è triangolo, li lati .ef. e .fa. sonno magiori che lo lato .ae. per la .20a. del primo. Ma lo lato .fa. è iguali alo lato .fb. per la ragione dela quadratura: cioé perché è lato del quadrato .ab. Adon- ca .ef. e .fb. sonno magiori delo lato .ae. Adonca .eb. è magiore che .ae. Piglise adonca del .be. lo eguale del .ea. nel ponto .o. in tal modo che ’l .bo. sia quanto .ea., adonca il quadrato .bo. è iguali ali detti .2. quadrati, per la qual cosa, sopra la linea .bo. si constituisca un quadrato che sia quadrato .bong. El qua- le quadrato agiongne al quadrato .ab. quello gnomone: cioé il paralello .ingh. e il paralello .ahfo. E peró quello gnomone è iguale al quadrato .cd. che è il proposito.

Denanze in questo, nella parte principale de arithmetica, dicemmo dele .11. conclusioni del secon- do de Euclide exemplificando abastanza, peró qui non le replico: conciossiaché li sienno a tuo piacere. Nondimeno qui repigliaró le .4. ultime per esserci al proposito. .11.

Sia data una linea che s’ abbia a dividere in questo modo che quello ch’ é fatto di tut- ta la linea per la menor parte sia iguale al quadrato dela parte magiore. Dicise fatto d’ una linea in un’ altra: quella superficie che è composta: over contenuta dale .2. linee con gli angoli retti: cioé commo la compositione del paralello rettangolo. Sia adonca la data linea .ab. la quale voglio dividere in tal modo che quello ch’ é fatto del .ab. nella menore parte sia iguale al quadrato dela magiore parte. Scriveró il quadrato di tutta la linea .ab. che sia .abcd. E il lato .bd. divideró per igual parti nel ponto .e. e produceró .ae. e faró .ebf. in modo che .ef. sia iguale del .ae. E del .bf. descriveró il quadrato .bfgh. dico .ab. essere divisa com- mo voi: cioé .ah. e .hb., cioé che, multiplicato .ab. in .ah., è iguale al quadrato .hbfg. Adonca .ab. è divisa che l’ una parte é .ah. e l’ altra .hb. che è il proposito. E nota che non bisogna afa- tigarsi in volere dividere in quello modo uno numero ratiocinato perché è impossibile commo per la .29a. del .6o. e anche uno incidente dela .16a. del .9o. si manifesta. .12.

Nelli triangoli che hano uno angolo obtuso tanto è il quadrato delo lato ch’ é sotto- posto al’ angolo obtuso piú che .2. quadrati degli altri doi lati che fanno quello angolo obtuso: quanto è .2. volte quello ch’ é fatto d’ uno di quelli lati che tengono l’ angolo nello agiongnimento a quello lato dove cade la perpendiculare. Commo sia il triangolo .abc. havente l’ angolo .a. obtuso. E dal ponto .c. si meni la perpendiculare ala linea .ba. che, per necessitá ca- derá fuore del triangolo .abc. E, se non cadesse fuore, l’ angolo .a. sarebbe retto: over menor ch’ el retto che l’ uno e l’ altro è impossibile. Sia adonca .cd. perpendiculare sopra la linea .ab. e produce- ró la linea .ab. infino al .d. Dico che ’l quadrato del lato .bc. che è sottoposto al’ angolo obtuso è tan- to magiore de’ .2. quadrati dele .2. linee .ab. e .ac. contenenti quello angolo: quanto è quello del .ba. in .ad. doi volte che chiaro appare per la figura passata. E nota che una linea si dici potere tan- to quanto è il quadrato constituto dala detta linea. .13.

D’ ogni triangolo oxigonio tanto puol meno il lato ch’ é opposto al’ angolo acuto de- gli altri .2. lati: quanto è il doppio del quadrato del lato dove cade la perpendiculare ala distantia delo angolo acuto. Quello che è qui posto del’ angolo acuto del triangolo oxigonio ha la veritá d’ ogni angolo acuto di ciascuno triangolo, o voli ortogo- nio: over ampligonio: over oxigonio. Commo sia il triangolo .abc. havente l’ angolo .c. acuto. On- de si meni la perpendiculare dal’ angolo .b., over dal’ angolo .a., in sula faccia delo .ac., over del .bc. E sempre la perpendiculare caderá intra il triangolo. E, se fosse il triangolo che havesse uno angolo ret- to, muovisi la perpendiculare da quello angolo retto: conciosiacosaché ogni triangolo á .2. ango- li acuti. E, se fosse triangolo ampligonio, muovisi dal’ angolo ampligonio. Adonca meneró la perpen- diculare .ad. in sula faccia .bc., dico che ’l quadrato .ab. (che è opposto al’ angolo .c. acuto) é tanto meno che’ .2. quadrati di .2. linee .ac. e .bc., quanto è il doppio di quello ch’ é facto del .bc. in .dc. E questo è il proposito. .14.

Scrivase uno quadrato iguale a uno triangolo dato. Commo sia dato uno triangolo .a. al quale vogliamo scrivere uno quadrato iguale: e farassi in questo modo. Scriverasse una superficie d’ equedistanti lati e di retti angoli iguale al triangolo dato secondo la do- ctrina dela .42a. del primo. E sia la superficie .bcde. Dela quale, se i lati fienno iguali, haremo quello che cerchiamo: imperoché la ditta superficie sará quadrata. Ma, se i lati sonno non iguali, alora agion- gneró il magiore al menore e sia .cf. iguale a uno de’ lati menori e .bc. sia uno de’ magiori, adon- ca .bf. sará iguali a’ .2. lati della detta superficie, cioé a uno magiore e a uno menore. Dapoi la li- nea .bf. divideró per igual parti nel ponto .g. e faró .g. centro. E sopra la linea .bf., secondo la quantitá dela linea .bg., descriveró uno mezzo cerchio .bhf. e il lato .ec. produceró insino a tanto che segherá la circunferentia nel ponto .h. Dico che ’l quadrato .choi. è iguale al triangolo dato: che è il propo- sito. E nota che per questo modo si truova il lato tetragonico di ciascuna figura de linee rette, commo se sia fatta. Imperoché ogni tale figura risolvaremo in triangoli e a ciascuno di quelli triangoli trovaremo el lato tetragonico secondo la doctrina di questa. E trovaremo, per la pe- nultima del primo, una linea che possa per tuti li lati tetragonichi trovati. E questo basti et cetera. Basta questo quanto al terzo capitolo e del quarto diremo.

Demostratio omnium conclusionum sucincte sexti libri Euclidis. Capitulum quartum. Prime definitioni. Le superficie simili sonno quelle dele quali gli angoli del’ una sonno iguali agli angoli de- l’ altra e i lati che contengono quelli lati sonno in medesima proportione. Comme sienno .2.

triangoli .abc.def. e sia l’ angolo .e. del triangolo .def. iguali al’ angolo .b. del triangolo .abc. e l’ an- golo .a. iguali al’ angolo .d. e l’ angolo .c. iguale al’ angolo .f. e la proportione del .ab. al .de. commo .ac. al .df. e il .bc. al .ef. allora e fienno simili.

Le superficie de lati mutui sonno quelle nele quali e lati sonno nela proportionalitá non continua retransitive. Commo sienno .2. quadrilateri .abc.def. e la proportione del .ab. de lato primo al .de. de lato secondo sará commo la proportione del .ef. de lato secondo alo lato .bc. lato del primo. Alora queli .2. quadrilateri sonno di lati mutui over mu- tachefia che così se dicano.

La linea se dici esser divisa secondo la propotione havente il mezo et due extremi: quando quel- la medesima proportione è de tutta la linea ala magiore parte commo la magiore parte ala minore. Conclusio prima.

Se fienno .2. superficie di rette linee .e. d’ equedistanti lati over de’ triangoli, e sia una medesima alteza la loro: tanto è la proportione del’ una al’ altra quanto la basa del’ u- na ala basa del’ altra. Commo sienno doi paralelli .abc. et .def. d’ iguale alteza, di- co la loro proportione é commo .bc. al .ef. e simile de’ triangoli. Commo sienno .2. triango- li .abc. e .def. dove, menate le linee perpendiculari .ag. e .dh. che sienno iguali: dico tal propor- tione è l’ una al’ altra commo .bc. al .ef. .2. Se una linea retta segherá .2. lati d’ uno triangolo e sia equedistante al terzo lato. Di- co che quella linea sega queli lati proportionalmente. E similmente, per averso, se quel- la linea sega queli lati proportionalmente, ela sará equedistante al terzo lato. Com- mo sia il triangolo .abc. e la linea .de. seghi .2. lati del triangolo, cioé .ab. e .ac. ne’ ponti .d. e .e. e sia equedistante al lato .bc. Dico che tale proportione è .ad. al .bd. commo è .ae. al .ec. E, quando tale proportione é del .ad. al .db. commo .ae. al .ec., allora la linea .de. sia equedistante ala linea .bc. .3. Se d’ alcuno degli angoli d’ alcuno triangolo una linea retta si meni infino ala ba- sa in modo che la divida quello angolo per .2. parti iguali, dico tal proportione è dele parti dela basa commo è del’ uno lato al’ altro. E quando una retta divide uno an- golo in modo che le parti dela basa sonno in proportione commo l’ uno de’ .2. altri lati del tri- angolo al’ altro lato: allora quel angolo è diviso in .2. parti iguali. Commo sia el triangolo .abc. del qua- le l’ angolo .a. sia diviso in .2. parti iguali dala linea .ad., dico che tale proportione è del .bd. al .dc. commo .ba. al .ac. E così per averso. .4.

D’ ogni .2. triangoli de’ quali gli angoli del’ uno agli angoli del’ altro sonno iguali, e lati de’ dit- ti triangoli che contengono e simili angoli sonno in una proportione infra loro. Commo sienno .2. triangoli .abc. e .def. e sia l’ angolo .a. iguali al’ angolo .d. e l’ angolo .b. iguali a- l’ angolo .f. e l’ angolo .c. iguali al’ angolo .e., dico che una medesima proportione sia il lato .ab. al lato. df. con quella del lato .bc. alo lato .fe. con quello delo lato .ac. al lato .de. D’ ogni .2. triangoli de’ quali ciascun lato al suo relativo á una medesima proportione, gli an- goli che sonno contenuti da ditti lati sonno simili infra loro. Questa è conversa ala pas- sata: cioé sia la proportione del .ab. al .df. comme .de. al .ca. e commo .fe. al .bc. Dico l’ angolo .d. esser simile al’ angolo .a. e l’ angolo .f. al’ angolo .b. e l’ angolo .e. al’ angolo .c. .6.

Sienno .2. triangoli de’ quali uno angolo del’ uno sia iguali al’ angolo del’ altro e gli .2. lati che contengono l’ uno angolo del’ uno triangolo abbino una medesima proportione agli altri .2. lati che contengono l’ altro angolo del’ altro triangolo. Dico i ditti .2. triango- li essere equiangoli infra loro. Commo sienno .2. triangoli .abc. e .def. e sia l’ angolo .a. si- mile al’ angolo .d. e sia una medesima proportione quella del .ab. al .de. commo quella del .ac. al .df., di- co li .2. triangoli esser equiangoli: cioé che l’ angolo .b. è iguale al’ angolo .e. e l’ angolo .c. al’ angolo .f. .7.

Se saranno .2. triangoli de’ quali uno angolo del’ uno a uno angolo del’ altro sia eguale e gli .2. lati degli altri angoli sienno proportionali: e uno degli angoli del’ uno sia magio- re over menore del retto: e così l’ angolo del’ altro sia magiore over menore del ret- to. Dico che e detti .2. triangoli sonno equiangoli. Commo sia .2. triangoli .abc. e .def. e sia l’ angolo .a. iguale al’ angolo .d. e la proportione del .ac. al .df. sia commo .bc. al .ef. e niuno degli an- goli .b. e .e. sia menore del retto over e sienno menori: cioé non voglio sienno retti. Dico l’ uno trian- golo essere equiangolo al’ altro. .8.

Se dal’ angolo retto del triangolo ortogonio una perpendiculare si muove in sula basa, dividerá il triangolo in .2. triangoli simili al triangolo grande, comme sia il triangolo .abc. e sia l’ angolo .a. retto: dal quale si meni la perpendiculare .ad., dico che ’l triangolo .abd.

è simile al triangolo .abc. e il triangolo .adc. e simile al triangolo .abc. E che il triangolo. adc. è simile al triangolo .adb. E per questo se manifesta lo lato .ad. essere in proportione con ciascuna dele parti .bd. e .dc. cioé sia in medio loco proportion ale ditte. .9.

Sienno proposte .2. linee infra le quali bisogni trovare un’ altra linea che sia la terza in con- tinua proportione a quelle. E commo si facia il mostraró. Sienno .2. linee proposte .ab. e .c. infra le quali voglio una linea nella proportion continua trovare. Agiongneró l’ una di quelle con l’ altra. E sia quella che è composta d’ amendoi .ad. imperoché io porró .bd. igua- li al .c. e sopra tutta descriveró uno semicirculo .aed. e produrró .be. perpendicular sopra la linea .ad. e dico che la linea .be. è quella che noi cierchiamo. .10.

Sienno date .2. linee alle quali voglio trovare una linea che sia in continua proportione con quelle .2. che comme si facia il dimostraró. Sienno .2. linee proposte .ab. e .c. alle quali vo- glio sugiongnere una linea in continua proportione: congiongneró la linea .ab. angula- re colla linea .c. e sia .ad. cioé .ad. sia iguali alla linea .c. e produrró la linea .ab. infino al .e. e sia fatto .be. iguali al .ad. E meneró la linea .bd. e dal ponto .e. meno la linea .ef. equedistan- te alla linea .bd. E meneró la linea .ad. infino al ponto .f. dico che .fe. sia quella linea. .11.

Sia assegnata una linea di quanto voi. Dela quale sia de bisogno torre una parte. Comme diciamo sia assegnata la linea .ab. e da quella voglio torre una parte. Comme a dire il terzo. Io congiongneró a quella una linea angularmente commo viene di quanto vorró che sia .ac. La quale taglio in .3. parti iguali: che sienno .ad.de.ec. e le linee .cb. e .df. produco equedistanti. Dico che .af. è il terzo del .ab. commo volavamo. .12.

E sienno proposte .2. linee dele quali una sia divisa in parti. L’ altra voglio dividere secon- do quelle parti. Che comme si facia mostraró. Sienno le ditte linee .ab. e .ac. le quali con- giongneró nel ponto .a. angularmente: e sia la linea .ab. divisa in .3. iguali portioni a- segnati in quelle li ponti, cioé .e. e .d., voglio secondo quelle parti dividere la linea .ac. Quando l’ aró congionta angularmente, meneró la linea .bc. e a quella meneró le quedistanti .df. e .eg. le quali li- nee equedistanti dico che dividono la linea .ac. in parti proportionali alle parti dela linea .ab., cioé la linea .ab. sia divisa commo volavamo ne’ ponti .fg. .13.

E se fienno .2. superficie iguali e d’ equedistanti lati dele quali uno angolo del’ una sia simile a uno angolo del’ altra, e lati che contengono quelli angoli fienno nella proportione mu- tua over mutukefia. E ancora quando e lati continenti gli angoli iguali fienno nella pro- portione mutukefia le .2. superficie fienno iguali. Sienno .2. superficie .abcd. e .cgef. e- quedistanti e iguali. E sia l’angolo .c. del’ una iguale al’ angolo .c. del’ altra. Dico che tal parte è il lato .bc. a il lato .cg. commo .ce. al .dc. E ancora, quando .bc. è tal parte del .cg. commo .ce. al .cd., allora quel- le .2. superficie sonno iguali e equedistanti che era da mostrare. .14.

E se fienno .2. triangoli iguali. De’ quali uno angolo del’ uno sia iguali a uno angulo del’ al- tro. Dico che ‘lati che contengano quello angolo iguale sonno in proportione mutua o- ver mutukefia. E se i lati di .2. triangoli che contengano l’ angolo simile sonno in proportione mutua allora e detti .2. triangoli sonno simili. Sienno .2. triangoli .abc. e .cde. iguali e sia l’ angolo .c. del’ uno iguale e simili al’ angolo .c. del’ altro. Dico la proportione del .ac. al .ce. essere commo .dc. al .cb. E così quando la proportione del .ac. al .ce. è commo .dc. al .cb., allora que’ .2. triangoli sarebbono simili commo ditto è. .15.

Se fienno .4. linee proportionali quello che è fatto dalla prima e ultima linea: cioé la su- perficie rettangula dela prima e ultima linea è iguale alla superficie rettangula ch’ é fatta dal- l’ altre .2. linee. E sse quello ch’ é fatto dalla prima e ultima linea è iguale a quello ch’ é fatto dell’ altre .2., alhora quelle linee fienno proportionali. Sienno .4. linee proportionali .a.b.c.d. E sia la proportione del .a. al .b. commo il .c. al .d., dico che la superficie rettangula fatta dal .b. e .c. É commo quella fata dal .a. e dal .d. E, se la superficie fatta dal .a. al .d. é commo quella fatta dal .b. al .c., alo- ra quelle .4. linee sonno proportionali: cioé tal parte è .a. al .b. commo .c. al .d. et cetera. .16.

Se siranno .3. linee proportionali, quello ch’ é fatto dalla prima e dala terza è iguale al quadrato dela se- conda. E, se quello ch’ é fatto dala seconda linea in sé è iguale a quello ch’ é fatto dela prima nella .3a., allora quel- le linee sonno proportionali. Commo sienno .3. linee proportionali .a.b.c. Dico che la superficie rettangula fatta dal .a. e .c. è iguale al quadrato fatto del .b. e ancora, se ’l quadrato fatto dala linea .b. è iguale alla superficie rettangula fatta dal .a. in .c. Allora quelle .3. linee .abc. sonno proportionali ch’ era bisogno mostrare. .17.

Se fienno .2. triangoli simili, la proportione del’ uno al’ altro è commo la proportione del’ uno lato al’ al- tro in sé multiplicata. E per questo se manifesta che quando sonno .3. linee proportionali la super- ficie fatta dalla prima è alla superficie fatta dalla seconda commo la proportione della prima linea

alla terza: intendi le superficie sienno simili nelle linee e de figure. Comme sienno .2. triangoli simi- li .abc. e .def. e gli angoli intendi sienno iguali. E l’ uno lato, cioé .ab., sia al .de. comme .2/5. Dico che il triangolo .abc. sia al triangolo .def. e .4/25., cioé la multiplicatione di .2/5. in sé. E sse fussino .3. linee pro- portionali .a.b.c. dico che lla superfice fatta dal .a., cioé o quadrato o triangolo che sia per cia- scuna facia il lato .a., è alla superficie fatta del .b., cioé che habia per facia il .b., comme é .a. al .c. et cetera. .18.

Ogni .2. superficie simili di molti angoli sonno divisibili in triangoli simili e in tan- ti l’ una quanto l’ altra. E la proportione del’ uno al’ altro è comme ciascuno lato al’ al- tro lato del’ altro: cioé al suo relativo in sé multiplicata. Comme sienno .2. pentago- ni simili .acb. e .fgh. Dico che sonno divisibili e pentagoni ditti in triangoli si- mili: e in tanti triangoli l’ uno quanti l’ altro comme sienno divisi in tre triangoli ciascuno. Di- co la proportione del’ uno triangolo al’ altro suo simile: è comme la proportione del lato del’ u- no al lato del’ altro suo relativo in sé multiplicata. .19.

Sia data una linea sopra la quale voglio scrivere una superficie simile ala superficie da- ta: comme sia data la linea .ab. sopra la quale voglio fare una superficie simile alla super- ficie pentagona .cdefg. Divideró el pentagono ditto in triangoli menate le li- nee .df. e .dg. e sopra il ponto .a. faró l’ angolo iguale al’ angolo .c. menata la linea .ah. e sopra il ponto .b. faró l’ altro angolo che sia .abh. iguale a langolo .cdg. e menato la li- nea .bh. infino s’ agionga con .ah. nel ponto .h. e haró fatto per la .32a. del primo l’ angolo .ahb. iguale al’ angolo. cgd. E per la .4a. di questo e lati de’ .2. triangoli sienno proportionali. Dapoi faró l’ angolo .hbk. menato la linea .bk. iguale al’ angolo .gdf. E l’ angolo .kbl. me- nata la linea .bl. iguale al’ angolo .fde. E così haremo fatto il pentagono che era da fare che è il proposito. .20.

Se .2. o piú superficie sonno simili a una superficie, certamente infra loro saranno simili. Comme sienno l’ uno e l’ altro di .2. pentagoni: cioé .abc.def. simili al pentago- no .ghk., dico che ’l pentagono .abc. è simile al pentagono .def. che è il propo- sito. .21.

Se fienno molte linee proportionali le superficie fatte in sule .2. prime linee sonno proportionali, comme le superficie simili fatte in sule due seconde. E così comme le su- perficie simili fatte in sule terze. Comme sienno .4. linee proportionali .a.b.c.d. E facia- si in sule .2. prime: cioé in sul .a. et .b. due superficie simili: comme .2. pentagoni. E in su- le seconde si facia .2. superficie simili comme .2. triangoli. Dico che tal proportione è de’ pentagoni l’ uno al’ altro: comme de’ triangoli l’ uno al’ altro e ancora, quando sonno date .4. linee e sopra le .2. prime si faciano .2. superficie simili e sopra l’ altre .2. si faciano .2. superficie simili, comme ó dit- to in sule prime .2. pentagoni e in sule seconde .2. triangoli, e tal parte sia il pentagono al pen- tagono comme il triangolo al triangolo, allora quelle .4. linee sonno proportionali che è il proposito. .22.

Se sará nello spacio d’ un paralello un altro paralello simile a quello e contenga parte del grande. Dico che quello paralello é intorno al diametro del gran paralello, commo sia nel paralello .bd. il paralello .fg. simili. E contenga parte del gran paralello comme .1/5. Dico il paralello .fg. stare intorno al diametro del paralello .bd. el quale diame- tro è .aec. .23.

Tutte le superficie d’ equedistannti lati che stanno intorno al diametro del paralello a tutto il paralello sonno simili superficie. Comme sia il paralello .bd., intorno al quale dia- metro sia la superficie .gh. e .fk. d’ equedistanti lati. Dico che ciascuna è simile al gran paralello: cioé tal proportione è del .cg. al .bc. comme del .ch. al .cd. .24.

D’ ogni .2. superficie d’ equedistanti lati dele quali uno angolo del’ una al’ uno angolo del’ altra è iguale, la proportionne del’ una superficie al’ altra superficie è quella ch’ é fatta delle .2. proportioni de’ suoi lati continenti l’ angolo iguale: comme sienno .2. superficie d’ equedistan- ti lati .ac. e .ed. E sia l’ angolo .b. del’ una iguale al’ angolo .b. del’ altra, dico che la propor- tione del’ una al’ altra: è fatta dela proportione del .ab. al .bd. e di quella che á .cb. al .be. E acio- ché bene intenda sia .ab.6. e .cb. sia .2. e sia .be.10. e .bd. sia .8. che la proportione del .ab. al .bd. è .3/4. E la proportione del .cb. al .be. è .1/5. e multiplicato .1/5. via .3/4. fanno .3/20. E tal proportione ala superfi- cie .ac. alla superficie .ed. cioé comme .3. è a .20.così è la superficie .ac. alla superficie .ed. che è il proposito. .25.

Sienno date .2. superficie dele quali sia de bisogno fare una superficie iguale alla proposta e simile alla data: commo sienno proposte .2. superficie una .a. e l’ altra .b., voglio fare una superficie iguali al .b.

Sopra alla mittá d’ una linea data faciendo uno paralello: sia maggiore d’ un pa- ralello el quale sia aplicato alla data linea al quale manchi uno paralello simile e stan- te intorno al diamitro. Comme sia data la linea .ab. e sopra la mitá si facia il para- lello .cd. Del quale il diametro sia .be. e alla linea .ab. si facia il paralello .af. del quale uno lato seghi .ec. nel ponto .g. e manchi a finire tutta la linea .ab. la superficie .bf. che sia simi- le alla superficie .cd. e consista sopra il diametro. Dico alora che ’l paralello .cd. è magiore del pa- ralello .af. .27.

Sia proposta una superficie trilatera e voglio sopra una linea data designare uno paralello iguali al detto triangolo al quale manchi a finire la linea uno paralello si- mile a uno dato paralello. E sia in modo che ’l triangolo sia minore d’ un paralello si- mile al dato collocato nella mitá dela linea data altramente se lavorerebbe allo in- possibile. Sia dato il triangolo .c. e il paralello .d. e la linea .ab.; divideró la linea .ab. in .2. parti iguali sopra il ponto .e. e sopra la mittá .eb. faró el paralello .ef. simile al paralello .d. e finiró so- pra tutta la linea .ab. il paralello .bg. e perché .c. nonn é magiore del paralello .ef., ma è iguale o minore, commo è posto, e, se sará iguale, sará il paralello .eg. iguale. Et se il .c. è minore del .ef. in alcuna superficie la quale si conponga simile al .d., che sia .h. e sará .h. simile al .ef. e, alla misura della superficie .h. che sia rettangula, risegheró .fk. e .ek., menate le linee .lm. e .no. equedistanti alle linee de’ lati dela superficie .ef. Le quali si segano nel ponto .p. comme la superficie .kp. e sia iguale alla superficie .h. e sia per la .23a. di questo il ponto .p. sopra il diametro .kpb. E meneró .on. infino al .ag., dico che ’l paralello .pa. è quello vogliamo. Non vole dire altro questa conclusione se none che si voglia fare uno paralello sopra una linea data: el quale paralello habia per uno lato una linea data e sia piú che l’ area d’ un triangolo dato uno paralello simile al dato paralello. Onde il paralello .oa. è piú che ’l triangolo dato: il paralello .pb. simile al paralello .d. Ma diciamo con numeri, sia la linea data .ab. 24. E il triangolo dato .c. sia l’ area sua .84. et il paralello .d. sia l’ area sua .24., cioé per l’ uno lato .6. per l’ altro .4. Dico che voglio fare sopra la linea .ab. uno pa- ralello al quale a finire tutta la linea .ab. manchi uno paralello simile al paralello .d. e quello pa- ralello fatto sia l’ area sua iguali al triangolo .c., dove faró il paralello .kb. che sia .eb.12. e .bf. .8. imperoché gli á a essere simile al paralello ditto. Dove tutto l’ area del paralello .f. e sia .96. che manca al triangolo .12. del quale comporrai una superficie iguale a .12. e simile al paralel- lo .d. La quale supeficie é .h.: sia per l’ uno lato .R. de .8. e per l’ altro .R. de .18. La quale super- ficie porrai nel ditto paralello in questo modo. Che farai .km. iguale al lato che è .R. di .18. e .kn. sia iguale al lato che è .R. di .8. E, menate le linee .lm. e .nop. equedistanti a’ lati del para- lello .fe., harai il paralello .kp. iguale ala superficie .h. e la superficie .kp. è simile ala superfi- cie .pb., perché sonno circa il diametro .kpb. Adunque é fatto il paralello .ap. che l’ area è .84. comme è il triangolo dato. E manca a finire il paralello .ao. uno paralello .lo. simile al para- lello .d. dato. Imperoché li lati sonno in proportione comme .4. al .6., che sonno i lati del pa- ralello .d., imperoché .po. è .12. meno .R.18. e .bo. è .8. men. R.8. questo era bisogno mostrare .28.

Sopra alla data linea voglio desegnare uno paralello iguale a uno triangolo da- to el quale triangolo agionga al finimento della ditta linea uno paralello simile al paralello dato. Questa è differentiata dalla passata imperoché qui avanza el triangolo e in quella mancava. Adunque sia la linea data .ab. E il dato triangolo .c. e ‘l dato paralello .d.; voglio sopra la linea .ab. fare uno paralello iguale al triangolo .c. che agionga sopra tut- ta la linea .ab. el paralello simile al .d. Io divideró la linea .ab. in .2. parti iguali nel ponto .e. e sopra quella mittá faró .ef. paralello simile al paralello .d., secondo la .19a. di questo e secondo la .25a., faró .kl., del quale il diametro .gh. e sia simile al .d. E sia iguale ale .2. superficie .ef. e .c. dove, per la .20a. di questo, .kl. sia simile al .ef. Posta adunque la superficie .ef. di sopra alla superfi- cie .kl., in modo si communichino insieme nell’ angolo .g., e sia, per la .22a. di questo, la superficie .ef. stante intorno al diametro della superficie .kl. Onde il ponto .b. sia in sul diametro .gh. e finito il paralello .ah. Il quale paralello è quello volavamo: cioé iguale al triangolo dato e avanza alla linea data uno paralello .mn. simile a uno paralello dato che è il proposito. .29.

Sia proposta quale voi linea la quale si voglia dividere secondo la proportione ha- vente il mezo e .2. extremi, commo sia la data linea .ab. la quale voglio dividere secondo la proportione havente mezo e .2. extremi. De quella scriveró uno quadrato che sia .bc. e al lato .ac., secondo la passata, faró il paralello .cd. iguale al quadrato .bc. in modo che gli agiongi al finimento dela linea .ac. il quale sia simile allo .bc. e il lato del paralello sia equedistan- te e seghi la linea .ab. nel ponto .f. Dico la linea .ab. essere divisa in .af. e .bf. comme era proposto.

Se faranno .2. triangoli fatti sopra uno angolo de’ quali e .2. lati che tengono quello ango- lo ae .2. altri lati loro sienno equedistanti e sienno quelli .4. lati proportionali, quelli .2. triango- li fienno constituti sopra una medesima linea. Comme sienno .2. triangoli .abc. e .dce. fatti sopra l’ angolo .acd. e sia .ac. equedistante al .de. e .cd. equedistante al .ba. E sia la proportione di .ac. al .de. comme .ab. al .dc. dico che lle .2. base loro: cioé .bc. e .ce. sonno una medesima linea retta. .31.

In ogni triangolo rettangolo la superficie laterata che è oposta al’ angolo retto è igua- le a .2. superficie degli altri due lati insiemi prese. Quello che è detto nella penultima del primo de’ quadrati, qui si mostra d’ ogni superficie. E peró questa è piú utile, quanto le superficie d’ ogni specie sonno piú che ’quadrati. Dico adunque che sia uno triangolo .abc. del quale l’ angolo .a. sia retto. Dico che lla superficie fatta dal lato .bc. comme uno triangolo è iguali a .2. superficie constitute sopra i lati .ab. e .ac., cioé ancora a .2. triangoli fatti da’ ditti lati. Comme sia uno triangolo per ciascuna facia iguali al lato .bc. e faciasi .2. altri triangoli uno che sia per ciascuna facia quanto lo lato .ab. e un altro che sia per ciascuna facia quanto lo lato .ac. Dico il triangolo fatto dal .bc. esser iguale a’ .2. triangoli. E similmente quando il triangolo fatto dal .bc. è igual agli altri .2. triangoli alora l’ angolo .a. é retto che è conversa alla passata parte. .32.

Se ne’ cerchi iguali, over sopra il centro over sopra la loro circunferentia, si fará uno angolo, sará la loro proportione comme quella degli archi che contengono quelli angoli. Comme sien- no e cerchi .abc., del quale il centro sia .d., e .efg., del quale il centro .h., e sienno iguali. Sopra li quali centri sienno fatti .2. angoli: cioé .bdc. e .fhg. E sopra la loro circunferentia altri .2. che sienno .bac. e .gef. Dico che la proportione degli angoli, così quelli che sonno sopra la circunfe- rentia comme quelli che sonno sopra li centri, sonno comme gli archi .bc. al’ arco .fg. e questo è da notare. Havendo veduto con brevitá il primo, secondo e sexto d’ Euclide, mi pare de dare opera al capitolo .5o. Adunque diremo. Qualiter more Tusco seu Florenteno metiantur agri et possessiones. Capitulum quintum prime distinctionis. Benché lo strumento con che s’ usa de misurare l’ area delle superficie sia diverso secondo la costumanza de’ paesi, non mi pare de necessitá demostrare altro che quel- lo col quale el contado de Toscana si va misurando e maxime quel de Firenza. El quale è una certa longhezza nominato bracio over piede. Onde, quando diciamo questo terreno è .100.bracia. quadre, diciamo che in quel terreno entrarebbe una figura quadrata per ogni verso uno bracio .100. volte. E peró L. P. diffinendo quello che era a trovare l’ area d’ una superficie dici: tro- vare l’ area d’ una superficie é una superficie quadrata nota sapere quante volte entra nella superficie che vuoi misurare. E per lo contado de Firenza si vende el terreno a staiora, che uno staioro è .1728. bracia quadre da terra. Dico bracia da terra, perche è differentiato alcuna cosa da quello del panno. E, benché alcuni dichino che .1600.bracia quadre da panno sieno uno staioro nonn’ é peró vero: che io lo volsi a questi dí provare in questo modo: che quello che ‘l bracio del panno avanza al bracio da terra, e .1/18. del bracio da panno é .1/17. di quello da terra, dove tanto è a multiplicare .17. bra- cia da panno per sé quanto .18. da terra per sé. Adunque .289.bracia. quadre da panno sonno quanto .324.bracia. quadre da terra. Onde .1728.bracia. quadre da terra sonno, alla detta ragione, .1541. o circa, cioé una piccola parte di bracio. Lo staioro, adunque, è .1728.bracia. da terra quadre e divide- si in .12. parti che sonno iguali e ciascuna se dice panoro. E uno panoro se divide in .12. parti igua- li e ciascuna se dice pugnoro. E ancora il pugnoro se divide in .12. parti e ciascuna se dice bracio da terra quadro. Onde uno panoro è .144.bracia. da terra quadre. E uno pugnoro è .12. di quel- li bracia. E ancora lo staioro è .144. pugnora.

Havendo detto la divisione e il modo che s’ usa de misurare, é da dire comme si multiplica gran quantitá di bracia infra loro. Dico che havendo a multiplicare una summa di gran numero, comme a dire .3940.bracia. via .3940.bracia, dove poi tenere il modo dele caselle over per bericuocolo e harai .15523600.bracia quadre. Deli quali farai staiora in questo modo: che, prima, ne farai pugnora, che sonno .1293633. pugnora .4.bracia. E dapoi, de .1293633. pugnora, farai panora partendo in .12. e harai .107802. panora .9. pugnora .4.bracia. E dapoi ne farai staiora dividendo per .12. e harai che sonno .8983. staiora .6. panora .9. pu- gnora .4.bracia. E per tal modo si pó ancora fare.

E ancora potresti, per l’ altro modo, fare la ditta multiplicatione. Ma, prima, daremo questa ordinatione nel multiplicare panora e gli altri nomi infra loro, cioé: Multiplicando bracia per bracia fanno bracia quadre.

Multiplicando bracia per pugnora fanno pugnora.

Multiplicando bracia per panora fanno panora; multiplicando per staiora fanno staiora Multilpicando pugnora per pugnora fanno panora. Comme dicendo .6. pugnora via .8. pu-

Distinctio prima. Capitulum sextum. 7 gnora fanno .48. panora che sonno .4. staiora.

Multiplicando pugnora per panora fanno staiora; comme dicendo .6. pugnora via .8. pa- nora fanno .48. staiora.

Multiplicando pugnora via staiora fanno, per ogni unitá .12. staiora. Comme a multiplica- re .6. pugnora via .8. staiora, fanno .48. volte .12. staiora, che sonno .576. staiora. Multiplicando panora per panora fanno, per ogni unitá, .12. staiora. Comme multiplicando .6. panora per .8. panora, fanno .48. volte .12. staiora, che sonno .576. staiora. Multiplicando panora via staiora fanno, per ogni unitá, .144. staiora; che havendo a mul- tiplicare .6. staiora via .8. panora, faranno .48. volte .144. staiora che sonno .6912. staiora. Multiplicando staiora per istaiora fanno, per ogni unitá, .1728. staiora comme multiplicando .6. staiora via .8. staiora fanno .48. volte .1728. staiora che sonno .82944. staiora. E acioché meglio s’ abia lo intendimento, diremo: io voglio multiplicare .3940. bracia via .3940.bracia. da terra. Intendi, dove farai prima, de .3940.bracia, sta- iora e panora, pugnora e bracia, che sonno .2. staiora e .3. panora e .4. pugnora e .4.bracia. Adunque a multiplicare .3940.bracia. via .3940.bracia. è comme a multipli- care .2. staiora .3. panora .4. pugnora .4.bracia. Dove, per questo fare, segnerai queste quantitá a mo- do di caselle over crocetta: cioé .2. staiora .3. panora .4. pugnora e .4.bracia, segnando le spe- cie iguali: cioé le staiora sotto le staiora e le panora sotto le panora e le pugnora sotto le pu- gnora e le bracia, sotto le bracia, comme io ó fatto nella dispositione da lato. E incomencia al mi- nore grado, sempre ascendendo per ordine. E diremo: .4.bracia. via .4.bracia. fanno .16.bracia, che sonno uno pugnoro e .4.bracia. E queste segna. E dapoi multiplicarai le bracia contro ale pugnora, dicendo: .4.bracia. via .4. pugnora fanno .16. pugnora. E un’ altra volta, per la cro- cetta, .4.bracia. via .4. pugnora fanno .16. pugnora che, agionte alle .16. pugnora de prima, fan- no .32. pugnora, che sonno .2. panora e .8. pugnora. Le quali segna comme ordinando uno ca- stellucio. Dipoi multiplicarai li bracia contro alle panora, multiplicando sempre per canto, dicen- do: .4.bracia. via .3. panora fanno .12. panora. E, un’ altra volta, per la crocetta, .4.bracia. via .3. pa- nora fanno .12. panora che, agionte alle .12. panora, fanno .24. panora. E a queste agiongni la multiplicatione di .4. pugnora via .4. pugnora che fanno .40. panora, che sonno .3. staiora e .4. panora. E segnale. Dipoi multiplicarai li bracia contro alle staiora, dicendo: .4.bracia. via .2. staiora fanno .8. staiora. E con, un’ altra volta, per la crocetta, .4.bracia. via .2. staiora, fanno .16. staiora. E a questo agiongni la multiplicatione di .4. pugnora in .3. panora e, ancora, .4. pugno- ra in .3. panora che è .24. staiora: che, con .16. staiora, fanno .40. staiora, le quali segna. Dipoi mul- tiplicarai .4. pugnora via .2. staiora e, un’ altra volta, per la crocetta, .4. pugnora via .2. staiora e a questo agiongni la multiplicatione di .3. panora in .3. panora e haremo .25. volte .12. staiora, cioé staiora .300., le quali segna. E dapoi multiplicarai .3. panora via .2. staiora: e .2. staiora per .3. pugnora e haremo .12. volte .144. staiora: cioé .1728. staiora: e segna. E dapoi multiplica .2. staiora via .2. staiora, fanno .4. volte .1728. staiora: cioé .6912. staiora, le quali segnerai. E da poi agiongni le ditte summe, fanno .8983. Staiora .6. Panora .9. Pugnora e .4. Bracia quadre, comme di sopra trovammo. Onde, qual modo voi, poi usare.

E questo basti quanto a quello che, circa lo strumento del misurare, è da dire; dove seguen- do, è da dare ordine alla pratica. De dimensione figurarum quadratarum. capitulum sextum.

Giá dicemmo che ’l quadrato d’ una linea era una superficie d’ equedistanti lati e de angoli retti. La quale superficie si ha per lato quanto è la ditta linea. E, ancora, è ditto che, a volere trovare l’ area d’ una superficie e volere sapere una superficie quadrata nota quante volte entra nella superficie che voi misurare. E, peró, a volere trovare l’ area d’ una superficie qua- drata nota quante volte entra in quella, e perché noi habiamo ditto che secondo l’ uso fiorentino quella misura se dice bracio, adunque diciamo che noi vogliamo trovare l’ area del quadrato .abcd. Pri- ma ti conviene havere uno de’ suoi lati, che pongo sia per facia .10.bracia., dove multiplicarai il .10. in sé, fanno .100. E .100.bracia. é quadra la ditta superficie quadrata: cioé in ditta superficie entra- rá .100. volte una superficie quadrata che sia per ogni verso uno bracio. Over multiplica uno de’ soi lati per l’ altro a quello contiguo: ma, perché i lati sonno iguali una cosa e in se medesimo et cetera. E, a ció ché el si manifesti, quella superficie detta contenere una superficie d’ un bracio .100. volte, faremo la figura. Sia adunque il quadrato .abcd. e sia comme ó detto per ciascun lato .10.bracia. Dove il lato .ab. divideró in .10. parti iguali. E, similmente, divideró .cd. e menise dai ponti delle divisioni del .ab. a’ ponti delle divisioni del .cd. le linee eque-

distanti che fieno iguali ala linea .ac. Dipoi si divida il lato .ac. e .bd. ciascun in .10. parti iguali: e da’ dettig ponti delle divisioni si meni le linee che fieno equedistanti alla linea .ac. e così haremo di- viso el grande quadrato in picoli quadrati in de’ quali ciascun sia per facia uno bracio. Imperoché .ae., che è il primo ponto, è uno bracio. Adunque il quadrato .aegi. è per ogni verso uno bracio e ciascun degli al- tri picoli quadrati è iguale a quello, li quali picoli quadrati sonno .100. Imperoché fra la linea .ab. e la linea .gh. n’ é .10. E, per simil modo, numerando, ne troveremo .100., comme evidentemente appare. E dicendo e gli é uno quadrato che è per ogni verso 10.bracia. Vo’ sapere: una figura quadrata che sia per ogni verso .2.bracia. quante volte v’ entrará. É de bisogno trovare l’ area del’ una e l’ altra figura. E harai per la grande .100.bracia. quadre e per l’ altra .4. bra- cia quadre. Onde partirai l’ area del’ una superficie, cioé dela magiore, per l’ area del’ al- tra: viene .25. e .25. volte entrará la minore superficie nella magiore. Over uno de’ lati del gran quadrato misura con uno de’ lati del minore: cioé .10.bracia. misura con .2.bracia., harai .5. volte, el qual .5., in sé multiplicato, fa .25. e .25. volte entrará il picolo quadrato nel grande, comme dicemmo. E questo basti quanto a questo capitulo.

Le figure triangulari: cioé le superficie che si dicano triangoli. Sonno alcune dette trian- goli ortogonii. Cioé quel triangolo che á l’ angolo retto. Alcuni si dicano oxigonii, cioé quello triangolo che á tutti gli angoli acuti. Alcune ampligoni: cioé quelle che hano uno angolo ampio. E questi nomi pigliano le dette figure dagli angoli. E possano ancora ricevere nomi da’ lati. Imperoché alcuni si dicano isopleuri:, cioé equilateri, che sonno quel- li che hano e lati infra loro iguali. Alcuni ysocheli, cioé equicurii sonno quelli che hano so- lamente .2. lati iguali infra loro. Alcuni scaleni, cioé diversilateri che sonno quelli che hano cia- scuno lato ineguale.

L’ area di ciascun triangolo s’ á certamente della multiplicatione dela mitá del ca- tetto in tutta la basa over della multiplicatione di tutto il catetto nella mitá dela basa. Che tutto, con dimostrationi, lo faró certo.

Catetto, over perpendiculare del triangolo, è una linea retta che si muove dal’ ango- lo del triangolo e cade in sulla facia oposta a quello angolo: e fa in sulla detta fa- cia .2. angoli retti. E, per questo, da ogni angolo solamente una perpendiculare, over ca- tetto, si mena. Vuogliamo dire che solo uno catetto si pó menare. Imperoché, se .2. o piú se ne menasse e ciascuno fusse catetto, comme nel triangolo .abc. ch’ é il catetto .ad., di- co che dal ponto .a. non si menará se none la linea .ad. che sia catetto. E, se se ne menasse un’ al- tra, comme .ae., seguitarebbe lo triangolo .aed. essere piú che .2. angoli retti, che è impossibile per la .32a. del primo de Euclide.

E acioché si vegga comme e catetti debbano o infra ’l triangolo o fora cadere lo mo- straremo. Se da uno angolo maggiore che gli altri angoli d’ uno triangolo si me- na il catetto, sempre dentro al triangolo cadrá. E acioché chiaramente si consenta. Sia il triangolo .abg., del quale l’ angolo .a. sia magiore over iguali al’ angolo .b. over al’ angolo .g. Dico che, se dal ponto .a. ala linea .bg. si meni una perpendiculare, che lla cadrá dentro al triangolo e non di fora. Ma, se possibile é, caggia di fuora per l’ aversario dal lato del .b. in sul pon- to .z. E menise .gb. diritto infino al .e. e passerá per lo ponto .z. e haremo il triangolo .azb. ortogo- nio, che hará l’ angolo .z. retto. E l’ angolo .b. del triangolo .abz. per la .32a. del primo, è iguale a ciascun degli angoli .a. e .g. del triangolo .abg. insiemi gionti e noi dicemmo l’ angolo .a. essere magiore o iguali che alcuno degli angoli .b. over .g. E peró l’ angolo .b. del triangolo .abz. è magiore che ’l retto. Onde, nel triangolo .azb. v’ é uno angolo retto e uno magiore che ’l retto, che è im- possibile per la .32a. del primo. E peró il catetto .az. non sará fuori del triangolo .agb. dala par- te del .b. E, se andasse fuori dal lato del .g., ne perverrebbe il medesimo inconveniente. E peró, de necessitá, cade dentro.

E per questo si manifesta che ’l catetto che si muove da ciascun angolo del trian- golo oxigonio e il catetto che si muove dal’ angolo retto del triangolo ortogo- nio e il catetto che si muove dal’ angolo obtuso del triangolo ampligonio, sem- pre cadrá dentro al triangolo.

Li .2. lati del triangolo ortogonio, cioé quegli che contengono l’ angolo retto, sonno catetti over perpendiculari del detto triangolo. Comme sia il triangolo ortogonio .bgd. havente l’ angolo .g. retto. Dico la retta .bg. essere perpendiculare sopra .gd. e lla retta .gd. essere perpendiculare sopra la linea .gb. E, se non fussino (comme ó detto)

perpendiculari, menise la linea che sia perpendiculare dal puncto .b. e sia .ae. e caggia di fuora in sul puncto .a. e sia .ag. continuati con .gd., sará adunque nel triangolo .bag.2. angoli retti, imperoché l’ angolo .g. del triangolo .abg. è retto, imperoché così si pose. Onde e .3. angoli del triangolo .abg. sonno magiori di .2. retti, che è impossibile per la .32a. del primo. Ancora, quando il catetto ca- desse dentro, se n’ andrebbe nel predetto errore, imperoché nel triangolo .bge. farebbe .2. ango- li retti. E peró ne’ fuora ne’ dentro puó cadere. Onde, per necessitá, cadrá in sulla detta linea e fará una con quella, anzi quella medesima. E, similmente, se dal’ angolo .d. si muove la perpendiculare so- pra la faccia .bg., sará per quel medesimo la detta perpendiculare .dg. E così abbi a mente in simili. Dal minore angolo del triangolo oxigonio una perpendiculare menata cade dentro al triangolo. Exempli causa: sia il triangolo oxigonio .abg., del quale l’ an- golo .a. sia minore. Dico che, se dal’ angolo .a. si mena la perpendiculare insino al la- to .bg., cadrá dentro al triangolo. E, se possibil fusse (per l’ aversario), caggia di fo- ri sopra il puncto .d. E, perché .ad. é catetto, sará l’ angolo .adb. retto e l’ angolo .abd. è maggiore che ’l retto, imperoché, per la .32a. del primo, e gli é iguali hai .2. angoli .a. e .g. del triangolo .agb. E, per- che ciascuno degli angoli del triangolo .agb. è minore che ’l retto (ex ypotesi), e peró e .2. ango- li .a. e .g. sono magiori che ’l retto. E peró nel triangolo .adb. v’ é uno angolo retto e uno magio- re che ’l retto, ch’ é impossibile. Conciosiacosaché ogni triangolo sia soluto in .2. angoli retti. E peró cadrá dentro. E, similmente, se dal’ angolo ampio del triangolo ampligonio si mena la perpendi- culare, quella cadrá dentro. Comme sia il triangolo ampligonio .abg., del quale l’ an- golo .a. sia obtuso. Dico che la perpendiculare menata dal puncto .a. ala linea .bg. cadrá dentro. E, se possibile sia (per l’ aversario), caggia di fuora in sul puncto .e. de- la linea .gbe. Dove l’ angolo .abe. é magiore di .2. angoli .a. e .g. separati del triangolo .abg. per la .16a. del primo. E peró nel triangolo .abe. v’ é uno angolo obtuso e uno retto, che è impossibile per la .17a. del primo. Adunque cadrá dentro al triangolo E, menando la perpendiculare da ciascuno degli altri angoli acuti al lato oposto al detto angolo, quella perpendiculare cadrá di fuori. Comme sia il triangolo ampli- gonio .bgd. havente l’ angolo .d. obtuso. Dico che, se dal’ angolo .b. si mena la perpen- diculare sopra lo lato .bg., che la detta perpendiculare cadrá di fuori del detto trian- golo. E, se fosse possibile cadesse dentro (per laversario), caggia in sul puncto .a. Onde segui- tarebbe nel triangolo .bad. essere .2. angoli, uno retto e uno magiore che ’l retto, imperoché l’ an- golo .a. è retto e l’ angolo .d. è obtuso (ex ypotesi). E peró è inconveniente e cosa impossibile e que- sto se doveva mostrare.

Se in .2. linee contenenti uno angolo un’ altra linea retta si meni, la quale seghi ambe- dui le dette linee, dala mitá dela linea che è in mezo dele sectioni si segni uno pun- cto e da quel puncto una linea si meniinfino al’ angolo che è contenuto da quelle li- nee, la qual linea sia iguale ala mitá dela linea, la quale è infra le .2. Allora l’ angolo dato è retto. Comme sia la linea .ab. e .gb. che contenghino l’ angolo .b. e dal punto .e. (posto ne- la linea .gb) si meni un’ altra linea infino al puncto .d. posto nella linea .ab. E sia la linea .hed. E nel puncto .z. che sia la mitá dela linea .ed. si meni la linea .zb. la qual se lla è iguale ala linea .ze., alora l’ angolo .b. è retto. E, quando la linea .ze. fosse magiore che la linea .zb., alora l’ ango- lo .b. è obtuso. E, quando la linea .zb. è minore che la linea .ze., alora l’ angolo .b. è acuto. Comme per la .30a. del terzo d’ Euclide appare.

Questo detto, è da sapere che, a volere l’ area d’ una figura di lati equedistanti e canti retti, che la diciamo quadrilatero over paralello d’ angoli retti, è da multiplicare l’ uno lato per l’ altro a quello contiguo. Comme a dire: e gli é un paralello d’ angoli retti longo .10. bracia e largo .8.bracia. Dico che, a volere l’ area, multiplicarai .10. via .8., fanno .80. e .80.bracia quadre è la detta figura. E questo, comme facemmo nel quadrato, si puó chiari- re, ma non bisogna. Ora ritorniamo a’ triangoli. .

Comme habiamo detto e sono di .3. maniere triangoli: cioé ortogonii, oxigoni e ampligonii. Dove, per ordine dovendo dire, diremo prima il modo di trovare l’ area de’ triangoli ortogonii e poi degli oxigonii e poi degli ampligonii, comme vedrai. Li triangoli ortogonii sonno alcuna volta di .2. lati iguali e alcuna volta di .3. lati. non iguali. E, comme è detto, l’ area di ciascuno triangolo s’ à dela multiplicatione dela mitá del catetto in tutta la basa o dela mitá dela basa in tutto il catetto, la qual cosa faremo chiara. Sia il triangolo ortogonio di .2. lati iguali .abg. e sia .ab. e .bg. ciascun .10.bracia, dove

.bg. sia la radice de. 200. braccia, dove il catetto che cade in sula basa .bg. e .ab. Aduncha, a mul- tiplicare la mitá del .ab. in .bg., s’ ará l’ area del detto triangolo, che sia .50. braccia quadre, che, in questo modo, lo proveremo. Dal ponto .a. si meni la linea .ad. equedistante e iguale ala linea .bg. e sia l’ angolo .bad. retto e la linea .ad. sia .10. braccia. E, dipoi, dal puncto .d. si meni la linea .dg. iguale e equedistante ala linea .ab. e sará .10. braccia e haremo constituto uno quadrato .abgd. del quale la linea .ag. è il diametro. Aduncha il triangolo .abg. è la mitá. El quale qua- drato viene dela multiplicatione del .ab. in .bg. Aduncha, per volere quadrare il triangolo, multipli- carai la mitá del .ab. in tutta .bg. over la mitá del .bg. in tutta .ab. E questo era da mostrare. Ancora diremo: e gli é un triangolo ortogonio diversilatero .bcd. del quale il lato .bc. fará .8. braccia è il lato .cd. é .6. braccia. Dove il lato .bd. sia .10. braccia e sia l’ ango- lo .c. retto. Dico che l’ area del ditto triangolo s’ á della multiplicatione dela mi- tá dela linea .bc. che è catetto in tutta .cd. over dela mitá dela basa .cd. in tutta .cb. che sieno .24. braccia quadre. Che in questo modo lo mostraró. Faciasi la linea .ba. iguale e equedistante ala linea .cd. E faciasi .ad. iguale e equedistante ala linea .bc. E haremo constitu- to il paralello d’ angoli retti .abcd., del quale il diametro è .bd., il quale lo divide per lo mezzo per la .34a. del primo. Aduncha il triangolo .bcd. è la mitá. E l’ area del detto paralello viene della multiplicatione del .bc. in .cd. Aduncha l’ area del triangolo viene dela multiplicatio- ne dela mitá del .bc. in .cd. over dela mitá del .cd. in .bc. che così conveniva mostrarse et cetera. Ancora altrimente dividasi .bc. in .2. parti iguali sopra il poncto .e., dal quel si me- ni la linea .ef. iguale e equedistante ala linea .cd. e conpise .df. E, perché la linea .cd. è eque- distante e iguale ala linea .fe., sará la linea .df. iguale e equedistante ala linea .ec., commo per la .34a. del primo è manifesto. Onde la linea .df. è .4. bracci. Aduncha il trian- golo .bhe. è iguale al triangulo .hdf., imperoché l’ angolo .e. è retto e .be. è iguale al .fd. e .fh. è igua- le al .he. Aduncha tutto el triangolo .bcd. è iguale al quadrilatero .ecdf. che á gli angoli retti. El qua- le quadrilatero è fatto dela multiplicatione dela linea .ec. nella linea .cd., cioé di .4. in .6. E peró el triangolo .bcd. è fatto della multiplicatione di .4. in .6. Simelmente si mostrarebbe se dal ponto .i., che è nel mezzo del .cd., si menasse la linea .ia. equedistante e iguale alla linea .be. e nel medesimo modo hai operare et cetera.

Ancora, se uno lato fosse non saputo e, per gli altri saputi, lo volessi trovare. Com- me diciamo che ’l lato .bd. non sia dato noto. Multiplicarai .bc. in sé e .cd. in sé; agion- gne quei .2. quadrati, che fano .100., la cui radici è il lato .bd., che è .10. E chiamasi quello lato ypotemissa. E, se la ypotemissa .bd. è .10. e la basa .dc. è .6., sará da multi- plicare .10. in sé e .6. in sé e trare l’ uno quadrato del’ altro, che rimane .64., per lo quadrato del la- to .bc. Ancora la ypotemissa sia .10. e il lato .bc. è .8. e vogliamo il lato .cd. Multiplicarai .10. in sé e .8. in sé e harai .100. e .64. e trarai .64. di .100., rimane .36., la cui radici è .6., per lo lato .dc. L’ area di tutti e triangoli oxigonii (comme è ditto) s’ á dela multiplicatione del ca- tetto nela mitá dela basa over dela mitá del catetto in tutta la basa. E acioché questo appaia lo dimostraremo. E gli é da sapere che gli triangoli oxigonii sonno di .3. lati iguali over di .2. lati equali over di .3. lati non iguali. sia prima il trian- golo .abc. oxigonio: e per ciascun lato sia .10.bracia. Dico che l’ area sua s’ á dela multiplicatione del catetto .ad. nela mitá dela basa .bc. over dela basa .bc. nela mitá del catetto .ad. che cosí il proveró. La linea .ad. che è catetto fa sopra la linea .bc.2. angoli retti. E peró ciascuno de’ .2. triangoli .abd. e .acd. è ortogonio e sonno iquali infra loro. Imperoché lo lato .ab. dell’ uno è iguale al lato .ac. del’ altro e lo lato .ad. è commune. Dove la basa .bd. è iguale ala basa .de. con- ciosiacosaché l’ angolo .d. di ciascuno triangolo è retto. E noi habiamo giá mostro che l’ area de’ triangoli ortogonii s’ á dela multiplicatione dela mitá della linea che tiene l’ angolo ret- to in tutta l’ altra linea che tiene quello angolo over è converso. Aduncha l’ area del triango- lo .adc. s’ á dela multiplicatione dela mitá del catetto .ad. in tutta la basa .bd. E, simelmente, l’ a- rea del triangolo .adc. s’ a dela multiplicatione del catetto .ad. nela mitá dela basa .de. over de- la mitá del catetto .ad. nela basa .dc. E peró l’ area di tutto il triangolo .abc. s’ á dela multiplica- tione dela mitá del catetto .ad. in tutto la basa .bc. ch’ era bisogno mostrare. La longheza adon- cha del catetto .ad. (comme si mostra) è .R. di .75., quasi poco meno di .8 2/3., che, multiplicato per la mitá del .bc. over la mitá di .8 2/3., multiplicato per .bc., haremo poco meno di .43 1/3. e poco meno di .43. braccia .1/3. sia quadro il detto triangolo. Over, multiplicando la .R.75. per .5., fanno R.1875., per l’ area del deto triangolo, che la .R. è poco meno di .43 1/3. Ancora sia un triangolo oxigonio avente .2. facie iguali e l’ altra non iguale che sia

.def. e il lato .de., il lato .df., ciascun sia .10. e il lato .ef. sia .12.; voglio trovare il catetto cadente sopra la basa .ef., che sia .dg. Dico adunque che l’ area del triangolo. def. s’ á della multiplicatione del catetto .dg. nela mitá dela basa .ef. Imperoché, quando si multiplica il catetto per la mitá dela basa, el constituirá uno quadrilatero rettiangulo fatto dal chateto .dg. e dala mitá dela basa: cioé dal .gf., che chiara- mente appare. Menise la linea .dh. iguale e equedistante ala linea .gf., che è iguale ala linea .ge. e com- pise la retta .fh., che sará iguale al catetto .dg. per la .34a. del primo. Dove il quadrilatero .dgfh. sará iguale al triangolo .def. Imperoché ’l triangolo .dfh. è iguale al triangolo .deg. Imperoché lo lato .df. è iguale alo lato .de. (ex ypotesi), perché ciascuno è posto .10. braccia. E lo lato .dg. iguale alo lato .hf. E lo lato .eg. è iquale alo lato .gf. E il quadrilatero .dgfh. è fatto dela multiplicatio- ne del catetto nella mitá dela basa che si doveva mostrare. Lo catetto .dg. (comme sia mostro) è .8., dove l’ area del detto triangolo è .48.bracia quadre.

Ancora sia uno triangolo oxigonio diversilatero .abc., del quale il lato .ab. sia .13. e .bc.14. e .ac.15.braccia, del quale il catetto sia in sulla facia dele .14.bracia, cioé in la facia .bc. el quale catetto sia .ad. Dico che l’ area del detto triangolo s’ á di multiplicare la mitá del detto catetto .ad. per tutta la basa .bc. overo di multiplicare la mitá dela basa .bc. per lo catetto .ad., che chiaro il dimostaró. Faremo nel detto triangolo uno quadrilatero rettango- lo avente, in lunghezza, la quantitá dela basa .bc. e, per larghezza, la mitá del chatetto. Dove si di- mostará con veritá el detto quadrilatero essere iguale al detto triangolo. Dividase il catetto .ad. in due parti iguali sopra il punto .e. e, per lo detto punto, passerá la linea .fg., dove aremo .fb. e. gc. iguali e equedistanti ala linea .ed. E la linea .fg. sia iguali e equedistante ala linea overo ala basa .bc. Dove il triangolo .abc. è diviso in .2. triangoli: l’ uno .abd. e l’ altro .adc. Dove si proverá il triango- lo .abd. essere iguale al quadrilatero .fedb. in questo modo. Tragasi da ciascuna parte la figura di .4. la- ti, cioé .hedb., rimarrá il triangolo .bfh. dall’ una parte e dall’ altra il triangolo .aeh., li quali dimo- staró che sonno iguali in questo modo. Lo lato .he. è iguale alo lato .fh. per la .39a. del primo. Imperoché’ l lato .ad. del triangolo .adb. è diviso per la linea .ef. in .2. parti iguali e quella linea .ef. è equestistante al- la linea .bd. per la .2a. del .6o. e peró la linea .ab. è segata per lo mezzo nel punto .f. dalla linea .fe. E peró .ha. è iguali al .hb. E ’l lato .fb. è iguale al lato .ae., dove lo lato .fh. è iguale al lato .he. Imperoché l’ angolo .e. è iguale al’ angolo .f., perché ciascuno è retto. Dove tanto rimane a trare il quadrato del lato .bf. del quadrato del lato .bh. quanto rimane a trare el quadrato dello lato .ae. del quadra- to del lato .ah. E il quadrato del lato .he. overo .fh. è quello che rimane per la .46a. del po. Adunque è provato e lati del triangolo .ahe. essere iguali alli lati del triangolo .bfh. E peró tut- to el triangolo è iguale a tutto il triangolo. E peró el quadrilatero .fedb. è iguale al triangolo .abd. E, per simil modo, el triangolo .adc. è iguale al quadrilatero .edcg., ch’ era bisogno mostrare. Adunque l’ area del triangolo detto s’ á di multiplicare la mitá del .ad., che comme mostaró è .6., via tutta .bc., che è .14., che fanno .84. per l’ area detta. Imperoché ’l quadrilatero .fbcg. è igua- le al detto triangolo .abc. e questo chiaro apare per la detta figura. Ancora, per quelle cose che si dissano nel triangolo ortogonio, si prova lo trian- golo .adb. essere iguale a quello ch’ é fatto della mitá del .ad. in .bd. e, similmente, l’ area del triangolo .adc. venire dela mitá del .ad. in .dc. E perché li .2. triangoli or- togonij, cioé .abd. e .adc., insiemi gionti, sono iguali al triangolo .abc., segue il gran triangolo .abc. essere iguale al quadrilatero rettangolo fatto del .bc. e dela mitá del .ad., che é quello che habiamo detto.

Se l’ area vuoi del triangolo ampligonio el quale è di .2. facie iguali overo di .3. facie non iguali. Comme sia il triangolo .abc. e l’ angolo .a. sia obtuso e il lato .ab. e .ac. sienno iguali infra lloro. Dico che, se il catetto si menerá dal’ angolo .a. in sulla facia .bc. e sia .ad., che l’ area del detto triangolo si truova dela multiplicatione dela mi- tá del .ad. in tutta .bc. overo dela multiplicatione dela mitá del .bc. in tutta .ad. E questo chia- ro apare per le cose dette. Imperoché ’l triangolo .abc. è diviso in .2. triangoli ortogonij, cioé .adb. e .adc. e l’ area del triangolo .adb. s’ á dela multiplicatione del .bd. nela mitá del .ad. E, simile, il trian- golo .adc., se ne truova l’ area nel multiplicare la mitá del .ad. in .dc. E peró, a multiplicare tutta .bc. nela mitá del .ad. haremo l’ area del gran triangolo .abc. che si conveniva. E, con numeri, sia .ab.12. e il .bc. sia .26. e o .ad.5. che, multiplicato .bc. nela mitá del .ad., cioé .26. in .2 1/2., overo .ad. nela mitá del .bc., haremo .65. per l’ area di detto triangolo. E similmente, quando il triangolo ampligonio fusse diversilatero. Commo sia el triangolo ampligono .abg., del quale l’ angolo .b. sia obtuso: e sia .ab.13. bracie e .bg. sia .4. e il .ga. sia .15. Dico che, dal’ angolo .b. mosso il catetto .bd. che, per quello che s’ é

detto, l’ area del detto triangolo haversi dela multiplicatione del .ga. in la mitá del .bd. overo dela multiplicatione del .bd. nela mitá del .ag., che si manifesta per quello che habiamo detto. E peró non è da replicare. E con numeri sia .bd.3 1/5. che, multiplicato .3 1/5. via .7 1/2., fanno .24. per l’ area del detto triangolo. Overo, multiplicato la mitá de .3 1/5., cioé .1 3/5. via .15., fanno ancora el .24., comme se disse. Ma, se dal’ angolo .a. overo dal’ angolo .g. vorrai menare il catetto sopra quel trian- golo, non cadrá dentro ma cadrá fuor del triangolo comme dimostrammo. Onde menise dal’ angolo .a. il catetto .ad. E continuise .gb. con .d. e haremo .gbd. Dico che l’ area del detto triangolo .abg. s’ á del multiplicare .ad. nela mitá del .gb. overo del .gb. nela mitá del .ad., che si conviene dimostrare. Lo triangolo .adg. è ortogonio e l’ angolo .d. è retto. Adunca l’ area di quello s’ á de multiplicare .ad. nela mitá del .gd. E il triangolo .agd. è diviso in .2. triangoli .adb. e .abg. Dove il triangolo .agd. avanza al triangolo .abg. l’ area del triangolo .adb. E l’ area del triangolo .adb. s’ á del multiplicare .ad. in mitá del .bd. Onde, se trarremo la mitá del .bd. dela mitá del .dg., rimarrá la mitá del .gb. Adunca l’ area del triango- lo .abg. s’ á del multiplicare .ad. nela mitá del .gb., che se doveva mostrare. E per numeri sia .cd.12. che, multiplicato per la mitá del .gb., fanno .24. Overo, mulplicato .gb. per la mitá di .12., hare- mo ancora .24. per la detta area, che è il proposito.

E accioché perfetta dottrina in questo libro sia a misurare e triangoli, è da mostrare comme ciascuno triangolo, senza investigatione del catetto, si possa misurare. Li lati de ciascun triangolo agiongni insiemi: e di quel togli la mitá, del qual trae per ordine e lati del triangolo e multiplica l’ avanzo del’ un lato per l’ altro avanzo del’ altro lato e la somma per l’ avanzo del’ altro lato multiplica. E tutto multiplicarai per la mitá de’ .3. lati. E dela somma truova la radici, la qual radici sia l’ area del detto triangolo. Verbi gratia, agionti insiemi li lati del triangolo .abg., del quel il lato .ab. è .15. braccia e .bg. 14. e .ag. è .13. che, in uno agionti, fanno .42., del qual la mitá è .21., dal qual il maggior lato è distante .6. braccia e l’ altro .7. e l’ altro .8. braccia. Dove multiplicarai .6. per .7. e tutto per .8., fanno .336. E questo multiplica per .21., cioé per la mitá de’ lati, fanno .7056. La cui radici è .84. per l’ area del detto tri- angolo, comme giá di sopra mostrammo. E questo basti quanto al presente capitolo: e seguen- do del’ ultimo capitolo di questa distintione diremo.

Qualiter inveniantur catheti. siue perpendiculares. cuiuscunque trianguli. capitulun. octavum. Havendo mostro comme l’ area di ciascuno triangolo si truova per la multiplicatione dela mitá del catetto per tutta la basa: over la mitá dela basa per tutto il catetto, è ra- gionevole cosa de dimostrare comme tale catetto si truova. Detto adunca habia- mo che tutti i triangoli o e sonno di .3. lati iguali overo di .2. lati iguali. e uno non iguale overo di .3. lati non iguali. El catetto che si muove da ciascuno angolo del triangolo di .3. lati iguali sempre cade in sul ponto del mezzo lato oposto a quello angolo. Comme sia il triangolo .abc. che ciascuno lato sia .10.bracia. Dico che ’l catetto che si muove dal’ angolo .a. ca- de nel ponto del mezzo lato .bc. el quale è il ponto .d. e che questo sia vero. Ponga l’ aversario che caggia in sul ponto .f. e non sia .f. nel mezzo dela linea, ma sia meno .bf. che .cf. Dove, a tro- vare quanto sia .fa. (secondo la .46a. del primo d’ Euclide), tu trarai el quadrato del .bf. del quadra- to del .ab. overo el quadrato del .fc., del quadrato .ac. E tanto debia essere l’ uno rimanente quan- to l’ altro. E questo non puó essere, imperoché meno rimane a trare il quadrato .fc. del qua- drato .ac. che non rimane a trare el quadrato .fb. del quadrato .ba. E peró, di necessitá, il pon- to dove cade il catetto è in sul mezzo lato .bc., cioé in sul ponto .d. Adunca .bd. è .5.bracia. Dove, a trovare quanto è .ad., trarai el quadrato .bd. overo .dc. del quadrato .ba. overo del quadra- to .ac. e quello rimane è il quadrato del .ad. Adunca trarai .25. di .100., riman .75. e dirai che’ l quadrato del .ad. sia .75. E peró il catetto .ad. è radici di .75. che è circa .8 2/3. E questo volemo di- mostrare.

Se ’l triangolo è di .2. lati iguali e l’ altro non iguale. Comme sia il triangolo .dfe., del quale il lato .de. e .df. sia ciascuno .10.bracia. e il lato .ef. sia .12. E noi volessimo me- nare il catetto dal ponto .d. in sula faccia .ef., dico il ponto dove cade detto catet- to essere aponto nel mezzo della linea .ef. che, per lo modo dela passata, si pruova, el qual pon- to è il ponto .g. E, se el ponto .g. è nel mezzo dela linea .ef. e tu voglia la perpendiculare .dg., trai el quadrato dela linea .eg. del quadrato dela linea .ed. overo trai el quadrato dela linea .gf. del quadrato dela linea .fd. E quello che rimane è il quadrato dela perpendiculare .dg., cioé trarai .36. di .100., che rimane .64., la cui radici è la linea .dg., che è .8. et cetera.

E se ’l triangolo è di diversilatero con gli angoli. Comme sia il triangolo .abc., del quale il lato .ab. sia .13.bracia. E lo lato .bc. sia .14. el lato .ca. sia .15. E vogliasi sape- re quanto è la perpendiculare che si muova dal ponto .a. e caggia in sula linea .bc. Questo tale catetto non si puó havere se non s’ á prima il ponto dove tale chatet- to caggia. Cioé quel ponto quanto el caggia presso al’ angolo .b. e quanto caggia presso al’ an- golo .c. Imperoch’ el nel ponto di mezzo non cade: provando per la .46a. del primo di Euclide. Ma dove caggia, cioé dove sia tale ponto, per .3. modi lo dimostraró. El primo modo è che agionga la potentia d’ uno lato con la potentia dela basa. Cioé con la potentia di quello lato dove tale ponto debba essere. E di quella summa si traga la potentia del’ altro lato. E quel che rimane parti per lo doppio dela basa overo la mitá di quel che rimane parti per la basa e quel che ne viene sia la distantia che è dal’ angolo fatto dal lato che la sua potentia, cioé il suo quadrato, s’ agionse al quadrato dela basa, fino al detto cadimento, cioé al ponto dove tale catetto cade. Comme nello exemplo del dato triangolo agiongnerai la potentia del lato .ab. con la potentia del lato .bc., cioé .169. con .196., fanno .365. Dela qual summa tra’ la potentia del lato .ac. cioé .225., rimane .140. Dove dividerai .140. per lo doppio dela basa, cioé per .28. overo la mitá de .140. dividerai per .14. che ne viene .5., che sono la distantia che è dal’ angolo .b. al cadimento del detto catetto, cioé infino al ponto .d. E, dal ponto .d. infino al’ altro angolo, sia l’ avanzo infino in .14. braccia, che sia .9.bracia. Overo per l’ altro modo, cioé agion- gnendo la potentia del lato .ac. con la potentia dela basa .bc., cioé .225. con .196., fanno .421., di quali tra’ la potentia del lato .ab., cioé .169., rimane .252. e questo parti per lo doppio dela basa, vienne .9. E .9.bracia. è dal’ angolo .c. infino al ponto .d. El qual ponto .d. lo diciamo cadimento di detto catetto. Lo secondo modo è che agionga le bracia degli lati dal lato dala basa do- ve tal catetto cade: che in questa agiongnerai lo lato .ac. con lo lato .ba., fanno .28. Li quali sempre per .2. dividi, vienne .14., li quali multiplica per la diferentia che è da uno di detti lati a- la ditta mitá overo avenimento. La quale differentia in questa è .uno., fanno .14., li quali divi- di per la mitá dela basa, cioé per .7., vienne .2., li quali agiongni ala mitá dela basa: fanno .9. El qual .9. è la distantia dal’ angolo del maggiore lato infino al cadimento di detto catetto, cioé dal’ angolo .c. al ponto .d. Overo el .2. che ne viene tra’ dela mitá dela basa e rimane .5. e tan- to é dal’ angolo dela minore ypotemissa overo del minor lato infino al detto ponto: cioé da- l’ angolo .b. infino al ponto .d. L’ altro modo è che traga la potentia dela minore ypotemissa dela potentia dela maggiore: cioé in questa .169. di .225., rimane .56. e l’ avanzo, che è .56., parti per la basa, che ne viene .4., li quali agiongni ala basa, sonno .18. De’ quali la mitá è .9. per la distantia del .c. al .d. Overo il detto .4. trarai dela basa, rimangono .10., de’ quali la mitá è .5. per la distantia del .b. al .d., comme abiamo detto. Onde, adunca, se vorrai la perpendiculare .ad., trarai la potentia del minore cadimento, cioé .25. dela potentia dela ypotemissa .ab., rima- ne .144. per la potentia dela detta perpendiculare. Adunca la perpendiculare é la radici di .144. che è .12. Overo la potentia del maggior cadimento trae dela potentia dela maggiore ypotemissa, cioé .81. de .225., rimane .144. per la pontetia delo catetto .ad., che è .12. il detto catetto. Mostrasi nel secondo de Euclide per .12am.13am. onde prociede il modo dela pri- ma inventione del cadimento del catetto nel triangolo predetto. E noi mostra- remo onde prociede il modo dato, nel secondo e terzo modo, con figure geo- metriche.. Scrivasi ancora el triangolo .abc. e menisi in quello il catetto .ad. E, per gli ponti .b. e .c., a retti angoli, si meni la retta .be. e .cf. E sia la retta .eb. iguali ala retta .ca., cioé sia .15.bracia. E la retta .fc. sia iguali ala retta .ab., cioé sia .13.bracia. E faciase .fe.fd.ed. E divi- dasi la retta .ef. in .2. parti iguali sopra il ponto .g. E, dal ponto .g., si meni la retta .gh. equedi- stante ala linea .cf. e .be. E dal ponto .f. si meni la retta .fik. equedistante ala linea .bc. Ancora, dal ponto .g., si meni la retta .gl. equedistante e iguali ala retta .ki. E, perché e triangoli .adc. e .adb. sonno ortogonij, imperoché gli hano uno angolo retto per ciascuno: cioé l’ angolo .d., la potentia delo lato .ac. è iguale a .2. potentie, cioé ala potentia dela linea .ad. e dela linea. .dc. E la potentia dela linea .ab. è iguale a .2. potentie, cioé ala potentia dela linea .ad. e dela li- nea .db. Dove, se comunamente si trae la potentia dela linea .ad., potrá la potentia de maggior cadimento .dc. piú che la potentia del minore .bd. quanto puol la potentia dela linea .ac. piú che la potentia .ab. Adunque la potentia dela linea .ab. e dela linea .dc. è quanto la potentia

dela linea .ac. e dela linea .bd. Ma la retta .fc. è iguale ala retta .ab. E la retta .eb. è iguale a- la retta .ac. Onde la potentia dele linee .fc. e .cd. sonno iguali ale potentie dele linee .ab. e .dc. E la potentia dela linea .fd. è iguali ale .2. potentie, cioé del .fc. e .cd., perché l’ angolo .c. è retto. Adunque la potentia dela linea .fd. è iguale ale .2. potentie .ab. e .dc. E, per simil modo, la po- tentia dela linea .ed. è iguali a .2. potentie .ac. e .bd. Per la qual cosa .ed. e .df. sonno infra lo- ro iguali. Adunque il triangolo .fde. á .2. facie iguali. E, perché la basa .ef. é divisa in .2. parti iguali sopra il ponto .g., la linea .dg. è certamente catetto sopra la linea .fe. Onde l’ angolo .egd. è retto e l’ angolo .fgd. è ancora retto. Ancora, perché la retta .gh. è equedistante ala retta .fc. e cade sopra la retta .cb., gli angoli adunque .fch. e .ghc. sonno iguali a .2. retti. Ma l’ angolo .fch. è retto. Onde l’ angolo .ghc. è ancora retto. E l’ angolo .ghd. è retto, perché è di fuori; catetto è adunque la linea .gh. sopra la retta .bc. E il quadrilatero .kbcf. è paralel- lo di retti angoli. Dove i lati oposti sonno iguali. Iguali è adunque la retta .fk. alla retta .bc. E la retta .kb. ala retta .cf. Adunque .bk. è .13. e .ke. è .2. Imperoché la retta .kb. è iguali a- la retta .ih. E il paralello di retti angoli .kbhi. E il paralello .ihcf. ancora di retti angoli. Onde la retta .ih. è iguali ala retta .ba. che è ancora .13. Ancora, perché nelle equedistanti .eb. e .gh. la retta .ef. passa, sará l’ angolo .fgi. di fuora iguale al’ angolo .gel. dentro. E l’ ango- lo .fig. è iguale al’ angolo .gle., imperoché sonno in infra due linee equedistanti e ciascuno è retto. E l’ angolo .gfi. è iguale al’ angolo .egl. E la retta .fg. è iguali alla retta .ge. Onde gli al- tri lati sonno igual agli altri lati. E peró il lato .gi. è iguali al lato .el. E il lato .fi. è igual al lato .gl. Ma la retta .gl. è iguale ala retta .ik., perché il paralello rettangolo è di lati equedi- stanti. Cioé il paralello .lkig. Adunque la retta .fi. è iguali ala retta .ik. E tutta .ch. è igua- le ala linea .hb. Adunque è divisa la basa in .2. iguali parti sopra il ponto .h. Onde .ch. è .7.

Ancora, perché il paralello .lkig. è rettangolo, iguali è la retta .lk. ala retta .ig. Ma la retta .ig. è mostro che è iguali ala retta .le. Onde è iguali al .kl. E tutta .ke. è .2. Adunque ciasca- na dele linee .kl.le.ig. è uno bracio. Dove tutta .hg. è .14.bracia. Ancora, perché retto è l’ an- golo .dgf., e .2. angoli che sonno .dgh. e .hgf. sonno iguali a uno retto. Ancora, perché il tri- angolo .gif. è rettangolo, che l’ angolo .i. è retto, gli altri .2. angoli, che sonno .igf. e .ifg., son- no iguali a uno retto. Adunque gli angoli .dgh. e .hgf. sonno iguali agli angoli .hgf. e .gfi. Onde, se comunamente si trae di ciascuno l’ angolo .hgf., rimarrá l’ angolo .dgh. iguali al’ an- golo .gfi. E l’ angolo .gif. al’ angolo .ghd. E l’ altro angolo .igf. al’ altro .hdg. Simile é a- dunque il triangolo .fig. al triangolo .ghd., onde è comme .fi. al .gi., cioé comme .7. a .1. co- sí .gh., cioé .14., al .hd. Onde la multiplicatione del .gi. in .gh., divisa per .fi. fa .hd. E questo è quando facemo che agiongnemo .ab. collo lato .ac., cioé .fc. con .be. e havemo .28., de’ quali la mitá è .14., cioé la retta .gh. La qual multiplicamo per .ig., che è quello nel quale la retta .gh. avanza la retta .fc., cioé .el. over .gi. E .gi. è quello che la retta .ac., cioé .eb., avanza la linea .gh. Dela qual multiplicatione havemo .14., la qual dividemo per la mitá dela basa, cioé per .ch., cioé per .fi. che è .7. e haremo .2. per la quantitá .hd., la quale agiongneremo ala mitá dela ba- sa, cioé al .ch. e haremo .9. per lo .cd., che è il maggiore cadimento, over traremo .hd. del .hb., cioé .2. di .7., rimarano .5. per lo minor cadimento .db., ch’ era di bisognio se dimostrasse et cetera. Ancora mostraremo la figura necessaria al terzo modo, cioé la dimostratione del trovare el cadimento per lo terzo modo. Faciasi ancora el detto triangolo e meni- se adunque sopra la basa .bc. el catetto .ad. e, perché maggiore è il lato .ac. che .ab., maggiore è il cadimento .dc. che .db. Onde del .dc. si tolga .dg. che sia iguali a- la retta .db. e sará la retta .bg. divisa in .2. parti iguali sopra il ponto .d. ala quale, per lo dritto, s’ agiongne la retta .gc., onde la multiplicatione del .gc. in .bc., col quadrato dela linea .bd., è iguali al quadrato dela linea .cd.ex. 6a. secundi. Adunque el quadrato dela linea .dc. avan- za el quadrato dela linea .db., cioé el quadrato del maggior cadimento, nela quantitá dela multiplicatione dela linea .gc. nela linea .bc. Ma disopra è mostro, nel’ altra figura, che l’ a- vanzo del quadrato del cadimento .dc. al quadrato del cadimento .db. è comme la soprabun- dantia del quadrato delo lato .ac. al quadrato del lato .ab. e comme la multiplicatione del .gc. nel .bc. Ma il quadrato del .ac. è .225., che avanza il quadrato del .ab., cioé .169., in .56.; on- de la multlplicatione del .gc. in .bc. è .56. Dove, se ’l .bc. è .14., sará .gc.4., che tratto il detto .4. dela basa, cioé di .14., rimangono .10. per lo .bg. De’ quali la mitá è .5. che è il minore cadimen- to, ch’ era bisogno dimostrare.

Havendo mostro in che modo el catetto di ciascuno triangolo si truova, mi pare di necessitá dimostrare la cagione e il perché, nel trovare l’ area de’ triangoli per lo secondo modo dato, li lati s’ agiongono insiemi e dela somma se ne pigli la mitá e aoperare comme nel capitolo passato mostrammo. E a questa indurremo una figura triangulare .abg. Ove dividerai l’ angolo .b. e l’ angolo .g. in .2. parti iguali dale rette .bt. e .tg. E dal ponto .t. si meni li catetti .te.th.tz. E compisi .at. E, perché l’ angolo .thg. e .tzg. è retto, iguale é l’ angolo .thg. al’ angolo .tzg. E l’ angolo .tgh. è iquali al’ angolo .tgz. Perché po- nemmo l’ angolo .g. esser diviso in .2. parti iguali dala linea .gt. Onde seguita l’ angolo .gtz. esse- re iguali al’ angolo .gth. Adunque il triangolo .ztg. è iguali al triangolo .htg. E, perché il la- to .gt. è comune, gli altri lati del’ uno fienno iguali agli altri lati dell’ altro, cioé il lato .th. al lato .tz. E il lato .hg. al lato .gz. Similmente si mostra la retta .hb. ala retta .be. essere iguali e il triangolo .thb. essere iguali al triangolo .teb. E, perché l’ una e l’ altra dele rette .te. e .tz. sonno iguali ala retta .th. fienno infra loro iguali. Onde iguale è la retta .te. ala retta .tz. E, per comu- ne è la retta .ta. E peró .te. e .ta. sonno iguali al .tz. e .ta. E l’ angolo .aet. al’ angolo .azt. è iguale e il lato .at. è comun. Onde equilatero e equiangolo é il triangolo .aet. al triangolo. azt. E peró il lato .az. è iguali al lato .ae. E, perché e gli é iguali la retta .az. ala retta .ae., se s’ agiongni a ogni parte la retta .eb., sará la retta .ab. iguali a .2. rette, cioé .az. e .eb., cioé al .az. e .bh. Ancora, perché la retta .zg. è iguali ala retta .gh., saranno le .2. rette .ag.hb. iguali a .2. rette .ab. e .gh. Im- peroché .ab. é quanto .az. e .bh. e il .hz. è quanto .gh. E peró, agiongnendo al .ab. il .gh., ha- remo .ab. e .gh. iguali al .ag. e .hb., comme dicemmo. Adunque .ag. e .hb. sonno la mitá de’ detti lati de’ triangoli posto. Onde .eb. è quello che la mitá de’ detti lati avanza el lato .ag. E, simil- mente, .ae. è quello che la mitá de’ detti lati avanza al lato .bg. E il .gz. è quello che la mitá de’ detti lati avanza el lato .ab. Onde la retta .ab. e .hg. sonno la mitá de’ lati del triangolo .abg. e sonno le .3. differentie. E ancora .ag. e .hb. sonno la mitá de’ .3. lati di detto triangolo. Meni- se adunque la retta .ab. e .ag. per lo diritto: ne’ ponti .l. e .m. E sia .bl. iguali ala retta .hg. E il .gm. sia iguale ala retta .hb. Sirá adunque l’ una e l’ altra retta .al. e .am. quanto che la mitá de’ lati del triangolo. E poi si produca .at. nel ponto .k. e faciasi la retta .lk. e .km. E sia l’ angolo .alk. retto. E retto sia ancora .amk. e, perché le .2. rette .al. e .ak. sonno iguali ale .2. rette. ak. e .am. e l’ angolo .lak. è iguali al’ angolo .mak. Onde il lato .lk. è iguali al lato .mk. e gli altri la- ti e angoli sonno infra loro iguali. Seghisi adunque la linea .gb. in .2. parti: una iguali ala li- nea .bl. e sia .bn. e compisi .nk.kg.kb. e, perché .gh. è l’ avanzo dela mitá de’ lati del triangolo .abg., alo lato .ab., iguali é .al.bn., cioé al .bl. Onde .ng. è iguali al .gm., cioé al .hb. Onde e trian- goli .gmk. e .blk. sonno ortogonij e la potentia dela linea .kg. è iguali a .2. potentie di .2. li- nee .gm. e .mk. e la potentia dela linea .bk. è iguale a .2. potentie di .2. linee .kl. e .bl., cioé del .kl. e .bn. Ma la potentia dela linea .lk. è iguali ala potentia .km. Onde quanto la potentia dela linea .kg. soprabunda la potentia dela linea .kb. tanto la potentia .ng. avanza la potentia .nb. Onde la linea .kn. è catetto sopra la linea .bg. che chiaro appare. Imperó, quando si negasse, dirá l’ aversario sia il catetto .ko. E, perché la potentia del .kg. avanza la potentia del .kb., mag- giore adunque .kg. del .kb. E, se ’l .ko. è catteto, avanzerá la potentia del .gk. la potentia del .bk. quanto la potentia del .go. avanza la potentia del .bo. E noi habiamo mostro che la poten- tia del .gk. avanza la potentia del .bk. quello che la potentia del .gn. avanza la potentia del .nb. Adunque .ob. e .nb. fienno iguali e cosí .gn. e .go., che è impossibile. E peró .kn. è catetto e non altro. E ancora .kn. è iguali al .kl. imperoché il .kb. è comune infra .2. triangoli ortogonii .klb. e .knb. e .bn. e .bl. sonno iguali. E peró seguita .kn. e .kl. essere iguali. E, perché gli an- goli .knb. e .klb. sonno retti, rimarranno gli angoli .nbl. e .lkn. iguali a .2. angoli retti. Ma gli angoli .ebn. e .nbl., similmente, sonno iguali a .2. angoli retti, per la .13a. del primo, impero- ché la linea .nb. cade sopra la linea .el. Onde l’ angolo .ebn. è iguali al’ angolo .lkn. E l’ angolo .lkb. è la mitá del’ angolo .lkn., perché la linea .kb. divide e .2. triangoli iguali. Adonca è igua- le l’ angolo .ebt. (che è la mitá del’ angolo .ebh.) al’ angolo .lkb. e l’ angolo .e. è retto, ch’ é iguale al’ angolo .l. retto. Adunque l’ angolo .etb. è iguale al’ angolo .lbk. e ‘l triangolo adunque .kbl. sia simile al triangolo .bte. La proportione adunque del .kl. al .lb. è commo la proportione del .be. al .et. Multiplicato adunque .kl. in .et., fa quanto .lb. in .be. Ma la proportione del tetragono .et. a quello che fa .et. in .kl. è commo la proportione del .et. al .lk. e la proportione del .et. al .lk. è comme .ae. alo .al., per la seconda del sexto. Imperoché .te. e .lk. sonno equedi- stanti. La proportione adunque del .ae. alo .al. è commo la proportione del tetragono .et.

a quello che fa .et. in .kl. E quello che fa .et. in .kl. è iguale al ditto del .eb. in .bl. La proportio- ne adunque del .ae.ab.al. é comme la proportione del tetragono .et. a quello ch’ é fatto del .eb. in .bl. E, multiplicato adunque el tetragono .et. in .al., è comme multiplicato .ae. nel produt- to del .be. in .bl. E la multiplicatione del tetragono .et. nel tetragono .al. è comme la multipli- catione del .ae. nel produtto del .eb. in .bl. e quello che fanno in .al. Ma la multiplicatione del tetragono .et. nel tetragono .al. è comme el tetragono dela superficie del triangolo .abg. com- me dimostraremo. Onde la multiplicatione del .ae., che è la soprabundantia dela mitá de’ la- ti del triangolo .abg. al lato .bg. nello .eb., che è la soprabundantia dela mitá de’ lati del detto triangolo alo lato .ag. e quello che fanno, multiplicato in .bl., che è la soprabundantia dela mi- tá deli lati .agb. del triangolo al lato .ba. E li produtti, multiplicati in .al., cioé nela mitá de’ la- ti del triangolo .abg., fará el tetragono del’ area del triangolo .abg. Ora ci resta a mostrare in che modo, a multiplicare el quadrato del .et. nel quadrato del .al., fa el tetragono, cioé el quadrato del’ area del triangolo .abg. Perché il triangolo .abg. è risoluto in .3. triangoli dal ponto .t., che sonno .atb. e .atg. e i catetti di ciascuno triangolo provammo erano infra loro iguali è sonno .te.tz.th. Adunque, multiplicato .et. nela mitá dela basa .ab., fará l’ area del triangolo .atb. Similmen- te, multiplicato .th., cioé .te., nela mitá del .gb., fará l’ area del triangolo .btg. E ancora, multipli- cato .tz., cioé .te., nela mitá delo .ag., fará l’ area del triangolo .atg. Onde, multiplicato .te. in .al., cioé multiplicato .te. nela mitá de’ lati del triangolo .abg., fará l’ area del triangolo .abg. Onde, multiplicato el quadrato del .et. nel quadrato .al., fará il quadrato del’ area del detto triango- lo. E questo era bisogno mostrare. E, medianti questi .3. modi demostrati, ciascuna sor- ta de triangoli sempre si poterá quadrare. E per numero determinatamente dire loro super- ficie avenga che a le volte non discretamente ma per via de radici. Ma uno altro degno modo ci dá esso Euclide nell’ ultima del .2o., a saperli quadrare con precisione e senza nume- ro quando el dici: “Dato trigono equum quadratum ei describere”. Ove al triangolo, per la .42a. del primo, ci fa fare un pararello rettangolo equale, mediante la inventione de una li- nea media proportionale trovata col semicirculo, sí comme per la .9a. del suo .6o. ci dechiara, commo tu, per te, ivi legendo, potrai intendere, che è una ligiadra conclusione. In modo che, se fossero proposti mille triangoli, subito ci dá verso farne un sol quadrato, trovando a cia- scuno il suo lato tetragonico e quelli componere asiemi mediante la penultima del primo, quam tibi dimito et cetera.

E, se d’ alcuno triangolo e .2. lati fussino solamente noti e volesse per quelli have- re la misura del’ altro lato e ancora l’ area del detto triangolo. Comme sia uno tri- angolo .abg., del qual e lati .ab. e .bg. sienno noti e voi noto il lato .ag. Prima è da considerare se l’ angolo contento dale .2. linee o vogliammo dire da’ noti lati .ab. e .bg. sia retto: overo minore che ’l retto overo maggiore che ’l retto. Sia primo retto. Ove la retta .ab. è catetto sopra la retta .bg. e, multiplicato adunque .ab. in .bg., ne pervie- ne .2. cotanti del’ area del triangolo .abg. E, se agiongniamo insiemi e quadrati dele linee .ab. e .bg. note, ne perverrá el quadrato dela linea .ag. Del quale quadrato la radicie è la linea .ag.

Ma, se l’ angolo .abg. è minore che ’l retto, alora piglia nela linea .ab. un ponto che sia .d., dal qual sopra la linea bg. si meni uno catteto che sia .de. E, se lla proportio- ne del .be. al .bg. è iguali ala proportione del .bd. al .ba., l’ angolo .g. è retto, per- ché la linea .de. è equedistante ala linea .ag., per la .2a. del .6o. Onde se ’l quadrato del lato .bg. si togli del quadrato del lato .ab., rimarrá el quadrato delo lato .ag. Overo, perché .de. è eque- distante al .ag., sará cosí .bd. al .ba., come .de. al .ag. Onde, se multiplicheremo il lato .ba. in .ed. e divideremo la somma per .db., verranne .ag. Verbi gratia: sia .ab.20. e .bg. sia .12. E sia l’ angolo .agb. retto e la linea .bd. sia .5. e .de. sia .4., sará .eb.3. Sará adunque cosí .bd. al .ba., cioé .5. a .20., cosí .3. al .12., cioé .be. al .bg. Onde la retta .de. è equedistante alla retta .ag. E pe- ró l’ angolo .agb. è retto, imperoché retto è l’ angolo .deb. Onde, se ’l quadrato delo lato .bg. si trae del quadrato del lato .ba., rimarrá il quadrato delo lato .ag., cioé trahendo del .400. el .144., rimarram .256., la cui radici è .16., per lo lato .ag. Overo, se multiplicaremo .ba. in .ed., cioé .20. per .4., e partiremo per .db., cioé per .5., verranne .16. per lo detto lato del quale la mi- tá, cioé .8., multiplicato per .12., fanno .96. per l’ area del triangolo .agb. E, se la proportione del .be. al .bg. sará in minore proportione che ’l .bd. al .ba., comme si dimostra nel’ altro triangolo .agb., alora l’ angolo .agb. è minore che ’l retto.

Onde oxigonio sará il triangolo .abg. E dal ponto .a. caggia il catetto .af. in sula basa .bg. e acioché habiamo .fb., cioé il cadimento di detto catetto dala parte del .b., dirai cosí essere il .bd. al .ba., cosí .be. al .bf. E, perché .af. è catetto sopra .bg. e diciamo con numeri. sia .ab. .20. e .bg. sia .17. e .fb. sia .12. e .bd. sia .5. e .de.4. e .eb.3., sará per quello che habiamo detto, .af. .16. El cui quadrato è .256. Agionto al quadrato .fg., cioé con .25., fanno .281., la cui radici é il la- to .ag. Dico che .fg. è .5., perché .bf. fu fatto .12. E, se multiplicarai la mitá del .af., cioé .8., per la basa, cioé per .17., fanno .136. per l’ area del detto triangolo. E, se la proportione del .be. al .bg. sará in maggiore proportione che ’l .bd. al .ba., sará l’ angolo .abg. maggiore che ’l retto. Onde il catetto dal ponto .a. cade fuori del triangolo .abg. E sia il catetto .ah. e menise .bg. infino al .h., sará .be. alo .bh. comme .bd. al .ba. E con numeri, sia .ab.20. E .bg. sia .7. E .bd.5. E .de.4. E .eb. .3. Dove .bh. sará .12., che lo troverai se la multiplicazione del .be. in .ba. dividerai per .db., imperoché gli é .be. al .bh. comme .bd. al .ba. E sia ancora .ed. al .ah. comme .bd. al .ba. Onde, divisa multiplicazi- one del .de. in .ba. per .db., ne perverrá il catetto .16., cioé .ah. E, se del .bh., cioé di .12., si togli .bg., cioé .7., rimarrá .5. per lo cadimento, cioé .gh. Del quale el quadrato, se s’ agiongni al quadrato .ah., cioé a .256., fanno .281. per lo quadrato dela linea .ag. Onde il lato .ag. è radici di .281. e, multiplica- to la mitá del .ah. in .gb., ne perviene .56. per l’ area del triangolo .abg. E, se solamente uno lato del triangolo si pone noto: e vorrai per quello gli altri lati del triangolo e l’ area havere. Comme del triangolo .dez. Del quale il lato .dz. é noto. Torró nela retta .dz. una parte che sia .az. E, dal ponto .a. sopra la retta .ez., meneró la linea .ab. equedistante ala linea .de. E misureró .ab. e .bz. acio- ché sia manifesto al lato del triangolo .abz. E, perché la retta .ab. è equedistante ala retta .de. proportionalmente é comme .za. al .zd. cosí la retta .zb. ala retta .ze. e ancora .ab. al .de. Ma la proportione del .za. al .zd. è nota. Onde e lati .de.ze. saranno noti. Verbi gratia. Sia il lato .dz.18. e .az. sia .6. e .ab. sia .7. e .bz. sia .5. Dove .dz. é al .az.3. cotanti. Onde .de. é .3. cotanti delo .ab. e lo .ez. del .zb. é similmente .3. cotanti. Onde il lato .de. è .21. ez. é .15. e quan- do e lati del triangolo sonno noti fienno note l’ area di detti triangoli. Adunque l’ area del triangolo .dez. sará nota. comme pigliando l’ area del triangolo .azb., che è la radici di .216.

E, perché simile è il triangolo .dez. al triangolo .abz., sará l’ area del triangolo .dez. al’ area del triangolo .abz. comme il quadrato delo lato .zd. al quadrato delo lato .za. Comme nela .17a. del sexto de Euclide è manifesto. E, perché la proportione del .dz. al .az. è .3. cotanti, se multiplichi la radici di .216. per .9., harai l’ area del triangolo dato, cioé la radici di .17496., che é apresso a .132 1/4. E cosí usa in simili.

Ancora daremo modo di misurare e triangoli secondo uno uso vulgare, el quale debbe usare quel che misura el terreno, in questo modo. Stia il misuratore in sul- l’ angolo maggiore del detto triangolo. E con l’ ochio guardi dove il catetto che si muove da quello angolo debba cadere. E, non sapendo discernere coll’ ochio, habia uno filo de spago o di corda. E l’ uno capo fichi in sul angolo detto e l’ altro filo disten- da infino in sula facia dove tale catetto debba cadere e meni quel filo intorno infino a tan- to che tochi quella facia colla men corda che pó. E quel sia il cadimento del catetto. Ove- ro prostenda quel spago o corda in modo che tochi in .2. luoghi quella facia e quello spatio, che è infra ’ due ponti del tocamento, divida in .2. parti iguali e nel ponto delle due parti, s ‘á il cadimento del catetto. E alora, colla misura nota, misuri quel catetto. E, misurato anco- ra la facia dove tale catetto cade, multiplichi lo catetto per la mitá di detta facia overo la mi- tá di detto catetto per tuta la facia. E harai l’ area di detto triangolo. E, acioché questo chia- ro apaia, sia il triangolo .abc. avente il lato .bc. maggiore che gli altri, cioé maggiore che l’ .ab. e’ l .bc. Onde dal’ angolo .a. é da menare il catetto sopra il lato .bc. e, se ’l lato .ab. è iguale al lato .ac., cadrá il catetto nel mezzo del lato .bc. E, se sará minore, cadrá inverso il .b. E, se sará maggiore, cadrá inverso il .c. Onde stará il misuratore sopra il ponto .a. e considererá ove dal detto ponto .a. el catetto debba cadere sopra linea .bc. La qual cosa fatto ficchi lo filo in sul ponto .a. e istendilo sopra la linea .bc. E terala con mano sopra il ponto .d., cioé un poco fuo- ri del triangolo. E menala inverso il .c., infino a tanto che ’l ponto .d. tocchi la linea .bc. E sia il loro contatto il ponto .e., dove lo filo .ae. sia quel medesimo che ’l filo .ad. Dipoi mena il fi- lo in verso il .b. infino a tanto che ’l ponto .d. tocchi la linea .bc. che sia il ponto .f., cioé che ’l filo .af. sia quel medesimo che ’l filo .ad. E dividasi la linea .ef. in .2. parti sopra il ponto .h. E dal

ponto .a. al ponto .h. menerai la linea .ah., che dico essere catetto sopra la linea .bc., impero- ché è iguali la linea .af. ala linea .ae. E iguale è .fh. al .he. E peró misurerai il catetto .ah. e an- cora il lato .bc. e multiplica la mitá del catetto per la basa .bc. overo la mitá della basa per tut- to il catetto e harai l’ area del detto triangolo .abc.

E, se ’l dito triangolo fosse tanto grande in modo che ’l filo che gli havesse fosse mi- nore del catetto overo fosse terra vignata o alberata overo piena di biada, in modo che ’l catetto, per lo modo detto, non si potesse havere, alora farai una mi- sura picola, la quale sia .1/20. di braccio o circa. E quanti braccia sonno nella linea .ac. tanti ne togli dela misura piccola che fienno .ak. E quanti bracia sonno nela linea .ab. tanti ne togli della misura picola che sia .al. E faciasi la linea .lk. E truovisi il catetto col fi- lo per lo detto modo nel triangolo .alk. in sul lato .lk. Ove per lo dritto menerai .ai. infi- no al ponto .m. in sul lato .bc. e sia .am. catetto del triangolo .abc. Quando .2. lati d’ uno triangolo sonno noti e a quelli si traga l’ altro lato equedi- stante al terzo lato e le septioni d’ un lato fienno note, alora le septioni del’ altro la- to fienno note e la linea menata sia nota per la .2a. del .6o. de Euclide. Ancora volendo, secondo uno uso vulgare, misurare l’ area d’ uno scudo equilate- ro, multiplicarai uno de’ suoi lati in se medesimo: e di quella somma piglia .13/30. Comme sia il triangolo .abc., che ciascuno suo lato sia .10.bracia. e voglisi l’ area. Multiplicarai .10. in sé, fanno .100. Del qual piglia .13/30., che sonno .43.bracia.1/3. E .43.bracia. è .1/3. non peró aponto, ma piccola cosa manco, imperoché ’l quadrato di .43 1/3. è .1877 7/9. e il triangolo é la su’ area aponto la radici di .1875., che è molto frivola cosa meno di .43 1/3. E peró questo modo poi usare quando in sul terreno fossi overo quando secondo l’ appressa- mento ái a ffare: conciosiacosaché nulla o poco sia distante ala veritá. E peró fo da dimostra al’ algrimensore et cetera.

E questo basti quanto al detto capitolo. E ancora quanto ala prima distintione e dela seconda vederemo. Seconda distinctio.

De modo inveniendi quantitatem unius linee ab uno puncto protracte intra vel ex- tra quencuque triangulum. Capitulum primum .2a.di.

Infino a qui è mostro a trovare l’ area de’ triangoli assai amplamente e ancora, quando una linea si mena equedistante ad alcun lato del triangolo, quanto è la sua longhezza è copiosamente mostro. Ove, in questa, intendo demostrare, quan- do una linea è menata e terminata neli noti termini di doi lati d’ uno triangolo (la quale non sia equedistante al terzo lato), la sua quantitá. E, di questa parte, non si fará al- cuna divisione, ma solo un capitolo e peró starai atento.

Sia un triangolo .abg. e la linea menata sia .ez. E sia .eb. gli .2/3. dela linea .ba. E il ponto .z. sia in mezzo dela linea .bg. E sia .ab.13. e .ag. sia .14. E .bg. sia .15. Ove .be. sia .8 2/3. e .ea. sia .4 1/3. e adimandasi la quantitá del .ez. Menise il catetto .bd. El qua- le giá è mostro essere .12. e .ad., cioé il minore cadimento, sia .5. E il maggiore sia .9., cioé .dg. E dal ponto .c. si meni .ci. ala basa .bg., el quale sia equedistante ala basa .ag. E dal ponto .z. si meni el catetto .zk., che sia equedistante al catetto .bd. E, perché la linea .zk. è eque- distante ala linea .bd. sia cosí .gz. al .gb., cosí .gk. al .gd. Ma .gz. del .gb. è la mitá. Onde .gk. del .gd. è la mitá. E, similmente, .zk. è la mitá del .bd. Adunque .kg. è .4 1/2. e .kd. ancora .4 1/2. e il .zk. è .6. Ancora si meni .ef. equedistante al catetto .bd., sia cosí .ae. al .ab. comme .af. al .ad. e lo .ef. al .bd. E noi sappiamo che .ae. è il .1/3. del .ab. E peró .af. è .1 2/3. E .fd. è .3 1/3. E .fe. è .4., cioé la terza parte del .bd. E, perché le linee .ef. e .tk. sonno equedistanti al catetto .bd., fienno in- fra loro equedistanti per la .30a. del primo. E faciasi .et. e .fk. equedistanti, sará .ef. iguale al .tk. E la linea .et. sia iguale ala linea .fk. Ma .fk. è iguale a .2. linee che sonno .kd. e .fd., cioé .4 1/2. e .3 1/3., dove tutta .kf. è .7 5/6. E peró .te. è .7 5/6. Similmente .tk. è .4., imperoché la è iguale al .ef. Rimane .tz.2. E perché in .2. linee equedistanti .ei. e .ag. v’ é la retta .zk. l’ angolo di fuori .zte. è iguale al’ angolo oposto dentro .zkf., per la .29a. del primo. Ma l’ angolo .zks. è retto, im- peroché gli é retto ancora l’ angolo .zte. ortogonio adonca é lo triangolo .zte. e gli e .2. lati son- no noti, cioé .zt. e .te. che contengono l’ angolo retto. Onde il terzo lato, cioé .ez., sia noto quan- do multiplicarari .zt. in sé e .te. in sé che agionti insiemi haremo .65 13/36, la cui radici è la linea .ez., che è poco meno de .8 1/12. e questo era da mostrare.

Ancora possiamo altramente ala notitia dela linea .zt. e .te. venire, imperoché’ l triangolo .zti. è simile al triangolo .bdg., perché la retta .ti. è equedistante ala li- nea .dg. e il .zt. equedistante al .db. E il lato .zi. alo lato .bg. simile. É adunque cosí .zi. al .bg., cosí .it. al .gd. E il .ct. al .bd. E il .gi. è la terza parte del .gb., perché .ti. è la terza parte del .bd. E il .gz. è la mitá del .gb. Onde .iz. è la sexta parte del .gb., cioé .2 1/2. Onde .zt. è la sexta parte del .db., cioé .2. E .ti. è la sexta parte del .gd., cioé .1 1/2. che, tratto del .ie., che è .9 1/3., rimane .te.7 5/6, comme dicemmo et cetera. A ncora altramente menise .ie. equedistante ala linea .bd. E sia il triangolo .icg. simile al triangolo .bdg. e .zti. É adunque comme .gi. al .gb., cosí .gc. al .gd. E .ic. al .bd., per la .2a. del .6o. E il .gi. è la terza parte del .gb. E il .ge. è la terza par- te del .gd. E .ic. è la terza parte del .bd. Adunque .ig. è .5. E .ge. è .3. E .ic. è .4. E, perché il triangolo .zti. è simile al triangolo .tcg., é comme .zi. al .zg., cosí .ti. al .gk. E cosí comme .zi. è al .ig., cosí .it. è al .cg. Ma .zi. è la mitá del .ig. E peró .it. è la mitá del .gc. E il .zt. è la mitá del .tk., cioé del .ic., ch’ era de bisogno mostrare et cetera. Ma, se le linee .ze. e .ga. fuori del triangolo nel ponto .h. meneremo e vorremo sa- pere la quantitá dele linee .ah. e .eh., multiplicaremo la linea .te. in .ef. e dividere- mo la somma in .zt. e haremo la linea .fh. E questo faremo perché il triangolo .zte. è simile al .efh. E l’ angolo .zte. è iguale al’ angolo .efh., imperoché amendui son- no retti; l’ altro .tze. al’ altro .feh. è iguale. Onde è comme .zt. al .te., cosí .ef. al .fh. Onde la mul- tiplicatione del .te. in .ef., divisa per .zt., fa la linea .fh. overo, per la permutata proportione, é comme il .zt. al .ef., cosí .te. è al .fh. E il .zt. è la mitá del .ef. Onde il .te. sará la mitá del .fh., cioé che ’l .fh. è doppio del .te. Ma .te. è .7 5/6., dove .fh. è .15 2/3., de’ quali tratto .fa., rimane .ah.14. et cetera. Ancora e gli é cosí .zt. al .ef., cosí .ze. al .eh. Onde .eh. é doppio del .ez., imperoché .zt. è la mitá del .ef. Ma, perché .ez. nonn’ é numero ratiocinato, tirremo la proportio- ne neli quadrati loro, cioé è cosí il quadrato dela linea .ze. al quadrato dela linea .ef., comme .4. a .16. E cosí il quadrato dela linea .ze. è al quadrato dela linea .eh. Onde il quadrato dela linea .eh. è .4. cotanti del quadrato .ez. Overo agiongnisi in uno li qua- drati dele linee .ef. e .fh. e haremo li quadrati dela linea .eh.

Ancora altramente menise la linea .hz. fuori del triangolo infino a tanto che si con- giunga colla linea .bl. nel ponto .l. E sia .bl. equedistante ala linea .hg. E, perché ne- le equedistanti .bl. e .hg. é la retta .lh., sará l’ angolo .blh. iguale al’ angolo .ghl., che sono coalterni. E l’ angolo .lbg. al’ angolo .hgb. Ove gli angoli che sonno al .z. sonno infra lo- ro iguali, che sonno contraposti, per la .15a.del .po. Adonca el triangolo .lbz. è simile al triangolo .hgz. E pero è cosí .gz. al .zb., cosí .hg. al .bl. E il .gz. è iguale al .zb. E .hg. è iguale al .bl. Ancora, per ché e sonno simili li triangoli .elb. e il triangolo .eha., sará comme .ae. al .eb., cosí .ah. al .bl. E .ae. è il terzo del .ba. Onde .ae. è il mezzo del .cb. E cosí .ha. sará il mezzo del .bl., cioé del .hg. E cosí .ag. sia la mitá del .hg. E la linea .ag. è .14. E peró .ah. sia similmente .14. E ciascuna dele rette .hg. E .bl. sia .28. Onde, se ’l congiunto dela linea .ze. e .eh. vogliamo havere, perché e gli é cosí .zt. al .ef., cosí .ze. al .eh. ma il .zt. è al .ef. comme la mitá del .zt. ala mitá del .ef., cioé comme .1o. a .2. Faciase adonca una linea .mo. E sia divisa in .mn. e .no. E sia .mn. 1o. e .no.2. E, perché e gli é cosí .mn. al .no., cosí .zt. al .ef. E, per la proportionalitá congiunta, sia cosí .mn. al .mo., cosí .ez. al .zh. Onde sia com- me il quadrato dela linea .mn. al quadrato dela linea .mo., cioé cosí .1o. a .9., cosí el quadrato dela linea .ze. al quadrato dela linea .zb. Onde il quadrato dela linea .zh. sia .9. tanti del quadrato dela li- nea .ze. Onde, se multiplicaremo per .9. lo quadrato dela linea .ze., cioé .65 13/36., haremo .588 1/4., per lo qua- drato dela linea .zh. Ancora altramente, perché el triangolo .zth. è ortogonio, avente l’ angolo .k. retto. Agiongnise li quadrati dele linee .zt. e .th. e haremo il quadrato dela linea .zh. E la linea .hd. è trovata essere .4 1/2. e .da. è .5. e .ha. è .14. Ove tutta .ak. è .23 1/2., el cui quadrato è .552 1/4. E il quadrato de- la linea .zk. è .36. E cosí haremo, per lo quadrato dela linea .zh., 588 1/4. comme dicemmo. Ancora sia uno triangulo .bgd. del quale il lato .bg. sia .13. E il lato .gd. sia .14.

E il lato .bd. sia .15. E menise .dg. infino al ponto .a. E sia .ga.10. E sopra il .gb. si pigli il ponto .z. E sia .zg.5. e rimarrá .zb.8. Adimandasi, se si mena .az. infino ala linea .bd., cioé al ponto .e., e questa sia .ed. e .eb. menise per lo ponto .b., la linea .bi. equidistante ala linea .ad. e faciasi .ai. Saranno e .2. triangoli .bzi. e .azg. infra loro simili. Onde e gli é cosí .ag. al .gz. comme .ib. al .bz. Ma .ag. è doppio al .gz. Onde .bi. sará .16., cioé doppio al .bz. Ancora, perché el triangolo .aed. è simile al triangolo .eib., sia cosí .ad. al .bi. comme .de. al .cb. el lato .ad. a .bi. é comme.

La octava parte del .bi. e l’ ottavo del .ad. è .3. e .2. è la ottava parte del .bi. Adunque cosí è .3. a .2. comme .de. al .eb. E, per la congionta propotionalitá, sará .3. a .5. cosí .de. al .db. Onde .de. è li .3/5. del .db., cioé .9. e .eb. è .6., ch’ era de bisogno mostrare et cetera. Sieno ancora note le parti .bz. e .gz. e .be. e .ed. E sieno in detto modo e il detto triangolo e non si sappia .ag. e .bi. E voglinse investigare. Prima, perché e gli é co- sí .de. al .eb., cioé .3. a .2., cosí .ad. al .bi. Adonca .ad. è una volta e .1/2. il .bi. Ancora, perché e gli é cosí .gz. al .zb., cioé comme .5. è .a.8., cosí .ag. al .bi. Adonque .ag. è li .5/8. del .bi. E tutta .ad. è trovata essere li .12/8. del .bi., imperoché tutta .ad. è una volta e .1/2. el .bi. Donde, tratto .5/8. di .12/8., rimangono .gd.7/8. del .bi. Adunque è comme .7. a .8., cosí .gd. al .bi. Onde, multi- plicato .8. per .14., cioé per .gd., e diviso per .7., overo il .1/7. di .14., multiplicato per .8., vienne .16. per la linea .bi. De’ quali, preso li .5/8., haremo per la linea .ag.10., commo era di bisogno dedure. Ancora sia il medesimo triangolo .abg. e sia .ab.13. e il .bg.14. e .ga.15. E piglise il .d., ponto che non sia nel diritto dela linea .bg. E per lo ponto .d. si meni la linea .de. equedistante ala basa .bg. E sia .de. e .eb. nota, cioé sia .de.3. e .dz. sia .4. e .eb. sia .5. e .ea. sia .8. E piglise nel .ab. il ponto .z. e sia .ze. 1o. e .dz. sia .4. E menise .dz. infino al ponto .i. Adimandase quanto è .ai. e .ig. Compise .at. e .td. E, perché il triangolo .dze. è simile al triangolo .zat. sia cosí .ez. al .za., che sonno note, cioé cosí .1o. a .7., cosí .de. e al .at. E il .de. si pose .3., adunque .at. sia .21. Ancora, perché simili sonno li triangoli .hzb. e .zat. sia cosí .az. al .zb., cosí .at. al .bh., cioé comme .7. a .6., cosí .21. a .18. Adunque .bh. sia .18. E tutta .hg. sia .32. E, perché simili sonno e triangoli .hig. e .iat. é cosí .hg. nota e ’l .ta., cioé .32. a .21., cosí .gi. al .ia. Adunque cosí .gi. al .ia. E cosí .32. a .21. Dove, comme .32. a .53., cosí .gi. al .ga. Do- ve .ga. è .15., adunque .gi. fienno li .32/53. di .15., che sonno .9 3/53. E tanto è .gi. E .ia. sia l’ avanzo infi- no in .15., che sia .5 50/53. ch’ era de bisogno mostrare.

Ancora sia il triangolo .gab. e sia .ga.13.ab.14. e .gb.15. Del quale il catetto .gd. E piglise in quello il ponto .e., noto cioé che .ed. sia .4. e .eg. sará .8. E per lo ponto .e. si meni la linea .aez. Dico adunque che la proportione .bz. al .cg. sará no- ta. Menise adunque la linea .gi. equedistante alla linea .ab. E menise .az. nel pon- to .i. Fienno li triangoli .aed. e .eig. infra lloro simili. E sia cosí .de. al .eg., cosí .ad. al .gi. E peró .ag. sará noto, imperoché .ad. sonno note. E sará .gi.10., imperoché .ad. è .5. Onde è cosí .de. al .eg., cioé .4. a .8., comme .da., cioé .5., al .gi. E peró .gi. è .10. E, perché simili sonno e tri- angoli .abz. e .igz., sia cosí .ab. cioé .14., al .gi., cioé .a.10., comme .bc. al .zg. E, per la propor- tionalitá congionta: sia .14. a .24., cioé .7. a .12., comme .bz. al .bg. E peró .bc. sia li .7/12. del .bg., cioé .8 3/4. e il .zg. sia l’ avanzo infino in .15., che sia .6 1/4., ch’ era de bisogno mostrare. E, se il ponto per lo quale passa la linea non sia in sul catetto, ma sia inn’ altra linea. Comme nel triangolo .dez., nel quale è dato il ponto .a. nela linea .dg. che non n’ é catetto. Per lo quale ponto passa la linea .eab. e sia nota la proportione del .ga. al .ad. e sia .ga.5. e sia .ad.8. Imperoché tutta .dg. pongo sia .13. e .ge. sia .10.

Dico che la proportione del .zb. al .bd. sia nota. Compise .di. e faciasi .ebi. E, perché li trian- goli .ida. e .ega. sonno simili, sia cosí .ag. al .ad., cosí .eg. al .di. Onde .di. sia .16., imperoché .ag. al .ad. è comme .5. a .8. E peró .eg., che è .10., sia al .di., comme .5. a .8. Adunque .ad. sia .16. e sia cosí .ez. al .di., cioé .14. a .16., cosí .zb. al .bd. E sia ancora cosí .14. a .30. comme .zb. al .cd. E il .zd. è .15., adunque .zb. sia li .14/30., cioé .7/15. del .zd. E peró sia .7. e il .bd. sia .8. ch’ era de biso- gno mostrare.

E, se la proportione del segamento dela linea che passa per lo ponto dato sia in una linea data equedistante al catetto, sará nota la quale linea sia terminata, da una parte, in sula basa e, dal’ altra parte, sia terminata in sula linea equedistante ala basa. Dico la proportione dele septioni del lato del triangolo essere note. Comme sia un’ altra volta il triangolo .dez. E sia dato il ponto .a. nela linea .tg., che sia eque- distante al catetto. La qual linea sia in sula basa in sul ponto .g. E in sula linea equedistante a- la basa, che sia la linea .di., in sul ponto .t. E sia .ag.8. e .at. sia .4. e sia .eg.10. E, perché queste cose sonno manifeste, dico che la proportione del .zb. al .bd. sia manifesta in questo modo. Perché li triangoli .eag. e .iat. sonno simili: sia cosí .ga. al .at. cosí .eg. al .ti. Adunque .ti. sia .5. E menise il catetto nel triangolo .dez. che sia .dk. E sia .dt. iguali al .kg. Adunque .dt. sia .5. Adunque tutta .di. sia .10. E, perché gli é cosí .ez. al .di. cosí .zb. al .bd. cioé comme .14. a .10., cosí .zb. al .bd. E, per la congionta proportionalitá, sia cosí .14. a .24., cosí .zb. al .zd. Adunque .zb. sia .8 3/4. e .bd. sia l’ avanzo in .15., che sia .6 1/4. E questo era de bisogno mostrare.

E, se ’l ponto dato nel triangolo sará infra ’l catetto e angolo, dal quale la linea s’ extende e va infino alo lato oposto, siranno, similmente, le septioni del’ altro la- to note. sia adunque nel triangolo .abg., del quale el catetto è .ad. E sia .ab. 13., bg.14., ga.15. e .ad. sia .12. E il dato ponto sia .e. E sia fata la linea .hei. eque- distante e iguale al .ad. E sia .eh.3. e .bh. sia .4. sia. hd. 1o. E menise la linea .bez. Dico che .gz. e .za. fienno note. Menise per lo ponto .a. la linea .it. equedistante ala linea .bg. e faciasi la li- nea .bt. E, perché noi habiamo posto che .he. sia .3., sia .ei.9., imperoché .hi. é .12., cioé lo egua- le al .ad. E, perché el triangolo .beh. è simile al triangolo .eit., é cosí .he. al .ei., cosí .bh. al .it. Adunque è noto .it., imperoché .he. è .3. e .ei. è .9. E peró .he. è il terzo del .ei. e cosí .bh., che è .4., sia il .1/3. del .it., adunque .it. sia. .12. Del quale, tratto .ia., che è iguali al .hd., che è .1o., rimane .at. E, perché e gli é cosí .bg. al .at., cosí .gz. al .za., adunque comme .14. a .11., cosí .gz. al .za. E cosí .14. a .25., comme .gz. al .ga. Adonque pigliaremo e .14/25. del .15., che .è .ga., che sonno .8 2/5. Adon- que .gz. è .8 2/5. e .za. è l’ avanzo infino in .15., che è .6 .3/5. E cosí fa le simili. Similmente, se per lo ponto dato in uno lato del triangolo una linea si mena infi- no al’ altro lato del triangolo, si troverá la proportione del segamento. Comme sia il triangolo .bgd. e sia .bg.13, .gd.14., db.15. E il catetto .bi. sia .12. E sia da- to un ponto infra ’l triangolo, che sia .a. E sia .az.8. Sonno in sulla basa .gd. che sta .e. E sia .ed.10. E il ponto .a. sia noto nella linea .zk. equedistante e iguale al catetto .bi. E sia .az.8. e .ak. sia .4. E per li ponti .ea. si meni la linea .eat. Dico la proportione del .td. al .tb. essere nota. Faciase la linea .bh. E la linea .eath. e sia .bh. equedistante ala basa .gd., sia .bk. iguale al .iz. E il .zk. è fatto iguale al catetto che sia .12. e .az. è posto .8. Adonque .ak. è .4. E, perché e gli é cosí .za. al .ak., cosí .ez. al .hk., adonque .hg. è nota, imperoché .ez. è .8. E peró è cosí .az., cioé .8., al .ka., cioé a .4., comme .ez., che è .8. Adonque .hk. sia .4., al quale, agionta .kb. iguale al .zi., che è .7., imperoché tutta .ed. è .10. comme ponemmo. E .ez. è .8. Adonque .zd. è .2., che è tratto del .zi., che è .9., rimane .zi.7. Adonque .bh. sia .11. E, perché simili sonno e triangoli .etd. e .tbh., sia cosí .ed. al .bh., cioé.10. a .11. cosí .td. al .bt., adonque cosí .10. a .21., cosí .td. al .db. E peró .td. è li .11/21. di .15., che sonno .7 6/7. E peró .td. sia .7 6/7. e .tb. sará l’ avanzo in- fino in .15., che sia .7 1/7., ch’ era besogno mostrare.

Ancora sia el triangolo .abg., del quale .ab. sia .13. e .bg. sia .14. e .ag.15., del quale il catetto sia .ad., che è .12. E piglise il ponto .e. fuori del triangolo, dal quale si me- ni la retta .ez. equedistante al catetto .ad. e sia .ez.2. e il .zb. sia .1o., dove .zd. sia .4.

E piglise ancora infra il triangolo il ponto .i. e sia .it.3. e sia equedistante al catet- to .ad. E sia .tz.9. E per gli ponti .ei. se meni la linea .eik. Dico che la proportione del .gk. al .ka. é nota. Menise la linea .al. equedistante ala basa .bg. E menise .ek. infino al ponto .l. E faciasi .ti. infino al .h. e infino al .m. E sia .tm. iguali .ez. E compise .em. E, perché la retta .ez. e .it. sonno equedistanti al catetto .ad., sará la retta .tm. equedistante ala retta .ze. E, perché sonno iguali, sia la retta .em. iguale e equedistante ala retta .zt. Adunque .em. è .9. e equedi- stante ala retta .al. e .th. è .12., imperoché la è iguale al catetto .ad. Adonque tutta .mh. è .14. E certamente .mi.5., adonque .ih. è .9. Adonque sia .mi. al .ih., cosí .em. al .hl., cioé comme .5. é a .9., cosí .9. è al .hl. Adonque .hl. è .16. e tutta .al. è .21 1/5. Ancora e gli é equedistante .ez. al .ti: simili sonno e triangoli .enz. e .int. Onde e gli é cosí il .ti. al .ez. cosí .tn. al .nz. Onde. tn. è del .tz. gli .13/5., cioé .5 2/5. Overo, altrimente, perché i triangoli .nit. e .lih. sonno simili infra loro, é cosí .ti. al .ih., cioé comme .3. è a .9., cosí .nt. é .al.hl., adonque .nt. è il terzo di .16 1/5., che è .5 1/5., al quale, agionto .tg., che è .4., fanno per lo .ng.9 2/5. e sia cosí .ng. al .al., cosí .gk. al .ka. E noi sappia- mo .al. esser .21 1/5., che sonno .106/5. E .ng. sonno .47/5. Adonque cosí .47. è al congionto di .47. e di .106., cioé .a.153., cosí .gk. è al .ga., cioé a .15. Onde è .47. al terzo di .153., cioé a .51., cosí .gk. è al ter- zo di .15., cioé a .5. Onde, se multiplicaremo .47. per .5. e divideremo il produtto per .51., hare- mo .4 31/51. per la linea .gk. L’ avanzo che è infino in .15., cioé .10 20/51., sará la linea .ak. Ancora altra- mente menise la linea .em. e .ag. infino al ponto .o., sará cosí .eo. al .al., cosí .ok. al .ka. E la li- nea .eo. è .14 1/2. E la linea .al. è .21 1/5. Adonque comme .eo. alo .al., cioé comme el .14 1/2. è al .21 1/5., cioé comme .145. è a .212. cosí .ok. al .ka. e cosí comme .145. è a .357., cosí .ok. è al .oa.; onde multiplicarai .145. via .17 1/2. e parti in .357., viene .7 11/102. Haremo che .ok. è .7 11/102., del quale tra’ .iog. che è .2 1/2., haremo .4 31/51. per la linea .gk., comme volavamo.

E la noticia dela linea .go. e .oe. s’ á per le cose dette. Perché el triangolo .adg. è simi- le al triangolo .afo. Ancora, se la noticia del ponto .c., per lo quale la linea .el. sega el catetto, vogliamo havere, perché el triangolo .ncd. è simile al triangolo .lca., sia cosí .nd. alo .al. cioé come .2/5. sonno a sé e .21 1/5., cioé .2/5. sonno a .21 3/5., cosí. dc. é al .da. Onde il .de. e gli é .2/9. d’ uno intero. E il .ta. sia .11 7/9. Overo, se meneremo il catetto .nx., sia cosí .ex. al .xn., cosí .nd. al .dc. E gli é certamentente .ef. iguali al .dz. E il .dn. iguali al .xf. E la li- nea .ef. è .4. e il .dn. è .2/5. E lo .ex. è .3 3/5. e .xn. è comme diciamo .2. E .nd. è .2/5. Adunque, multipli- cando .2. per .2/5. e partendo per .3 3/5., ne vienne .2/9. per la linea .dc., comme dicemmo. Ancora sia il medesimo triangolo. E sia dato il ponto fuori .e. Dal qual, menan- do una linea equedistante al catetto .ad., caggia in sul ponto .g. e sia .2. E dipoi si dia un ponto dentro e sia .1. Dal quale, menando una perpendiculare al .bg., sia .it. e sia .3. e .tg. sia .4. E meno una linea .eif. Adimando nota .bf. e .fa. Menerai .eif. infino al .c. E .ti. infino alo .l. E sia .tl. iguali e equedistanti al .da. Conciosiacosaché .cl. sia equedistante al .bg. Sia adunque .eg. al .ti., cosí .gz. al .zt., cioé comme .eg. e .ti. al .ti., cioé com- me .5. a .3., cosí .gt. al .zt. E il .gt. è .4. Adunque .zt. sia .2 2/5. Ancora e gli é cosí .ti. al .il., cosí .zt. al .lc., cioé commo .3. é .a.g., cosí .zt., che è .2 2/5., é al .lc., adunque .lc. è .7 1/5., del quale tratto .la., che è iguali al .dt., che è .5., rimane .ac. 2. Ancora e gli é cosí .dz. al .ac., cioé cosí .7 2/5. al .2 1/5., comme .dh. al .ha. e cosí è .dz. e .ac., cioé .9 3/5., al .ca., cioé .2 1/5., cosí .da., ch’ é .12., al .ha. Adunque .ha. sia .2 3/4. e .dh. sia .9 1/4. Ancora, perché e gli é cosí .bz. al .ca., cosí .bf. al .fa., cioé perché gli é cosí .12 2/5. a .2 1/5. cosí .bf. al .fa. e cosí sia .bz. al .ca., cioé .14 3/5. al .2 1/5., cosí .ba. al .fa. Adunque .fa. sia .1 70/73 e .bf. sia .11 3/73. E cosí fa sempre.

De vi et potentia ypotumisse protracte extrinsice in triangulis orthogoniis. Capitulum secundum. Se nel triangolo ortogonio di noti lati si mena fuora del triangolo el lato oposto al’ angolo retto per longitudine nota e dal termine di quella linea al’ angolo ret- to si menerá una linea, sirá quella linea retta ancora nota. Exempli gratia. Sia il triangolo ortogonio .abc. di noti lati. E sia .ab.4. e .bc.3. e .ac. sia .5. E sia l’ an- golo .abc. retto. E menise il lato .ac. infino al ponto .d. fuor del triangolo. E sia .ad. 20. E dal ponto .d. al ponto .b. si meni una linea retta .bd., la qual linea dico che la sia manifesta. Che cosí il manifesteró. Meneró la retta .ab., secondo la longhezza, quanto vorró per lo ponto .e. E per lo ponto .d. meneró la retta .de. equedistante ala linea .bc. E sia l’ angolo .aed. retto. Imperoché gli é iguali al’ angolo .abc. per la .29a. del primo. Imperoché, quando in .2. linee rette equedistanti la linea retta cade, sará l’ angolo dentro iguali al’ angolo di fuora a quello oposto. E peró nelle equedistanti .bc. e .ed. la retta cade .ae. E peró l’ angolo .aed. è iguali a- l’ angolo .abc. E, per quella medesima, el angolo .ade. è iguali al’ angolo .acb. E l’ angolo .a. è comune. Adunque e triangoli .abc. e .aed. sonno equiangoli infra loro e simili. E gli tri- angoli simili hano e lati che sonno intorno a’ simili angoli proportionali, per la diffinitione dele superficie simili, posta nel sexto de Euclide. E peró è cosí .ac. al .cb., cosí .ad. al .de. E, per la permutata proportione, sia cosí .ad., che è nota, al .ac., nota, cosí .ed. al .bc., nota. Onde la ret- ta .ed. sia nota. Cioé, multiplicando .ad. in .cb. e partendo in. ac., e haremo .ed.12. Ancora sia cosí .ad. al .ac., cosí .ac. al .ba. E peró la retta .ae. sia nota che, multiplicando .ad. in .ba. e partendo in .ac., e haremo .ae. essere .16., dela quale, tratto .ab. nota, harai .be. essere .12. Del quale il quadrato, agionto al quadrato dela linea .de., haremo il quadrato dela linea .bd., com- me volavamo, cioé .288. Adunque .bd. è la radici di .288., comme volavamo. Dici. L.P. che di questa figura ne risulta la solutione d’ una quistione propostagli da uno veronese: che propose uno arbore esser ritto sopra una ripa d’ uno fiume. E ffo la longhezza dell’ abore .40. La quale lunghezza pongo la linea .bg. E lo spatio ch’ era dappié del’ albore infino al fiume pose essere .5. Lo quale spatio sia la linea .bc. E fo nell’ albore preso uno ponto comme il ponto .a. E fo .ba.10. E nel ponto .a. fu tagliato l’ albero e cade la parte. ag., che è .30.bracia., sopra lo ponto .c. E fo la linea .ad. Adi- mandase la quantitá dela linea .bd., cioé quanto é dal ponto dela sommitá del’ albero, cioé de- la vetta , infino al ponto del pedale di quello. Onde, quando volse tal quistione asolvere, in- tese la figura passata e agionse li quadrati dele linee .ba. e .bc., cioé .100. e .25. E hebbe .125. per lo quadrato dela linea .ac. E, perché e gli é cosí .ad. al .ac., cosí .ed. al .bc., sia comme il qua- drato dela linea .ad. al quadrato dela linea .ac., cioé cosí .900. a .125., cosí el quadrato dela linea .ed. a .25. Ma la proportione di .900. a .125., neli numeri minori, è comme .36. a .5.

Adunca comme .36. a .5., cosí el quadrato dela linea .ed. è a .25. E, per la permutata proportio- ne, sia cosí el quadrato dela linea .ed. a .36., comme .25. a .5. Ma .5. è la quinta parte di .25., adun- ca .36. fu il quinto del quadrato dela linea .ed. Onde multiplichise .36. per .5. e haremo .180. per lo quadrato dela linea .ed. El quale quadrato si cavi delo quadrato dela linea .ad., cioé di .900. Rimangano .720. per lo quadrato dela linea .ae. Overo, altramente, perché e gli é cosí .ad. al .ac., cosí .ae. al .ab., fo adunca cosí .36. a .5., cosí el quadrato dela linea .ea. al quadrato dela linea .ba., cioé a .100. Onde, per la permutata proportionalitá, è cosí .5. a .100., cosí .36. al quadrato dela linea .ae. Onde multiplicarai .36. per .20. (Perché .5. sonno .1/20. di .100.) e, simil- mente, haremo .720. per lo quadrato dela linea .ae. Adunca .ae. è radici di .720. Dela quale cava la linea .ab., che è .10., riman la radici di .720. meno .10. per la linea .eb. La qual multipli- ca in sé e fa .820. meno radici di .288000. per lo quadrato dela linea .eb. Al qual agiongni el quadrato dela linea .ed., cioé .180., e fa .1000. meno radicie di .288000. per lo quadrato dela linea .bd. Onde .bd. è radici di .1000. meno radici di .288000., cioé, preso la radici di .288000. e tratta di .1000. e, di quel che restará, preso la radici. Ma acioché se reduchino a numero ra- tiocinato, preso la radicie di .288000., che è preso .a.536 2/5. meno .1/96., che, tratto di .1000., rimane .463 11/12. Del qual ancora preso la radicie sia .24 1/2. piú alcuna cosa per la quantitá dela linea .bd. E volendo mostrare comme el quadrato dela linea .eb. è .820. meno radici di .288000. La li- nea .eb. è residuo. Imperoché la è la differentia che è infra due linee solamente comunican- ti in potentia, cioé infra .ae. e .ab. Dele quali .ae. è radici di numero ratiocinato, cioé di .720.

E .ab. è .10., che è numero. E, perché la retta .ae. è divisa in .2. parti nel ponto .b., li quadrati de- le linee .ae. e .ab. sonno iguali a .2. cotanti dela multiplicatione del .ab. in .ae. col quadrato de- la linea .eb., per la septima del .2o. de Euclide. Onde, se deli quadrati .ae. e .ab., cioé di .820., si to- gli el doppio dela multiplicatione del .ab. in .ae., el quale doppio è iguali a .20. radici de .720., che ancora è iguali a una radici che perviene dela multiplicatione del quadrato de .20., cioé de .400. in .720., el qual numero è .288000., rimarranno .820. meno la radici di .288000., com- me habiamo detto.

Conciosiacosaché l’ area di campi di .4. facie che hano tutti gli angoli retti, sia fatta comme è detto, cioé, quando hano amendui e lati dove si contengano iguali, cioé sonno le facie tutte iguali, alora se multiplica una dele facie per sé e quella multiplicatione è la sopra detta area. Overo, quando e lati che contengono la detta superficie non sonno iguali, alora se multiplica l’ uno lato per l’ altro e l’ area è la detta multiplicatione. E ’l perché è da notare, che Euclide, parlando dele figure de .4. lati, nel principio del primo, non prese di quelle se non quatro spetie, cioé quadrato, tetragono lon- go, elmuaym, che ‘ vulgari chiamo rombo e, simile, elmuaym, che lo chiamano capo taglia- to. Tutte l’ altre sorti e spetie de figure de .4. lati le chiamó sotto questo solo nome: elmuarisse. Hoc est irregulari: e quasi imperfette respetto al quadrato al qual tutte, mediante el triangolo, sonno reduci- bili. La quantitá imperfectum ad suum perfectum. E peró la presente distinctione, per lor mesure, in .6. capitoli voio divi- dere. Nel primo mostraremo la solutione d’ alcuna questione proposta sopra le figure di .4. facie che hano gli angoli retti, la quale, per le .6. regole de algebra, si truova, le quale regole principalmente fo- ron trovate e fabricate per rispetto della quantitá continua, cioé geometria. Perché in lei sonno, ale volte, quantitá sorde che, per forza numerale, discretamente non si possan dare, ma conviense respondere e operare per radici e per linee e quadrati e cubi, commo praticando, te avirrá neli sequenti casi e molti altri. E sonno tutte fondate nel secondo de Euclide. Me- diante la forza e virtú del quinto, cioé dele proportioni e proportionalitá che maxime in lo- ro se recercano, commo de tutto sopra in l’ arithmetica intendesti a suo luogo et cetera. Nel se- condo mostraremo il modo a trovare l’ area dele figure dette rombi. Nel terzo il modo a trovare l’ area de’ romboidi. Nel quarto il modo a trovare l’ area dele figure dette caput abscisum, cioé capo tagliato. Nel quinto il modo a trovare l’ area dele figure dette diver- silarete. Nel sexto e ultimo il modo a trovare l’ area dele figure di piú di .4. lati. Modus solvendi varios casus figurarum quadrilaterarum rettangularum per viam al- gebre. Capitulum primum.

Benché nela parte de arithmetica dicessimo dela regola d’ algebra assai copisa- mente, nientedimeno é necessario alcuna cosa qui dirne. Sonno certamente li numeri cosí rotti comme interi over radici over quadrati over numeri sempli- ci. Quando li numeri si multiplicano in sé, alora quei numeri si dicano radici.

E quegli produtti si dicano quadrati over censi. E, quando li numeri non hano rispetto ale radici overo ai quadrati, alora si dicano numeri semplici. Adunca, secondo questa diffinitio- ne, ogni numero è alcuna volta radici over quadrato over numero semplici. E, di queste .3. essentie, .3. regole semplici e altretante composte si truovano. Le .3. regole semplici sonno quan- do nelle questioni arithmetici over geometrici si truova le radici essere iguali a’ quadrati over le radici al numero over i quadrati al numero. Le composite sonno quando e si trova le .R. aguagliarse a’ quadrati e al numero over e quadrati aguagliarse ale radici e al numero over el numero aguagliarse ale .R. e a’ censi. El quadrato che s’ aguaglia ale radici è comme a dire el quadrato s’ aguaglia ale .4. radici sue. Ove la radici del quadrato è .4. e il quadrato è .16., cioé il lato dela superficie quadrata è .4. e l’ area è .16. Imperoché quante unitá sonno in ciascuno de’ lati di quel, tante radici in quell’ area, cioé nel’ area di quello quadrato, sonno. Comme sia il quadrato .abcd., che ha per ciascuno lato .4. Dove l’ area sua è iguale a .4. radici. De’ quali una è il quadrilatero .ae., l’ altra .zt. l’ altra .ik. e l’ altra è .kd. Onde il quadrilatero .lkcd. è .16. E, similmente, se il lato del quadra- to è .5., sará quadrato .25. E, quando diciamo .4. quadrati sonno iguali a .24. radici, alo- ra uno quadrato è iguali a .6. radici e una di quelle radici è .6. e il quadrato è .36. Et, quan- do diciamo la mitá d’ uno quadrato overo di censo è iguali a .4. radici, alora uno censo è igua- li a .8. radici. E sia la radici .8. E il censo sia .64. Ancora el .1/5. del quadrato è iguali a .3. radi- ci. Onde tutto il quadrato è iquali a .15. radici. Adunca la radici è .15. e il quadrato è .225.

Similmente, quando è piú d’ un quadrato overo meno d’ un quadrato, ad un quadrato si riduca. E cosí harai quando el quadrato, cioé censo, è iguali ale radici. E, quando se dici un quadrato è iquali al numero. Comme a dire un quadrato è iguali a .36. Alora l’ area è .36. e il lato suo è .6. E, quando .5.censi. sonno iguali a .125. per numero, alora il quadrato è .25. e la sua radici è .5. Over dicendo la quarta parte d’ un censo è iquali ale .16. dramme (Dico dram- me, perché cosí, secondo l’ arithmetica, ale volte, se dicano li numeri.) Ove adunca el quadra- to sia iguali a .64. e la sua radici sia .8. Similmente ogni censo acresciuto over diminuto a un censo lo ritorna. E, per quel medesimo modo, si fa, quando el numero s’ aguaglia agli censi. Le radici che s’ aguagliano al numero è comme a dire una radici è iguali a .16. per nume- ro. Alora la radici è .16. e il quadrato è .256. E, se .6. radici fienno iguali a .30., alora una radi- ci è iguali a .5. Ancora, dicendo la mitá d’ una radici è iguali a .9., adunca una radici è .18. e il censo è .324. Le radici che sonno iguali a’ quadrati e a’ numeri: sonno comme a dire .36. radici sonno iguali a .3.censi. e .105. dramme, cioé .12. radici sonno iguali a un censo e a .35. dramme. E dicendo la mitá d’ un censo e .12. dramme sonno iguali a .5. radici. É questo com- me a dire .10. radici sonno iguali a un censo e .24. dramme. E quadrati che sonno iguali ale radici e al numero: sonno comme a dire .3. quadrati sonno iguali a .12. radici e .36. dram- me. E questo è comme a dire uno censo essere iguali a .4. radici e .12. per numero. E, se dirai la quarta parte d’ un censo è iguali a .2. radici e .12. dramme: che è quanto a dire un quadrato è iguali a .8. radici e .48. dramme. El numero che è iguali a’ quadrati e ale radici. E comme a dire .78. dramme è iguali a .2. quadrati e .10.R., cioé un quadrato e .5.R. è iguali a .39. dramme. E, se dirai .32. è iguali ala mitá d’ un quadrato e .a.6.R., sonno, cioé, un quadrato e .12.R. iguali a .64. dramme. E cosí sempre dobiamo le quistione redure a un censo. E, secondo quel che propor- tionalmente viene, quella reduttione de piú quadrati: overo le parti d’ un quadrato a un quadrato: cosí è da redure in quella medesima proportione le radici e le dramme. E, accio- ché troviamo quello è il quadrato e quello é la radici, lo mostraremo nel dire sequente. Se nel quadrato .abgd., che per ciascun lato è .10., e il diametro .ag. over .bd. vuoi havere, radoppirai l’ area del detto quadrato, la quale area è .100. che, duplica- ta, sonno .200. De’ quali piglia la radici e harai la longhezza d’ uno de’ detti diame- tri. Verbi gratia. Perche gli é retto l’ angolo .abg., ortogonio è il triangolo .abg. Dove la multiplicatione delo lato del .ag. in sé è iguali agli .2. quadrati dele linee .ab. e .bg., per la penultima del .primo. Ma il quadrato del lato .bg. è l’ area del quadrato .abgd. e il quadrato del lato .bg. Onde e .2. quadrati dele linee .ab. e .bg. sonno doppi al quadrato del lato .bg. e il quadrato del lato diamitrale .ag. è iguali a’ .2. quadrati de’ .2. lati .ab. e .bg. Adunca el quadrato del diametro .ag. è doppio al quadrato del lato .bg. e il quadrato delo lato .bg. è l’ area del tetragono .abgd. e peró il quadrato delo lato .ag. è doppio ala misura del tetragono .abgd., ch’ era bisogno mostrare. E questo è quello in che il cen- so è iguale al numero, cioé l’ area è .100. Onde il quadrato del diametro sia iguale al doppio del’ area, cioé .200. Dico anchora il diametro .ag. essere iguali al diametro .bd., perché la retta .bg. è iguale

ala retta .ad. E, se comunamente se piglia la retta .ab. fienno .2. rette .ab. e .bg. iquali a .2. rette .ba. e .ad. e l’ angolo .abg. è iguale al’ angolo .bad. Onde il diametro .ag. è iguale al dia- metro .bo. E ancora dico che ’l diametro .ag. e .bd. si segano insiemi per iqual parti nel ponto .e. Perché infra loro sonno iguali le rette .ad. e .bg. e ne’ loro termini sonno compilate .ab. e .dg., che infra loro sonno iguali, per la .34a. del primo, saranno certamente infra loro equedistanti le rette .ad. e .bg. E, perché in quelle le rette .bd. e .ag. le tagliano, sia iguale l’ angolo .adb. al’ angolo .dbg. E l’ an- golo .dag. al’ angolo .agb. e l’ altro angolo .aed. al’ altro .beg. è iguali, per la .15a. del primo. Per la qual cosa il triangolo .aed. è iguali al triangolo .beg. E la retta .be. ala retta .ed. è iguali. Similmente e la ret- ta .ge. ala retta .ea. è iguale. Adunca per igual parti infra loro si segano e diamietri .ag. e .bd., ch’ era bisogno mostrare.

E, se i diametri del tetragono dato fienno la radici di .200. e non sappia quanto sia l’ area e il suo lato, togli il .1/2. di .200., che è .100., che sia l’ area del detto quadrato e la radici di .100., cioé .10., haremo per lo suo lato, cioé .2.censi. sonno iguali a .200. On- de un quadrato, cioé un censo, è .100., cioé la misura del detto quadrato è .100. e il suo lato è .10. E, se ’l quadrato del diametro con l’ area del tetragono fienno .300., adunca .3. quadrati son iguali a .300. Onde la terza parte di quelli, cioé .100., sia l’ area e l’ altro rimanen- te, cioé .200., sia il quadrato del diametro del detto tetragono. E la radici del’ area sia il lato del detto quadrato.

E, se gli .4. lati d’ uno quadrato con l’ area del detto quadrato fussino .140. e vuoi sapere quanto sia lo lato del detto quadrato, comme per figura si deba fare, il mo- straremo. Sia il tetragono .ezit. A quello s’ agionga la superficie .ae. d’ angoli ret- ti. E sia .ai. per lo diritto del .it. e .il.be. sia per lo diritto del .ez. E sia ciascuna dele rette .be. e .ai.4. per numero. Ove la superficie .ae. è iguale agli .4. lati. E tutta la superficie .az. sia .4. lati e il quadrato delo lato .it., cioé tutta la superficie .az., sia .4. lati e il quadrato del lato del tetragono .ezit. Adunca la superficie .za. è .140. comme proponenmo. E questo é quello che dicemmo di sopra: cioé quando el censo e .4. radici sono iguali a .140. E il censo è il tetragono .iz. e le .4. radici è la superficie .ae. Dividasi adunca la retta .ai. in due parti iguali sopra il ponto .g. E, perché la linea .it. è agionta ala linea .ai., sará la superficie rettangula del .it. in .at., col quadra- to dela linea .gi., iguale al tetragono .gt., per la .6a. del .2o. E la superficie del .it. in .at. è comme la superfi- cie del .at. in .tz., imperoché .it. è iguale al .tz. Adunca la superficie .ztab., col quadrato de- la linea .gi., è iguale al quadrato dela linea .gt. Ma il .zt. in .at. è la superficie .za., che è .140., a’ quali agionto il quadrato dela linea .gi., cioé .4., fanno .144. per lo quadrato dela linea .gt. Onde .gt. è .12., cioé la radici di .144. Onde, se del .gt. se ne trae .gi., rimarrá .it.10., che è il la- to del tetragono, imperoché l’ area sua (che è .100.), agionta a’ .4. suoi lati, fanno .140. com- me bisogna. E cosí è da ffare in tutte le quistioni dove li numeri sonno iguali al quadrato e radici. Cioé sopra il detto numero s’ agionga il quadrato dela mitá dele radici e dela summa si truovi la radici e di quella si tolga la mitá dele radici: rimarrá la radici delo adimandato cen- so, che, in sé multiplicata, sará il detto censo. Comme ancora dicendo .133. dramme sonno igua- li a un censo e .12. radici. Onde, se ’l quadrato dela mitá dela radici s’ agiongne a .133., faranno .169., de’ quali la radici è .13., de’ quali, trattone .6., cioé la mitá dele radici, rimaranno .7. per la ra- dici del censo e il censo sia .49.

Ancora e gli é un tetragono dela cui area, se se ne toglie .4. suoi lati, rimaranno .77.

Adimando quale è quel censo. Ove piglise uno tetragono .bd. E piglise il ponto .a. nella linea .gd. E sia .ga.4. E per lo ponto .a. si meni la linea .az. equedistante a ciascuna dele rette .gb. e .de. E, perché .ga. é .4., la superficie .ab. sia .4. lati, cioé .4. radici, del tetragono .bd. Onde, se del tetragono detto si trae el quadrilatero .ba. (che é .4. suoi lati), rimarrá la superficie .zd.77. E, perché le .2. superficie .ab. e .ae., cioé .ba. e .zd., son- no iguali al tetragono .bd., adunca il censo è iguale ale radicie e al numero: cioé il quadrato .bd. è iguali a .4. sue radici e .77. dramme. Onde, a trovare quanto è il censo, dividasi .ga. in .2. parti iguali sopra il ponto .i. E a lei sará agionta per lo dritto la retta .ad. Sará la multiplicatione del .ad. in .gd., col quadrato dela linea .ai., iguale al quadrato .di., per la .6a. del .2o. Ma la multiplicatione del .ad. in .dg. è comme la multiplicatione del .da. in .de., imperoché .de. è iguale ala linea .dg. Ma il produtto del .da. in .sé. è la superficie .zd., che è .77. Adunca .da. in .de. fanno .77., a’ quali, agionto el quadrato del .ai., che è .4.,

fanno .81. per lo quadrato della linea .di. Del quale la radici, cioé .9., è la linea .di., ali quali, agionto la linea .ig., che è .2., fanno .11. per lo lato del censo .dg. Onde l’ area del quadrato .bd. è undeci vol- te .11., cioé .121., e ‘.4. suoi lati sonno .44. che, tratti di .121., rimangano .77. per la superficie .zd., comme era de bisogno. E cosí è da ffare in tutte le quistioni nele quali el censo s’ aguaglia ale radici e al numero, cioé sopra il numero s’ agionga el quadrato dela mitá dele radici e dela summa si pigli la radici e quella s’ agionga ala mitá dele radici: e cosí haremo la radici del quadrato che, in sé multipli- cata, fará l’ adimandato quadrato, comme se si propone che ’l censo sia iguali a .10. radici e .39. dramme. Agiongase il quadrato di .5., cioé .25., sopra .39., fanno .64., sopra le radici dele quali agiogni .5., cioé sopra .8. agiongni .5., fanno .13. per la radici del censo e il censo sia .169., dove .10. radici son- no .130., che sonno fatti del .10. in .13. che, con .39., fanno .169. per lo quadrato del censo. Anchora e gli é un tetragono la cui area, se si tra’ degli .4. suoi lati, rimane .3. Adi- mandasi quali sonno e lati e il tetragono. E, per questo trovare, tolghise il tetragono .ge. del quale ciascuno suo lato sia meno di .4. E ala linea .de. s’ agionga la linea .da. E sia tutta .ae.4. E dividase .ae. in .2. parti iguali: sopra il punto .b. E menise la ret- ta .az. equedistante e iguale ala retta .dg. E menise .fg. infino .al.z. E, perché .ae. è .4. e .ef. è il la- to del tetragono .ge., sará adunque .fe. in .ea., cioé la superficie .ze. iguale a .4. radici: cioé a’ la- ti del tetragono .ge. De’ quali, se si togli el tetragono .ge., rimarrá la superficie .ga.3. Ma il te- tragono .ge. e la superficie .ga. sono iguali ala superficie .ze. Adunque .4. radici sonno iguali al censo e .3. É di bisogno, adunque, troviamo el censo e la sua radici. Perché la linea .ae., che è .4., è divisa in .2. parti iguali sopra il punto .b. e in .2. parti non iguali sopra il punto .d., sia la mul- tiplicatione del .ed. in .da. col quadrato dela linea. bd. iguale al quadrato dela linea .be., che è fatto dala mitá dela linea .ae., per la .5a. del .2o. Ma multiplicatione del .ed. in .da. fa la superficie .ga., che è .3., imperoché .dg. è iguale al .de. Adunque la superficie fatta dal .gd. in .da., col quadrato dela linea .bd., è iguale al quadrato dela linea .be., che è .4. Adunque il qua- drato .bd. è .1o. Dela quale, se si togli la radici, sia .1o. E tragase dela linea .be., rimarrá la linea .de .1o., che è il lato del tetragono .ge. del quale l’ area è .1o., cioé el censo è .1. Ancora, se lla mitá de- la linea .ae. sará infra ’l .de. in sul punto .b., comme si manifesta in questa altra figura. Agiongni sopra .eb., cioé sopra .2., la linea .bd. e sia tutta .de.3., che è la radici del quadrato .ge. adimandato. E il quadrato sia .9. E la superficie .ag. sará similmente .3., comme adimandammo. E cosí é da ffare in ogni quistioni nele quali la radici è iguale al quadrato e al numero: cioé del quadrato dela mi- tá dele radici si tolga el numero e delo rimanente si pigli la radici e tolghise dela detta mittá. O- vero s’ agionga sopra quella e harai la radice delo adimandato quadrato. Comme a dire .12. ra- dici sono iguali a un censo e .27. per numero. Dove il quadrato dela mitá dele radici è .36., del qua- le tra’ .27., rimane .9. De’ quali la radici, che è .3., agiongnise sopra .6., cioé sopra la mitá dele radici, haremo .9. per la radici adimandata. E il censo sia .81. Overo si traga il .3. dela mitá dele radi- ci, cioé di .6., rimarrá .3. per la radici. E il censo è .9. E cosí sempre, quando le radici sono iguali al censo e al numero, sonno absolute le quistioni in .2. modi. Nientedimeno in alcune quistioni quan- do chade .1a. asolutione e quando l’ altra.

Ancora e gli é un tetragono che ’l quadrato del diametro, con l’ area sua e con .4. suoi lati, sonno .279. Adimandase el lato del detto tetragono. Perché il quadrato del diametro è doppio al’ area del detto tetragono. Adunque el quadrato del diame- tro, con l’ area del detto diametro, è .3. cotanti al’ area del tetragono. E peró .3. quadra- ti e .4. radici sonno iguali a .279. Onde, acioché riduchi questo a uno censo, togli el terzo di queste quantitá e troverai .1.censo. e .1a. radici e .1/3. iguali a .93., dove piglia la mitá dele radici, che sonno .2/3., multilplica in sé, fanno .4/9. Le quali agiogni a .93., fanno .93 4/9. dela cui radici togli .2/3., cioé la mitá dele radici, rimangono .9. per lo lato del tetragono, dove l’ area è .81. E il quadrato del diamitro è .162.

Ancora .4. lati del tetragono sonno iguali ae .2/9. di tutto el tetragono. Adimanda- se il lato del tetragono. Tolghise il tetragono .abgd. E piglise in quello a diritto i punti .ez. E sia ciascuna dele rette .be. e .az.4. E compise la retta .ez. Fienno adun- que e pararelli .ae. e .zg. sopra le equedistanti .ad. e .bg. Onde, comme el paralello .ae. è al paralello .zg., cosí la basa .be. é ala basa .ge., per la prima. del .6o. Ma il paralello .ae. è .4. radici del tetragono .ag. Adunque la superficie .ae. è .2/9. del tetragono .ag. Onde il paralello .zg. è .2/9. del .ag. Adun- que la superficie .ae. è ala superficie .zg. comme .2. a .7. Per la qual cosa, e gli é cosí .2. a .7., cosí .be., cioé .4., è al .eg. Per la qual cosa, multiplica .4. per .7. e dividi per .2., vienne .14. per la linea .eg. Over altramente, ‘l perché gli é doppio .4. a .2., cosí è doppio .eg. del .7. Adunque .eg. è .14.

a’ quali, agionto .4., fanno .18., cioé .eb. Haremo per .bg.18., cioé per lo lato del tetragono .ag., ch’ era de bisogno mostrare.

Over altramente, secondo la computatione de algebra. Perché la superficie .ae. è .4. radici over .2/9. del tetragono .ag., adunca .4. radici sonno iguali .2/9. del censo. Onde, acioché se riduchi a un censo, multiplica .9. per .4. e. dividi per .2. Over la mittá di .9. multiplica per .4., perché quante volte .2/9. sonno in .9. noni, cioé nel cen- so, tante volte .4. é nela radici del tetragono .ag. Onde il quadrato .ag. è iguale a .18. radi- ci, commo dicemmo, e contiene per area .324. Ancora .4. lati e .3/8. del’ area d’ uno censo sonno igua- li a .77 1/2. Dove reduci .3/8. di censo e harai che uno censo e .10. radici .2/3. è iguali a .206 2/3. E questo troveremo multiplicando .4. radici e .77 1/2. per .8. e dividendo l’ una e l’ altra mul- tiplicatione per .3. Dimezza adonca le radici, sonno .5 1/3. De’ quali il quadrato togli, che è .28.1/9. El quale numero agiongni con .206 2/3. Fanno .235 1/9., dela cui la radici (che è .15 1/3.) se ne traga la mittá dele radici, che è .5 1/3. Rimane .10. per lo lato del censo e l’ area è .100. E, se .4. suoi lati sonno iguali al’ area del censo, alora .4. sue radici sonno iguali al censo. Dove ciascuno suo lato è .4. E il censo è .16. E, se .4. lati d’ un censo sonno iguali al doppio del’ area sua, al- lora .4. lati, cioé .4. radici, sonno eguali a .2. censi. Onde .1o. censo è iguale a .2. radici. Adonca il lato del tetragono è .2. El tetragono è .4. Ancora, se del’ area del tetragono si tolga .3. suoi lati, rimarrá .40. Adunca .3. radici e .40. sonno iguali a uno censo. La mittá adonca dele ra- dici in sé multiplica e fienno .2 1/4. El quale agiongni a .40., fanno .42 1/4. Sopra la cui radici, cioé sopra .6 1/2., agiongni la mittá dele radici, fienno .8., che sonno il lato del tetragono. An- cora, diviso l’ area del quadrato per lo diametro suo, ne perviene .10. Adimandase quanto è il diametro e il suo lato. Perché dividendo l’ area per lo diametro ne perviene .10.

Adonca, a multiplicare .10. per lo diametro, fará la quadratura. Onde, a multiplicare el diametro nel doppio di .10., ne perviene doppio del’ area. Ma il doppio del’ area è iguale al quadrato del diametro. Adonca, a multiplicare il diametro per .20., ne perviene il quadrato del diametro. E, a multiplicare el diametro in sé, ancora ne perviene el preditto quadrato. Unde il diame- tro è .12. E il suo quadrato è .400. E l’ area è la mitta, cioé .200. El suo lato ala sua radice, cioé radici de .200., che è poco meno de .14 1/7. et cetera.

Ancora, tratto .4. lati del’ area, remangano .4. Adimando quanto è il suo lato. Pi- glise il tetragono .abgd. E piglise li ponti .ez. E sia ciascuna dele rette .az. e .de. .4. E compisse .ze. Sará adonca la superficie .dz. iguale a’ .4. lati del tetragono .db., ri- marrá la superficie .eb.4. Adonca .4. radici e .4. sonno iguali al tetragono .db. Di- vidase adonca .az. in .2. parti iguali sopra ’l ponto .i. Sará adonca la multiplicatione del .cb. in .ab., col quadrato dela linea .iz., comme il tetragono dela linea .ib., per sexta secondi. Ma il .zb. in .ab. è como .zb. in .ez. Ma il .zb. in .ze. fa la superficie .eb., cioé .4. Adonca del .zb. in .ab. ne perviene .4. a’ quali, agionto el tetragono dela linea .iz., fanno .8. per lo quadrato de- la linea .ib. Adonca la retta .ib. è radici di .8. ala quale, agionto .2., cioé la retta .ia., haremo .2. e radici di .8., per tutta la linea .ab., che è il lato del tetragono .db., che era bisogno vedere. E, se il diametro d’ un quadrato avanza a ciascun lato .6., adimandasse quanto è il lato del ditto quadrato. Multiplica adonca .6. in sé, fanno .36. Lo quale radop- pia, fanno .72., sopra la qual radici agiongni .6. E haremo la radici di .72. e .6. E di- remo ciascun lato essere .6. e radici di .72., che mostraremo la cagione. Sia fatta la retta .ab. E sia iguale al dato diametro del ditto quadrato e il suo lato sia .bg. Dove .ga. è .6., cioé quello che ’l diametro agiongne: over avanza al lato. E faciase sopra la retta .ab. el tetra- gono .ad. E menise in quello el diametro .eb. E, per lo ponto .g., si meni la retta .gz. equedi- stante ala retta .ae. e al .bd. E, per lo ponto .i. si meni la retta .tk. equedistante alla retta .de.ba. Dipoi se pigli nela retta .bg. il ponto .l. E sia .gl. iguale al .ga. e compise la figura medesima nel tetragono .gk. E, perché il quadrato .ad. è quadrato: quadrati sonno quelli che son- no intorno al diametro suo, cioé .tz. e .gk., per lo corelario dela .4a. del secondo. E il lato del te- tragono .tz. è .ti., che è iguale ala retta .ag. Adonca .ti. è .6. E il tetragono .tz. è .36. Ancora tetragoni sonno le superficie .om. e .lp. e sonno intorno al diametro del tetragono .gk. E il tetragono .om. è iguale al tetragono .zt. Perché la retta .on. è iguale ala retta .gl. E il .gl. è iguale ala retta .ga. E la retta .ga. ala retta .ti. facemmo iguali. E, perché .bg. è il lato del tetra- gono del quale il .ba. è diametro. Onde il tetragono fatto dal .ba. è doppio al tetragono .gk. Onde il supplemento .q. e il supplemento .s., col quadrato .r., é iguale al quadrato: cioé al tetra- gono .gk. Unde del supplemento .q. e .s. e del quadrato .r. se traga el quadrato .r., rimarrá lo sup-

plemento .s. e lo supplemento .q. E tragase lo quadrato .tz., cioé .om., del quadrato .gk. Ri- marrá lo gnomone .c.h.f. iguali a’ doi supplementi .q. e .s., cioé le superficie .ai. e .id. sonno iguali ale superficie .gn. e .nk. e .lp. e la superficie .ai. è iguale ala superficie .ai.li. Imperoché .gl. è iguale al .ag. e .lm. è iguale al .ta. E ancora la superficie .ok. è iguale ala superficie .id. Per- ché .op. è iguale al .zd. e .iz. al .io. Adonca le .2 .superficie, cioé .li. e .ok., sonno quanto el gno- mone .c.f.h. Onde, se da ciascuno si tolga la superficie .gn. e .ng., rimará il tetragono .lp. igua- le a .2. tetragoni, che l’ uno sia quanto .om., cioé rimarrá il quadrato .lp. iguale a .2. cotanti del quadrato .om. Ma il tetragono .om. è .36. Onde il tetragono .lp. è .72. Del quale il lato è .bl., che è radici di .72. All quale, agionto .lg., che è .6., haremo per tutta .bg.6. e radici di .72., commo era bisogno mostrare. Al quale, agionto .ga., sará tutta .ab., cioé il diametro del dato quadra- to .12. e radici di .72. Over altramente, perché la retta .ag. è .6. e .gi. è il lato del tetragono, del quale il diametro è iguale ala linea .ab., sará, per questo, la superficie .ai. iguale a .6. radici del tetragono .gk. E il quadrilatero .id. è iguale al quadrilatero .ai. E peró el quadrilatero .id. è .6. radici del quadrato .gk. E il quadrato .tz. è .36. Onde tutto lo gnomone .q.r.s. è igua- le al tetragono .gk., commo è mostro. Donde, se porremo la retta .bg. una cosa, sará .gk. uno censo, che è iguale a .12. sue radice e .36. dramme. E operarai in questo secondo che s’ é ditto: cioé quando il censo è iguale ale radici e al numero et cetera.

Ancora io ó multiplicato il diametro per uno lato e feci .100. Adimandasi quan- to è il diametro e il lato del ditto tetragono. Quando e si multiplica il lato per lo diamettro e fanno .100. Onde, multiplicando el quadrato del diametro per lo qua- drato del lato, cioé per l’ area del tetragono, ne perviene il quadrato de .100., cioé .10000., commo per la .64a. conclusione dele quantitá semplici dicemmo sopra in la parte de a- rithmetica. Onde, multiplicando el quadrato del diametro per lo doppio del’ area, cioé per lo quadrato del diametro, ne proviene il doppio di .10000., cioé .20000. Onde, a multiplicare l’ a- rea del ditto tetragono in sé, fanno la radici di .5000., cioé il .1/4. di .2000., imperoché l’ area del ditto tetragono è la mitá del quadrato del diametro. Adonca il lato è la radici di radici di .5000. e il diametro è la radici de radici di .20000.

Ancora io ó multiplicato l’ area d’ uno tetragono per lo suo diametro e feci .500.

Adimando quanto è il suo lato. Perché a multiplicare l’ area per lo suo diame- tro fanno .500., adonca, a multiplicare il diametro per lo doppio del’ area, fará il doppio di .500., cioé .1000. E il doppio del’ area è il quadrato del diametro. Onde, a multiplicare il diametro per lo suo quadrato fa .1000. E, quando el si multiplica alcun qua- drato per lo suo lato, fanno il cubo di quel lato. Adonca il ditto diametro era la radici cu- bica di .1000., la quale radici è .l0. Adonca il diametro è .l0., il suo quadrato è .100. e l’ area sua è la mitá, cioé .50. e il lato suo sia la radici di .50.

Sopra de’ quadrati habiamo asai ditto, dove de’ quadrilateri detti parte altera lon- giore, per al presente, ne daremo alcun caso. E quadrilatero parte altera lon- giore è quella superficie che á e lati opposti equedistanti e gli angoli retti, ma i l- lati non sonno iguali infra loro, se non li opposti, per la .34a. del primo. E que- sta tal chiama Euclide tetragono longo nel principio del primo. E l’ area sua si truova del multiplicare lo lato dela longhezza per quel dela larghezza. Commo sia uno quadrilatero par- te altera longiore .abcd. che, per ciascun lato de’ minori, è .6. e sonno e lati .ab. e .cd. E, per cia- scun de’ maggiori, .8., che sonno .ad. e .bc. Dico che l’ area sua s’ á del multiplicare del .ab. in .bc. Dove l’ area sua è .48. E, volendo il suo diametro, cioé .ac., agiongni insiemi e quadrati .ab. e .bc., cioé .36. e .64., fanno .100. De’ quali la radici, che è .10., é il diametro .ac. Sia adonca uno quadrilatero commo il ditto e il diametro sia .10. E il lato .cb. sia .8. e voglio sapere quanto è lo lato .ab. Del quadrato dela linea .ac. tra’ el quadra- to dela linea .bc., e rimarrá el quadrato dela linea .ab. E cosí volendo de con- verso. Commo nel triangolo ortogonio dicemmo di sopra. E, per simile modo, el diametro .bd. sia ancora .10., per la equalitá de’ triangoli .abc. e .bad. E ancora dico che ’dit- ti triangoli .abc. è .bad., e ancora dico che ’ditti triangoli si segano infra loro per igual par- ti sopra il ponto .e. Sonno certamente equedistanti le linee .ad. e .bc. Onde l’ angolo .ade. è iguale al’ angolo .cbe. E ancora l’ angolo .dae. è iguale al’ angolo .bce. L’ altro .aed. al’ al- tro .bec. E hano e lati .ab. e .bc. infra loro iguali. Ove gli altri lati del’ uno triangolo agli al- tri lati del’ altro triangolo fienno iguali, cioé il lato .be. al lato .ed. E il lato .ce. al lato .ea. E, per- ché il diametro .ac. è iguale al diametro .bd., e sonno segatosi per igual parti nel ponto .e. E

peró ciascuna parte sia .5., ch’ era bisogno mostrare.

E, dicendo che l’ area sia .48. e, agionto un de’ lati magiori conn’ un de’ minori, fanno .14. E adimandase quanto sia il lato longo: over il breve. La mitá de’ .14., in sé mul- tiplica, fanno .49. Del quale togli l’ area, cioé .48., rimane .1o. Del quale la radici agion- gni a .7., fanno .8. per lo lato magiore, che infino in .14., v’ é .6. per lo lato minore. Verbi gratia. Sia el quadrilatero .bgde. parte altera longiore. E sia .bg. il lato breve e il .gd. sia il magiore e menise la retta .bg. infino al ponto .a. E sia la retta .ga. iguale ala retta .gd. E dividase la retta .ab. in .2. parti iguali sopra il ponto .c. Sia la linea .ba.14., dove .ac. over .bc. sienno .7. E, perché la retta .ba. è divisa in .2. parti iguali e in .2. parti non iguali sopra e ponti .g. e .c., sia .bg. in .ga., col quadrato dela linea .gc., iguale al quadrato dela linea .ca., per quinta secundi Euclidis. Ma il .bg. in .ga. è commo .bg. in .gd. e del .bg. in .gd. ne perviene l’ a- rea, cioé .48. Adonca .bg. in .ga. è .48. A’ quali, agiongnendo el quadrato dela linea .gc., fa- rá .49. Adonca il quadrato del .gc. è .1o. Del quale la radici è uno, che tanto è la linea .gc. Adon- ca .bc. è .8., che è igual al lato .gd. per lo magiore lato.

A ncora, se l’ area è .48., il lato magiore agionga sopra il minore .2., adimandase quan- to é il lato magiore è quanto il minore. Togli la mitá di .2., che è uno, e in sé multi- plica, fanno .1o. Agiongni a .48., fanno .49., la cui radici é .7., che, al detto .1o., ch’ é mi- tá de .2., agionto, fanno .8. per lo lato magiore e .6. per lo minore, che ancora il pos- siamo comprendere nela figura qui scritta. Sia il magiore lato commo dicemmo .gd., che è igua- le ala retta .bc. e .ga. E tolgase dala retta .ga. la retta .gc., che sia .2., dove la retta .ac. sia iguale ala retta .bg. Dividase adonca la retta .gc. in .2. parti iguali sopra il ponto .f. Sia la retta .af. iguale ala retta .bc. Adonca la retta .ab. è divisa, in .2. parti iguali, sopra .f., in .2. parti non igua- li, sopra il ponto .g. Dove, per la .5a. del .2o. de Euclide, la multiplicatione del .ag. in .gb., col qua- drato dela linea .gf., è iguale al quadrato dela linea .af. Ma .bg. in .ga. è .48. E il quadrato del .gf. è uno, adonca .bg. in .ga., col quadrato dela linea .gf., è .49. De’ quali la radici è .7. per la linea .af. Al qual, agionto .fg., ch’ é uno, sia tutta .ag.8., che è il lato magiore. Over, se del .fb., che è .7., si trae .fg., che è uno, rimane .bg.6. per lo lato minore. Over altramente poni el la- to brieve una cosa, sará el lato magiore una cosa e .2. E, perché a multiplicare el magiore la- to per lo minore fanno .48., adonca, a multiplicare una cosa è .2., fanno similmente .48. E, a multiplicare una cosa in una cosa e .2. fanno uno censo e .2. cose. E questo è iguale a .48. Do- ve opra secondo la regola del’ algebra: harai la cosa valer .6., dove il lato minore è .6. e il ma- giore è .8., commo volavamo.

A ncora e gli é un quadrilatero parte altera longiore del quale l’ area è .48. e il diame- tro è .10., adimandase quanto è il lato suo. Sopra il quadrato del diametro agion- gni el doppio del’ area, cioé sopra .100. agiongni .96., fanno .196. Del quale la radi- ci è .14., per l’ agiontione d’ amendoi e llati. Verbi gratia. Sia il quadrilatero par- te altera longiore .abgd. Del quale il diametro .ag. è .10. E menise la retta .ab. infino al ponto .e. E sia .be. iguali al .bg. E, perché la retta .ae. è divisa in .2. parti sopra il ponto .b., fienno e .2. quadrati dele parti .ab. e .be., col doppio del .ab. in .bc., iguali al quadrato di tutta .ae., per la quarta del .2o. de Euclide. Ma la parte .bc. è iguale al lato .bg. Adonca e quadrati dele li- nee .ab. e .bg. è iguale al quadrato di tuta .ae. Ma e quadrati de’ lati .ab. e .bg. fanno quan- to el quadrato del diametro. E il doppio del .ab. in .bg. fa il doppio del’ area, cioé .96. che, con .100. agionti, fanno .196. per lo quadrato dela linea .ae. Adonca .ae. è la radici di .196., che è .14., commo dicemmo. Dapoi, a trovare ciascun lato per sé, fa commo dicemmo di sopra: cioé dove dicemmo l’ area è .48. e il lato magiore col minore fanno .14.

Ancora e gli é un quadrilatero parte altera longiore del quale il diametro è .10. e, ragionti, uno de’ lati minori con un de’ lati magiori, fanno .14. Adimando quanto è l’ area e quanto è ciascuno lato. Multiplica .14. in sé, fanno .196., del quale togli el quadrato del diametro, cioé .100., rimangano .96., de’ quali la mitá è .48. per l’ area del ditto quadrilatero. E diremo ora e gli é un quadrilatero del quale l’ area è .48. E il diame- tro è .10., che, commo di sopra dicemmo, farai. E harai il lato minore .6. e il magiore .8. Che ancora nella sopraditta figura con quest’ ordine. El quadrato del diametro .ag. è iguale a’ .2. quadra- ti de’ .2. lati .ab. e .bg., cioé a’ quadrati delle parti .ab. e .bc. Ma gli quadrati dele parti .ab. e .be., col doppio del .ab. in .be., è iguale al quadrato dela linea .ae. Adonca il quadrato del diametro .ag., col doppio del .ab. in .bc., è iguale al quadrato .ae. Onde, se si togli el quadra- to del diametro, cioé .100., del quadrato dela linea .ac., cioé di .196., rimarranno .96. per lo doppio

del .ab. in .be., cioé per lo doppio del .ab. in .bg., adonca .ab. in .bg. fanno .48., cioé la mitá di .96. Ma .ab. in .bg. fa l’ area del ditto quadrilatero. Adonca l’ area è .48., commo dicemmo, dove, vo- lendo e lati, farai per lo modo dato e harai il magiore .8. e il minore .6.

Ancora e gli é un quadrilatero parte altera longiore. Del quale il diametro agion- to al lato minore fanno .16. E l’ altro lato è .8. Adimandase quanto è il lato mino- re e quanto il diametro. Multiplica .16. in sé, fanno .256., del quale togli el quadra- to del dato lato, cioé .64., rimangano .192. El quale dividi per lo doppio di .16., cioé per .32., vienne .6. che è il lato che è congionto col diametro. Adonca il diametro è .10., cioé trat- to .6. del .16. Verbi grattia. Sia il quadrilatero preditto .bgdc. E sia il diametro .bd. col la- to .bg.16. E il lato .dg. sia .8. Poni adonca il lato .bg. una cosa, rimarrá il quadrato .dg.16. me- no una cosa, che lo multiplica in sé e haremo .256. e uno censo meno .32.cose. per lo quadra- to del diametro .bd. Ma il quadrato del .bd. è iguale a’ .2. quadrati .bg.e .gd., che sonno e la- ti del ditto quadrilatero. Ove ristora le parti dando a ogni parte .32. radici. Haremo che gli .2. quadrati de’ .2. lati .dg. e .bg., con .32. radici, sonno quanto .256. e uno censo. Dove multiplica il lato .dg. in sé, che è .8., fanno .64. E multiplica il lato .bg. in sé, fa uno censo e harai uno censo e .64. e .32.cose. iguali a uno censo è .256. Ove ristora le parti levando a ogni parte uno cen- so e .64. Haremo .192. iguali a .32. cose. Ove la cosa vale .6. E tanto è il lato .bg. che, tratto di .16., rimangano .10. per lo diametro .db.

Ancora e gli é un quadrilatero parte altera longiore che ’l suo diametro è .4. piú che llato minore. E il lato magiore é .8. Adimando quanto è il lato minore e quan- to il magiore. Multiplica .8. in sé, fanno .64. A’ quali agiogni lo quadrato del .4., fanno .80. E radoppia el detto .4., sonno .8., per li quali dividi .80., vienne .10. per la quantitá del diametro. Del quale trai .4., rimangano .6. per lo lato minore. E questo modo è trovato, quando reducesse questa questione a una dele .6. regole del’ algebra. In questo mo- do prima è manifesto che gli .2. quadrati, cioé quello del lato minore e quello del lato ma- giore, insiemi agionti, sonno iguali al quadrato del diametro. Onde poni il diametro una co- sa che in sé multiplica, sará el quadrato del diametro. E multiplica il lato minore in sé, che è una cosa men .4., fanno uno censo e .16. men .8. cose che, agiontovi il quadrato del lato minore, haremo uno censo e .80. men .8.cose. E questo sonno iguali a uno censo. Ove raguaglia le par- ti: haremo che .8.cose. sonno iguali a .80., dove la cosa vale .10. E tanto è il diametro e il lato minore sia .6.

Ancora e gli é un quadrilatero parte altera longiore che, multiplicato il lato magiore per l’ area sua, fanno .384. E il lato minore è .6. Adimandase quanto è il lato magio- re. E gli é certa cosa che l’ area è la multiplicatione del minore lato nel magiore. Onde, multiplicando el magiore lato per l’ area, é quanto multiplicare el mino- re lato per lo quadrato del magiore, cioé la multiplicatione del minore lato per lo magiore e tutto per lo magiore è quanto la multiplicatione del magiore lato nel magiore e tutto nel minore. Onde, dividendo .384. in .6., ne viene .64. per la multiplicatione del lato magiore in sé. Adonca il lato magiore fu .8.

Ancora e gli é uno quadrilatero parte altera longiore. Del quale l’ area è .48. E, di- viso lo lato magiore per lo minore, ne viene .1 1/3. Adimandase quanto è il lato mino- re e quanto el magiore. Poni il lato brieve .3. per .1/3., che è denominato da quello e multiplica per .1 1/3., fanno .4., che lo poni per lo lato magiore. Onde in che propor- tione è .3. a .4., in medesima proportione è lo lato minore al lato magiore. Onde multiplica- rai .3. per .4., fanno .12., per gli quali dividi .48., vienne .4., la cui radici è .2. e multiplicalo per la medesimo .3. e .4. posta, fanno .6. e .8. per ciascuno lato, cioé .6. per lo minore e .8. per lo magio- re. Over multiplica .3. per .48. e dividi per .4. e haremo .36. De’ quali la radici è il lato minore. E, per lo magiore, multiplica .4. per .48. e dividi per .3., vienne .64. per lo quadrato delo lato magiore, adonca il lato magiore è .8. E, se a partire il lato minore per lo lato magiore ne vien .3/4., porrai per lo lato magiore .4., che denomina .3/4., e per lo minore .3. e dapoi segui commo è ditto. Ancora e gli é un quadrilatero parte altera longiore del quale il lato minore col diametro è .16. E il lato magiore è piú .2. che ’l lato minore. Adimando quanto è ciascuno lato e quanto è il diametro. Dirai, se si ragiogni il lato magiore col dia- metro, fanno .18. Onde multiplica .16. in sé e .18. in sé e haremo .256. e .324. E agion- gni le ditte multiplicationi insiemi, fanno .580., del quale togli il quadrato de .2., rimangano .576.

De’ quali la radici è la summa de doi lati e del diametro. Del quale togli il diametro e

il lato brieve, cioé .16., rimangano .8. per lo lato magiore. E, se voi il diametro, trai .8. di .18., ri- mangano. 10. per lo diametro. E il minore lato sia .6. Onde, se al computamento del’ alge- bra la voi redurre, poni il lato minore una cosa, rimarrá il diametro .16. meno una cosa. Mul- tiplica adonca una cosa per una cosa, fanno uno censo. El quale agiongni al quadrato del la- to magiore, cioé al quadrato d’ una cosa e .2., che è uno censo e .4.cose. e .4., per lo quadrato de- lo lato magiore, che, con .1. censo agionto, fanno .2.censi. e .4.cose. e .4. E questo è iguale al qua- drato del diametro, cioé a .16. meno una cosa, che è .256. e .1. censo men .32. cose. Restora le par- ti dando a ogni parte .32.cose. e levando da ogni parte .4. per numero e .1. censo. E haremo che uno censo e .36.cose. sonno iguali a .252. Dimezza le cose, sonno .18., in sé multiplica, fanno .324., poni sopra .252., fanno .576. la cui radici è .24., dela quale tra’ .18., rimangano .6. per lo la- to minore. E il lato magiore sia .8. e il diametro sia .10.

Ancora .2. lati che l’ area fanno .62. e il lato magiore agionga al minore .2. Adiman- do quanto è ciascuno lato del quadrilatero parte altera longiore. El modo a que- sto trovare è questo questo. Che traga .2. di .62., rimangano .60. e il .2., il quale è la mitá de’ .4. lati, cioé del numero de’ .4. lati, in sé multiplica, fanno .4. Agiongni a .60., fanno .64., la cui radici è .8., sia il lato magiore. O, se voi il lato minore, tra’ .2. di .8., rimangano .6. per lo lato mimore. E prociede questo modo ditto di questa regola. Poni el lato minore una cosa e il lato magiore sia una cosa e .2. E, a multiplicare il lato breve per lo lato magiore, fanno .1o. censo .2. cose. E questo è l’ area. Alla qual summa, agiongnendo e lati, cioé .2.cose. e .2., fanno .1. censo e .4.cose. e .2. iguali a .62. Ove tra’ .2. di ciascuna parte, harai .1. censo e .4.cose. iguali a .60.

Dove dimezza le cose e in sé multiplica e agiongni a .60. Haremo .64. La cui radici è .8. che, tra- tone .2., rimangon .6. per lo lato minore et cetera.

Ancora e gli é uno quadrilatero parte altera longiore del quale, multiplicato il dia- metro per lo lato magiore, fanno .80. E il lato breve è .6. Adimandase quanto è cia- scun lato, cioé quanto è il lato magiore. Multiplica .80. in sé, fanno .6400. e .6. in sé, fanno .36.; togli la mitá de .36., che è .18., del quale il quadrato è .324. Ragiongni a .6400., fanno .6724., de’ quali la radici è .82. che, con la mitá del .36., fanno .100. De’ quali la ra- dici, cioé .10., è il diametro. Per gli quali .10. dividi .80., vienne .8., che sonno il lato magiore. O- vero delo .82. tra’ .18., rimarrá .64., de’ quali la radici è il lato magiore, che è .8. E, se ala computa- tione del’ algebra la voi ridure, perché dela multiplicatione del diametro nel magiore lato pervienne .80., adonca, a multiplicare e quadrati loro l’ uno contro l’ altro fanno el quadrato del .80., cioé .6400. Ma il quadrato del diametro è iguale a .2. quadrati: cioé al quadrato del lato minore e al quadrato del lato magiore. E il quadrato del lato minore è .36., adonca, a mul- tiplicare il quadrato del magiore lato in sé e in .36., fanno .6400. Onde poni el quadrato del magiore lato una cosa che, in sé multiplicato e in .36., fanno .36.cose. e uno censo, che sonno igua- li a .6400., dove opra secondo la regola: cioé dimezza le cose, sonno .18., multiplica in sé, fanno .324., pon sopra .6400., fanno .6724. Del quale la radici è .82., trane .18., rimangano .64., del quale la radici è il lato magiore, cioé .8. imperoché si pose il quadrato essere una cosa, cioé il quadra- to del magiore lato.

Per la qual regola faresti, dicendo multiplicato el minore lato del quadrilatero parte altera longiore per lo diametro fanno .60. e il lato magiore è .8. Che haresti che uno censo e .64. radici sonno iguali a .3600., che multiplicaresti la mitá di .32. in sé e agiongni a .3600. e haresti .4624., la cui radici è .68., tratone .32., rimanga- no .36., la cui radici è .6. per lo lato minore et cetera.

Ancora e gli é uno quadrilatero parte altera longiore che ’l lato minore, con la sua area, è .54. E il lato magiore è .2. piú che ’l minore. Adimandase quanto è ciascun lato. Perché a multiplicare el magiore lato per lo minore ne perviene l’ area sua, se porremo il lato brieve una cosa, fará il lato magiore una cosa e .2. che, multi- plicato per una cosa, cioé per lo lato minore, fanno .1. censo e .2.cose. per l’ area, a’ quali, agionto una cosa, cioé il lato minore, haremo .1. censo .3.cose. iguali a .54. Dove multiplica .1 1/2., cioé la mi- tá dele cose, in sé, fanno .2 1/4., agiongni a .54., fanno .56 1/4. la cui radici è .7 1/2. che, tratone .1 1/2., riman- gano .6. per lo lato minore e il magiore è .8.

E dicendo e gli é un quadrilatero parte longiore del quale il lato magiore con l’ area è .56. E il lato minore è .2. meno che ’l magiore. Adimando quanto é ciascun lato. Poni il lato magiore una cosa, sia il minore una cosa meno .2. Multiplica il magiore per lo minore, fanno uno censo men .2. cose. Agiongni il lato magiore, cioé

una cosa, fanno .1. censo meno una cosa: per lo lato iguale a .56. Dimezza una cosa e .1/2., multipli- ca in sé, fa .1/4., poni sopra .56., fanno .56 1/4. la cui radici è .7 1/2., poni su .1/2, fanno .8. per lo lato magio- re e il lato minore sia .6.

E dicendo e gli é uno quadrilatero parte altera longiore del quale ’.4. suoi lati, con l’ a- rea sonno .76. E il lato magiore avanza al lato minore .2. Adimando quanto è cia- scun lato. Poni il lato minore una cosa, sia il lato magiore una cosa e .2. che multi- plica una cosa via una cosa e .2., fanno un censo e .2. cose. Agiongnivi li .4. lati, cioé .4.cose. e .4., fanno un censo, .6.cose. e .4., che sonno iguali a .76. Dove da ogni parte leva .4., rimarrá un censo e .6.cose. iguali a .72. Dimenzza le cose, sonno .3., multiplica in sé, fanno .9., poni sopra .72., fanno .81. del quale la radici è .9. che, trattone .3., rimangano .6. per lo lato minore e il magiore è .8.

Ancora e gli é un quadrilatero parte altera longiore del quale, tratto del’ area sua el minore lato, rimane .42. E avanza el magiore lato al minore in .2. Adimando quanto è il minore lato e quanto il magiore. Poni il lato minore una cosa, si- rá il magiore una cosa e .2. Dove multiplica una cosa via una cosa e .2., cioé il mi- nore lato per lo magiore, fanno un censo e .2.cose. e tanto è la sua area. Dela quale trai il mi- nore lato, cioé una cosa. Rimangano un censo e una cosa. E questo è iguale a .42. Dimez- za le cose e multiplica in sé e pon sopra .42. Harai .42 1/4. La cui radici è .6 1/2., trane .1/2., rimanga- no .6. per lo lato minore e .8. sia il magiore.

Ancora e gli é un quadrilatero parte altera longiore del quale, tratto del’ area il la- to magiore, riman .40. E il lato magiore avanza al minore .2. Adimando quan- to è ciascun lato. Dirai, se a trare il magiore riman .40., a trarne il minore rimar- rá .42., dove opera commo nela passata e harai il lato minore .6. e il magiore .8.

Ancora e gli é uno quadrilatero parte altera longiore del quale, tratto ’.4. suoi lati de- la sua area, rimangano .20. Et il magiore lato avanza al minore .2. Adimando quan- to è ciascun lato. Poni el lato minore una cosa, sia il magiore una cosa e .2. E multiplica il lato magiore per lo minore, cioé una cosa per una cosa .2., fanno un censo e .2. cose. E tanto è l’ area dela quale tra’ .4.cose. e .4., cioé e .4. suoi lati, rimangano un cen- so men .2.cose. e .4. E questo è iguale a .20. Dove raguaglia le parti dando a ogni parte .2. cose e .4. E haremo che un censo sonno iguali a .24. e .2. cose. Dove dimezza le cose e multiplica in sé e poni sopra a .24. e dela summa piglia la radici e agiongnivi la mitá dele cose e haremo .6. per lo lato minore e .8. per lo lato magiore.

Ancora e gli é un quadrilatero parte altera longiore. Del quale, agionto un lato mi- nore con un lato magiore e il diametro, fanno .24. E l’ area sua è .48. Adimanda- se quanto é ciascuno lato. Multiplica .24. in sé fanno .576. Del quale tra’ el do- pio del’ area sua, cioé .96., rimangano .480. Del quale piglia la mittá che è .240. e partilo per la summa de’ .2. lati e del diametro, cioé per .24., vienne .10. per lo diametro che, tratto di .24., rimangano .14. per li lati. Onde comprenderai che il minore lato è .6. e il magiore è .8., imperoché dirai la summa è .14., cioé è de’ .2. lati e l’ area è .48. Dove, comme habiamo ditto, farai e harai il proposito. E donde questo modo procieda voi cognoscere. Sia la retta .ab.24., cioé la summa de’ .4. lati. e del diametro. E sia .ac. iguale al magiore lato del dato quadrilatero parte altera longio- re e .cd. sia iguale al minore lato. Rimarrá adonca .db. iguali al diametro. Faciase adonca, so- pra la retta .ab., il tetragono .ae. E menise el diametro .fb. e per gli ponti .c. e .d. si menino le rette .cg. e .dh. equedistanti alle rette .af. e .be. e per gli ponti .i.k. si menino le rette .lim. e .npko. E, per- ché e gli é tetragono la figura .ae., fienno ancora tetragoni le figur scritte intorno al diametro .fb., per lo corelario dela .4a. del .2o. Adonca tetragono è .kdbo. e .knfh. Ancora, perché tetra- gono è la figura quadrilatera .nh., fienno ancora tetragoni .pimk. e .ilfg. ed é il lato del tetra- gono .do. la retta .db. Onde il tetragono .do. è iguale al quadrato del diametro. E il tetragono .pm. il suo lato è la retta .pk., che è iguale ala retta .cd. e .cd. è iguale al minore lato. Adonca il tetragono .pm. è il quadrato del minore lato. E il tetragono .lg. è iguale al quadrato del magio- re lato. Perché la retta .li. è iguale ala retta .ac. e .ac. è fatta iguale al magiore lato del quadri- latero parte altera longiore del quale parliamo. E, perché .pm. è tetragono, sará la retta .kp. iguale ala retta .pi., adonca .pi. è iguale al minore lato e .il. è iguale al lato magiore. Adonca il supplemen- to .ni. è iguale al’ area del dato quadrilatero. E il supplemento .ih. è iguale al supplemento .ni., com- mo mostra Euclide nel primo per la .43a. Adonca li supplementi .ni. e .ih. sonno doppi al’ area del da- to quadrilatero parte altera longiore. E quali supplementi sonno .96. che, tratti del’ area del ditto

tetragono, cioé de .576., rimangano .480., cioé il tetragono .lg. e .pm. e il gnomone .aoh. Ma il tetragono .lg. col tetragono .pm. sonno iguali al tetragono .do. Imperoché gli quadra- ti degli .2. lati del quadrilatero parte altera longiore sonno quanto il quadrato del diametro. Adonca il tetragono .do. con lo gnomone .aoh. sonno .480. Ma la superficie .ao. è la mi- tá del tetragono .do. e del gnomone .aoh., che chiaro appare, imperoché la mitá del gnomo- ne .aoh. e lo quadrilatero .nk.ba. è la mitá del tetragono .do. e il triangolo .kbo. E, agionto il triangolo .kbo. al quadrilatero .nkba., fanno la superficie .ao. La quale è fatta del .ab. in .an., cioé .db. che è iguale al diametro. Adonca partendo .240. per .24., che è .ab., vienne .10. per lo lato del te- tragono .do. Adonca .do. è per lato .10. E peró il diametro è .10. e questo era bisogno mostrare. Ancora e gli é uno quadrilatero parte altera longiore che, agionto e .2. lati, cioé uno minore e uno magiore con lo diametro, fanno .24. e il lato magiore è piú che ’l minore .2. Adimandasse quanto è ciascuno lato. Radopia il quadrato di .24., cioé .576., fanno .1152. sopra il quale agiongni il quadrato dela soprabundantia del magiore lato al minore, cioé il quadrato di .2., fanno .1156. De’ quali la radici, cioé .34., tranne .24., rimangono .10. che sonno il diametro. Dove infino in .24. v’ é .14. per gli .2. lati. Del quale .14. tranne .2., rimangano .12., de’ quali la mitá è .6. per lo lato minore. E .8. per lo lato magio- re. E, volendo mostrare la regola di tale dimostratione, sia uno tetragono .abcd. havente per ciascun lato la quantitá degli lati e del diametro. E sia .be. iguale al magiore lato et .ef. sia igua- le al minore. Rimarrá .fc. iguale al diametro e menise il diametro .ac. e per lo ponto .f. si meni la linea .fgh. equedistanti a ciascuna dele linee .ba. e .cd. E per lo ponto .g. si meni la linea .igk. equedistante ala retta .bc. e sia la retta .ig. equedistante e iguale e ala retta .bf. e tolghi- se dala retta .gi. la retta .gl. che sia iguale ala retta .fe. Rimarrá adonca .li. iguale ala retta .eb. Adonca .gl. è iguale al minore lato e .li. al magiore lato. E tolghise dal .li. la retta .im. (cioé quello in che il magior lato avanza el minore) rimarrá .lm. igual al .lg., cioé al minor lato. E menise .ad. nel ponto .n. E sia .dn. iguale al .fc., cioé al diametro. E faciasi sopra .an. el tetragono .nopa. e, perché e sonno tetragoni .bd. e .pn. e sonno intorno a uno angolo, cioé al .a. conn’ un diametro fienno. Adonca, menato il diametro .ac. nel ponto .o., sará la ret- ta .ao. diametro. E menise la retta .dc. infino al .q. e la retta .bc. infino al .r. Onde .qr. sia tetragono e contiene in sé il quadrato del diametro del dato quadrilatero parte altera longiore detto. E tutto il tetragono .pn. è iguale al tetragono .bd. e al gnomone .bod. E, questo inteso, lo mostraró commo lo gnomon .bod. è iguale al tetragono .bd. e al tetrago- no fatto dela linea .im., che è quello che ’l magiore lato avanza al minore. Sonno certamente li supplementi .pc. e .cn. iguali ale superficie .bk. e .fd. Ma le .2. superficie .bk. e .fd. sonno iguali al gnomone .ich. e al tetragono .fk. a’ quali, agionto lo iguale del tetragono .qr., che è iguale al te- tragono .fk., sirá il doppio del tetragono .fk., col gnomone .ich. iguale al gnomone .bod. Restaci a mostrare el doppio del tetragono .fk. essere quanto il tetragono .ih. e al tetrago- no fatto del .im. É certamente .gm. diviso in .2. parti al ponto .l., ala quale per lo diritto á agion- to .im. dove, per la .6a. del .2o. de Euclide, sará cosí il tetragono fatto dal .gi. con quel tetragono ch’ é fatto dal .im. iguale al doppio del tetragono fatto dal .lg. Ma il tetragono .gi. è il tetrago- no .ih. Adonca il tetragono .ch., col tetragono fatto dal .im., è questo il doppio del tetragono fat- to dal .lg. E il tetragono fatto dal .lg. è quanto il tetragono .fk. E peró il tetragono .ih. col te- tragono fatto dal .im. è quanto il doppio del tetragono .fk. Adonca lo gnomone .bod. è quan- to il tetragono .bd. e il tetragono fatto dal .im. Ora veniamo ala cagione. Multiplicammo di sopra .24. per .24. e havemmo .676. per lo .bd. dove lo radoppiammo, cioé agiognemovi altretan- to, feci .1152. E, dapoi, v’ agiongneremo .4., cioé il tetragono .im. per lo tetragono .pn., del qual il la- to è .34., cioé la radici de .1156. del quale, tratto .pq., rimasono .10., cioé .qo. ala quale è iguale la retta .cf. Adonca .cf. è .10. commo dicemmo et cetera.

E possiamo ancora altramente venire ala noticia de’ detti lati, cioé che poniamo il lato brieve una cosa, sia il magiore una cosa .2. che, tratti di .24., rimane il diame- tro .22. meno .2. cose. Dapoi multiplica il minore lato in sé, fanno uno censo. E il ma- giore lato in sé fanno uno censo e .4.cose. e .4. Agiongni a uno censo: fanno .2. censi e .4.cose. e .4. E questo è iguale al quadrato de il diametro, cioé al quadrato de .22. men .22.cose., che è .484. e .4.censi. meno .88.cose., ove .484. e .4.censi. men .88.cose. sonno iguali a .2. censi .4.cose. e .4. Raguaglia le parti dando a ciascuna .88. cose e levando da ciascuna .4. e .2. censi. Haremo che .2.censi. e .480. sonno iguali a .92. cose. Parti ne’ censi e harai che uno censo e .240. é iguale a .46. cose. Dimezza le cose e in sé multiplica e tranne .240., rimarrá .289.

la cui radici è .17. che, tratta di .23., rimane .6. per lo lato minore. Ancora e gli é uno quadrilatero parte altera longiore che ’l suo diametro è .2. piú che ’l magiore lato. E il magiore lato è .2. piú che ’l minor. Adimandasse quanto è ciascuno lato. Sempre, quando le soprabundancie sonno iguali, multiplicarai quel- la soprabundantia per .5. e harai il diametro. E, se per .4., harai il magiore. E, se per .3. harai il minore. Verbi gratia: in questo exemplo multiplica .2. per .5., fanno .10. e questo è il diametro che, multiplicato ancora .2. per .4., fanno .8. per lo lato magiore e, multiplicato .2. per .3., fanno .6. per lo lato minore. E questo aviene, perché il quadrilatero parte altera longiore del qua- le il lato magiore è .4. e il lato minore è .5., il diametro sia .3. e di questi lati la soprabundantia è .1o. E peró comme .1o. è a quali voi soprabundantia: cosí questi .3. lati fienno agli lati di quello quadri- latero parte altera longiore del quale sia data la soprabundantia. Comme se la soprabundan- tia sia .3., perché .3. sonno .3. cotanti del .1o., cosí .3. cotanti fienno e lati de’ lati preditti, cioé il diame- tro sia .15. e il magiore lato .12. e il minore .9. E se ’l magiore lato fosse .20., parti per .4., vienne .5. per la soprabondantia. E, se ’l diametro fosse .20., la soprabondantia sia .5. e, se ’l minore lato è .20., sará la soprabundantia .6 2/3. et cetera.

E dicendo e gli é uno quadrilatero parte altera longiore del quale l’ abundantia del diametro al lato magiore è .1o. e l’ abundantia del magiore lato al minore è .7. Alo- ra opererai per l’ algebra. E porremo il lato minore una cosa: sará il lato magiore .1a. cosa .7. E il diametro sia una cosa e .8. E multiplica una cosa in sé, fanno .1. censo e una cosa e .7. in sé, fanno un censo .14.cose. e .49. che, insiemi agionti, fanno .2.censi.14.cose. e .49., che sonno iguali al quadrato del diametro, cioé ala multiplicatione d’ una cosa e .8. in sé. La qual multiplicatione è uno censo e .16.cose.64. Togli adonca da ogni parte .1o. censo e .14.cose. e .49.

Haremo .1o. censo iguale a .2.cose. e .15., dove dimezza le cose e uno in sé multiplica, fanno, con .15.16. del quale la radici è .4. che, con .1o., sonno .5. per lo lato minore. E il magiore .12. E il diametro .13. et cetera. Ancora questa: e gli é el tetragono .abde. el cui diametro .eb. e li .2. supplementi .ai. e .id., che ciascuno è .7. piú longo che largo, cioé .ag. piú che .gi. over .dk. piú che .ik. e li quadrati deli lor lati, gionti asiemi, fanno .169. o voi dire che ’l diametro de ciascuno è .13. Dimandase che siano per ciascuna facia ditti supplementi. Poni per algebra che .gi. over .ik. sia una cosa, donca .ag. sia una cosa piú .7. e cosí .dk. Ora quadra ciascuno de’ ditti lati, multiplica .1.co. in sé, fará .1.ce. e poi multiplica .1.co. piú .7., che è la loro longhezza, pur in sé, fará .1.ce. piú .14.co. piú .49. per lo quadrato .hf. e a questo giongnici .1.ce. per lo quadrato .gk., faran .2.ce. piú .14.co. piú .49. E questa summa sirá equale a .169. over la .R. de questa summa sia iguale a .13., cioé al diametro de ciascuno de’ supplementi. Ora, per venire ala valuta dela cosa, cava .49. che è el quadrato dela superficie habundantia in che el magior lato excede el minore, resta .120. iguale a .2.ce. piú .14.co., parti la equatione nela quantitá deli censi, che son .2., ne ven .60. per uno extremo dela ditta equatione che sia la superficie over area d’ uno de’ ditti supplementi. E, per l’ altro extremo, sia .1.ce. piú .7.co. e sonno equali a .60. Seque el capitulo smezzando le cose, che son .7., ne ven .3 1/2. e multiplicando l’ una de ditte mitá in sé, fa- rá .12 1/4. e, sopra questo ponendo el numero, cioé .60., fará .72 1/4. la cui .R., meno el dimezzamento dele co- se, vene a valere la cosa, cioé .R.72 1/4. men .3 1/2., che vol dire .5., perché la .R. de .72 1/4. è .8 1/2. che, trattone .3 /12., resta .5. per la valuta dela cosa e tanto dirai che fosse largo ciascun de’ ditti supplementi e la longhe- zza dirai che fo .R.72 1/4. piú .3 1/2., cioé .12. aponto per lo .ag. over .dk. e fie facta unde per lo tema tu hai che .ag. è piú .7. che non è .gi. over .ik., perché .ag. è .12. e lo .gi. è .5. Sí che s[e] tu ben guardi el tema è satisfacto, conciosiaché ’l quadrato delo .ag., che è .144., gionto con lo quadrato delo .gi., che è .25., fanno in tutto .169., commo se vole, la cui .R. ene .13. per lo diametro deli supplementi. E lo dia- metro .eb. de tutto el tetragono rettangolo sia .R.578., perché .ei. è .R.288. e .ib.R.50. che, gion- te insiemi, fanno .R.578. per tutta la diagonale .eb. E tu l’ altre simili per te farai et cetera. De dimensione rumborum seu helmuaym Capitulum secundum Gli altri quadrilateri in .4. capitoli se dividono: nel primo sonno rombi, li quali hano e .4. lati infra loro iguali, ma gli angoli non sonno retti. Sia adonca el rombo .abcd., havente cia- scun lato .13. El quale a noi bisogna misurare. E, questo volendo fare, é di bisogno a noi havere uno de’ diametri. E sia adonca uno de’ diametri suoi. E sia il diametro brieve .bd.10. e sia adonca el ditto rombo diviso in .2. triangoli iguali de’ quali ciascun è triangolo equicrurio. Im- peroché gli .2. lati del’ uno sonno iguali agli .2. lati del’ altro: cioé e .2. lati .ab. e .ad. del triangolo .abd. sonno iguali a’ .2. lati del triangolo .bcd., cioé agli lati .bc. e .dc. E il lato .bd. è commune. E peró e .2. triangoli sonno infra loro iguali. Adonca, se l’ area di questo rombo voi, radopierai l’ area del triangolo .abd. over .bcd. e aremo il proposito. E l’ area del triangolo .abd. è fatta dela multiplica- tione del cateto .ae. nella mitá dela linea che è basa .bd., commo nel trattato de’ triangoli demostra-

to fo. Onde, multiplicando el catetto .ae. in tutto .bd., virrá el doppio del triangolo .abd., cioé l’ a- rea del rombo. La quale linea perpendiculare .ae. volendo, multiplica .ab. in sé, che fanno .169., e tranne la multiplicatione del .be. in sé, cioé .25., remangano .144. La cui radici è .12. per la linea .ae. E ancora il catetto .ce. è ancora .12. e sonno in una medesima linea .ae. Onde tutta .ac. è .24. Adonca l’ area del detto rombo è fatta dela mitá del diametro .ac. in tutto il diametro .bd., la quale multiplicatione è .120. E, similmente, quando fosse dato lo diametro .ac.24. e vorrai il diametro .bd., per lo detto modo lo troverai, cioé, perché equicurij sonno li triango- li .bac. e .dac., e sonno infra loro iguali, dove se dela potentia del lato .ba. traremo la poten- tia dela linea .ae., cioé .144. de .169., rimarranno .25. per la potentia del catetto .be. Adonca .be. è .5. dove tutta è .10. E, perché se multiplicaremo el catetto .be., cioé la mitá del diametro .bd. in tutto il diametro .ac., haremo l’ area del rombo, perché multiplicando .be. nella mitá dela ba- sa .ac. fa l’ area del triangolo .abc. E, multiplicando .be. in .ac., cioé .5. in .24., fanno .120. commo di- cemmo. Adonca l’ area de ciascun rombo è fatta dela multiplicatione d’ un diametro nella mi- tá del’ altro. E questa è regola universale a tutti.. E dicendo e gli é uno rombo che ’l magiore diametro è .24. e il minore .10. e voi trovare li lati del rombo. Li quadrati dela mitá de’ dia- metri, cioé dele linee .ae. e .eb., agiongni insiemi, de’ quali la radici, cioé .13., harai per ciascuno lato del rombo.

E possiamo molti questioni sopra li rombi proporre le quali tutte si possono redure agli quadrilateri parte altera longiore de’ qual il lato magiore è la mitá del ma- giore diametro e il lato minore è la mitá del minore diametro. E, acioché chia- ro appaia, sia un rombo .abcd. Dove menise la linea .af. equedistante ala linea .eb. E com- pise .fb. Dico adonca che ’l quadriletero .ef. ala mitá del rombo .abcd. E sonno li lati soi iguali ala mitá de’ diametri .ac. e .bd., imperoché .ae. è la mitá del. ac. e .bc. è la mitta del .bd. É adon- ca il triangolo .abd. la mitá del rombo .abcd. Ma il triangolo .abd. è iguale al quadrilate- ro .ef. É fatto adonca ciascuno del multiplicare .ae. in .eb. Adonca il quadrilatero .ef. è la mitá del rombo .abcd. E il triangolo .abd. è iguale al quadrilatero .ef. e peró è la mitá del rombo com- mo è detto. E commo le questioni de’ rombi si possino redure ali quadrilateri parte altera longiore alcuna dele molte voglio proporró.

Se dicesse io ó agionto li .2. diametri d’ uno rombo e fecero .34. e l’ area del detto rom- bo è .120. Adimando quanto è ciascun diametro. Perché li diametri sonno .34., la mitá di quelli, cioé .ae. e .be. sonno .17. e l’ area del quadrilatero .ef. è .60. Adonca hai produtta questa questione a una dele questioni de’ quadrilateri parte altera longiore. A quella nella quale se propone l’ area essere .60. e l’ agregatione de’ lati è .17. Dove delo quadrato dela mi- tá de’ .17. tra’ .60., rimangano .12 1/4. La cui radici tra’ del .8 1/2. E haremo .5. per lo lato minore. E per lo magiore .12. E, questo trovato, radoppia ciascun lato. E haremo per lo primo diametro, cioé il minore, .10. E il magiore .24.

E ancora dicendo e gli é un rombo che i soi diametri insiemi agionti sonno .34. e il magio- re è piú che ’l minore .14. Adimando quanto é ciascuno e l’ area. Togli .14. di .34., rimanga- no .20., de’ quali la mitá, cioé .10., è il diametro minore e l’ avanzo, cioé .24., è il diame- tro magiore. Dove multiplica la mitá del’ uno diametro per tutto l’ altro e haremo .120. per l’ area. E ancora e gli é un rombo che gli .2. diametri con l’ area del rombo detto fecero .154. e il magiore diametro agiongne sopra il minore .14. Adimando quanto è ciascun diametro e quan- to è l’ area. Perché li .2. diametri del rombo sonno iguali a’ .4. lati del quadrilatero parte altera longiore che è .ef., poni el lato breve una cosa, sará el lato magiore .1.co. e .7.

Multiplica .1.co. via .1.co. e .7., fanno .1.ce. e .7.co., che sonno l’ area del ditto quadrilatero. E, perché el quadrila- tero .ef. è la .1/2. del rombo ditto, radoppiarai .1.ce.7.co., fanno .2.ce.14.co. E tanto è l’ area del rombo. Ala quale agiongni li .2. diametri del rombo, cioé li .4. lati del quadrilatero, che fanno .2.ce.18.co. e .14., che sonno iguali a .154. Togli da ogni parte .154., rimangano .140. Dove harai .2. ce .18.co. igua- li a .140., dove areca a un .ce. harai .1.ce. e .9.co. iguali a .70. Dove parti le cose in .2., sonno .4 1/2., multiplica in sé, fanno .20 1/4. Agiongni a .70., fanno .90 1/4. La cui radici è .9 1/4. Dela quale tra’ .4 1/2., rimangano .5. per lo lato .be., che è la mitá del diametro breve. Adonca il diametro breve è .10. e il magiore è .24. E cosí fa sempre et cetera.

Ancora io ó agionto el diametro breve e il lato del rombo e forono .23. e il diame- tro magiore agiogne sopra el minore .14. Quanto è adonca el diametro e il lato del rombo. Perché el diametro magiore agiongni .14. sopra il minore, adonca la mitá del diametro magiore avanza .7. al diametro minore, cioé il lato .ae. alo la- to sopra lo. lato .eb. Adonca .eb. con .ea. agiongni .7. sopra il diametro .bd. Ma il .bd. con lo lat-

o .ab. sonno .22. adonca .be. e .ae. con .ab. sonno .30. Onde tal questione habiamo creata. Io ó agionto doi lati d’ un quadrilatero col suo diametro e fanno .30. E il magiore lato agiongni al minore lato .7. Fa como di sopra dicemmo e harai el diametro minore .10. e il magiore .24. e il lato del rombo .13.

Ancora e gli é uno rombo del quale multiplicato un diametro in sé e l’ altro in sé e, agionte le ditte multiplicationi, fanno .676. e l’ area è .120. Adimando quanto è ciascu- no diametro. Piglia il .1/4. di .676., che è .169. De’ quali la radici è .13., che è el diame- tro del quadrilatero .ef., cioé il lato del rombo. E, perché dimostrammo di sopra el quadrato del diametro del quadrilatero parte altera longiore, agiongni sopra al doppio del’ area del detto quadrilatero el quadrato dela sopra habundantia de’ lati soi. Adonca, se traremo el dop- pio del’ area del quadrilatero .ef. de .169., rimaranno .49., de’ quali la radici è quello che lo lato magiore del quadrilatero avanza al lato minore che, radoppiato, fanno .14. per la habundan- tia del magiore diametro del rombo al minore. Adonca l’ area del quadrilatero è .60. e il ma- giore diametro avanza al minore .7. Adimando quanto è il lato, dove el modo dato ne’ qua- drilateri terrai e harai sará .5. minore e il magiore .12. Adonca il magiore diametro è .24., il minore .10.

Ancora e gli é uno rombo del quale multiplicato il magiore diametro per lo mino- re fanno .240. e il magiore diametro agiongni sopra il minore .14. Adimandase quan- to è ciascun diametro. Dela multiplicatione dela mitá del’ uno adonca perverá .120., cioé, a multiplicare la mitá d’ un diametro per tutto l’ altro, fará .120. El quale è l’ area del rombo. Adunca, a multiplicare un diametro per l’ altro, fanno el doppio del’ area, cioé el doppio del’ area del rombo. Adon- ca .240. sonno el doppio del’ area del rombo. Onde l’ area del rombo è .120., che è il doppio del’ area del quadrilatero .ef. Adonca l’ area del quadrilatero .ef. è .60. Onde proporremo tal questione. E gli é un qua- drilatero parte altera longiore del quale l’ area è .60. E il magiore lato avanza al minore .7. Adi- mandase quanto è ciascuno lato. Dove oservando i modi passati e dati ne’ quadrilateri, ha- rai el diametro del rombo, cioé il minore, essere .10. e ’l magiore essere .24.

E ancora e gli é uno rombo del quale Io ó agionto e diametri e fecino .34. E, a mul- tiplicare l’ uno diametro nell’ altro fecino .240. Adimandase quanto è ciascuno la- to. E, acció che meglio sia, faciase la retta .ab., che sia .34., e sia divisa, in .2. parti iguali, nel ponto .g. e, in .2. parti non iguali, nel ponto .d. E sia .ad. eguale al dia- metro breve. Rimane adonca .bd. iguale al magiore. E dela multiplicatione del .ad. in .db., col quadrato dela linea .dg., esci il quadrato dela linea .gb., per la .5a. del 2o., cioé de .17., che è .289., de’ quali trarai la multiplicatione del .ad. in .db., rimane .49. per lo quadrato .dg. Adonca .dg. è .7. che, agionto con .bg., sia tutta .bd., cioé il magiore diametro .24. Rimane .da.10., che è il minore diametro. E ancora e gli é uno rombo che, diviso il magiore diametro per lo minore, ne perviene, di quella divisione, .2 2/5. E l’ area del rombo è .120. Adimando quanto è ciascuno diame- tro. Perché e gli é cosí il tutto al tutto cosí ciascuna parte ala medesima parte sará. Adonca cosí el magiore diametro al minore, cosí la mitá del magiore ala mitá del minore. E la mitá del magiore è il lato del quadrilatero parte altera longiore .ef., cioé la linea .ae. E la mitá del minore diametro è lo lato minore del quadrilatero .ef., cioé il lato .eb., cioé il minore lato. Imperoché tutti e numeri che hano una medesima proportione, se si dividono e ma- giori per gli minori, sempre ne perverá una medesima divisione. Adonca, se divideremo el magio- re lato del quadrilatero .ef. per lo minore, cioé .ef. per .eb., ne perverá similmente .2 12/5. Onde è tale questio- ne: l’ area del quadrilatero è .60., cioé la mitá del’ area del rombo e, divisi il magior lato per lo mi- nore e vennene .2 2/5. Multiplica adonca .1. per .2 2/5. e tutto per .60., fanno .144. De’ quali la radici è .12. e quali, divi- si per numeri dela proportione, cioé per .1. e per .2 2/5., vienne .12. e .5. che sonno e lati del quadrilatero .ef., cioé son- no la mitá degli diametri del rombo. Adonca il magior diametro è .24. e il minore .10.

E donde questo venga voi cognoscere, sia unitá .a. e .b. sia .2 2/5. e multiplichise .a. per .b. e pervengane .g. E sia el minore lato del quadrilatero parte altera longiore .d. e il ma- giore .e. E l’ area sia .f. E, perché dela divisione del magior lato per lo minore ne pervie- ne .2 2/5. é comme .a. al .2 2/5., cosí el minore lato è al magiore, cioé cosí .a. al .b., cosí .d. al .e. Onde la multiplicatione del .a. in .e. è commo la multiplicatione del .b. in .d. Se adonca la multiplicatione del .a. in .e. over del .b. in .d. fanno .h. e .h., se multiplichi in sé fanno .i. E multiplichisi .g. in .f. e faccino .k., dico il numero .k. essere iguali al numero .i. Tu multiplicasti certamente .a. in .b. e feci .g. e .d. in .e. e feci .f. e .g. in .f. e feci .k., dico che ’l numero .k. è iguali al numero .i., imperoché gli é fatto dela multiplicatione del .a. in .b. fatto in .d. e multiplicato tutto in .e. Ancora tu multiplicasti .a. in .e. e pervenene .h. e .b. in .d.

e pervennene ancora .h. e del .h. in .h. è fatto .i. Adonca .i. è fatto del multiplicare del .a. in .e. multiplicata per .b. e multiplicato tutto in .d. Ma la multiplicatione del .a. in .b., multiplicata in .d. e tutto multiplicato in .e. è iguale del .a. in .e. multiplicata in .b. e tutto in .d. Adonca .k. è iguali al .i. commo dicemmo. Multi- plicammo adonca di sopra .a. in .b. e feci .2 2/5. El quale multiplicammo per l’ area, cioé .g. per .f. e havemmo il numero .k., cioé il numero .i., che fa .144. Del quale togliemmo la radici che fo .h., perché a mul- tiplicare .h. in sé ne perviene .i. Adonca .h. é .12. E, perché del .a. in .e. ne perviene .h., cioé .12. e .a. è .1.

E peró dividemmo .12. per .1. e per .2 2/5. e vennene .12., che è .e., per lo lato magiore. Ancora del .b. in .d. ne perviene .h., cioé .12. e .b. è .2 2/5. E peró dividemmo .12., cioé .h., per .b., cioé per .2 2/5. e havemmo .d., cioé il lato minore che fo .5. E, se l’ area fosse .100., alora .k., cioé .i., sarebbe .240. Del quale la radici è .h. Ma .240. non á radici. Onde, perché non possiamo dividere .h. per .a. e per .b., torremo i quadrati loro e quelli divideremo per .i. Overo, altramente, torremo la proportione ne’ numeri sani che hano .i. al .b., fienno adonca .5. e .12. sia adonca .a.5. e .b.12. e .60. sia il .g. Dove il .k. over .i. sia .6000., che lo divideremo per gli quadrati de’ numeri .a. e .b., cioé .25. per .144., vienne, per lo magiore lato, la radici .240. e, il minore lato, la radici de .41 2/3. Overo, altramente, poni il lato menore .1a. cosa. Sará il lato magiore .2.cose.2/5., multiplica adonca una cosa in .2 2/5.cose., che fienno .2.censi.2/5., che sonno iguali al’ area data. Sia adonca l’ area data .100. La quale dividerai per .2 2/5., ne vene .41 2/3. De’ quali la radici è il lato minore. E, perché e gli é cosí .a. al .b., cosí .d. al .e., sará adonca com- mo il quadrato .a. al quadrato del nunero .b. per lo quadrato dela quantitá del .d., cioé .144. per .41 2/3. e la summa dividi per lo quadrato del numero .a., cioé per .25., vienne .240. per lo quadrato del lato magiore. E questo basti quanto al dire de’ rombi e, seguendo, diremo dela .3a. parte, dicendo de’ romboidi.

Del .2o. genere de’ quadrilateri è detto assai e del terzo diremo che sonno detti romboi- di. El romboide è una figura paralelograma non rectangola che ha solamente e lati e gli an- goli opposti iguali per la .34a. del po. E, quando adonca gli voi misurare, menerai in quelli il diametro, per lo quale la ditta figura sia divisa in .2. triangoli iguali. On- de, se ’l catetto d’ uno per tutta la basa, cioé per lo diametro suo, multiplicaremo, e haremo l’ a- rea di tutto il romboide. Ala quale demostratione. Sia il romboide .abcd. che per ciascun de’ lati .ab. e .cd. á .30., li quali lati sonno oppositi e sonno equedistanti. Gli altri .2. lati .ac. e .bd. son- no similmente iguali e equedistanti, aventi in ciascun lato .13. E il diametro .bc. sia .37. Dal quale dia- metro el romboide .abcd. é diviso in .2. parti iguali che sonno .2. triangoli: cioé il triangolo .abc. e .dbc. E ciascuno di queli è ampligonio. Perché la potentia del lato .bc. è piú che le .2. potentie de’ lati .ba. e .ac. overo del .bd. e .dc. Onde, sopra la basa .bc., si meni il catetto dal ponto .a. nel triangolo .abc. e sia .ae. E multiplicarai el catetto .ae. per la basa .bc. e harai l’ area di tutto il rom- boide .abcd. Overo truova il catetto .df. nel triangolo .bcd., sopra la basa .bc., e multiplica- rai il ditto catetto per la basa e harai l’ area di tutto il romboide .abcd. Verbi gratia. El romboi- de .abcd. è doppio al triangolo .bcd., del quale triangolo l’ area s’ á dela multiplicatione del catet- to .df. nella mitá dela basa .bc. Onde la multiplicatione del catetto .df. per tutta la basa .bc. fa il doppio del’ area del triangolo .bcd. Adonca fa l’ area di tutto il romboide, che è doppio al triangolo .bcd. Imperoché l’ uno e l’ altro catetto .ae. e .df. troverai essere .9 27/37. che, multiplicati per lo diametro .bc., cioé per .37., fanno .360. per l’ area di tutto il romboide .abcd. Ancora, a multipli- care el catetto .ch. per la basa .ab., fa ancora l’ area del detto romboide. Trovisi l’ uno e l’ altro ca- tetto per la regola di sopra detta nel triangolo ampligonio. Cioé tratta la potentia de’ lati .ca. e .ab. overo .bd. e .de., cioé .1069., che è l’ agiongnimento di .169. e .900., de .1369., cioé dela poten- tia del diametro .bc., che è lato del triangolo .abc., rimangano .300. Del quale mezzo, se lo divi- derai per la basa .cd., cioé per .30., haremo .5. per la quantitá dela linea .dg. overo .ab., del quale la poten- tia, cioé .25., tratta dela potentia del .bd., cioé de .169., rimane .144. Dela quale la radici è .12. per lo catetto .bg. El quale, multiplicato per la basa .cd., cioé .12. multiplicato per .30., fanno .360. per l’ area del detto romboide commo di sopra dicemmo.

Ancora si trova l’ area del romboide per gli .2. altri catetti che sonno .di. e .ak., che si trovano per lo diametro .ad. e per gli lati del romboide. Perché, menato in quello il dia- metro, è risoluto il detto romboide in .2. triangoli oxigonij, commo in questa altra figu- ra si mostra. Deli quali l’ uno è il triangolo .acd. e l’ altro .abd., è il catetto .id. over .ak.12. E nota perché dal .a. nel .i., dove il catetto si mena infra il romboide, infra ‘l .k. e .d., sopra la linea .kd. cade. Imperoché ’l cadimento di quello potrai trovare per quello che infra ‘triangoli oxigonij dicemmo. Overo con lo filo commo ne’ triangoli dicemmo et cetera.

E alcuna volta el romboide che, per lo diametro menore, è risoluto in .2. triangoli ortogonii, commo il romboide .bcde. De’ quali .bc. e .de. lati del ditto romboi- de sonno .35., gli altri .2. lati .bd. e .ce. sonno .37. E il diametro .de. menore sia .12.

Dico adonca il romboide .bcde. essere diviso in .2. triangoli ortogonii, per la po- tentia dela linea .ec., che sonno iguali ale potentie dele linee .cb. e .be. Onde retto é l’ angolo .cbe. Similmente è trovato essere retto l’ angolo .bed. e è iguale el triangolo .cbe. al triangolo .bed. E, perché dela multiplicatione del catetto .be. nella basa .ed. haremo l’ area del rombo- ide .bdec., adonca la ditta area è .420., per la detta area del romboide .bcde. E cosí de tut- ti li romboidi é da ffare et cetera. E questo basti quanto al dire de’ romboidi e, seguendo, dire- mo del’ altro genere.

Dividese questo quarto genere degli quadrilateri in molti diversi generi. E sonno quelli che hano e .2. lati opposti equedistanti e non iguali. E gli primi si dicono caput abscisum, de’ quali gli altri .2. lati sonno iguali infra loro. Commo nel qua- drilatero .abcd. del qual il lato .ab.8. è equedistante alo lato .cd., che è .18., gli altri .2. lati .ac. e .bd. sonno .13. In questa figura el lato .ab. se dici capo tagliato e il lato .bc. si dici tagliamento di base. Dela qual figura l’ area s’ á del multiplicare el catetto nella mitá de’ lati .ab. e .ed. E il catetto si mena dal capo ala basa. Onde, se dal ponto .a. overo dal ponto .b. el catetto, sopra la basa .cd., voi dirizzare, el tagliamento del capo, cioé .8., del tagliamento dela basa togli, cioé di .18., rimangono .10. Del quale la mitá, cioé .5., sia il cadimento .ce. over .df. E, dal ponto .a., el catetto cade sopra .e. E, dal ponto .b., cade sopra .f. Onde, se la potentia del .ce. dela potentia .ac. overo la potentia .df. dela potentia .bd., cioé .25. de .169. trarrai, riman- gano .144. Del qual la radici, che è .12., é la perpendiculare .ae. overo .bf. Li quali .12. multi- plicati in nella mittá de’ lati .ab. e .cd., cioé nella mitá di .26., cioé .13., fanno .156. per l’ area del detto quadrilatero .abcd. Verbi gratia: menate le linee che sonno catetti .ae. e .bf., se ne fa il quadrilatero parte altera longiore .aefb. Del quale l’ area se ne fa dela multiplicatione del catetto .ae. in .ef. e la linea .ef. è iguale ala linea .ab. Adonca .ef. è .8. Per gli quali multiplica- ti .12.bracia., fanno .96.bracia. per l’ area del quadrilatero .aefb. El qual quadrilatero cavato del quadrilate- ro .abcd., rimangano .2. triangoli ortogonii iguali, che sonno .aec.bfd. E la multiplicatione del catetto .ae. nella mitá del .ec. fanno l’ area del triangolo .aec. Onde la multiplicatione dela linea .ae. in tutta .ec. fanno l’ area de’ .2. triangoli .aec. e .bfd. La qual multiplicatione è .90. che, con .96. agion- ta, fanno .156., cioé agionto con .96. che è l’ area del quadrilatero .aefb., commo adonca dicen- mo che gli era quadro el ditto quadrilatero .abcd.156., di sopra. E, se voi trovare il diame- tro .da. e .cb., la potentia dela linea .de. overo .cf., cioé .169., con la potentia del catetto .ae. overo .bf. agiongni, cioé con .144. Haremo .313. Del quale la .R. è lo diametro .da. ove- ro .be., commo se dimandava et cetera.

Ma, se il ponto dove s’ intersega tali diametri voi havere, agiongni el capo con la basa, fienno .26., che in sé multiplica, fienno .676. E, dipoi, il capo .ab. in sé multipli- ca, cioé .8., fanno .64. E la basa in sé, fanno .324. Multiplica adonca .64. per lo qua- drato d’ uno de’ diametri, cioé per .313. E la summa dividi per .676. over il quar- to di .64., cioé .16., per .313. multiplica e dividilo per lo quarto di .676., cioé per .169. e virranne .29 107/169. Di quali la radici è la linea .ag. overo .bg. Similmente multiplica el quarto di .324., cioé .81., per .313. e dividi la summa per lo quarto di .676., cioé per .169. e aremo il quadrato de- la linea .gc. overo .gd. E debbi sapere perché noi pigliamo e quadrati dele dette linee. Per- che .313., cioé il quadrato d’ uno de’ diametri, non hano radici. Imperoché, se ’l diametro fos- se rationale, lo multiplicaremo per .8. e per .18. e divideremo le summe per .26. E cosí hare- mo li tagliamenti de’ diametri. Che tutto vogliamo geometricalmente demostrare. Perché la retta .ab. è equedistante ala retta .dc. Simile è il triangolo .agb. al triangolo .dge. e l’ an- golo .abg. al’ angolo .gcd. iguali e l’ angolo .bag. al’ angolo .gdc. Onde è cosí .ab. al .bg., cosí .dc. al .cg. E, per la permutata proportione, è cosí .ab. al .cd., cosí .bg. al .gc. Ancora e similmen- te un’ altra volta cosí .ab. al .cd., cosí .ag. al .gd. e certamente .ab. del .cd. è .4/9. Onde .bg. del .ga. overo .ag. del .gd. sonno similmente e .4/9. E, perché per la disiuncta proportonalitá e sonno pro- portionali, cioé quelle cose che sonno proportionali per la disiuncta proportione, saranno ancora, per la congionta proportionalitá, in simile proportione. E peró sia adonca cosí .ab. a sé e al .cd., cioé commo

.8. a .26. over .4. al .13., che sonno e minori in detta proportione, cosí .bg. é a tutta .bc. e .ag. a tutta .ad. Adonca .bg. è del .be. li .4/13. E .ag. del .ad. è similmente li .4/13. Onde si fará ratiocinato il diametro .bc. Torremo li .4/13. e haremo la linea .bg. overo .ag. L’ avanzo adonca .gc. overo .gd. sia .9/18. di tutto il diametro. Ma, perché li quadrati del diametro, cioé de radici di .313., è .313. e posse anumerare, che in prima la radici de .313. non si poteva anumerare, pigliaremo li quadrati de .4. e de .13., cioé .16. e .169. Perché e gli é cosí .ab. a sé e al .cd., cosí .bg. al .be., sia adon- ca cosí el quadrato dele linee .ab. al quadrato del’ agiontione dele linee .ab. e .cd., cioé commo .64. é a .676. Overamente commo il quadrato de .64. é al quadrato di .676., cioé .16. a .169., cosí el quadrato dela linea .bg. é al quadrato dela linea diametrale .bc., cioé al .313. E in detta pro- portione è al quadrato dela linea .ag. al quadrato dela linea .ad. Onde la retta .ag. è iguale ala retta .bg. e hano quella medesima proportione. E, perché quando dele cose iguali le co- se iguali si tolgano, quelle cose che rimangano sonno infra loro iguali. Eguale é adonca la retta .gc. ala retta .gd. E hano proportione a tutto il diametro, cioé ala radici di .313., commo .cd. ha a sé e al .ab. La qual proportione è commo .9. al .13. Onde la proportione del quadrato dela linea .gc. overo .gd. è a .313. commo il quadrato de .9. è al quadrato de .13., cioé .81. a .169.

Onde multiplicaremo, commo dicemmo di sopra, .81. per .313. e divideremolo per .169. e havemo il quadrato dela linea .gc. over .gd., ch’ era de bisogno mostrare.

E, se noi vorremo la linea .ca. e .bd. menare per l’ angolo infino a tanto si congion- ghino al ponto .h. Commo in questa altra figura è manifesto. Nella quale la figu- ra del quadrilatero è transmutata in uno triangolo .hcd. E vorrai sapere la quan- titá dela linea .ah. overo .bh., la mitá del capo dela mitá dela basa tra’ , cioé .4. di .9. E sopra l’ avanzo, cioé sopra .5., dividi la multiplicatione dela mitá dela tagliatura del capo nella linea .ca., cioé de .4. in .13., vienne .10.2/5. per la quantitá dela linea .ah. over .bh. E, se multiplicarai el detto .4. per lo catetto .ae., cioé per .12., e divideremo per .5., vienne .9 3/5. per lo catetto del triangolo .hab., cioé per la linea .ih. la quale, menata infino al ponto .k., fará tut- ta la linea .kh. catetto del triangolo .hcd. E, perché nel triangolo .hcd. è menata una linea retta .ab. equedistante ala basa .cd., sia il triangolo .hai. simile al triangolo .hcd., cioé che hano gli angoli eguali infra loro, cioé l’ angolo .hab. al’ angolo .hcd., cioé l’ angolo dentro al’ angolo de fuori è iguale per la .29a. del primo. E l’ angolo .hba. al’ angolo .hdc. è similmente iguale. E l’ an- golo .h. è commune, cioé l’ angolo .ahb. e l’ angolo .chd. é uno medesimo. Simili adonca certa- mente sonno li triangoli. E gli triangoli che sonno simili hano e lati che sonno intorno agli iguali angoli proportionali, comme nel sexto de Euclide s’ é dechiarato. Onde, commo il lato .ha. è al .ab., cosí .hc. è al .cd. E cosí, commo .hb. è al .ba., cosí. hd. è al .dc. Onde, per la permu- tata proportionalitá, cosí commo .ha. al .hc. cosí .hb. al .hd. e cosí .ab. è al .cd. Ancora commo .ab., cioé la basa del triangolo .ahb. è ala basa .cd., cosí el lato .ha. è allo lato .hc. e lo lato .hb. è allo lato .hd. E ancora in simile proportione è il catetto .ih. al catetto .hk. Adonca quella parte che è .ab. del .cd., quella medesima sia .ha. del .hc., cioé che parte è .8. del .18., quella me- desima parte è .10 2/3. di .23 2/5. E ancora quella medesima è .hb. del .bd. e il catetto .ih. del ca- tetto .hk. Onde .8. di .18. sonno li .4/9. E ancora .hb. del .hd. sonno li .4/9. E ancora .hi. del .hk. son- no li .4/9. E in questa figura ancora è il triangolo .cea. simile al triangolo .aih. E gli hano cer- tamente gli angoli iguali: l’ angolo cioé .hia. al’ angolo .aec. Imperoché ciascuno di loro è ret- to. E l’ angolo che è .c. al’ angolo .iah. è iguale. Imperoché gli é la linea .ab. equedistante ala linea .cd. L’ altro angolo, cioé .ahi., al’ altro angolo .cae. iguale, perché e .3. angoli de cia- scuno triangolo sonno a .2. angoli retti iguali per la .32a. del primo. Adonca è cosí .ce., cioé .5., al .ea., cioé a .12., cosí .ai., cioé .4., al .ih., cioé .9 3/5. El quale viene multiplicando .4. per .12. e divi- dendo per .5. Adonca .hi. è .9 3/5. Ancora commo .ec. è al .ca., cioé .5. al .13., cosí .ia. è al .ab., cioé .4. è a .10 2/5., el quale viene del multiplicare .4. per .13. e dividere per .5. E peró .ha. è .10 2/5. E, per queste proportioni, si truovano le misure dele altezze e le longhezze e ancora le profunditá di qual voi edificio, commo nel suo luogo chiaramente mostraremo et cetera. E questo basti quanto al dire del misurare le figure quadrilatere, le quali si dicono caput abscisum, cioé ca- po tagliato e, seguendo, diremo dela seconda specie dele figure di questa quarta differen- tia Alius modus metiendi figuras helmuariphas alterius speciei a predictis. Capitulum quintum.

El secondo genere di questa differentia sonno figure le quali si dicono mezzo capo tagliato de’ quali e .2. lati sonno equedistanti, ma non iguali. Gli altri .2. lati sonno non iguali. De’ quali l’ uno si leva sopra la basa, secondo l’ angolo retto e, similmente, an- golo retto col capo delo tagliamento. L’ altro lato se eleva dal’ altra parte dela basa secondo l’ angolo acuto. Commo il quadrilatero .abcd. del quale il lato .ad., cioé il capo, è quedistante ala basa .bc. Del quale la longhezza è .18. e la basa .bc. è .30. e il catetto .ab.16. e dc.20. Dico adonca che, a volere l’ area de tutto il detto quadrilatero, ragionga il capo con la basa, cioé .18. con .30., fanno .48. De’ quali piglia la mitá che è .24. E questo multiplica per la linea .ab., cioé per .16. (imperoché la sta ritta ortogonalmente), fanno .384. per l’ area del detto qua- drilatero semicaput abscisum, cioé mezzo capo tagliato .abcd. Verbi gratia: sopra la retta .bc., dal ponto .d., il catetto .de. si meni. Sará adonca il quadrilatero .abcd. in .2. parti diviso: cioé dal quadrilatero .abed., parte altera longiore, e nel triangolo .dec., che è ortogonio. Et é .be. igua- le al .ad. e .ad. è .18. Adonca .be. ancora è .18. e ancora il .de. catetto è iguale al catetto .ab. e ciascuno di loro è .16. L’ area adonca del quadrilatero .abcd. è .288., la quale è fatta dela mul- tiplicatione del .be. in .ab. over del .ad. in .ab., cioé del .16. in .18., che ben fanno .288. E l’ area certamente del triangolo .dec. é fatta dela multiplicatione del catetto .de. nella mitá delo .ec., cioé del .16. in .6., che fanno .96. li quali, agionti con .288., fanno .384., cioé agionti con l’ area del quadrilatero .abed., fanno commo ó detto .384. E questa è l’ area de tutto il quadrilate- ro .abcd. commo dicemmo.

E se ’l diametro .ac. vorrai havere, perché ortogonio è il triangolo .abc., agiongni le potentie dele linee .ab. e .bc. insiemi, cioé .256. e .900., fanno .1156. De’ quali la radi- ci, che è .34., é il diametro .ac. E, a volere havere il diametro .db., agiongni la po- tentia del catetto .de. con la potentia dela basa .eb., cioé .256. con .324., fienno .580. de’ quali la radici é sorda e quella é la longhezza del diametro .bd. Onde diremo il diametro .bd. essere la radici de .580. over il quadrato del diametro .bd. essere .580.

E, volendo le intersegationi de’ diametri, faciamo commo di sopra: cioé agiongna- mo el capo con la basa, cioé .18. con .30., fienno .48. Adonca commo .18. é a .48., cosí .af. è a tutto il diametro .ac. e il .18. a .48. è certamente commo .3. a .8. Onde, commo .3. è a .8., cosí .af. è al. ac. Adonca multiplicaremo .3. per .34. e divideremo per .8. e haremo .12 3/4. per la linea .af. L’ avanzo che è infino in .34. é la linea .fc., che è .21 1/4. Adonca .af. è .12 3/4. e .fd. è .21 1/4. Similmente, perché e gli é simile il triangolo .afd. al triangolo .bfc., sia cosí .af. al .ac., cioé .3. a .8., cosí .df. al .db. Adonca .df. del .db. é gli .3/8. Rimangono .fb.5/8. del .db. Ma, perché e gli é sorda la linea .db., torremo la proportione loro infra ’quadrati loro. E, adonca, commo il quadrato di .3. al quadrato del .8., cioé commo .9. al .64., cosí il quadrato del .df. al quadrato del .db., cioé al .580. Adonca multiplicaremo .9. per .580. e divideremlo per .64. Over multiplicaremo .9. per lo quar- to di .580., cioé per .145., e divideremo la suma per lo quarto di .64., cioé per .16. Perché sempre deb- biamo schifare il modo del troppo grande multiplicamento e partimento: cioé togli i minori numeri la medesima proportione e harai la medesima multiplicatione e divisione. É certamen- te .580. a .64. commo il quarto di .580. al quarto de .64., cioé cosí lo ’ntero alo ’ntero, cosí la parte ala parte: commo in Euclide appare. Adonca, dividendo la multiplicatione del .149. in .9. per .16., ne viene .83 13/16. per lo quadrato dela linea .df. Onde .df. è la radici de .83 13/16. Ancora, perché la linea .fb. é gli .5/8. del .bd., multiplicaremo el quadrato di .5., cioé .25. per lo quadrato di radici di .145., cioé per .145., e divideremo la summa per .16., vienne .226 9/16. per lo quadrato dela linea .fb., commo volavamo.

E, se vorremo menare .ca. e .bd. in modo si tochino nel ponto .g., menando ciascun lato diritto (commo in questa figura si manifesta)., e vorrai sapere la quanti- tá del .ag., multiplicarai .ed. per .da., cioé .16. per .18., e la quantitá dividerai per .ce. cioé per .12., e haremo .24. E gli é certamente simile il triangolo .deb. al triango- lo .gad. Onde e gli é cosí .be. al .ed., cosí .da. al .ag., per la igual proportione. Adonca sará cosí .eb. al .bd., cosí .ad. é al .dg. Onde la multiplicatione del .bd., cioé .20., per .da., cioé per .18. e diviso per .eb., fanno .30. per la quantitá dela linea .dg. E questo chiaro appa- re nella figura passata.

E questo basti sopra il modo de misurare le seconde genere ditte figure che hano mezzo il capo tagliato overo che si dicono mezzo capo tagliato e, seguendo, dire- mo delo terzo genere.

El terco genere di questa differentia è una figura quadrilatera che è ditta diver- so capo tagliato. Del quale il capo e la basa sonno equedistanti e non iguali e gli altri due lati sonno elevati sopra la basa secondo uno angolo acuto e sonno non iguali. Commo il quadrilatero .abcd. del quale il capo .ab. è .10. Et é equedistan- te ala basa .cd., che è .24. E il lato .ac. è .13. E il lato .bd.15. Dela quale figura la sua area si pi- glia del multiplicare il catetto, che è menato dal capo ala basa, nella mitá del capo e dela ba- sa. E se ’l ditto catetto dal ponto .a. overo .b. sopra la basa .cd. vorrai menare, é de bisogno pri- ma trovare e cadimenti de’ detti catetti. De’ quali il modo a volerli trovare é che traga il ca- po dela basa, cioé .10. di .24., rimangano .14. Dapoi, tra’ la potentia del lato .ac., cioé .169., dela po- tentia del lato .bd., cioé de .225., rimangano .56. el quale dividi per lo .14., che dicemmo rimane a trare il capo dela basa, vengone .4. El quale agiongni con .14., fanno .18. Del quale la mitá, cioé .9., è il cadimento magiore dala parte del lato .bd. Da’ quali .9. infino in .14. sonno .5., che sonno il ponto del cadimento brieve del .fc. dalo lato .ac., commo negli triangoli deli angoli acu- ti dicemmo. Tratto adonca la potentia del menore cadimento dela potentia del .ac., cioé tratto la potentia del cadimento .fc., che è .25., dela potentia del lato .ac., che è .169., rimanga- no .144. De’ quali la radici è .12., che è il catetto .af. Overamente, tratto la potentia del cadi- mento magiore .de., che è .81., dela potentia del lato .bd., che è .225., rimangano similmente .144. per la potentia del .be. Onde .be. è .12. commo .af. E l’ agiontione adonca del capo e dela basa, cioé del .10. e del .24. fanno .34. De’ quali la mitá è .17. che, per lo catetto .af. over per lo catet- to .be. multiplicato, fanno .204. per l’ area del quadrilatero .acdb. El quadrato del diame- tro .cb. harai, se insiemi agiongnerai el quadrato dele linee .eb. e .ec., cioé il quadrato del ca- tetto .eb. col quadrato del catetto .ec., e la summa sia il quadrato del diametro .cb. Dove la potentia del catetto .be. è .144. e la potentia del catetto .ec. è .225. che, con .144. agionti, fan- no .369. De’ quali la radici è lo diametro .bc. E, se voi lo diametro .ad., agiongni la potentia del .fd., che è .361., con la potentia del .af., che è .144., fanno .505. per la potentia del .ad. Adon- ca .ad. è la radice de .505.

E, se dove s’ intersegano el catetto .af. col diametro .cb. vorrai sapere, questo in .2. modi puoi fare. El primo è questo. Perché certamente è equedistante la linea .ab. e la linea .ef., è cosí .ab. a sé e al .cf., cosí .ag. e .af. Adonca .ag. é gli .2/3. del .af., cioé .8.

Dove .gf. è .4. E sonno simili e triangoli .agb. e .cgf. e, similmente, .gb. é gli .2/3. del .bc. Dove il quadrato suo è .4/9. del quadrato del detto diametro. Onde multiplica .4. per .369. e dividi per .9., vienne .164. per lo quadrato dela linea .bg. E, perché .bg. e gli é .2/3. del .bc., riman- gano .gc.1/3. del .bc. Dove il suo quadrato è .1/9., cioé .1/9. di .369., cioé .41. Similmente, perché si- mili sonno i triangoli .ceb. e .cfg., é cosí .cf. al .ce. cosí .fg. al .eb., cioé la terza parte. Adonca .fg. è .4. commo dissi. Ancora per quel medesimo el .cg. é .1/3. e del .cb. e cosí di tutti et cetera. Possiamo ancora (per quelle cose che sonno dette in questa parte e ancora per quello che se disse ne’ triangoli) trovare il diametro .da. e sapere in che luogo in- tersega el catetto .be. E ancora dove e in che luogo s’ intersega col diametro .bc. E, ancora, se dagli angoli .c.d. overo da alcuno altro ponto dato sopra la linea retta .cd. over infra quello, cioé dentro over de fuora, si menerá la linea sopra le date parti de’ lati .db. overo .ca. e mettase fuore dela figura parimente con la linea .ab. infino a tanto che insie- mi si congiongnino. Potremo sapere il ponto dela congiontione di quelli e ancora la quan- titá dele ditte linee le quali fienno menate.

E, se vorrai menare le linee .db. e .ac. per lo deritto infino si congiungnino al pon- to .h. el capo, cioé .10., dela basa, cioé .24., tra’ , remangano .14. E la multiplicatione del capo, cioé del .10., cioé del .ab. nel .ac., dividi per lo ditto .14., cioé la multiplica- tione del .10. in .13., vienne .9 2/7. per la linea .ah. Similmente, se dividerai la multi- plicatione del .ab. in .bd., cioé del .10. in .15., per lo detto .14., haremo .10 5/7. per la linea .bh. E questo basti quanto al terzo genere di questa differentia e, seguendo, diremo del mo- do del misurare il quarto genere di questa differentia et cetera.

El quarto genere di questa differentia, el qual si chiama capo tagliato declinan- te. Del quale il capo e la basa sonno non iguali e equedistanti e degli altri .2. lati l’ uno è levato sopra la basa secondo l’ angolo acuto, l’ altro sopra la medesima basa fa l’ angolo ampio. Commo nel quadrilatero .abcd. Del quale il capo .ad. è .12.

e la basa .bc.16. e il lato .ab.15. e .dc.13. Ancora di questa figura quadrilatera detta capo tagliato declinante s’ á la sua quadratura dela multiplicatione del catetto nella mitá dela ba- sa e del capo suo. Onde, se dal ponto .a. sopra la basa .bc., caderá el catetto infra il quadrilate- ro .abcd. E dal ponto .d. el catetto caderá di fuora dela ditta figura. Onde, a ció che trovia- mo la quantitá del catetto di fuora overo dentro, é de bisogno prima trovare il cadimemo lo- ro. Del quale il modo a trovarlo è che si traga il capo dela basa, cioé .12. di .16., che rimangano .4., de’ quali la potentia, cioé il quadrato loro, che è .16., s’ agionga col quadrato del lato .cd., cioé con .169., fanno .185., che si traga dela potentia del .ab., cioé di .225., rimangano .40. De’ qua- li la mitá, cioé .20., sonno da essere divisi per lo detto .4., vienne .5. per lo cadimento di fuora .ce., cioé dico che dal ponto .c. al ponto .e.5., cioé terrai il modo che dimostrammo nel trovare e ca- tetti ne’ triangoli ampligonij. Quando el catetto si muove da ciascun degli angoli acuti li qua- li .5., agionti con la basa .cb., cioé con .16., fanno .21. per tutta la linea .eb. De’ quali, tratti .12., che sonno la quantitá del capo, rimangano .9. per la quantitá del cadimento .fb., el qual cade den- tro. Onde tratto la potentia del .bf., cioé .81., dela potentia delo lato .ab., cioé di .225., rimango- no .144., de’ quali la radici è .12., che è il catetto .af. over il catetto .de., li quali .12., multiplicati per la mitá del capo e dela basa, cioé per .14., fanno .168. per l’ area de tutto il quadrilatero detto capo tagliato declinante .abcd. In simigliante figure, che si dicano capo tagliato declinante, li .2. catet- ti che si menano dagli angoli del capo infino ala basa, alcuna volta, uno ne cade dentro e uno di fuora, commo nella passata figura del capo tagliato declinante certamente mostran- mo. Conciosiacosaché di tutte queste figure che dette sonno capo tagliato, sempre l’ area sua s’ á del multiplicare el catetto nela mitá del capo e dela basa, commo hai veduto. Alcuna volta uno de’ ditti catteti cade in sur l’ angolo dela basa, el quale angolo è opposto al capo: commo nel quadrilatero detto capo tagliato declinante nel quale, se si mena el catetto dal pon- to .a. ala basa, cade il detto catetto in sul ponto .e., commo nela figura preditta si manifesta. L’ altro catetto che si muove dal ponto .b. cade fuora del detto quadrilatero .abcd. dove ca- de in sul ponto .e. El quale ponto .e. è fuora del detto quadrilatero. Adonca in queste figure (det- te caput abscisum declinans: cioé capo tagliato declinante) interviene uno de’ catetti cade- re di fuora, e l’ altro in sur l’ angolo opposto al capo.

Alcuna volta interviene che gli catetti menati dagli angoli del capo verso la bau- sa caggiano amendoi di fuora, commo in questa figura chiaro appare. Impe- roché l’ angolo .a. del capo menando lo catetto cade in sul ponto .f. fuor dela ba- sa .dc. E ancora, menando dal’ angolo .b. del capo dela detta figura ditta caput abscisum declinans, cioé capo tagliato inchinato in verso la basa, caderá in sul ponto .e., che è fuora dela ditta figura, li quali catetti tutti si trovano secondo il modo dato di sopra. Ora ritorniamo al quadrilatero primo, ditto capo tagliato declinante, dove el qua- drato del .be., che è .441., e del .ed., che è .144., agiongni insiemi, fanno .585. per lo qua- drato del diametro .ab. Adonca el diametro .bd. è la radici di .585. La quale neli numeri discreti non si truova. E, volendo il diametro .ac., el quadrato dela linea .cf., cioé la multiplicatione di .7. in sé, che fanno .49., agiongni al quadrato dela linea .af., cioé a .144., fanno .193. e tanto è il quadrato dela linea .ac. Adonca il diametro .ac. é la radici di .193.

E, volendo il diametro .ae., ragiongni la potentia del .fe., cioé .144., con la potentia del .af., cioé con .144., haremo .288. E la radici de .288. è il diametro .ae.

E, se voi menare ciascuna dele linee .ab. e .ed. per lo diritto infino si congionghino in- siemi nel ponto .k., sará certamente .ka. al .kb. e .kd. al .kc. commo .ad. al .bc. per la seconda del sexto. E noi habiamo ditto che .ad. è .12. e .bc. è .16., adonca, .ak. é gli .3/4. del .kb. e il .dk. é gli .3/4. del .kc. Adonca .ab. è il .1/4. del .bk. E peró .ab. è il terzo di tut- ta .bk. E, similmente, .dc. è il .1/3. di tutta .ck. Onde .ka. è .45. e .kd. è .39.

E cosí ancora moltissime questioni si possono creare nele ditte figure, le quali tutte si possono redurre al quadrilatero parte altera longiore. E peró, adonca, assai copiosa- mente in quella parte ne dicemmo che, volendo qui replicare, sarebbono indarno. Conciosiacosaché pure, quando non le sapesse appropiarle a quelle, e tu ricorrirai ala ma- dre deli casi: cioe ala regola del algebra. La, cioé ala regola del’ algebra. La quale ti conseglio che, se non la sai la ’mpari et cetera.

Se ‘quadrilateri non haranno i lati equedistanti, cioé che niuno de’ lati sia equedi- stante al’ altro, commo nel quadrilatero .abcd., del quale il lato .ab. è .13. e .bc. è .15. e .de.18. e .da.16. El quale quadrilatero si puó misurare, se s’ ará la longhezza d’ un de’ diametri dal quale el ditto quadrilatero fosse diviso in .2. triangoli. Verbi gratia.

Sia il diametro .ac.20., dico che si puó arrecare a quadro il detto quadrilatero facilmente per la cognitione del diametro .ac., imperoché ’l diametro .ac. divide el detto quadrilatero di- versilatero in .2. triangoli, de’ quali l’ uno è il triangolo .abc. e l’ altro il triangolo .adc. E, perché non hai congnitione del catetto che d’ alcuno angolo si muova, é de bisogno quadrare ciascu- no de’ detti triangoli per lo modo del ragiongnere le facie, cioé, volendo quadrare il trian- golo .abc., agiongnerai .13. e .15. e .20., fanno .48. De’ quali il 1/2. è .24. E saprai quanto é da ciascun lato al .24. E harai quella differentia .11.9.4. Dove infra loro le multiplica, cioé .11. per .9. e tut- to per .4., fanno .396. che, per .24. multiplicato, fanno .9504. E la radici de .9504. é quadro il detto triangolo. E quadra, dipoi, l’ altro al medesimo modo. E harai che è quadro la radici de .18711. E harai, per la detta figura, l’ area la radicie de .18711. piú radici de .9504.

Ancora potresti menare la equedistante ala linea .bc., cioé la linea .ae. E misurare quel quadrilatero .aebc. secondo la dottrina di quello che s’ é detto. E, di poi, misu- rare el triangolo .aed. per lo modo detto. E quelli insieme agiongnerai e harai l’ a- rea di tutto il detto quadrilatero diversilatero.

Posseno essere de simile figure de quali i loro diamitri caggiono dentro tutti, alcune de quali i loro diametri caggiono amendui de fuora, e di quelli che l’ uno cade di fuora, e l’ altro dentro et cetera, commo fin qua hai veduto abastanza in tutte le sorte de’ quadrilateri regulari e anche elmuariffi, cioé inregulari che cosí li chiama Eu- clide for dele .4. spetie, cioé quadrato, tetragono longo, elmuaym e simile elmuaym in po. Modus inveniendi aream figurarum multilaterarum. Capitulum sextum.

El modo a misurare le figure di molti lati è che la divida in triangoli. E l’ area di detti triangoli in una somma agiongni e cosí harai l’ area di ciascuna figura di molti lati. Et è da notare che le figure avente .5. lati é soluta almeno in .3. triango- li. E quelle che sonno di .6. lati sonno resoluti in .4. triangoli. E cosí ogni figura di molti lati è absoluta in .2. triangoli meno che ’lati commo sopra la .32o. del primo fo ditto in Euclide. La qual conclusione è una dele famose che vadi per le scole phylosophiche. E a- la sua prova se ne recerca .31. passate. E per questo li oltramontani la sogliano chiamare Cli- peus aristotelicus, peroché ut plurimum AR.. la induci a suoi exempli maxime in la posteriora .. E molti altri luoghi dele sue opere, quando demostra la propria passione predicare del suo subietto. Ut de triangulo .hre. tres equales duobus rectis per angulum extrinsecum equivalentem duobus intrinsecis oppositis et cetera. E avenga che, per la reduttione di quelle in triangoli, le figure di molti lati si pos- sino misurare. Nientedimeno, molte volte, piú sottilmeme, in alcune si puó procedere. Cioé quando la figura sia pentagona: cioé di .5. lati iguali, che nne puoi fare .2. pezzi de’ quali l’ uno sia triangolo e l’ altro quadrilatero, nel quale .2. lati sienno equedistati. Comme nel pentago- no .abcde. Del quale, tagliato el triangolo .abe., rimane el quadrilatero .ebcd. capo asciso. Del quale il lato .be. è equedistante al lato .cd. Onde, agiongnendo l’ area del triangolo .abe. con l’ area del quadrilatero .bcde., harai l’ area del pentagono .abcde. Similmente del exagono é possibile farne .2. quadrilateri, cioé dela figura di .6. lati, de’ quali uno á .2. lati equedistanti. Overo ancora uno exagono si puó dividere in uno quadrilatero avente .2. lati equedistan- ti e in .2. triangoli. E cosí in tutte l’ altre figure studierai di fare, le quali hano molti lati. Vero è che, quando la figura sará di molti lati e equiangoli, la quale figura deside- ri de misurare (altramente che quello che noi habiamo detto), potemo al’ area di quella pervenire. Conciosiacosaché in quella caggia uno cerchio contingen- te nel mezzo di ciascuno lato, al quale ponto, menato la perpendiculare dal centro e la detta multiplicata contra ala mitá dele facie del detto pentagono, haremo per quella l’ a- rea detta.

Accioché chiaro appaia, sia uno pentagono equilatero .abcde. nel quale voglia- mo descrivere uno cerchio contingente el lato di quel pentagono: che in questo modo si fará. Divideró gli angoli .eab. e .abc. in .2. parti iguali dale .2. linee .af. e .fb. E meneró le linee .fc.fd.fe. E segneró li ponti .g.h.i.k.l. nel mezzo de’ lati di quello. E compiró le linee .fg.fh.fi.fk.fl. Le quali dimostraró che infra loro fienno iguali. Perché equiangolo è il pentagono .abcde., sia l’ angolo .fab. iguale al’ angolo .fba. Conciosiacosaché ’l sia la mitá de- l’ angolo del pentagono. Onde il triangolo .fab. è equicurio, cioé di .2. lati iguali e gli e angoli sotto a quei .2. lati sonno iguali infra loro. E peró è iguale la retta .fa. ala retta .fb. e la retta .fg. ala retta .fl., che è la retta .fg. catetto sopra la linea .ab., avenga caggia nel mezzo di quel- la. E peró .la. è iguale ala retta .ag. Imperoché la è mitá della retta .ae. Ponghise adonca

comunamente .fa., fienno .2. rette .ga. e .fa. iguali a .2. rette .fa. e .al. E l’ angolo .gaf. è iguale al’ an- golo .fal. E la basa adunque .fl. è iguale ala basa .fg. E l’ angolo .afl. è iguale al’ angolo .afg. E l’ angolo .alf. retto è iguale al’ angolo .agf. retto. Onde, perché la retta .fl. è catetto sopra la- retta .ae. e perché .al. è iguale ala retta .el., onde, se si pone comunamente la retta .fl., fienno .2. recte .fl. e .la. eguali a .2. rette .fe. e .le., e gli angoli fatti al .f. sonno iguali. Onde la retta .fe. è iguale ala retta .fa. e il triangolo .afl. al triangolo .lfe. E tutto il triangolo .bfa. a tutto il triangolo .afe. Similmente se mostrará ciascuna dele rette .fg. e .fl. Onde .f. è centro d’ un cerchio che á di spazio la retta .fg. e .fh. e fasse il cerchio .ghikl. E sia il pentagono .abcde. diviso in .5. triangoli iguali che sonno .fab.fbc.fed.fde.fea. e gli catetti cadenti a quelli sonno infra loro iguali: che sonno .fg.fh.fi.fk.fl. E perché del multiplicare .fg. nella mitá del .ab. ne perviene l’ area del triangolo .fah., onde, multiplicando la mitá del diametro del cerchio cadente nel pentagono, cioé .fg., in .5. cotanti dela mitá del .ab., cioé nela mitá del la- to del pentagono, ne perviene .5. cotanti dell’ area del triangolo .fab., cioé l’ area del pentago- no .abcde., comme dicemmo di sopra.

Similmente verrá in ogni figura equilatera e equiangula nela quale caggia uno cerchio. E, per questo, è manifesto che la multiplicatione del mezzo il diametro del cerchio in piú dela mitá dela linea circonferente fará piú che l’ area del detto cerchio.

Possiamo ancora uno pentagono equilatero e equiangolo altramente misurar- lo. Conciosiacosaché caggia nel cerchio contingente ogni suo angolo in questo modo facendo. Che si multiplichi la mitá e il .1/4. del detto diametro, cioé del dia- metro di detto cerchio, per la mitá e .1/3. dela corda del’ angolo pentagonico. E quello fanno è la detta area.

E acioché chiaro appaia sia il pentagono .abgde. nel cerchio .abgde. del quale il diametro sia .az. E il suo centro sia .c. E compise la retta .be., la quale è la cor- da del’ angolo pentagonico, cioé del’ angolo .bae. E tolghise .ci., la mitá del mezzo diametro, cioé il quarto del diametro .az. E faciase il ponto .k. in tal modo che sia cosí .ai. al .ac., cosí .te.al.tk. É certamente .ac. del .ai. gli .2/3. E, similmente, .tk. é gli .2/3. del .te., che è iguale del .tb. É iguale certamente .bt. del .te. Onde .tk. è il .1/3. di tutta .be. Onde .bk. è il .1/2. e il .1/3. di tutta .be. Dico adunque che dela multiplicatione del .ai. in .bk. ne perviene l’ area del pen- tagono .abgde., che cosí il proveró. Perché gli é cosí .ai. al .ac., cosí .te. al .tk., sará la multipli- catione del .ca. in .te., cioé in .tb., iguali ala multiplicatione del .ia. in .tk. Ma dela multiplicatio- ne del .ca. in .bt. ne perviene el doppio del’ area del triangolo .abc. Adunque, multiplicato .ai. in .tk., ne perviene el doppio del triangolo .cba. E, perché .tk. è doppio del .ek., se multi- plicaremo .ia. in .ek., ne perverrá lo iguale al’ area del triangolo .abc. che è la quinta parte di tut- to il pentagono .abgde. Onde, multiplicando .ai. in .bk., cioé .5. cotanti del .ke., ne perverrá ancora .5. cotanti del’ area del triangolo .abc., cioé lo eguale al’ area del pentagono .abgde., la qual cosa si convenia mostrare.

Ed è da notare che, se ’l diametro del cerchio sia ratiocinato, alora il lato del pentago- no cadente in quello sia la linea minor, cioé radici del quarto reciso. Lo quale re- ciso è fatto del numero meno la radici. De’ quali due nomi el magiore puó sopra el minore uno numero incomensurabile a quello in longitudine e la corda de- l’ angolo pentagonico sia la linea maggiore, cioé la radice del quarto binomio che è fatto del numero e radice. Del quale el magiore numero puó piú del minore uno numero incomen- surabile a quello in longitudine. E sonno composti di .2. medesimi nomi la corda del’ angolo pentagonico e lo lato del pentagono. Comme se ’l lato .ab. del pentagono .abgde. sia preso la radici de .320. e tratta di .40. e di quel preso la radici. E la corda del’ angolo pentagonico sia la radici di .320. posta sopra .40. e di quel preso la radici. E questo è quando il diametro .az., cioé del cerchio dato, è .8., comme mostraremo nel suo luogo. Se ’l campo fosse di .4. facie, dele quali le .2. oposte fossino equedistante e l’ altre .2. facessino arco. Misura prima el quadrilatero che puoi e, dipoi, quello che rima- ne dividi sotilmente in triangoli e harai quello vuoi. Comme sia la figura .abc dez. De’ quali .az. e .cd. sonno de linee rette e .zed. e .abc. curve. Prima truova l’ a- l’ area del quadrilatero .zdac. E poi divide l’ uno e l’ altro arco in triangoli comme vedi ha- ver fatto a me nela figura qui posta. E l’ area de’ detti triangoli coll’ area del quadrilatero

agiongnerai e harai l’ area dela predetta figura la quale si nomina, per alcuno, figura con ven- tre, alcuno, figura con arco e comme vuoi nominala. E cosí de molte altre figure ái a ffare, cioé dividendola sempre in triangoli e l’ area de’ triangoli insiemi agiongni e harai quello vai cercando et cetera. E peró questo sia abastanza ala predetta distintione. E, seguendo, dire- mo dela .4a. distintione seguente. E col nome di Dio starai atento.

Conclusiones libri tertij Euclidis cum eius diffinitionibus. Capitulum primum. E gli é il circulo una figura piana contenta d’ una linea sola, detta circonferentia overo periferia, nel mezzo dela quale è uno ponto che se dici centro di cerchio. Dal qual centro tutte le linee che si menano infino ala circonferentia sonno igua- li. E la magiore linea che vi cape se dici diametro di cerchio. El qual diametro passa pel centro e, da ogni parte, tocca la circonferentia e dividelo in doi parti iguali, com- me, nela figura posta in principio del primo capitulo dela prima distintione de questo trat- tato, apare. Dove intendo in questa distintione quello che s’ apertiene a’ cerchi dichiarare. E peró la divideró in .3. capitoli. Nel primo ponendo quello che Euclide nel terzo libro dice. E nel secondo ció che di pratica a quelli s’ apartiene. Nel terzo (accioché dele su- perficie si dica apieno) diremo di quelle in luogo alto e basso collocate, cioé di quelle che sonno in monte. E peró adonca starai atento e al .po. capitulo daremo opera. Prima conclusione. Li cerchi, de’ quali i diametri sonno iguali, fienno ancora iguali. E, quando e non fossino iguali, quel diametro che è magiore, il suo cerchio sará magiore. E, simile, minore, comme nel’ exemplo di fuor appare. 2 El cerchio che è detto contingere, cioé tocare la linea, tocca il cerchio in modo che, menan- dola da ogni parte, mai sega il cerchio. 3 E cerchi che si toccano, detti contingenti, sonno quelli che, tocandosi, non si segano. 4 Le linee rette, nel cerchio, equedistante si dicano equedistare dal centro, quando dal centro a quelle, se si mena le perpendiculari, fienno iguali. 5 Piú distante, se dici, dal centro stare la linea dala quale, menata dal centro, la perpendicu- lare è magiore. 6 La linea retta contenente la portione del cerchio si nomina corda. 7 E la portione dela circonferentia é nominata arco. 8 L’ angolo dela portione di cerchio è quello che è contenuto dala corda e dal’ arco. 9 L’ angolo fatto al’ arco è quello che è fatto da .2. linee che escono de’ ponti dela corda ter- minali al’ arco e vanno rette infino al’ arco. 10 Settore di cerchio è una figura che sotto .2. linee menate dal centro al’ arco é con- tenuta. 11 L’ angolo fatto dele dette .2. linee è detto contenersi sopra il centro. 12 Simili sonno dette le portioni del cerchio de’ quali l’ angolo che è fatto sopra al’ arco de- l’ una è iguali al’ angolo fatto sopra al’ arco del’ altra. 13 Gli archi sonno simili quando hano simili angoli. 14 Diffinito quello è necessario a’ cerchi, é da dimostrare le conclusioni e dimostrationi del terzo de Euclide in questo modo. Prima conclusio.

Sia proposto un cerchio del qual si voglia trovare il centro. Onde è manifesto che .2. linee rette, in uno cerchio terminate nela circonferentia, l’ una non segherá mai l’ altra ortogo- nalmente per mezzo, se lla non passa per lo centro. Comme sia il cerchio .abce. Del quale vo- glio trovare il centro. Meneró in quel cerchio la linea .ac. comme venga. La qual, da ogni parte, tochi la circonferentia. La qual divideró per igual parte nel ponto .d. Dal qual mene- ró la perpendiculare ala detta linea. La qual perpendiculare, da ogni parte, tochi la circonfe- rentia la quale sia .bde. La quale ancora divideró per igual parti nel ponto .f. Onde dico che’ l ponto .f. è centro del detto cerchio, ch’ era de bisogno mostrare. 2 Se si menerá una linea retta da .2. ponti segnanti in sula circonferentia dall’ uno al’ altro, sempre quella linea retta segherá il cerchio. Comme sia il cerchio .abd. Del quale il centro .c. E sienno .2. ponti in sula circunferentia, cioé .a. e .b. segnati. Dali quali voglio menare la linea retta. Dico quella linea segherá quel cerchio, ch’ era bisogni mostrare. 3 Se gli é una linea collocata in uno cerchio, la quale non passi per lo centro. E un’ altra si meni dal centro e seghi quella per .2. parti iguali. Quella linea menata dal centro è perpen- diculare al’ altra. Comme sia nel cerchio .bgd., collocata una linea .bg. la quale non passa

per lo centro. Un’ altra ne meno dal centro.p. e passa per lo ponto .e., lo quale é in mezzo dela linea .bg. Dico la linea .pe. essere perpendiculare ala linea .bg. E ancora, quando la linea .pe. viene dal centro e sia perpendiculare ala linea .bg., dico alora la linea .bg. essere divisa per .2. parti iguali, ch’ era bisogno intendere. 4 Quando in uno cerchio sonno .2. linee che in- fra loro si seghino e alcuna di loro non passi pel centro, certamente non si segheranno per par- ti iguali. Comme sia nel cerchio .abcd., del quale il centro sia .e., la linea .ac. e .db., le quali in- fra loro si seghino nel ponto .f. e non passi alcuna di loro per lo centro. Dico che .bf. nonn’ é igua- li al .fd. né il .ef. al .fa., comme chiaro apare. 5 E centri di .2. cerchi che infra loro se inter- segano, nonn’ é uno medesimo, ma sonno diversi. Comme sienno .2. cerchi .acb. e .abd. se- gantesi sopra .2. ponti .a. e .b. Dico che ’loro centri sonno diversi. Imperoché, se fossino uno, sia quello il centro .e. E menise le linee ala circonferentia, cioé .ea.ef.ec. Dove, per la diffinitio- ne de’ cerchi .ef. e .ec., fienno iguali la parte al tutto, che è impossibile. E peró hano diversi centri, cioé .p. e .q., ch’ era bisogno mostrare. 6 E cerchi che sonno contingenti infra loro non hanno uno medesimo centro, ma diversi. Comme sienno .2. cerchi .ab. e .ac. che si toccano nel ponto .a. Dico che i loro sonno diversi centri. Imperoché, se fossino uno medesimo, che pongo fosse .d., e menise .da. e .dc. e .db. iguali, che è impossibile, cioé la parte al tutto. Adonca hano centri diversi, che è .d. e .p., ch’ era bisogno mostrare. 7 Se nel diametro d’ un cerchio si segna un ponto fuor del centro e da quello ala circonferentia piú linee si menino, quella che passerá per lo centro sirá magiore d’ alcuna del’ altre. E quella che compirá el diametro sirá di ciascuna del’ altre mi- nore. E quelle che piú s’ acostano al centro sonno magiori del’ altre che meno s’ a- costano. E, quanto piú sonno remote dal centro, tanto sonno minori. E le .2. linee equedistan- ti collaterali al ponto, cioé che gli angoli dal ponto exaversi sonno iguali, quelle .2. linee fien- no iguali. Comme sia nel cerchio .aef. segnato nel diametro .a. il ponto .k. fuori del centro. Dal quale si meni .ka.kb.kc.kd.ke.kf.kg. Dico che .ka. (perché passa per lo centro) è di ciascuna magiore. E, perché .kf. è il compimento del diametro, é di ciascuna minore. E la linea .kb., ch’ é piú presso al centro dela linea .kc., è magiore di quella. E la linea .kd., perché è piú re- mota dal centro che la linea .kc., è minore di quella. E, per quel medesimo, la linea .ke. è mino- re del .kd. E, perché le .2. linee collaterali equedistantti .ek. e .kg. hano gli angoli iguali, son- no ancora infra loro iguali. E questo chiaro appare nella figura che dal vulgo è chiama- ta zampa d’ ocha. 8 Se fuori d’ un cerchio è segnato uno ponto e da quello ala circonferentia piú li- nee si menino segando il cerchio, quella che passerá per lo centro sirá piú lon- ga. E, quanto piú passeranno a presso al centro, tanto fienno magiori del’ altre che meno s’ apresseranno al centro. E, di quelle linee de fuori che fienno mena- te insino ala circonferentia, quella che va diritto al diametro sia minore d’ alcune del’ altre e, quanto da quella si scosteranno, tanto fienno magiori. E le .2. linee brevissime che igualmen- te da quella si scostono fienno iguali. Comme sia segnato il ponto .a. fuor del cerchio .kb. Dal qual ponto si meni la linea .akb. che passi sopra il diametro .knb. E menise la linea. .ahc. e .agd. e .afe. Dico che la linea .akb. (perché passa pel diametro) è magiore di ciascu- na del’ altre. E la linea .ahc. (perché piú s’ appressa al diametro) è magiore che l’ altre che me- no s’ accostano. E la linea .afe. (perché meno s’ accosta al diametro) è minore di ciascuna de- l’ altre. E ancora dico che la linea .ak., perché si posa in sul ponto dela circonferentia dove si posa il diametro .kb., è minore di ciascuna del’ altre linee, cioé .ah. e .ag. e .af. E che .ab. è mi- nore del .ag., perche piú s’ appressa a quel ponto. E che .ag. è minore del .af., perché piú s’ ap- presa al detto ponto. E, perché .kh. e .kl. sonno iguali, dico che .al. e .ah. sonno iguali. E que- sto chiaro appare per la figura presente che dal vulgo è chiamata coda de pavone.. 9. Se da un ponto dentro ad alcun cerchio si puó menare piú di .2. linee infino ala circonferentia che sienno iguali, quel ponto certamente è centro di quel cerchio. Comme sia dato un ponto nel cerchio .bcd., il quale sia il ponto .a. E da quel pon- to .a. infino ala circonferentia si meni .3. linee iguali, cioé .ad.ab.ac. Dico il ponto .a. essere centro di quel cerchio. E questo chiaro appare per la presente figura. 10 Se uno cerchio sega un altro cerchio solamente, lo segherá in .2. luoghi, cioé in .2. ponti. Comme sia il cerchio .abd. che sega il cerchio .abc. Dico solamente lo segherá in .2. luoghi, cioé in .2. ponti .a. e .b. E questo chiaro appare per la figura che é qui posta. 11

Se uno cerchio è contingente a uno cerchio e da’ centri di quelli .2. cerchij si meni una linea retta, cioé l’ uno centro al’ altro, la detta linea passerá certamente per lo ponto del contato, cioé dove e cerchij detti si toccano. Comme sieno .2. cerchij contingenti .cd. e .ce. De’ quali il ponto del contatto è il ponto .c. Dico che, menan- do una linea dal centro .a. al centro .b., quella linea passa per lo ponto del contatto, cioé so- pra il ponto .c. E, quando e cerchij si toccassino dentro, alora mena la linea dal’ uno centro a- l’ altro infinitamente, quella passerá sopra il ponto .c., comme chiaro appare per la presente figura. 12. Se uno cerchio toca un cerchio dentro over di fuori, solamente lo toccherá in uno luogo. Comme sia il cerchio .ab. contingente il cerchio .ad. Dico solamen- te nel ponto .a. lo toccherá. E questo anchora è assai chiaro e peró non bisogna altra dimostratione.13.

Le linee rette che sonno in uno cerchio, quando e lle sonno iguali, e lle se discosto- no igualmente dal centro. Comme sia nel cerchio .adbc. Del quale il centro sia .e. E sienno .2. linee .ad. e .bc. iguali. Dico che le si scostono igualmente dal centro del detto cerchio, cioé dal centro .e., che in questo modo si pruova. Menise la per- perdinculare dal ponto .e. a ciascuna linea, fienno le dette perpendiculari .ef. e .eg. Le quali di- vidino le ditte linee in due parti iguali per la .3a. di questa. Dove l’ angolo .agc. è iguale al’ an- golo .efa. Imperoché ciascuno è retto. E .gc. è iguali al .fa. E .ea. è iguali al .ec., perché cia- scuna è mezzo diametro. Onde seguita, per la .46. del primo, .eg. essere iguali al .ef., ch’ era bi- sogno mostrare. 14.

Se in un cerchio dato vi sonno piú linee rette, el diametro è magiore d’ alcuna de- l’ altre. E, quanto al diametro s’ apressano, tanto sonno magiori. Comme sia nel cer- chio .ads. date le linee .gf.bc.hk. Dico el diametro .ad. essere magiore de ciascu- na del’ altre. E la linea .fg. (perché è piú presso al diametro) é magiore del’ altre .2. linee. E cosí .bc. (perché è piú presso al diametro .ad. che non è .hk.) é magiore di quel- la. E questo chiaro appare. 15.

Se dal termine d’ alcuno diametro si mena una linea ortogonalmente fatta, di- co che la cade di fuori del cerchio. E infra quella e il cerchio non puó capire altra linea. E l’ angolo fatto da quella e dala circonferentia è minore di tutti gli ango- li acuti. E l’ angolo dentro, fatto dal diametro e la circunferentia, è magiore di tutti gli angoli acuti. Onde, per questo, si manifesta tutte le linee rette, cioé sempre quella linea ret- ta, dal termine d’ alcuno diametro ortogonalmente menata, sará al cerchio contingente. Comme sia il cerchio .abc. Del qual sia il diametro .ac. Voglio sopra il ponto .a., che è termi- ne di detto diametro, menare una linea ortogonalmente fatta, che sia .ae. Dico che, infra la circonferentia e la detta linea, altra linea retta non puó cadere. Imperoché, se la cade, overo sará ortogonalmente sopra il ponto .a. o non. Se è ortogonalmente fatta, è impossibile che da un punto medesimo .2. linee, da una parte menate, faccino .2. angoli retti. Imperoché l’ uno conterrebbe l’ altro e sarebono gli angoli retti infra loro non iguali, che è contra la peti- tione de Euclide. E, se non facesse quella linea angol retto sopra il ponto .a., la quale sia la linea .af., menise dal centro .d. la perpendiculare sopra .af. e sia .dg., sia adunque .dg. minore del .ad. E, per la .46. del primo, .ad. puó quanto .dg. e .ga. E questo è impossibile. Imperoché .da. e .do. sonno iguali e .dg. è magiore del .do. E peró, infra la detta linea e la circonferentia, al- tra linea non puó entrare. E, evidentemente, appare che l’ angolo fatto da quella e dela cir- conferentia é minore di tutti gli angoli acuti di .2. linee rette. E, similmente, l’ angolo fatto da- la circonferentia e dal diametro, cioé dentro di tutti gli angoli acuti di .2. linee rette, è magio- re. E ancora è assai chiaro che ogni linea retta, dal termine del diametro menata ortogonal- mente, è contingente al detto cerchio. E pero non bisogna piú dimostrationi. 16 Dal dato ponto al dato cerchio voglio menare una linea contingente. Comme sia il dato ponto .d. e il dato cerchio sia .ab. Del quale il centro sia .c. Voglio, dal ponto .d., menare una linea contingente al cerchio .ab. Produrró .dc., segante il cerchio .ab. nella circonferentia nel ponto .a. E, sopra il centro .c., righeró il cerchio secondo la quantitá del .dc. e dal ponto .e. meneró la perpendiculare .ea. sopra la linea .dc. E, dipoi, meneró la linea .ce., segante il cerchio .ab. nel ponto .b., dal qual .b. meneró la linea .bd. La qual dico ch’ é contingente al circulo .ab., che chiaro appare.

Se gli é una linea retta contingente il cerchio e, dal contatto al centro, si meni una linea retta, e gli é di necessitá che lla sia perpendiculare sopra quella contingente, comme sia la linea .ab. contingente el cerchio .ce. nel ponto .c. E menise dal ponto .c. una linea retta infino al centro .f. Dico che la linea cf. è perpendiculare sopra la linea .ab. E questo, per le cose dette, chiaro appare. 18 Se una linea retta è contingente a uno cerchio e, dal toccamento al cerchio, una linea ortogonalmente si meni, certamente e lla passerá per lo centro. Comme sia .ab., contingente el cerchio .ce. nel ponto .c. Dico che, menando al ponto .c. la perpendiculare, certamente la passerá pel centro .d. E questo chiaro, per le passat- e appare e d’ altra dimostratione non è bisogno. 19 Se in uno cerchio si fará uno angolo sopra il centro e uno altro sopra la circonfe- rentia e habino una medesima basa, l’ angolo del centro è doppio al’ angolo de- la circonferentia. Comme sia il cercho .abcf., del quale il centro .d. E faccia- se l’ angolo .adc. sopra il centro e l’ angolo .abc. sopra la circonferentia, stando com- me vedi figurato nel primo circulo, havendo cadauno angolo una medesima basa, che è .ac., corda del’ arco .afc. Dico l’ angolo .adc. essere doppio al’ angolo .abc., che cosí è de bisogno pro- varlo. Meneró la linea .bde. Dove, per la .32a. del primo, l’ angolo .ade. è iguali agli .2. angoli, cioé .dab. e .dba. Li quali angoli sonno iguali per la .5a. del primo, perché .ad. e .bd. sonno iguali. Per la qual cosa, l’ angolo .ade. è doppio al’ angolo .dba. Simigliantemente sará l’ an- golo .cde. 2 cotanti del’ angolo .dbc. E gli .2. angoli .ade. e .cde. sonno quanto l’ angolo .adc. e peró tutto .adc. è doppio a tutto .abc., ch’ era bisogno mostrare. E, se l’ angolo .abc. sta comme nela seconda figuratione appare, dico che l’ angolo .adc. è doppio al’ angolo .abc. In questo modo lo proveró. L’ angolo .cda. è igua- li al’ angolo .dbc. e al’ angolo .dcb. per la .32a. del primo. E gli .2. angoli .dbc. e .dcb. sonno iguali per la .5a. del primo, imperoché .db. e .dc. sonno iguali. Adunque l’ angolo .adc. è doppio al’ angolo .abc., ch’ era bisogno mostrare. E, se l’ angolo .abc. sta comme nela terza figuratione appare, cioé che la linea .ab. seghi la linea .dc., producase la linea .bde. Sirá l’ angolo .ade. iguali agli angoli .dab. e .dba. Li quali infra loro sonno iguali. E l’ angolo .cde. è, per la medesima, iguali al’ angolo .dcb. e .dbc., che sonno infra loro iguali. Adunque l’ angolo .cde. è doppio al’ angolo .dbc. E detto é che l’ angolo .ade. è doppio al’ angolo .abd. Adunque, tratto l’ angolo .ade. del’ angolo .cde., rimarrá l’ angolo .adc. E, tratto l’ angolo .abd. del’ an- golo .cbd., rimarrá l’ angolo .cba. Adunque l’ angolo .adc. è doppio al’ angolo .abc. ch’ era bi- sognio mostrare. 20 Se in una portione di cerchio fienno molti angoli sopra la circonferentia fatti, fienno infra loro iguali. Comme sia nela portione di cerchio .abcde., sienno mol- ti angoli, cioé .acb. e .adb. e .aeb. Dico che infra loro sonno iguali. E questa, per la passata, chiaro appare. E, volendo provare, facciase l’ angolo in sul centro, do- ve l’ angolo del centro è doppio a ciascuno angolo. E peró non è de bisognio altra dimo- stratione.

Se in uno cerchio si scrive uno quadrilatero, e .2. angoli aversi sonno iguali a .2. angoli retti. Sia il cerchio .abcd., nel quale sia collocato il quadrilatero .abcd. Dico li .2. angoli aversi qual vuoi sonno iguali a .2. retti, che in questo modo lo proveró. Menise nel detto quadrilatero il diametro .ac. e ancora il diametro .bd. Sirá, per la passata, l’ angolo .cbd. iguali al’ angolo .cad. e l’ angolo .abd. iguali al’ angolo .acd. Onde tutto .abc. è iguali a’ .2. angoli, che sonno .acd. e .cad. E, perché con l’ angolo .adc. sonno igua- li a .2. retti per la .32a. del primo, e peró fienno li .2. angoli del quadrilatero, cioé .b. e .d., iguali a .2. retti, che è il proposito. E, similmente, gli altri .2. angoli .a. e .c., per lo detto modo, sonno iguali a .2. retti. Gran forza certamente se demostra per questa .21. conclusione, conciosia- ché li angoli de un quadrilatero exadverso collocati (ut premittitur) si possino infra loro infinitamente variare .vz. secundum omnes angulorum species .s. acutos obtusos e rectos, nil minus semper idem quod dicitur eveniet. La qual evidentia in la pratica operativa molto vale. Ideo memorie manda et cetera. 22 Due portioni simili e inequali sopra una medesima parte cadere è impossibile. Comme sia la corda .ab., sopra la quale si faccia una portione di cerchio .bca.

Dico che gli é impossibile fare una portione di cerchio simile a quella e non iguale che ha- bia la detta corda. E, se gli é possibile, facciase la portione .abd. E faciase l’ angolo .c. in sula cir- conferentia .acb. e l’ angolo .adb. si facia in sula circonferentia .adb. E, perché le portioni son- no simili, gli angoli fienno simili per la diffinitione. E questo per la .16a. del primo. L’ angolo .c. magiore del’ angolo .d. potrebese dire, o se l’ angolo .c. fosse in sula faccia overo linea .ad. An- cora, per la detta .16a., l’ angolo .c. sarebbe magiore del’ angolo .d. E, quando le portioni sonno simili, hano simile proportione. Adunque non sarebono le portioni simili. Ancora potresti dire per lo terzo modo: cioé che la linea .ab. dividesse overo segasse la linea .cb. nel ponto .f. e tu rispondi non potere, per niun modo, le portioni essere simili. Imperoché io faró l’ ango- lo .aeb. nella portione .abc. El quale angolo, per la .20. di questo, sia iguale al’ angolo .acb. E, per la .16a. del primo, diremo l’ angolo .aeb. essere magiore del’ angolo .adb. E, per questo, l’ ango- lo .acb. è magiore del’ angolo .adb. Adonque non sonno le portioni simili. 23 Se simili portioni di cerchij sonno sopra iguali linee e quelle portioni fienno igua- li. Comme sienno .2. linee iguali .ab. e .cd. E sopra quelle si faccia .2. portioni di cerchio a ciascuna la sua simile. Dico quelle portioni sonno iguali. E questo chia- ro apare per lo detto dele passate. 24 Sia data una parte di cerchio. Voglio con quella compire il cerchio. Cioé, a ogni arco, trovare il modo a compirlo. El quale è questo. Sia adunque .ab. alcuno ar- co, del quale si voglia compire il cerchio. Meneró in quello .2. linee. comme vie- ne, che sonno .ac. e .bd. intendi rette. Le quali divideró per igual parti, .ac. nel pon- to .e. e .bd. nel ponto .f. E meneró .eg. perpendiculare ala linea .ac., faciendola magiore del diametro del cerchio. E ancora meneró sopra la linea .db. la perpendiculare .hf., la quale seghe- rá la perdendiculare .eg. nel ponto .k. El quale ponto .k., per la prima di questo, è centro, per- ché ciascuna dele perpendiculari passano sopra il centro. E cosí hai trovato e finito il detto tondo. Ma, alcuna volta, interviene che la parte del cerchio è magiore del mezzo cerchio e le linee fatte date sonno equedistanti. Alora le perpendiculari fienno una linea insiemi. Per la qual cosa è de bisogno pigliare il mezzo dela linea .ef. e sia il ponto .k. E cosí il ponto .k. sia centro del detto cerchio. 25 Se in .2. cerchi iguali, over sopra la circonferentia overo sopra il centro,, si fan- no angoli iguali, quelli archi fienno iguali. Comme sienno .2. cerchi .abc. e .efg. E faciase in ciascun un angolo in sula circonferentia e sienno .c. e .f. overo in sul centro e sienno .d. e .h. E sia l’ angolo .c. iguale al’ angolo .f. E l’ angolo .d. iguale al’ angolo .h. Dico l’ arco .acb. essere iguale al’ arco .efg. E questo chiaro appare per lo detto dele passate. 26 Se infra .2. cerchi iguali si toglie archi iguali e faciase in quelli .2. angoli, overo in sula circonferentia overo in sul centro, dico che li angoli del’ uno fienno iguali ali an- goli del’ altro. Comme sienno .2. cerchi iguali .abc. e .gef. E piglise .2. archi igua- li, cioé .abc. e .efg. E faciase .2. angoli in ciascuno: uno in sula circonferentia e si- enno .f. e .b. Overo in sul centro e sienno .h. e .d. Dico l’ angolo .f. essere iguali al’ angolo .b. O- vero l’ angolo .h. essere iguale al’ angolo .d. E questo ancora per le cose dette chiaro appare. 27 Se in cerchi iguali le linee iguali risegano e faccino archi, quelli archi fienno igua- li. E, se le linee non iguali in cerchi iguali risegono e fanno archi, quelli archi fien- no non iguali. Imperoché la magiore linea fará magiore arco e la minore mi- nore arco. Comme sia .2. circoli: .abc., del quale sia il centro .d. e .efg., del quale il centro .h. E sia la corda .ac. iguale ala corda .eg. Dico l’ arco .acb. essere iguale al’ arco .efg. E similmente dico che la corda .ki., che è magiore della corda .pq. e ciascuna, nel’ iguale cerchio, fa arco. Dico l’ arco .kio. essere magiore che l’ arco .pqr. E questo chiaro sanza altra dimo- stratione appare. 28 Gli archi iguali de iquali cerchi è necessario habino iguali corde. Comme sien- no .2. cerchi: .abc., del quale è il centro .d. e .efg., del quale è il centro .h. E sia l’ arco .abc. iguale al’ arco .efg., dico che la corda .ac. è iguale ala corda .eg. Questa è con- versa alla passata. E peró, per quella, chiaro questa se dimostra essere vera e peró la demostratione lasceremo. E tutte quelle passioni che fin qua sonno state demostra- te e provate essere vere de diversi cerchi, molto magiormente se convenceranno essere vere de uno medesimo cerchio, arguendo sempre contra l’ aversario, commo nelle precedenti s’ é fatto. Ideo et cetera. 29

Io voglio dividere uno arco in .2. parti iguali. Sia il dato arco .abc., del quale la corda .ac. Voglio dividere il detto arco in .2. parti iguali, che in questo modo lo faró. Divideró la corda .ac. in .2. parti iguali al ponto .d., ala quale si meni una per- pendiculare, la quale caggia per lo ponto .d. e sia .db., la quale seghi la circonferen- tia del dato arco nel ponto .b. La quale perpendiculare á diviso lo detto arco in .2. parti igua- li, comme volavamo, che cosí te ’l proveró. Menise la linea .ab. e la linea .bc., le quali saranno, per la quarta del primo, iguali, imperoché .bd. e .da., del triangolo .bda., é iguali al lato .bd. e .dc., del triangolo .bdc. E l’ angolo .d. di ciascuno triangulo è retto. E peró lo lato .ab. del’ uno sia iguale alo lato .bc. del’ altro. E, per la .27a. di questo, l’ arco .ab. è iguale al’ arco .bc., che è il proposito. 30 Se uno angolo de linee rette nel mezzo cerchio è fatto, el quale sia fatto nel ‘arco cierto, quello angolo è retto. E, se la portione del cerchio dove el’ angolo è magio- re del mezzo cerchio, alora quel angolo sia minore che ’l retto. E, se la portione del cerchio dove el’ angolo è minore del mezzo cerchio, alora quello angolo è magiore che ’l retto. E cosí è converso: quando l’ angolo fatto nel’ arco è retto, alora quella portione di cerchio è mezzo cerchio. E, se l’ angolo è magiore del retto, quella portione sirá minore di mezzo cerchio. E, se l’ angolo è minore che ’l retto, la portione sia magiore del mezzo cerchio. Comme sia il cerchio .abc., del quale il centro .d. e il diametro .adc. e faciase nel mez- zo cerchio .abc., in sula circonferentia l’ angolo .abc., menate le linee .ab. e .bc. Dico l’ angolo .abc. essere retto, che in questo modo lo proveró. Menise dal centro .d. la linea .db., siran, per la .5a. del primo, l’ angolo .abd. e .dab. infra loro iguali. E, perché .bdc. è iguale a’ .2. angoli .dba. e .dab., per la .32a. del primo e l’ angolo .adb. è doppio al’ angolo .dbc., per la .32a. del primo, imperoché l’ angolo .dbc. è iguale al’ angolo .dcb., adunque e .2. angoli .cdb. e .adb. sonno doppi a tutto l’ angolo .abc. Ma quelli .2. angoli, per la .13a. del primo, sonno iguali a .2. retti. Adunque l’ angolo .abc. è il .1/2. di .2. angoli retti. E peró e gli é retto, che è il primo pro- posito. Ancora altramente menise .cb. infino al .e., sirá, per la .32a. del primo, l’ angolo .abe. iguale a’ .2. angoli .a. e .c. E, perché l’ angolo .a. è iguale al’ angolo .abd. e l’ angolo .abd. e l’ ango- lo .c. è iguali al’ angolo .cbd., sirá l’ angolo .abe. iguale al’ angolo .abc. Adunque l’ angolo .aeb. e l’ angolo .abc. ciascuno è retto per la diffinitione. E ’l secondo proposito cosí è manife- sto. Sia nel cerchio .abc., del quale nel centro .d. la portione .abc. magiore del mezzo cerchio e faciase sopra la circunferentia l’ angolo .abc., menate le linee .ba. e .bc. Dico quello angolo es- sere minore d’ uno angolo retto. Menise il diametro .ade. e la linea .eb. Sirá, per la prima parte di questa, l’ angolo .b. tutto retto. Per la qual cosa l’ angolo .abc. è minore per la comu- ne scientia, perché e gli é parte di quello. Onde seguita il proposito. E ’l terzo si manifesta cosí. Sia un’ altra volta nel cerchio .abc., del quale il centro .d., una portione di cerchio minore del .1/2. cerchio. Facciasi sopra la circonferentia l’ angolo .abc., menate le linee .ba. e .bc. Dico que- sto angolo essere magiore che ’l retto in questo modo. Menise il diametro .ade. e la linea .be. Sirá, per la prima parte di questa, l’ angolo .abe. retto. Onde l’ angolo .abc. è magiore che ’l retto, che è il terzo proposito. Gli altri propositi, per loro medesimi, si dichiarano.] 31 S e una linea è contingente a uno cerchio e dal ponto del contato nel cerchio si meni una linea la quale non passi pel centro del cerchio, dico che l’ angolo, fatto nela portione che fa la detta linea, sia iguale al’ angolo de fuori fatto dala linea contingente e dala linea menata nel cerchio. Comme sia il cerchio .cdef., al qua- le sia la linea .ab. contingente. E sia .g. il centro del detto cerchio. E .d. sia il ponto del contato. E menise la linea .df. che non passi per lo centro .g. Dico che, facendo un angolo in sula por- tione del .fed., comme l’ angolo .def., sia iguale al’ angolo .fda. E ancora si faccia un angolo in sula portione .fcd. e sia l’ angolo .fcd., el quale dico essere iguali al’ angolo .fdb., che cosí te ’l proveró. Menise il diametro .dgh., sirá, per la .17a. di questo, .bd. perpendiculare sopra la li- nea .ab. E faciase .fh., sirá, per la prima parte dela passata, l’ angolo .dfh. retto. Adunque e .2. l’ angoli .adh. e .dfh. sonno retti ciascuno, adunque sonno iguali. Onde, agionto a ciascuno l’ angolo .hdf., sia l’ angolo .adf. iguale a .2. angoli, che sonno .dfh. e .hdf. Ma questi .2., con l’ angolo .dhf. sonno iguali a .2. retti, imperoché, per la .32a. del primo, li .3. angoli del trian- golo .dhf. sonno iguali a .2. retti. Ma l’ angolo .adf., con l’ angolo .bdf., è iguali a .2. retti, per la .13a. del primo. Adunque l’ angolo .bdf. è iguale al’ angolo .dhf. E l’ angolo .dhf. è iguale al’ angolo .c., imperoché in una medesima portione di cerchio sonno collocati, comme appare

per la .20a. di questo. E cosí è provato l’ angolo .c. essere iguale al’ angolo .bdf. Ora ci resta a provare comme l’ angolo .ced. è iguale al’ angolo .fda. Per la .21a. di questo, e .2. angoli .e. e .c. sonno iguali a .2. retti e, per la .13a. del primo, gli angoli bdf. e .fda. sonno iguali a .2. retti. E provato habiamo che l’ angolo .fdb. è iguale al’ angolo .c. Adunque, per la commune scientia, l’ angolo .e. è iguali al’ angolo .fda., che è quello volavamo. 32 Sopra una linea data voglio scrivere una portione di cerchio, nel quale voglio collocare uno angolo iguale a uno angolo dato. Comme sia .ab. la data linea e .c. il dato angolo. Voglio sopra la linea .ab. fare una portione de cerchio nela quale io possi fare uno angolo iguale a l’ angolo .c. dato. Puó essere l’ angolo .c. ret- to, obtuso e acuto. Sia prima retto: dividerai la linea .ab. in due parti iguali sopra il ponto .d. e faciase .d. centro e scrivase il cerchio secondo la quantitá del .db. e sopra la portione .dab., che è mezzo cerchio, farasse l’ angolo .h., lo quale, per la .30a. di questo, è retto. E peró seguita il proposito. Ma, se l’ angolo .c. è obtuso, meneró la linea .da. con la linea .ba. causante l’ angolo .dab. iguale al’ angolo .c. E, dal ponto .a., meneró la linea .ae. perpendiculare sopra la linea .ad. E, sopra il ponto .b., faró l’ angolo iguale al’ angolo .eab. El quale angolo è quello che lo obtuso avanza al retto. Menato la linea .bf. infino ala perpendiculare .ae., saran, per la .6a. del primo, .fb. e .fa. iguali. Fatto adunque il ponto .f. centro, faró il cerchio secondo la quan- titá del .fa. e sia cerchio .akb. Dove, per la .15a. di questo, la linea .gad. è contingente al cer- chio detto. Onde l’ angolo fatto nella proportione .akb. è iguale al’ angolo .bad., dove è igua- le al’ ango[lo] .c. dato. E, se l’ angolo .c. fosse acuto: faró la linea .ag. causante, con la linea .ab., ango- lo iguale al’ angolo dato, cioé al .c. E, dal ponto .a., meneró .ae. perpendiculare ala linea .ag. E, sopra il ponto .b., faró l’ angolo iguale al’ angolo .eab., nel quale il retto avanza l’ angolo a- cuto dato. E produrró la linea .bf. infino ala perpendiculare .ae. Siran, per la .6a. del primo, .fa. e .fb. iguali. Fatto adunque .f. centro del cerchio, descriveró secondo la quantitá dela li- nea .fa. el cerchio .abk. Sirá, per lo correlario di questa e per la .15a. di questo, la linea .ag. con- tingente el cerchio. Per la qual cosa, per la passata, l’ angolo fatto nela portione .akb. è igua- le al’ angolo .gab. Per la qual cosa è al’ angolo .c. che è il proposito. 33 Sia dato uno cerchio del quale voglio pigliare una portione. Nela quale si faccia un angolo iguale a un angolo dato. Sia .c. il dato angolo e .ab. il dato cerchio. Voglio del cerchio .ab. tagliare una portione nela quale si possi fare un angolo iguale al’ angolo .c. Produrró la linea .dae. contingente il dato cerchio nel ponto .a. Dal qual meneró nel cerchio la linea .ab. continente, con la linea .ae., un angolo iguale al’ an- golo .c. Sirá, per la .31a. di questo, la portione .apb. atta a ffarvi uno angolo iguale al’ ango- lo dato, che è il proposito. 34 Se in uno cerchio .2. rette linee si segano, quello ch’ é fatto d’ una parte d’ una linea nel’ altra parte de medesima linea é iguale a quello che è fatto dela parte del’ al- tra linea nel’ altra parte di quella. Voglio, lettore, che questa conclusione, fra l’ altre, te sia molto familiare, peroché l’ é quella che a molti casi de grandissima importanza ci aiuta, e in pratica e anche in theorica. E dali antichi philosophy è stata molto adoperata maxime da Ptolomeo, per tutto il suo almegesto, e in le formationi dele tavole de corda et arcu e ale pratiche vulgari, per li scemi de ciascuna portione de cerchio, in sapere finire el suo totale diametro. E, da questa nasci la regola comuna che, data la corda e la saetta, per quella si pó facilmente, con lo presuposito di questa .34a., trovare l’ avanzo del diametro del cerchio di quella tal portione, o sia magiore o sia minore de mezzo cerchio. E peró notala bene. Or torniamo ala sua expositione. Comme sienno .2. linee .c. e .bd., nel cerchio .abcd. sopra il ponto .e. Dico che quello rettangolo che è fatto dal .ae. in .ec. è iguale a quello ch’ é fatto dal .be. in .ed. Overamente amendui le linee passeranno per lo cen- tro del detto cerchio overo una over niuna. Prima passino tutte .2., comme nela figura prima è manifesto. Adunque il ponto .e. sia centro. Adunque tutte .4. le dette linee fienno igua- li per la diffinitione del cerchio, adunque il proposito seguita. E, se una sola passerá per lo cen- tro, e sia quella .bd. e il centro del cerchio sia .f. Overamente .bd. segherá la linea .ac. in .2. parti iguali overo in .2. parti non iguali. Prima sega in .2. parti iguali. Sirá adunque, per la prima di questo, segata ortogonalmente. Onde meneró .fc., sirá, per la quinta del secondo, quello ch’ é fatto del .be. in .ed., col quadrato .ef., iguale al quadrato .fd., cioé al quadrato .fc. Adunque, quello ch’ é fatto del .eb. in .ed. col quadrato del .fe. sia iguali al quadrato .fc. Adon- que quello che fatto del .fe. in sé e .ec. in sé, per la penultima del primo, è iguali al quadrato del .fc. Onde quello ch’ é fatto del .eb. in .ed., col quadrato .fe., è iguali al quadrato .fc., cioé a’ .2.

quadrati .fe. e .ec. Tratto adunque di ciascuno lo quadrato .fe., rimane quello che è fatto dai .be. in .ed. iguali al quadrato .ec. E, perché .ec. è iguali al .ea., sirá adunque il proposito. E, se il .bd. passerá per lo centro e segherá .ac. per parti non iguali nel ponto .e., menerai dal centro .f.fg., perpendiculare al .ca. Sirá, per la seconda parte dela .3 a. di questo, .ag. iguali al .cg. E menise la linea .fc., sirá, per la .5 a. del secondo, quello che è fatto del .be. nel .ed., col quadrato dela linea .ef., iguale al quadrato .df. e, per la penultima del primo, a’ .2. qua- drati .fg. e .gc., perché l’ angolo .fgc. è retto. E ancora l’ angolo .fge. è retto. Adunque quel ch’ é fatto del .be. in .ed., coi quadrati .fg. e .ge., è iguali al quadrato .fd., cioé al quadrato .fc. E il quadrato dela linea .fc. é quanto e .2. quadrati .fg. e .gc. Onde, tratto di ciascuna parte el qua- drato .fg., rimarrá quello che è fatto del .be. in .ed., col quadrato .eg., iguali al quadrato .gc. Ma, per la .5a. del secondo, quello ch’ é fatto del .ae. in .ec., col quadrato dela linea .ge., è igua- li al quadrato dela linea .gc. Adunque, quel ch’ é fatto del .be. in .ed., col quadrato .ge., è igua- li a quello ch’ é fatto del .ce. in .ea., col quadrato dela linea .ge. Tratto adunque di ciascuno il quadrato .ge., sia quello ch’ é fatto del .be. in .ed. iguali a quello ch’ é fatto del .ae. in .ec., che è il proposito. E, se niuna delle dette linee passerá per lo centro over l’ una dividerá l’ altra per parti iguali overo per parti non iguali. Prima dividi la .bd. linea .ac. nel ponto .e. E sia .ae. quanto .ec.; produrró .gfeh., diametro del cerchio passante per lo ponto .e. E divideró an- cora .ac. per igual parti. Onde lo dividerá ortogonalmente, per la terza di questo. Adunque, per lo secondo modo di questa conclusione, quello che è fatto del .ge. in .eh. è igual a quel ch’ é fatto del .ae. in .ec. E, per lo terzo modo di questa, quello ch’ é fatto del .ge. in .eh. è iguali a quello ch’ é fato del .be. in .ed. Adunque, quello che è fatto del .ae. in .ec. è iguale a quello ch’ é fatto del .be. in .ed., per la conceptione prima, che è il proposito. E, se niuna dividerá l’ altra per igual parti, comme sia .ae. divisa per .bd. nel ponto .e. per parti non iguali, meneró .gfeh., diametro, sirá, per lo terzo modo di questa, quello che è fatto del .ae. in .ec. iguali a quel- lo ch’ é fatto del .ge. in .eh. E ancora quel ch’ é fatto del .be. in .ed. è iguali, per lo terzo modo di questa, a quello ch’ é fatto del .ge. in .eh. Onde seguita, quando di .2.cose. ciascuna è iguali a una ch’ é infra loro, sienno iguali per la conceptione. E, peró, tanto è il fatto del .ae. in .ec., quan- to il fatto del .be. in .ed., che è il proposito. 35 Se si segnerá fuor d’ un cerchio un ponto e, da quello al cerchio, .2. linee rette si me- nino, dele quali l’ una seghi il cerchio, l’ altra sia contingente al detto cerchio, quel- lo che è fatto di tutta la linea segante nela parte di fuori è iguali al quadrato de- la linea contingente. Comme sia il cerchio .bcd., fuor del quale é il ponto .a. Dal qua- le si menino .2. linee: .ab. contingente e .adc. segante. Dico che quel ch’ é fatto del .ac. in .ad. è iguali al quadrato del .ab. Overamente .adc. passerá per lo centro o non. Passi prima per lo centro che sia .e. e faciase la linea .eb. la qual, per la .27a. di questo, è perpendiculare sopra la linea .ab. E, perché la linea .dc. è divisa per igual parti nel ponto .e. e a quella è agionta la linea .da., sirá, per la .6a. del secondo, quello ch’ é fatto del .ca. in .ad., col quadrato dela linea .ed., iguali al quadrato dela linea .ea. E il quadrato dela linea .ea., per la penultima del primo, é quanto e .2. quadrati .ab. e .eb., imperoché l’ angolo .abe. è retto. Adunque, a multiplicare .ac. in .ad., col quadrato .ed., che è iguali al quadrato .eb., é quanto il quadrato del .eb. e del .ba. Onde, tratto de ciascuna parte el quadrato .eb., rimarrá quello ch’ é fatto del .ca. in .ad. iguale al quadrato .ab., che è il proposito. E, se lla linea .ac. non passa per lo centro, piglise .afeg. passante per lo centro. E menise la linea dal centro al ponto dove la linea .ac. sega il cer- chio, che sia la linea .ed. E menise .eh. perpendiculare al .ca. Sirá, per la .3a. di questo, .dh. iguale al .hc. E, perché la linea .dc. è divisa per igual parti nel ponto .h. e a quella è agionto la linea .ad., sirá, per la .6a. del secondo, quello ch’ é fatto del .ca. in .ad., col quadrato .dh., iguali al quadrato .ah. Onde, agionto a ciascuno el quadrato .he., sirá quello ch’ é fatto del .ca. in .ad., coi quadrati di .2. linee .dh. e .he., cioé col quadrato .de., imperoché il quadrato .de. è quanto li .2. quadrati .dh. e .he., per la penultima del primo (perché l’ angolo .ehd. è retto), iguali al quadrato .ah. e .he., cioé al quadrato .ae., per la penultima del primo. E il quadrato .de. è iguali al quadrato .ef., per la diffinitione del cerchio. Adunque, quello ch’ é fatto del .ca. in .ad., col quadrato .ef., è iguali al quadrato .ea. E ancora (per la sexta del secondo) quello ch’ é fatto del .ga. in .af., col quadrato dela linea .fe., è iguali al quadrato dela linea .ae. Per la qual cosa, ciascun di loro ch’ é fatto del .ca. in .ad. e del .ga. in .af., col quadrato dela li- nea .ef., è iguali al quadrato dela linea .af. E peró e saranno iguali. Tratto adunque di ciascun-

no el quadrato dela linea .ef., sirá quello ch’ é fato del .ca. in .ad. iguali a quello ch’ é fatto del .ga. in .af. Ma quello ch’ é fatto del .ga. in .af. è iguale al quadrato dela linea .ab., per lo mo- do detto di questa. Adunque, quello ch’ é fatto del .ca. in .ad. è iguali a quello che è fatto del .ab. in sé, che è il proposito. Di questa è da notare che, quando un ponto è dato fuor d’ un cerchio e, da quello, molte linee si menino nel cerchio segandolo, quello ch’ é fatto di tutte le li- nee, nela parte di fuora, sia fra loro iguali, imperoché tutte sonno iguali al quadrato dela li- nea contingente. E, ancora, menando da quel ponto .2. linee contingenti e le fienno infra loro iguali, imperoché ’l quadrato di ciascuna è iguali a quello che è fatto di tutta la linea segan- te nela parte di fuora. 36 Se sirá uno ponto fuor del cerchio, dal qual si meni due linee ala circonferentia: una segante, l’ altra ala circonferentia aplicata e sia il dutto di tutta la linea segan- te nela parte di fuor iguale al quadrato dela linea aplicata. Di necessitá, quella li- nea sia contingente, cioé quella aplicata ala circonferentia. Comme sia il ponto .a., asignato fuor del cerchio .bcd., del quale sia il centro .e. Dal quale si meni al cerchio la linea .abd. segante quello. E la linea .ac., aplicata ala circonferentia e sia quel ch’ é fatto del dutto del .da. in .ab. iguali al quadrato .ac. Alora dico la linea .ac. essere contigente. Questa è conver- sa ala passata. E se .ac. non fosse contingente (per l’ aversario) sia contingente .af. Sirá, per la passata, quello ch’ é fatto del .da. in .ab. iguale al quadrato .af. Onde il quadrato dela linea .af. è iguale al quadrato dela linea .ac. Onde .ac. sia iguali al .af., che è impossibile per la .8a. di questo, adunque .ac. sia contingente, che è il propostio. E questo basti quanto al pri- mo capitolo e, seguendo, diremo del secondo.

De dimensione circulorum eiusque partium. Et tabulis de corda et arcu. Capi- tulum primum.

Havendo bene indutto a nostro proposito el .3o. de Euclide, hora darasse modo a- la pratica de mesurare li tondi e ’suoi parti e operaremo tutto con numeri, siché starai atento. Quando adunque del cerchio sai il diametro e vorrai la circonferen- tia, quello diametro in .3 1/7. multiplica overo quello diametro per .22. multipli- ca e dividi in .7. e harai quel che è la detta circonferentia. Comme diciammo. E gli é un ton- do che ’l diametro è .14., quanto è la circonferentia. Multiplicarai .14. per .3 1/7. overo multipli- carai .14. per .22. e partirai in .7. e harai .44. E .44. dirai giri il detto tondo, benché (com- me di sotto mostraró) questo non sia pontalmente la veritá ma è molto presso. E, similmente, per averso, dicendo e gli é un tondo la cui circonferentia è .44., adi- mando quanto è il diametro. Partirai .44. per 3 1/7. overo .44. per .7. multiplica e per .22. dividi e harai sempre .14. E .14. sia il detto diametro. Cioé per lo averso al modo passato, facciendo.

E, volendo trovare l’ area d’ un tondo (comme dichiareró) farai. E diciamo e gli é un tondo che ’l suo diametro è .14., adimando quanto è quadro. Puoi multiplica- re la mitá del diametro per la mitá dela sua circonferencia e quello che fanno è l’ a- rea del detto circulo. Comme multiplicando la mitá del diametro, cioé .7., per la mitá dela circonferentia, che è .22., fanno .154. e .154. è l’ area dil ditto tondo. Ancora puoi multiplicare tutto il diametro per la mitá dela circonferentia e partire il produtto in .2. e quel- lo che ne viene è l’ area detta. Comme nelo exemplo passato: multiplica .14. via .22., fanno .308. el quale, in .2. partito, vienne .154. per l’ area del detto tondo. Overo ancora multiplicare la mitá del diametro per tutta la circonferentia e di quel pigliare la mitá, che è quel medesimo. Ancora poi multiplicare tutto il diametro per tutta la circonferentia e dela somma pigli- are il .1/4. Comme nelo exempio dato, multiplicarai .14. per .44., fanno .616. Del quale il 1/4. è .154.

E .154. è quadro et cetera. Ancora puoi multiplicare il diametro in se medesimo e di quel pigli- are gli .11/14. E quello sia l’ area del detto tondo. Comme in detto exemplio: multiplicarai .14. in sé, fanno .196. del qual gli .11/14. sonno .154. per l’ area del detto tondo. Ancora prendi el .1/4. dela circonferentia, ch’ é .11., multiplica in sé, fa .121., qual multiplica per lo diametro, che è .14., fa .1694., qual parti per .11., ne ven .154. per tutta l’ area del tondo che volgesse .44. et cetera. Ancora puoi multiplicare la circonferentia per sé e la somma partire in .12 4/7. e quello ne viene sirá l’ a- rea del detto tondo, cioé multiplicare la circonferentia per sé e poi per .7. e dividere in .88.

Comme in detto exemplo: multiplicarai .44. in sé fanno .1936. e questo per .7. fanno .13552. e questo in .88. dividi, cioé in .8. e .11. e harai .154. per l’ area del detto tondo.

Tutti li detti modi escano del primo modo, cioé di multiplicare la mitá del dia- metro per la mitá dela circonferentia. E peró disse el nobil geometra Archimede: el cerchio è iguale a uno triangolo ortogonio fatto, per la basa, di tutta la circon- ferentia e, per lo catetto, dela mitá del diametro; l’ area del quale s’ á multiplicare el catetto in mezza la basa, cioé di multiplicare mezzo il diametro in mezza la circonferentia. E, donde questo procieda, che a multiplicare la mitá del diametro per la mitá dela circonferentia facia l’ area del tondo, lo voglio dimostrare. sia il cerchio .abgd. Del quale il centro sia .e. E in quel descriveró una figura rettilinea qual vorró. E sia uno quadrilatero .abgd. El qual, dal centro .e., risolveró in .4. triangoli: cioé dal centro a ciascuno angolo tirando le linee. E fienno .eab. e .ebg.egd.eda. E nomi- nase triangolo equicurio ciascuno di quelli, imperoché le linee .ea.eb.eg.ed. infra loro son- no iguali, per la diffinitione del cerchio. E, menando a ciascuno dal centro .e. una perpendi- culare, cadrá ciascuna in sula mitá dela basa del suo triangolo. Onde porremo sopra ala mitá di dette base li ponti .z.i.t.k. Per li quali produrró, dal centro .e. ala circonferentia, le rette .el.em.en.eo. E faciase .al.lb.bm.mg.gn.nd.do.oa. e fienno .4. triangoli, sopra le base .ab. bg.gd.da., fatti. E, perché la retta .ez. è catetto sopra la retta .ab., se multiplicaremo .ez. nela mitá del .ab., ne perverrá l’ area del triangolo .eab. Similmente, perché .lz. è catetto del trian- golo .lab., a multiplicare .zl. nela mitá del .ab., ne perviene l’ area del triangolo .lab. Onde, multiplicando tutta .el., cioé mezzo el diametro del circulo nela mitá del .ab., ne perverrá l’ a- rea del quadrilatero .ealb. Per lo simil modo, multiplicando .em., cioé .el. nela mitá dela li- nea .bg., ne perverrá l’ area del quadrilatero .ebmg. E, per lo detto modo, se multiplicaremo .en. nela mitá del .gd. e .eo. nela mitá del .da., ne perverrá l’ area di quadrilateri .egnd. e .edoa., cioé, se multiplicaremo .el., cioé el mezzo diametro del circulo, nela mitá de’ lati de’ quadrilate- ri .abgd., ne perviene l’ area dela figura di molti lati cadente nel cerchio. Ma l’ area dela det- ta figura multilatera, che è .al.bm.gn.do., è minore del’ area del circulo. Adonca, dela mul- tiplicatione dela mitá del diametro del cerchio nela mitá dele rette .ab.bg.gd.da., ne per- viene meno che l’ area del cerchio. Ma la mitá dele linee .ab.gd.da. e .gb. è meno dela mitá dela circonferentia del cerchio .abgd. Adunque, a multiplicare la mitá del cerchio, cioé la mitá dela circonferentia, nela mitá del diametro, fará l’ area del cerchio. Imperoché habia- mo mostro che, a multiplicare la mitá del diametro nela mitá della detta figura, che è me- no che la circonferentia del cerchio, fa meno che l’ area del detto circulo. E hora resta a mo- strare che, a multiplicare la mitá del diametro nel piú che la mitá dela circonferentia, fa piú che l’ area del detto circulo. E questo per prova é che, a multiplicare .ik., ch’ é mitá del diame- tro, in mitá del .ab. e .bc. e .cd. e .de. e .ef. e .fg. e .gh. e .ha., fa l’ area dela figura d’ otto angoli pre- detta. E peró, a multiplicare la mitá del diametro per la mitá dela circonferentia del detto, fa- rá piú che l’ area del detto circulo, comme appare nela presente figura. E peró adonca, a mul- tiplicare la mitá del diametro per la mitá dela circonferentia, fará l’ area del detto circulo. E questo volavamo intendere.

Avendo dichiarato el primo modo di quadrare li circuli, avendo detto che, a mul- tiplicare tutto il diametro per la mitá dela circonferentia e, quello che fanno, partendo in .2., haremo l’ area. E questo viene, che, a multiplicare la mitá del dia- metro per la mitá dela circonferentia, fanno l’ area del circulo. Onde, a multipli- care tutto il diametro per mezzo la circonferentia, fará .2. cotanti comme tutto el diametro e a mezzo il diametro .2. cotanti. E cosí ancora, a multiplicare tutta la circonferentia per mezzo il diametro, fará .2. cotanti del’ area, per la ragione predetta. E dicemmo che, a multiplicare tutto il diametro per tutta la circonferentia, fanno .4. cotanti del’ area del cerchio. E questo chiaro appare per la ragione passata. Imperoché, a multiplicare tutto il diametro per la mezza circonferentia, fará due cotanti dela detta area. E a multiplicare tutta la circonferentia per mezzo il dia- metro fa ancora .2. cotanti di detta area. Onde, a multiplicare tutto il diametro per tutta la circonferentia, fa .4. cotanti di detta area. E questo si deve dichiarare. Ancora dicemmo che, a multiplicare il diametro per sé e pigliarne .11/14., haremo l’ area del circulo la quale cosa voglio mostrare. Noi habiamo detto che, a multiplicare il diametro per .3 1/7., s’ á quel- lo che gira la circonferentia. Adonca, a multiplicare il diametro in sé e poi in .3 1/7. e quello che fanno

care il diametro per la circonferentia e, ancora, tanto è a multiplicare il diametro per la conferentia e partire in .4., quanto a multiplicare il diametro per sé e quello che fan- no per lo quarto di .3 1/7. E, acioché chiaro appaia. Sienno .2. numeri de’ quali il magiore con- tenga el minore .8. volte. Dico che tanto è a multiplicare il minore per lo magiore e partire in .4., quanto a multiplicare il diametro, cioé il minore, in sé e poi per lo quarto del .8., cioé per .2.

E cosí è quanto a multiplicare il diametro in sé e poi per lo quarto di .3 1/7., che è .11/14., e questo vo- lemmo mostrare.

Quel modo che è de multiplicare la circonferentia in sé et partire in .12 4/7., é quello che viene l’ area del circulo: per lo passato chiaro appare. Imperoché, se sonno .2. numeri, e uno sia .8. tanti del’ altro, che tanto è a multiplicare el magiore per lo mi- nore e pigliare il quarto, quanto a multiplicare il magiore in sé e partirlo per quat- tro cotanti del .8., cioé in .32. Cosí, a multiplicare la circonferentia in sé e partirla per .4. cotan- ti di quel che la circonferentia contiene il diametro, che è .12 4/7., é quanto a multiplicare il dia- metro per la circonferenza e partire in .4. E questo volemmo mostrare. Ancora e gli é da dimostrare comme e fo trovata da Archimenide la linea circon- ferentiale essere .3. volte 1/7. del diametro, la quale inventione fo bella e sotile. In que- sto modo, bene che con brevitá se dica. sia uno cerc[h]io .abgd. del quale il dia- metro sia .ag. e il centro sia .c. E meneró la linea .ez. contingente il cerchio sopra il ponto .a. Dove il diametro .ag. é catetto sopra .ez. E faró .zae. lato del’ exagono stante intor- no al circulo .abgd. E, questo fatto, conciosiacosaché l’ angolo .c. sia .2/3. del retto. E porró .ce. essere .30., dove .ae. sia .15. E, perché l’ angolo .a. è retto, se del' quadrato del lato .ce. si toglie il quadrato del lato .ae., cioé .225. di .900., rimane .675. la cui radici è poco meno di .26., cioé .26. meno .1/52. Di poi dividanse l’ angolo .eca. in .2. mezzi dala linea .cf., che divide l’ arco .ab. sopra il ponto .y. E, commo s’ á per le demostrationi de Euclide, gli angoli sopra il centro, siando igua- li, hano iguali archi, onde la periferia .ay. ala periferia .yb. è iguale. Onde .ae. é la mitá del lato delo exagono. Onde .af. è la mitá d’ una figura di .12. lati contenente il cerchio .abgd. E, perché l’ angolo .eca. è diviso in .2. parti iguali dala linea .cf., sirá proportionalmente cosí .ec. al .ca., cosí .ef. al .fa., comme nel sexto de Euclide se dimostra. Onde sia cosí el congionto del .ca. e .ec. al .ea., cioé comme .56. meno .1/52. é al .ea., cosí el congionto del .ef. e .fa., che è .15., é al .fa. E, permutati, sia cosí el congionto del .ec. e .ca. al .ea., cioé comme .56. meno 1/52. sonno .a.15., cosí .ca. e .af. Onde io porró .ca. essere .56. meno .1/52. e .af .15. Onde, congiongnendo li quadrati de- le linee .af. e .ac., haremo, per lo quadrato dela linea .cf., .3359. o poco meno. La cui radici è a presso .58. per lo lato .cf. E dipoi divideró l’ angolo .fca. in .2. parti iguali dala linea .ch.e sia .ah. la mitá del lato d’ una figura equilatera avente .24. lati e scritta intorno al cerchio .abgd. E, perché l’ angolo .fca. è diviso in .2. parti iguali dala linea .ch., sirá la proportione del con- gionto del .fc. e .ca. al .ca. comme .fa. al .ha. E, permutati, sia cosí el congionto del .fc. e .ca. al .fa., cioé comme .114. o poco meno è a .15., cosí .ca. al .ah. Dove porró .ca.114. o poco meno e .ah. sia .15. Onde, agiongnendo el quadrato di poco meno che .114. e .15. e, di poi, togliendo la ra- dici haremo .115. o poco meno per la linea .ch. Ancora divideró l’ angolo .hca. in .2. parti iguali dala linea .ci. e sia .ai. la mitá del lato d’ una figura equilatera avente .48. angoli scrita intorno al cerchio .abgd. Del quale .ai. la sua proportione è .al.ac. e comme .15. al congion- to del .ac. e .ch., cioé .229. e poco meno. Dico secondo l’ appressamento. Imperoché le radici loro sonno sorde e, secondo la propinquitá, diciamo in quel modo. Porró adunque .ca.229. e poco meno e .ai.15. e agiongo li detti quadrati e di quel piglio la radici e haremo .229. e .1/3. o poco piú per la linea .ci. E divideró l’ angolo .ica. in .2. igual parti dala linea .ck. Dove la proportione .ca. al .ak. è comme la proportione del congionto del .ic. e .ca. al .ai. Adunque la proportione del .ca. al .ak. è quasi comme .458 1/5. a .15. Ma la proportione del .ca. al .ak. è comme la proportione del diametro .ga. al doppio del .ak. Ma ’l doppio del .ak. è uno lato d’ una figura avente .96. lati iguali stante intorno al cerchio .abgd. Onde è cosí .458 1/5. a .15., cosí il diametro .ga. è a uno di deti lati dela figura detta avente .96. lati iguali. Onde, mul- tiplicando .15. per .9., haremo .1440. per la somma de’ lati di quella figura. Adunque, la pro- portione di tutti e lati d’ una figura sopra detta al diametro del circulo, el quale cade dentro, è comme .1440. a .458., che è comme .1. a .3.33/229., che è piccola cosa piú che .3 1/7. E peró disse Archi- menide il diametro del cerchio essere ala circonferentia comme .1. a .3 1/7. e questo volemmo mostrare].

A ncora un’ altra volta voglio trovare la detta proportione in una figura, caden- te dentro al cerchio, che habia .96. lati iguali, in questo modo. Sia il cerchio .abgd. Dove porró in quello el lato del’ exagono .ad., che è iguali al mezzo diame- tro .ca. E compiró .gd. e sia il triangolo .gda. ortogonio, imperoché gli é nel mezzo cerchio .gda., comme nel passato dicemmo. E, perché la linea .ad. è il lato delo exago- no, sará la periferia .ad. la terza parte dela p[e]riferia .adg. Onde la periferia .dg. è doppia ala periferia .ad. Onde l’ angolo .gad. è doppio al’ angolo .agd. e sonno amendoi iguali a uno angolo retto. On- de l’ angolo .agd. è la terza parte d’ un angolo retto. E porró per l’ ordine detto il diametro .ag.30.

Onde la retta .ad. sará .15. E la retta .gd. sia circa .a.26., comme di sopra dicemmo. E divide- ró l’ angolo .agd. in .2. parti iguali dala linea .gm. E faró la retta .am. e sia la proportione de- la retta .al. al .ld. comme .ag. al .gd. E, per la congionta proportionalitá, sará cosí .ad. al .ld. comme el congionto dele rette .ag. e .gd. ala retta .gd. E, per la permutata proportionalitá, sia cosí .ag. e .gd. ala retta .ad., cioé comme .56. e poco meno é a .15., cosí .gd. al .dl. E, perché l’ angolo .agd. è diviso in .2. parti iguali dala linea .gm., l’ angolo .amg. è iguali al’ angolo .gda., imperoché ciascuno è retto, conciosiacosaché fieno nel mezzo cerchio, per la .30a. del . 3o. L’ altro angolo adunque .gld. al’ altro .gam. equiangoli sonno, adunque, e triangoli .gdl. e il triangolo .gma. Onde e gli é cosí .dg. al .dl., cosí .gm. al .ma. Onde porró .gm.56. o poco meno e .ma. sia .15. E sará .am. il lato dela figura di .12. facie iguali, cadente dentro al cerchio .abgd. Dove .ag. sia .58. o poco meno per lo lato .ag. Ancora divideró l’ angolo .agm. in .2. parti iguali cola linea .gno. E compiró la retta .ao. e troveró la radici congion- ta del quadrato .ag., che è (comme ó detto) circa .58. Dove sia cosí .ag. e .gm. al .ma., cioé comme .114. o pocho meno a .15., cosí .gm. al .mn. Ma cosí .gm. al .mn., cosí .go. al .oa. Son- no e triangoli .gmn. e .goa. simili e ortogonij. É adunque cosí .114. o poco meno a .15., cosí .go. al .oa., onde porró .go. essere .114. o poco meno e .oa.15. E torró la radici de’ quadra- ti dele linee .go. e .oa. E haró, per la linea .ga., .115. meno alcuna cosa. E la linea .oa. é il lato dela figura aventi .4. lati iguali scritta nel cerchio .abgd. Ancora divideró l’ angolo .ago. in .2. mezzi dala linea .gp. E compiró .grp. E sia cosí .ga. e .go. al .oa., cosí .go. al .or. Ma cosí .og. al .or., cosí .gp. al .ra. sia cosí .229. o poco meno a .15., cosí .gp. al .pa. onde porró .gq. essere .229. o poco meno e, seguendo comme nel’ altre linee, troveró che le facie d’ una fi- gura avente .96. lati iguali sia al diametro comme .1440. a .458. o poco piú, che è quasi co- me .3 1/7. a .1o. E, perché gli é poca differentia quella peró posaro’ gli savij phylosophi che ’l dia- metro alla circonferentia è comme .1o. a .3 1/7. E questo era da mostrare. E, se uno campo che fosse mezzo cerchio desideri de misurare, l’ area del detto cer- chio, per uno de’ detti modi truova. E la mitá di quella togli e harai la quadratu- ra di detto cerchio. Comme sia el semicirculo .abg. Del quale il diametro .ag. sia .24. e compise il circulo .adgb. E sia il suplemento .adg. ancora mezzo cerchio. Onde, pigliando la mitá del’ area del circulo .abgd., haremo certamente l’ area dela mitá del circulo, cioé l’ area del dato semicirculo .abg. Overamente la mitá del diametro, cioé .12., in .3 1/7. multiplica e harai .37 1/7. per l’ arco .abg. Del quale piglia la mitá e quella multiplica per la mitá del diametro. Overo la quarta parte del diametro in tutto l’ arco multiplica e haremo .226 4/7. per l’ area del mezzo cerchio .abg. Overo del quadrato del diametro togli .11/12. e harai la detta area.

E, se la notitia del’ arco .abg., che è mita dela linea circonferentiale de tutto cer- chio, vuoi trovare, dal centro e sopra il diametro .eg., la linea .eb. ortogonalmen- te riga. E dali ponti .a. e .g. mena le linee .ab. e .gb. e sia l’ angolo .abg. retto. Im- peroché gli é nel mezzo cerchio .abg. Overo, perché .be. é iguali ala retta .ea. e .eg., e sará l’ uno e l’ altro triangolo .aeb. e .beg. equicurio. Onde gli angoli .eba. e .eab. e .ebg. sonno infra loro iguali. E ciascuno di loro è iguali ala mitá del’ angolo retto. Adun- que ‘.2. angoli che sonno al .b. sonno iguali a uno retto. Retto è adunque l’ angolo .abg. E, perché .2. rette .ae. e .eb. sonno iguali a .2. rette .be. e .eg. e gli angoli .aeb. e .beg. sonno retti e iguali e infra loro le rette .ab. e .bg. sonno iguali, onde lo quadrato del diametro .ag. é doppio al quadrato di ciascuna linea .gb. e .ba. E ancora ciascun de’ quadrati dele linee .gb. e .ba. a ciascuno de’ quadrati dele linee .ae. e .eb. e ancora .be. e .eg. é doppio. Onde è cosí .ag. al .gb., cosí .gb. al .be. overo al .eg. Onde, se multiplicaremo .ag. in .be., cioé .24. per .12., haremo .288., per lo quadrato di ciascuna dele linee .ab. e .bg. overo, se del quadrato del diametro .ga. torreno il mezzo. Overo ra-

doppiarai il quadrato del mezzo diametro .ge. overo .ea., haremo similmente .288. per lo quadrato di ciascuna linea .gb. e .ba. e é .gb. arco dela mitá del mezzo cerchio .abg. Di poi si dividiremo la corda .bg. sopra il ponto .c. in .2. parti iguali. Per li ponti .ce. meneremo la linea df. Sará .df. diametro del cerchio .abgd. e fará gli angoli retti sopra il ponto .c. col la cor- da .b g. E ancora divida l’ arco .bfg. in .2. parti iguali. Onde, se dal ponto .f. meneremo le linee .fb.fg., sará ciascuna corda la quarta parte del mezzo cerchio .gba., ala quale notitia verre- mo cosí. Perché l’ angolo .bce. è retto, se ’l quadrato dela linea, che è .72., cioé la quarta parte del quadrato dela corda .bg., trarremo del quadrato dela linea .be., che è sotto al’ angolo ret- to rimarranno .72. per lo quadrato dela linea. Onde tutta .dc. è .12. e radici de .72. E chia- mase binomio, comme nela parte de sopra, in questa opra del’ arithmetica, fo manifesto. E que- sto binomio non si puó exprimere con numeri. Onde, se traremo .ec. del .ef. rimarranno .12. meno radice di .72. per la linea .cf. E chiamase quella linea .cf. residuo overo abscisio: con- ciosiacosaché sia fatto de numero meno radice. Dipoi piglieremo li quadrati dele linee .fc. e .cb. e harai el quadrato dela corda .bf. overo .fg. E, comme si pigli el quadrato dele linee .cf., io te lo voglio dimostrare. Poni e detti nomi, cioé .12. e radice di .72., comme dal lato si mostra; multiplicherai .12. per .12., fanno .144. E poi multiplica radice di .72. meno in sé, cioé per radici di .72. meno, fanno .72. che, con .144., fanno .216., del quale tra’ el doppio di .12. mul- tiplicato in radice di .72., fanno .24. radici di .72. E cosí haremo per lo quadrato dela linea .cf.216. meno .24. radici di .72., che sonno una radici .41472. Overo, perché la linea .ef. è divisa comme viene in sul ponto .c., fienno ’.2. quadrati .ef. e .ec. iguali al quadrato .cf. e al dop- pio di quel ch’ é fatto del .ec. in .ef., per la .7a. del .2o., imperoché li quadrati dele linee .ef. e .ec. sonno .216. del qual, togliendo el doppio dela multplicatione del .ef. in .ec., cioé di .24. in radi- ci di .72., fanno .216. meno la radici di .41472. e chiamase el primo reciso, comme sopra nel’ a- rithmetica mostrai. Al quale quadrato, agionto el quadrato dela linea .bc., cioé .72., haremo .288. meno la radici de .41472. per lo quadrato dela corda .bf., che si chiama el quarto reci- so. Del quale la radice è quella linea detta linea minor. E, se secondo l’ appressamento vuoi pro- cedere a notitia dela linea .bf., la radici di .41472. piglia, che è pocho meno di .203 2/3. che, de .288. tratta, rimane poco piú di .84 1/3. per lo quadrato de ciascuna delle .4. corde .gf.fb.hb. .ha. overo, altramente, del quadrato dela linea .ec. truova la radici, ch’ é poco meno di .8 1/2. E quella tra’ dela linea .ef., cioé di .12., rimane poco piú di .3 1/2. per la linea .cf. Del quale il quadra- to, che è poco piú di .12 1/3., se l’ agiognamo col quadrato del .bc., haremo poco piú di .84 1/3. per lo quadrato di ciascuna dele .4. corde. Le quali, multiplicate per lo .4., cioé per lo quadrato di .4., che è .16., haremo .1350. per lo quadrato dela somma dele .4. corde de’ quali la radici è cir- ca .36 3/4. Ma l’ arco .abg. è .37 5/7. Onde ancora siamo alquanto de longni al trovare per la noti- tia di .4. corde. Onde ancora divideró una di quelle .4. corde in .2. corde iguali. E sia la cor- da .ah. divisa sopra il ponto .i. E meneró li ponti .i.e. e il diametro .kl. che divide l’ arco .akh. in .2. parti iguali in sul ponto .k. E meneró la corda .ak. La qual sará il lato d’ una figura aven- ti .16. lati iguali, cadente dentro al cerchio .abg. E verró ala notitia di quello secondo che è detto di sopra: cioé che del quadrato .ae., cioé di .144., si traga el quadrato dela linea .ai., che è circa .21 1/11., cioé la quarta parte del quadrato dela linea .ah.122 10/11., per lo quadrato dela li- nea .ei. Dove quella linea è .11 1/11. Lo quale, se lo togliamo dela linea .ek., rimará .ik. circa .10/11. Del quale il quadrato è circa 9/11. che, agionto al quadrato dela linea .ai., haremo .21 9/10. per lo quadrato dela linea .ak., che è la corda del’ ottava parte del’ arco .abg. Onde, se multiplica- remo .21 10/11. per lo quadrato del .8., haremo circa .1402. per lo quadrato dele .8. corde iguali cadenti nel mezzo cerchio .abg., dele quali la radici è circa .37 1/2. o poco meno. Ma l’ arco .abg. é piú di .37 5/7. Per la qual cosa, se per lo detto modo dividerai l’ arco .ak. e di quello truovi la corda, haremo apresso ala longhezza del’ arco .abg. E cosí, sempre dividendo l’ arco, ha- remo, in modo che la differentia è cosa insensibile al’ arco. E peró cosí poi venire ala noti- tia di qual vuoi arco. Nondimeno, a piú tua chiarezza de quello che è ditto, la sequente con diligentia notarai. Avenga che dificil cosa sia, per queste vie, ala notitia precisa deli archi e corde pervenire. E, per questo, si manifesta la gran difficultá dela quadratura del cerchio che, da tutti ‘philosophi, la sua quadratura si conprende essere possibile e dabile, benché finora per nullo sia trovata, se non quanto per Archimede se dimostra nel suo terzo libro. El qual modo fo per l’ aproximamento dela proportione del suo diametro ala circunferentia, commo denanze in questo te dissi e dimostrai et cetera. Or prendi l’ altra. Videlicet.

Questo, acioché piú liquidamente appaia, sia il circulo .abcd. Del quale el diame- tro .ac. sia .10. E in quello sia data la corda nota .bd. che sia .8. e vogliamo l’ arco .bad., per la notitia di deta corda. Prima è da trovare la longheza di ciascuna saet- ta in questo modo. Dividase la corda .bd. in .2. parti iguali sopra il ponto .e. E fa- ciase .aec. e sia perpendiculare. La quale passerá per lo centro. E, per la .34a. del .3o., tanto fa .be. in .ed., quanto .ae. in .ec. Dove .be. in .ed. fanno .16. E dirai che tu habia a dividere .10. in .2. parti, che, l’ una multiplicata nel’ altra facino .16. Che sia l’ una .2., l’ altra .8. Adunque .ae. è .2. e .ec. è .8.

E, similmente, volendo la corda .bd., havendo la saetta .ae. e .ec., multiplicando .2. via .8. e di quel- lo pigliando la radici che sia .4. per lo .be. e altretanto per lo .ed. E cosí tutta .bd. è .8. Faciase adunque le .2. corde degli .2. archi .ab. e .ad. per le linee .ab. e .ad. Dele quali, se vuoi la notitia, a- giongase el quadrato .ae. col quadrato .be. e haremo .20. per lo quadrato d’ una dele linee .ad. overo .ab. Dipoi dividasi la corda .ad. nel ponto .g., faremo .igfh. diametro e troveremo, per quelle cose che sonno dette, la notitia dele saette .ig. e .gh., con quai li quadrati dele linee .ag. e .gi. congiungeremo e haremo el quadrato dela linea .ai., che è la quarta parte di tutto l’ arco .bda. E cosí faremo frequentemente e haremo apresso a tutto l’ arco .bad. Lo quale dela linea cir- cunferente, cioé del .adhb., cioé di .31 3/7., trarai e rimarrate l’ arco .bcd. manifesto. Ancora ci é un altro modo a trovare degli archi le corde de’ mezzi archi de’ qua- li archi le corde sonno note. El quale Ptolomeo pose nel’ Almagesto. Sia adonca nel cerchio .abgd. el diametro .bd. noto e ancore la corda .ad. nota. Voglio trova- re la corda dela mitá del’ arco .ad. Meneró la corda .ab. e sia nota: conciosiacosa- ché la corda .ad. sia nota e l’ angolo .dab. sia retto per la .30a. del 3o. Onde il quadrato del dia- metro .db. è iguali a’ .2. quadrati de .2. corde .da. e .ab. E faciase la retta .be. iguale ala retta .ba. e dividase l’ angolo .abe. in .2. parti iguali dala linea .bz. e comporró le rette .zd.ze.za. E dal ponto .z., sopra el diametro .bd., meneró il catetto .zi. E, perché e gli è iguale la retta .ab. ala ret- ta .be., se comunamente si pone la retta .bz., fienno .2. rette .ab. e .bz. a .2. rette .bz. e .be. iguali, im- peroche infra loro sonno iguali le periferie .az. e .zd. che, comme habiamo mostro, iguali an- goli in uno cerchio, sopra l’ iguali periferie, sonno fatti overamente al centro overamen- te sopra la circonferentia sienno fatti. E gli angoli che sonno al .b. sonno iguali infra loro e sonno sopra le periferie .az.zd. Onde la retta .ze. è iguale ala retta .zd. e ala retta .za. per .4am. primi. Equicurio é adunque il triangolo .zed. Onde il ponto .i., che è il cadimento del catetto .zi., é in mezzo dela linea .ed. E, perché ortogonio è il triangolo .bzd., imperoché gli é nel mez- zo cerchio e sopra le base, dal’ angolo retto, è menato lo catetto a ciascuno triangolo de’ .2. per li quali ‘l triangolo .bzd. è diviso e ciascuno triangolo á uno angolo retto e uno comune con tutto el triangolo .bzd. Comme Euclide per la .8a. del .6o. dimostra. Onde sará cosí .bd. al .dz. cosí .zd. al .di. Onde la multiplicatione del .di. in .bd. è iguale al quadrato dela linea .zd. E certamente .id. è noto. Conciosiacosaché sia la mitá del .ed., che è noto. Imperoché .be. è noto che è iguali ala corda .ba. nota. Onde, se si toglie la la corda .ba., cioé .be., del diametro .bd., rimarrá .ed. noto. Dove la mitá di quello è .id. che sia noto. Onde, se multiplicaremo el .di. no- to in .bd. noto, ne perverrá il quadrato dela corda .zd. noto. Onde .zd. sia noto comme habiamo detto, che ancora, con numeri, porró sia il diametro .bd.10. e la corda .da. sia .8. Dove la corda .ab. sia .6. E, perché .be. é a quella iguale, sia .be.6. che, tratto del diametro .bd., cioé di .10., rimane .4. per la retta .ed. De’ quali la mitá, cioé .2., sia tutto .id. E dela multiplicatione del .id. in .bd. fanno .20. che sonno iguali al quadrato dela corda .zd. Onde la corda .zd. è radici di .20.

Ancora, se traremo el quadrato dela linea .zd. del quadrato del diametro .bd., rimarrano .80. per lo quadrato dela corda .bz. De’ quali la radice è .9. meno .1/18., la quale se trarremo del diametro .bd., rimarrá .1 1/18. De’ quali se la mitá multipli- caremo nel diametro .bd. overo se multiplicaremo .1 1/18. per la mitá del diametro, cioé per .5., fanno .5 5/18. per lo quadrato dela corda, che è corda dela mitá del mezzo del’ arco .dz. E, secondo questo modo, possiamo trovare le corde dela mitá di qualunque arco dato. Ma questa tale inventione non è da essere operata da quelli che misurano e campi, che vogliono procedere secondo un vulgare modo. Imperoché, quando vulgarmente la lon- ghezza d’ alcuno arco disidereno d’ avere, habiano alcuna misura cognosciuta de .2. o .3.bracia., la quale si possa piegare e distendere. E con quella studi intorno misurare gli archi che vo- gliano misurare. Overamente habino una fune d’ un braccio o piú e con quella studi misurare intorno gl’ archi de’ cerchi, ficando spesso le canne per lo giro del cerchio, accioche quella fune non si disvii dala circonferentia del circulo. E cosí potrai la misura di tutti gli archi de’ cerchi

havere. Ma quelli che, secondo la scientia de geometria, vogliano operare piú legiermente, si dará lo- ro il modo per gli archi a trovare la corda e per la corda gli archi, per le tavole sequenti. Nelle quali {+} archi noti proposi e, inanzi a ciascuno, la sua corda in pertiche e piedi e oncie e ponti scripti. E la per- ticha è .6. braccia de terra. E il piede è .18. once. E l’ oncia è .20. ponti. Over la pertica è .108. once e .2160. ponti. E sonno .66. corde e intendese quelle sienno menate nel mezzo cerchio, del quale il dia- metro è pertiche .42. E ciascuna corda menata nel cerchio è corda di .2. archi iguali, se la cor- da será diametro over di .2. archi non iguali, se la corda non será diametro. E peró .2. ar- chi inanze ala ditta corda ó ordinato, commo per le sequenti tavole se manifesta. E li numeri nel primo luogo, che son .1.2.3.4., denotano le pertiche deli archi menori. E quelli dela seconda casella, che son .131.130., representano le pertiche deli archi magiori. E quelli dela terza casella, che comenza .0.1.2.3.4. et cetera, denotano le pertiche dele corde. E quelli dela quarta deno- tano li piedi, che comenza .5.5.5.5.4. et cetera. Quelli dela quinta, che comenza .17.17.17. et cetera, deno- tano once. E li ultimi, nel sexto luogo, dicano li ponti, che comenzano .17.13.4. et cetera. Siche sempre harai a rimpetto arimpetto l’ uno al’ altro. E sappi commo habia facta questa, cosí ne poi far da te infinite magiori e minori, commo se elice del ditto Almegesto, sempre proportionando un cer- chio piccolo a un grande. E, per tal modo, se reggano li pratici agrimensori nel fabricare le ta- vole deli scemi per le botti, commo quella del .60. e l’ altra del .12. quella del .10., che ala gior- nata s’ usano, secondo la experienza che, nelli paesi, in alcuna botte, da sé fanno et cetera. 1 131 0 5 17 17 34 98 30 2 6 17 2 130 1 5 17 17 35 97 31 0 8 5 3 129 2 5 17 13 36 96 31 4 8 7 4 128 3 5 17 4 37 95 32 2 5 15 5 127 4 4 12 2 38 94 33 0 {+} 9 6 126 5 5 16 10 39 93 34 3 13 0 7 125 6 5 14 5 40 92 35 1 4 15 8 124 7 5 12 9 41 91 35 4 2 10 9 123 8 5 8 16 42 90 36 2 0 0 10 122 9 5 7 8 43 89 36 5 3 5 11 121 10 5 14 2 44 88 37 2 4 6 12 120 11 4 17 18 45 87 37 5 3 2 13 119 12 4 13 6 46 86 38 1 17 15 14 118 13 4 7 16 47 85 38 4 12 13 15 117 14 4 1 0 48 84 38 1 4 0 16 116 15 3 11 18 49 83 39 3 11 15 17 115 16 3 3 12 50 82 39 5 17 2 18 114 17 2 12 8 51 81 40 2 2 1 19 113 18 0 2 15 52 80 40 4 2 10 20 112 19 1 8 12 53 79 41 0 0 11 21 111 20 0 13 18 54 78 40 1 14 5 22 110 21 0 0 0 55 77 40 3 7 8 23 109 21 5 2 16 56 76 40 4 16 2 24 108 22 4 4 5 57 75 41 0 4 12 25 107 23 3 4 8 58 74 41 1 8 1 26 106 24 2 3 2 59 73 41 2 9 0 27 105 25 1 6 6 60 72 41 3 7 14 28 104 25 5 6 2 61 71 41 4 9 2 29 103 26 4 8 0 62 70 41 4 15 10 30 102 27 3 0 3 63 69 41 5 6 9 31 101 28 1 9 7 64 68 41 5 12 17 32 100 28 5 16 4 65 67 41 5 6 14 33 99 29 4 3 9 66 66 42 0 0 0

Commo, adonca, per queste tavole qual voi arco di cerchi s’ abbia a trovare, lo mo- straró. E, accioché di quelle migliore doctrina s’ abbia, é da mostrare, se in uno cerchio .2. archi non iguali fienno, sia la proportione del magiore arco ala sua cor- da magiore del minore arco ala sua corda, che ancora all’ ochio si puó compren- dere per le tavole sopra scripte. Imperoché l’ arco del mezzo cerchio ala sua corda (cioé al diametro) è commo .66. a .42., cioé neli numeri minori, commo .11. a .7. E la proportione de- l’ arco dela sexta parte del cerchio ala sua corda è commo .22. a .21. Magiore certamente è la proportione del .11. a .7. che di .22. a .21. Similmente, in tutti gli archi dele sopra scripte ta- vole, trovarai la proportione del magiore arco ala sua corda avanzare la proportione del mi- nore arco ala sua corda. Ma, accioché questo appaia. Sia dato uno cerchio .abgd. Nel qua- le sienno .2. archi non iguali .ab. e .bg. E sia l’ arco .bg. magiore. E menise la corda del’ arco .abg. che sia la retta .ag. e dividise l’ angolo .abg. in .2. parti iguali dala linea .bd. che seghi la corda .ag. in sul ponto .e. E compise la retta .ad. e .gd. E, perché l’ angolo che è sotto .abg. é di- viso in .2. parti iguali dala linea .bd., iguali é l’ angolo .abd. al’ angolo .dbg. Onde iguali é l’ ar- co .ad. al’ arco .dg., commo per la .25a. del terzo apare. Onde iguale è la retta .ad. ala retta .dg., per la .28a. del terzo. Onde, posto de comune la retta .db., fienno .2. rette .ad. e .db. a .2. rette .bd. e .dg. iguali. Ma la basa .ba. è minore dela basa .bg. Onde l’ angolo .bdg. è magiore del’ an- golo .bda., per la .25a. del primo. Overo, perché minore è la periferia .ab. dela periferia .bg., magiore è l’ angolo che è facto dale rette .gd. e .db. del’ angolo che è facto dale rette .bd. e .da. Peroché e gli é cosí la periferia .gb. ala periferia .ba., cosí l’ angolo .gdb. al’ angolo .bda. E, perché gli é iguale .ad. ala retta .dg., se dal ponto .d. si mena el catetto sopra la linea .ag., cade- rá in mezzo del .ag. Dove caderá infra .eg., cioé sopra la linea .eg. Perché magiore é .ge. del .ae., conciosiacosaché sia cosí la retta .gb. al .ba., cosí .ge. al .ea. Caggia adonca il catetto sopra il ponto .h. e sia catetto .dh. E, perché retto è l’ angolo .dhe., magiore è la retta .de. che .dh. e magiore è .da. che .de. Sienno poste amendoi le linee rette .di. e .df., iguali ala retta .de. E faró .d. centro con lo spatio dele rette .di. e .de. E faciase l’ arco .ief. magiore e adonca el set- tore .die. del triangolo rettilineo .dhe. e il settore .dif. é menore del triangolo .dea. On- de la proportione del settore .die. al settore .def. è magiore dela proportione del triangolo .dae. al triangolo .dea. Ma la proportione del settore .dei. al settore .def. è commo la pro- portione del’ angolo .ide. al’ angolo .idf. Magiore è la proportione del triangolo .dhe. al triangolo rettilineo .dae. Ma la proportione del triangolo .hde. al triangolo .ade. è com- mo la retta .he. ala .ea., conciosiacosaché amendoi li triangoli sienno sotto una medesima altezza, per la prima del sexto, che è del .d. in .h., imperoché ’l catetto .de. è perpendiculare ali triangoli .hde. e .ade. Adonca la proportione del’ angolo .ide. al’ angolo .eda. è magiore de- la proportione dela retta .ah. ala retta .ae. E, per la congionta proportionalitá, sará la pro- portione .ida. al’ angolo .eda. magiore dela retta .ah. ala retta .ae. Ma l’ angolo .gdi. è igua- le al’ angolo .adh. E la retta .gd. é iguale ala retta .ah. Onde la proportione del’ angolo .gdi. al’ ango- lo .eda. è magiore dela proportione dela retta .gh. ala retta .ae. Ma la proportione del’ angolo .ide. al’ angolo .ade. è trovata magiore dela proportione .eg. ala retta .ea. Ma la proportione del’ angolo .gde. al’ angolo .ade. è commo la proportione del’ arco .bg. al’ arco .ba. E la pro- portione del .ge. al .ea. è commo la proportione dela corda .gb. ala corda .ba. Adonca la pro- portione del’ arco .bg. al’ arco .ba. è magiore proportione dela corda .gb. ala corda .ba. e, per- mutati, e sará adonca la proportione del’ arco .gb. ala corda .gb. magiore dela proportio- ne del’ arco .ba. ala corda .ba., ch’ era bisogno mostrare. Ma, per consequire simili noti- tie, te convien molto bene havere ale mani le .6. specie over modi dele proportionalitá, quali Euclide mette, con tutta diligentia, nel suo quinto libro. E noi, in questo di sopra, nela parte de arithmetica, nel tractato dele proportioni e proportionalitá, a tuo documento, habiamo indut- to chiaramente con exempli palpabili e evidenti, siché lasú recorri a tue occurentie. Peroché, sen- za ditte proportioni, non è possibile la fabrica de alcuna tavola né de corde e archi né anco d’ altro. Ma quella per li archi haver la corda e per la corda haver li archi passa el segno in tut- te difficultá conmo, per tutto l’ almegesto de Ptolomeo, apare e anche in sua cosmografia. Ideo et cetera. Queste cose intese, se per la corda data d’ alcun cerchio del quale il diametro sia no- to, e vorrai trovare l’ arco di quella corda, quella corda, per lo diametro dela ta- vola, multiplica, cioé per .42., e quello che fa dividi per lo diametro del cerchio da- to e quello ne viene é la corda simile dela corda dela tavola. E di quella piglia l’ ar- co in ditte tavole. E quello multiplica per lo diametro del dato cerchio e dividi per lo diametro dele tavole, cioé per .42. E quello ne perverra sirá l’ arco che desideri. E acioché meglo intenda,

sia il cerchio .abg. Del quale il diametro .bg. sia pertiche .10. E in quello sia data la corda .ab., che sia pertiche .5. E vogli havere la notitia del’ arco .aeb. Multiplicarai .ab. per .42., cioé .5. via .42., fanno .210. E dividi per lo diametro .bg., vienne .21. per la corda dele tavole simi- le ala corda .ab. La qual cerca di trovare infra le tavole e piglia l’ arco che è per lo dritto di quello. E, perché gli é minore del mezzo cerchio, imperoché dimandi del’ arco .ab. che è an- cora minore, e sia l’ arco minore .22., el quale per .10. multiplica, cioé per lo diametro .bg., e la somma dividerai per .42. e verranne .5.5/21. per l’ arco .aeb. E, se vorrai havere la notitia del ma- giore, truova el magiore arco nele tavole che è per lo diritto della corda ancora trovata. E troverai essere .110. pertiche. Le quali multiplica per .10. e dividerai per .42. e haremo .26. perti- che .4/21. per l’ arco .agdb. e cosí hai l’ arco .aeb. essere .5 5/21. e l’ arco .agdb. essere .26 4/21. Ancora sia la corda .ab.8. pertiche .3. pie’ e .16. oncie .2/3. E il diametro .bg. sia .10., com- me dicemmo. Multiplica adonca .8. pertiche .3. pie’ .16. oncie .2/3. per .42. e la somma di- viderai per .10., vienne .36. pertiche e .2. pié, che sonno la corda dele tavole, simile a- la corda data .bo. Onde l’ arco suo minore, se minore vuoi sapere over magio- re, se di magiore cerchi, cioé se cerchi del’ arco .ogdb. Dove il minore arco suo è .42. Lo qua- le multiplica per .10., fanno .420. E, per .42. diviso, ne viene .10. per l’ arco .beo. E, se ’l magiore arco dela corda, che è pertiche .36. e pie’ .2., multiplicarai per .10., cioé .90. per .10., fanno .900. che, per .42. diviso, vienne .21 3/7. E .21. pertica .3/7. é l’ arco .ogdb., che è magiore del mezzo cerchio. Ancora sia il circulo .abgd. Del quale il diametro .ag. sia .12. E la corda .ad. sia .6. pertiche e uno pie’. Adimandase la notitia del’ arco .afd. che è minore del mezzo cerchio. Multiplica adonca .6. pertiche e .1o. pie’ per .42., fanno .259. pertiche. Le qua- li dividi per .12., cioé per .ag., ne perviene .21. pertiche .3. pie’ .2. oncie .16. ponti. E on- de, a cioché habiamo l’ arco in oncie dela corda, lo vogliamo, per figura geometrica, dimostra- re. Sia un mezzo cerchio .ezitk. Del quale el diametro .ek. sia pertiche .42., cioé il dia- metro dele tavole. Del quale si tolga l’ arco .ez. e l’ arco .et. De’ quali .ez. sia .22. e .et. sia .23. E me- nise le corde .ez.et. E sia .ez.21. e l’ arco .et. sia pertiche .21. e .5. pie’ e .2. oncie e .16. ponti, comme di sopra trovammo nele tavole. Infra le quali corde cade la corda trovata, dela quale cerchia- mo l’ arco nele tavole. Onde sappiamo el detto arco cadere infra ’l ponto .z. e il ponto .t. Dove caggia nel ponto .i. e menise la corda .ie., che sia pertiche .21. e .3. pie’ e oncie .9., comme di sopra mo- strammo. Onde vogliamo trovare l’ arco .ie. Ma noi sappiamo, per le cose dette, che la pro- portione del’ arco .ez. ala corda .ez. è minore dela proportione del’ arco .ei. ala corda .ei. Ma, se noi poniamo la proportione del’ arco .ei. ala corda .ei. quella medesima che á l’ arco .ez. ala corda .ez. sirá l’ arco .ei.22. pertiche .3. pie’ e oncie .12., che pervengono dela divisione dela multiplicatione dela corda .ez. nela corda .ei. per l’ arco .ez. Ma la proportione del’ arco .ei. é in magiore proportione che l’ arco .ez. ala corda .ez. Adonca l’ arco .ei. è piú dele trovate per- tiche .22. e .3. pie’ e .12. oncie. Ancora, se poniamo l’ arco ala corda .ei. nela proportione del’ ar- co .et. ala corda .et., sirá l’ arco .et.22. pertiche .4. pie’ .4. oncie .13. ponti. E di sopra trovammo che ’l circulo .ei. è piú de pertiche .22. pie’ .3. e oncie .12. Onde, se dimezzaremo la differentia che è da pertiche .22. e .3. pie’ e .12. oncie infino in pertiche .22. e piedi .4. e oncie .4. e ponti .13. e quel- la mitá che viene agiogneremo sopra .22. pertiche .3. pie’, haremo, secondo l’ apresamento, la quantité del’ arco .ei. Overo altramente agiongneremo la corda .ez. e la corda .et. e hare- mo pertiche .45. pie’ .1o. oncie .16. ponti .13. De’ quali la mitá è l’ arco .ei. Overo altramente, to- gliamo dele corde .ei. e .et. la quantitá dela corda .ez., rimarrá dela corda .oi. la quantitá .ei. che è pie .3 1/2. E, dela corda .et., rimane la quantita .nt., che è .5. pié, oncie .12. e ponti .16. E po- niamo l’ arco .zi. al’ arco .zt., cioé a una perticha, comme .oi. al .nt. E questo è che multiplica- remo l’ arco .tz., che è una pertica, cioé .1260. ponti, e divideremo la somma per .nt., cioé per ponti .1856. E haremo per l’ arco .zi. pie’ .4. e oncie una e ponti .6. Li quali, agionti al’ arco .ez. (che è pertiche .22.) haremo pertiche .22. e pie’ .4. e oncie .1a. e ponti .6. per l’ arco .ezi., che è si- mile al’ arco adimandato .ad. del’ altra figura. Onde, se multiplicaremo quello per la sexta del diametro .ag., cioé per .2., e divideremo per lo sexto del diametro dele tavole, cioé per .7., ha- remo pertiche .6. e .2. pie’ e .15. oncie e .15. ponti per l’ arco .ad. E, se l’ arco .abd., che è magiore del mezzo cerchio, per la corda .ad. vuoi havere, tra’ la corda .ei. della corda .et., rimarranno ponti .596. E questo multiplica per l’ arco .tz., cioé per ponti .2160. E quello vienne dividi per .nt., cioé per .1856. e tranne ponti .694. che sonno .1o. pie’ e oncie .16. e ponti .14. per l’ arco .ti. che, agionto con l’ arco magiore dele tavole, del quale la corda è la linea .et., quel arco è .109. per- tiche. Haremo .109. pertiche .1o. pie’ e oncie .16. e ponti .14. per l’ arco dele tavole. El quale,

multiplicato per lo sexto di .12. e la somma dividerai per lo sexto di .42., harai pertiche .31. pie’ .1o. oncie .7. e ponti .6 6/7. per l’ arco .abd.

E, se sopra l’ arco .afd. noto la corda .ad. non saputa vuoi havere, multiplica l’ ar- co .afd. per lo diametro dele tavole e la somma dividi per lo diametro .ag. e ha- rai pertiche .22. pie’ .4. oncie .1a. e ponti .6. per l’ arco detto .ezi., che è l’ arco cadente nele tavole infra l’ arco .ez. e l’ arco .zt. E, acioché troviamo la corda del .ci., che è simile ala corda .ad. del dato cerchio .abgd., del trovato arco .ezi. tra’ l’ arco .ez. Rimarran- no .4. pie’ e .1a. oncia e .6. ponti, che in tuto sonno ponti .1466. Li quali multiplica per la diffe- rentia che è infra la corda .ez. e la corda .et., che sonno note dele tavole. É quella differentia .nt., che è .1856. ponti. E dividi la somma per li ponti d’ una pertica. Cioé per l’ arco .tiz., vienne .3 1/2. pie’ per la linea .oi. Li quali agiongni ala linea .eo., che è iguale .ez. e harai pertiche .22. e pie’ .3 1/2. per la corda .ei., che è simile ala corda .ad. E cosí, secondo quelle cosse che habiamo detto, multiplicarai quella per lo sexto di .12. e dividerai per la sexta di .42., vienne pertiche .6. e pie’ .1o. per la corda .ad. E cosí, quando li diametri de’ cerchi fienno noti potremo per le da- te corde note, gli archi non saputi trovare.

Quando adunque gli archi per le corde e le corde per gli archi, per quello che habiamo detto, saprai trovare e vorrai l’ area d’ alcuna settione di cerchio trova- re, l’ arco studierai di trovare e la mitá di quello, per la mitá del diametro del cer- chio, multiplica. E quello che fa sirá l’ area dela detta settione. Verbi gratia. Sia il settore .abgd., contento sopra le rette .ab. e .ad. e dal’ arco .bgd. Perché el settore è una fi- gura sotto li ponti .abgd., sirá ciascuna retta .ab. e .ad. mezzo diametro del cerchio. Onde il ponto .a. sia centro del circulo del quale è tagliato il detto settore di cerchio .abgd. E compise adunque il cerchio che sia il cerchio .gbed. E sia l’ arco .be. e .ez. iguale al’ arco .bgd. E compi- se la retta .ae. e .az. Sirá adunque ciascun settore .abe. e .aez. iguali al settore .abgd. Onde e gli é cosí l’ arco .db. al’ arco .be. cosí el settore .abgd. al settore .abe. Similmente è il settore .aez. equale al settore .adb. Onde l’ arco .db. é al’ arco .ez. cosí el settore .abe. al settore .aez. E .3. settori, adunque, .abgd. e .abe. e .aez. sono infra loro iguali. E gli e .2. di quelli al’ altro sonno .2. cotanti. Onde il settore .adbe. è doppio al settore .aez. E l’ arco .dbe. è dopoio al’ ar- co .ez. Perché e gli é cosí l’ arco .dbe. al’ arco .ez., cosí il settore .adbe. al settore .aze. Onde, se tutto il cerchio divideremo in settori, trovaremo che la proportione d’ un di loro a tutto il cir- culo è comme l’ arco suo ala mitá dela linea circonferente. Imperoché la proportione del nu- mero fatto del mezzo diametro nela mitá dela linea circonferente del’ arco del settore é al numero fatto del mezzo il diametro nela mitá dela linea circonferente. Ma quello ch’ é fat- to dal mezzo il diametro dela mitá dela circonferentia fa l’ area del circulo. Adonca è cosí la multiplica- tione del mezzo diametro del circulo nela mitá del’ arco del settore al’ area del circulo, cosí el se- tore al’ area del circulo. Adonca l’ area di tutti li settori sonno fatte dela multiplicatione di .1/2. il diametro de’ soi cerchi nela mitá degli archi loro. E questo volsi mostrare. E, acioché piú chiaro apaia, per numeri, sia ciascuna dele rette .ab. e .ad.5.bracia. E l’ arco .bgd. sia .8. Sirá adunque il diame- tro tutto .10.bracia. Multiplicarai adunque mezzo il diametro .ad. nela mitá del’ arco .bed. vengano .20. per l’ area del settore .abd. E, se l’ area del settore .abez. vuoi havere, multiplica- rai mezzo il diametro .ae. nela mitá del’ arco .bez. Vengono .40. per l’ area del settore .abez. E, se l’ area d’ alcuna portione di cerchio vuoi trovare, minore del mezzo cerchio, comme l’ area dela settione overo portione di cerchio .abg., del quale la corda .ag. sia bracia .16. e la saetta .bd. sia bracia .4., el diametro del cerchio onde tale por- tione viene studia di trovare in questo modo: multiplicando la mitá dela corda in sé, cioé .8. in sé, fa .64. E partendo in .4., cioé per la saetta, haremo .16. per la linea .de. Onde il diametro è .20. E piglise il centro del cerchio che sia .f. e faciase .fa. e .fg. E sia il settore .fabg. Onde multiplicaremo .fb. nela mitá del’ arco .abg., cioé nel’ arco .bg., verranne l’ area del set- tore .abg. dela quale, se nne torremo l’ area del triangolo .fag., la quale è fatta dela multiplica- tione del .fd. in .dg., rimaranno l’ area dela settione overo portione di cerchio .abd. E, se l’ area del rimanente del cerchio, cioé la portione fatta dala retta .ag. e dal’ arco .aeg. vuoi, la mitá del diametro .fe. nela mitá del’ arco .aeg. multiplica e a quello agiongni l’ area del triangolo .fag. E harai l’ area dela portione .aeg. E cosí studia de operare in simili et cetera.

E, se l’ area d’ una portione di cerchio, composta d’ un triangolo e d’ una portione, comme è la figura .abgd., la quale si conosci non essere settore di cerchio per una di .2. cagioni: overo perché .ab. e .ad. non sonno iguali overo perché .ag. è minore o magiore del .ab. Prima misura la portione .bgd. E, dipoi, truova l’ area del triangolo .bda. e agiongni al’ area dela detta portione .bgd. e harai l’ area de- la figura .abgd. E cosí, in simili, studia di fare et cetera.

E, volendo misurare una figura a modo de’ pesci, cioé composta di due portioni di cerchio, comme sia la figura .etzi., ch’ é composta di .2. portioni di cerchio, cioé .eti. e .ezi., prima trova l’ area d’ una portione e poi del’ altra e quelle .2. aree in una somma agiongni. E harai l’ area dela detta figura .etiz. E cosí ogni figu- ra che havesse forma di tondo o compositione di tondo studia di misurare. E peró faremo fi- ne a questo capitolo e delo terzo e ultimo diremo.

Qualiter metiantur superficies in montibus vallibusque existentes. Capitulum tertium. Quando adunque alcuno campo, che sia nela salita d’ un monte overo inn ascien- sione d’ alcuna costa overo ripa, vuoi misurare, lo lato dela superficie predetta che sia in piano studia di trovare e, de’ detti lati, l’ area cerca e quello sia l’ area dela sopradetta figura overo campo. Non si misurano li monti, ma le superficie ap- parenti in quello, comme case o dificij, arbori e ancora escemi. Imperoché non secondo l’ angolo retto stanno elevati, onde si cercha l’ area de’ detti piani sopra’ quali le apparenti su- perficie de’ monti giaciano. E, sopra quelli piani predetti, d’ ogni cosa, secondo retto angolo è elevato e comme, per li lati declinanti, queste notitie deli lati dele predette superficie stanti sotto quelle, voglio dimostrare. Sia dato adunque una linea .ab. per lo lato d’ alcuna declina- tione di superficie giacente in monte. E sia, sopra .bg., perpendiculare la retta .ag., constituen- te l’ angolo .agb. retto. É de bisogno, per la notitia delo lato apparente .ab., lo lato oculto .bg. e ancora la perpendiculare .ag. verissimamente trovare, che in .2. modi si puó fare. Lo primo modo e quello che li savij misuratori da terre é che, dal ponto .a. capo, quello che misura ponga la pertica. La quale si stenda inverso il .b., sopra la linea .ab. E il capo della pertica che è di sopra immobile tieni e l’ altro alza su insino a tanto che la detta pertica stia equedistante ala linea .gb. El quale saprai per al- cuno strumento detto archipendolo e, per Vitruvio e Frontino e gli altri architettori, ditto li- bella, che di sotto te ’l mostraró. E alora, per lo capo dela pertica di sotto, cioé per lo capo ove- ro ponto .e. poni il filo col piombo. E lascia andare sopra la linea .ab. E, dove il piombo ca- de, quivi, con quella pertica, incomencia a misurare col detto ordine. E cosí farai infino a tan- to che harai compiuta tutta la declinatione de .ab. Verbi gratia: sia la prima pertica posta che sia equedistante alla linea .bg. la pertica .ae. E, per lo ponto .e., caggia il filo sopra il ponto .c. Sopra il quale poni ancora il capo dela pertica tenendola collo archipendolo equedistan- te con la linea .bg. E sia la pertica .cf. E dal ponto .f. caggia il filo sopra il ponto .h. E, dal pon- to .h. verso il .b., poni un’ altra volta la pertica equedistante ala linea .bg., che sia .hi. e, per lo pon- to .i., caggia il filo sopra il ponto .b. Imperoché tante volte la pertica sia posta cadente sopra .ab. quante volte una pertica sia nel lato .gb. Imperoché la pertica .ae. è equedistante al lato .gb., sia l’ angolo .eag. retto. Conciosiacosaché l’ angolo .agb. sia retto per la .29. del po. E, perché .ec. è il cadimento del filo, se mettaremo la linea per lo .c. al ponto .e., sopra la linea .gb., che sia la linea .ek., sia la retta .ek. catetto sopra la retta .gb. Onde la retta .ek. è equedistante e iguale ala retta .ag. Onde .gk. è iguale ala longhezza della pertica .ae. Similmente, sopra .h., meneremo la linea .fl., venente sopra la linea .kl., per le cose dette. Onde .kl. sia iguale ala li- nea overo perticha .cf. Ancora, sopra il caso del filo, cadendo al ponto .i., nel ponto .b. mene- remo la linea .ib. Sirá quella equedistante e iguale ala linea .hl. Dove .lb. è iguale ala perti- ca .hi. Adunque, quante volte la pertica fo presa equedistante ala linea .gb. sopra la linea .ab., tante volte una pertica fo presa per la longhezza iguale al .gb., comme dicemmo. L archipendolo adunque è uno strumento di lengno avente forma d’ uno trian- golo equicurio. E dal’ uno deli angoli pende il filo col piombo. Conciosiacosaché la basa habia un ponto nel mezzo. E, quando porrai l’ archipendolo e dal’ ango- lo di sopra penda il filo col piombo e, quando passerá per lo ponto del mezzo la basa di quello, alora la pertica stará equedistante a quel piano che vuoi misurare, che al’ ochio si puó vedere, commo nela figura di sotto. Dove la pertica sia la linea .op. sopra la quale è eretto

l’ archipendolo .aebgf. E dal ponto .a. cade il filo col piombo .ad. sopra il ponto dela perti- ca .c. E il detto filo passa per lo ponto .h., che é nela mitá dela linea .ef., equedistante ala ba- sa del detto archipendolo. Dico alora la pertica .op. essere equedistante ala longhezza del pia- no. E, quando l’ ascesa andasse per una linea senza salire o sciendere, cioé fosse una comme nela passata figura, alora nonn’ é de bisogno se none una volta porre l’ archipendolo, impe- roché, la seconda volta overo l’ altre volte comporrai uno triangolo simile al primo, cioé si- mile al triangolo .aec., imperoché fienno sempre in equedistanti linee. E cosí haresti la lon- ghezza del piano .gb. e l’ altezza del monte .ag.

Li antichi ordinavano con le canne uno triangolo simile in questo modo. Descrit- ta la figura .agb., dela quale il lato .ab. giace nell’ aparentia del monte per lo quale volevano havere la longhezza del piano .bg. e l’ altitudine .ag., dirizavano adun- que, sopra la radice del monte, la canna .bc., ortogonalmente posta. Sopra la qua- le ponevano l’ altra canna causante l’ angolo .c. retto. Del quale l’ altro capo giacerá sopra la li- nea .ab. La quale canna sia .ce. E sia il triangolo .cbe. simile al triangolo .abg. Onde sia cosí .be. al .ba., cosí .ec al .bg., per la .2a. del .6o. Multiplicavano adunque .ab. per .ce. e divideva- no per .be. E cosí havevano notitia del lato .bg. Similmente, perche e gli é cosí .be. al .ba., co- sí .cb. al .ag., multiplicavano .ab. per .bc. e dividevano per .bc. e cosí havevano l’ altezza .ag. Molte figure sonno quelle situate e poste ne’ monti, cioé nell’ altezze de’ monti o- vero descensioni di ripe. Le quali, in diversi modi, sonno erette, le quali, a volerle misurare, ti bisogna quello salire arrecare a ppiano overo quel scendere recare a ppiano. E quelle, dipoi, misurare comme l’ altre figure superficiali. Imperoché’ l piano é quello che è bisogno missurare e non l’ altezza. E molto difficilmente si puó mostra- re tali figure se nno in sul fatto del misurare. E peró a questo capitolo e distintione faremo fine. E, seguendo, diremo del dividere le superficie im parti ergo et cetera.

Lo dire passato, assai evidentemente, ha mostro il modo a trovare l’ area di ciascu- na superficie. Onde, hora, assai competentemente, mi pare de dimostrare comme quelle tali superficie in parti overo in sorte si debiano dividere. E peró starai attento. Questa distintione adunque in .4. capitoli la divideremo. Nel pri- mo mostraremo el dividero de’ triangoli. Nel secondo e quadrilateri. Nel terzo le fi- gure di molti lati. Nel quarto de’ cerchi e loro parti mostraremo il modo a dividergli.

Quando adunque uno triangolo in due parti iguali, da uno degli angoli, vuoi di- videre, é de bisogno, da quel‘ angolo ala mitá dela basa, produrre una linea e ha- rai lo intento. Verbi gratia. Vogliamo el triangolo .abg., dal ponto .a., in .2. par- ti iguali dividere. Dividase adunque el lato .bg. in .2. parti iguali, sopra il ponto .d. e compise la retta .ad. Dico adunque il triangolo .abg. in .2. triangoli iguali essere diviso. Sonno adunque i triangoli .abd. e adg. simili infra loro e sotto una medesima altitudine. Per la prima del .6o. e sonno iguali, imperoché gli é cosí .bd. al .dg., cosí il triangolo .abd. al triangolo .adg., per la ditta pa. É certamente la basa .bd. iguale ala basa .dg. E peró li trian- goli .abd. e .adg. sonno infra loro iguali, comme dicemmo. Overo, se meneremo il catetto dal .a. sopra la linea .bg., sirá quel catetto a ciascun triangolo .abd. e .adg. Del quale, se multi- plicaremo la mitá nela basa .bd., sirá iguale ala multiplicatione dela mitá del detto catetto nela basa .dg. E, a multiplicare la mitá del catetto nele base .bd. e .dg., fanno l’ area di detti trian- goli overo l’ area del gran triangolo. E peró dirai il triangolo .adg. essere iguale .adb. Li triangoli aventi uno angolo iguale hano proportione infra loro composte de’ lati continenti quel angolo iguale. E acioché questo se chiaresca, sienno li triangoli .abg. e .gez. aventi iguali gli angoli che sonno al .g. Dico certamente li detti triangoli essere nella proportione composta di queste proportioni che son- no fatte da’ lati continenti gli angoli eguali, cioé di quella che á lo lato .bg. al lato .eg. e di quel- la che á lo lato .ag. al lato .gz., che cosí te ’l proveró. Compise la retta .ae. E pongase nel trian- golo .abg. e .gez. el triangolo .age. Adunque sirá la proportione del triangolo .abg. al trian- golo .gez. fatta dele .2. proportioni, cioé di quella che á il triangolo .abg. al triangolo .agf. e di quella che á il triangolo .age. al triangolo .gez. Ma la proportione del triangolo .abg.

al triangolo .age. è comme la basa .bg. ala basa .ge. Conciosiacosa sienno sotto una medesi- ma altitudine, per la .pa. del .6o. E ancora la proportione del triangolo .eag. al triangolo .gez. è comme il lato .ag. alo lato .gz. E peró la proportione del triangolo .abg. al triangolo .gez. é fatta dele proportioni de’ lati .ag. al .ge. e .bg. al .gz., continenti gli angoli iguali, ch’ era de bi- sogno mostrare. Componsi la proportione del triangolo .abg. al triangolo .gez. dele propor- tioni del .bg. al .gz. e .ga. al .ge. Imperoché li lati .ag. e .bg. fienno antecedenti e li lati .ge. e .gz. fienno consequenti. E, benché nel tratatto degli angoli ne dicessimo alcuna cosa, cioé che la proportione composta era dela multiplicatione di tutti gl’ antecedenti al fatto di tutti li con- sequenti. E peró la proportione del triangolo .abg. al triangolo gez. è comme il fatto del .bg. in .ga. al fatto del .eg. in .gz. Onde, se iguale sia la multiplicatione del lato .eg. nello lato .gz. ala multiplicatione del lato .bg. in .ga., alora sirá iguale il triangolo .egz. al triangolo .abg. E, se minore, minore e, se magiore, magiore. E questo volsi demostrare. E, se da un triangolo sia menata una linea retta segante e .2. lati del triangolo che, con detti due lati, facia triangolo avente uno angolo comune col detto triango- lo, alora sia la proportione del’ un triangolo al’ altro comme el fatto de’ lati conti- nenti quel angolo. Onde sia il triangolo .abc. E in quel si meni la linea .de., segan- te e lati .ca. e .cb. sopra li ponti .e. e .d. Dico il triangolo .abc. havere proportione al triangolo .dec. comme el fatto del .ac. in .bc. al fatto del .dc. al .ce. Che cosí te ’l proveró. Sopra il lato .ac. appicheró el triangolo .acf., iguale al triangolo .dec. E, perché li triangoli .abc. e .afc. son- no sotto una altezza, é cosí .bc. al .fc., cosí il triangolo .abc. al triangolo .afc., per la .pa. del .6o. Ma la proportione del .ac. al .fc. è comme el fatto del .ac. in .cb. al fatto del .ac. in .cf. Adun- que la proportione del triangolo .abc. al triangolo .afc. è comme il fatto del .ac. in .bc. al fat- to del .ac. in .cf. E, perché el triangolo .dec. è iguali al triangolo .acf., é la proportione del tri- angolo .acb. al triangolo .dce. comme el fatto del .ac. in .bc. al fatto del .ca. in .cf. E, perché li triangoli .acf. e .dce. sonno infra loro iguale e hano uno angolo comune e gli lati posti in- torno al’ angolo comune sonno in proportione mutua, comme nela .15a. del .6o. de Euclide si manifesta, adunque è cosí .ac. al .dc., cosí .ce. al .cf. Onde il fatto del .dc. in .ce. è iguale al fat- to del .ac. in .cf. Adunque la proportione del triangolo .abc. al triangolo .dec. é comme il fatto del .ac. in .cb. al fatto del .dc. in .ce., ch’ era bisogno mostrare. Quando vorrai dividere uno triangolo in .2. parti iguali per una linea la quale si muova da uno ponto dato, comme sia il triangolo .bgd. nel quale sia il ponto da- to .a., nela linea .gd. Dal quale ponto .a. voglio menare una linea la quale divida el detto triangolo in .2. parti iguali. E sia prima il ponto .a. nel mezzo dela linea .gd. E meneró .a. infino al .b. Dico che .ab. divide quel triangolo in .2. parti iguali. E questo, per le cose dette, é manifesto.

E, se ’l ponto dato nonn’ é in sul mezzo dela facia, comme in questo altro triangolo .abg., nel quale è il ponto dato .d. che è piú presso al .b. che al .g. E sia .ab.13. E il .bg.14. e .ag.15. Adimandase quanto è la linea .gz., cioé in che luogo viene la linea .dz. Conciosiacosaché .gd. sia .9. Dovemo multiplicare lo lato .ag. per .bg. e di quel- lo pigliare la mitá, che è .105. E questo divideremo per .dg., cioé per .9., vienne .11 2/3. E .11 2/3. è dal .g. al .z. E dal .a. al .z. è l’ avanzo infino in .15., che v’ é .3 1/3. E, se vuoi sapere quanto è .dz. mul- tiplicarai .3 1/3. in sé, cioé .az. e .de. in sé. Imperoché .ad. è ponto il catetto fanno .11 1/9. e .4. e trai .4. del .11 1/9., rimane .7 1/9. Del quale la radici è .2 2/3. per la linea .pa. e .pd. sia .9 1/3. El quale in sé mul- tiplica, fanno .87 1/9., ai quali agiongni .4., cioé il quadrato del .de., fanno .91 1/9 per la linea .dz. E cosí hai fatto quanto .dg. fusse .9. el .zg. sirá .11 2/3. E .dz. sia la radici de .91 1/9. E questo volavamo dire.

Se, da .2. angoli d’ uno triangolo ala mitá de’ .2. lati sottoposti a quelli angoli, .2. li- nee rette si menino, e lle si segheranno proportionalmente in tal modo che quel- la parte che è infra l’ angolo e il ponto del segamento al’ altra parte è .2. cotanti. E, se, dal’ altro angolo sopra l’ altro lato, per lo ponto della settione, si mena una linea retta, e lla di- viderá quello lato per .2. parti iguali. Comme sia nel triangolo .abg.: dagli angoli .abg. e .bag., sopra la mitá de’ lati .ag. e .bg., si menino le rette .ae. .bz., segantise infra loro nel ponto .d. Dico che la proportione .ad. al .de. è comme .bd. al .dz. e ciascuna di loro, cioé .ad. e .bd., al’ a- vanzo sonno doppi, che cosí te ’l proveró. Dal ponto .a. meneró la retta .ai. equedistanti ala linea .bg.E meneró la retta .bz. infino al .i., cioé infino concorra col ponto .i. E fienno i trian-

goli .azi. e .gbz. infra loro simili. Onde e gli é cosí .az. al .zg., cosí .iz. al .zb. e .ia. al .bg. iguali. E certamente .az. del .gz. iguali, adonca saranno .zi. del .zb. e .ia. de .bg. Onde è cosí .bg. al .be., cosí .ad. al .de. e .id. al .db. doppia e adonca .bg. del .be. Onde doppia è .ad. del .de. e .id. del .db. Perché è iguale .iz. del .zb. Onde communamente, agiongnendo .zd. sia tutta .id. iguale a .2. rette .bz. e .zd. Ma .id. è mostro essere doppia del .db. Onde doi rette .bz. e .zd. sonno dop- pie ale rette .bd. Onde, se da ogni parte si toglie .bd., rimarrá .bd. iguali a .2. volte .dz. On- de .db. del .dz. è doppio e cosí si mostra .ad. essere doppia al .de. E peró è cosí .ad. al .de. com- mo .bd. al .dz., ch’ era bisogno mostrare. E, se dal’ angolo .g., per lo ponto .d., passerá la linea .gt., dico che lo lato .ab. é diviso in .2. parti iguali sopra il ponto .t. Meneró adonca .gt. fuore del triangolo .abg. infino a tanto che concorrerá col ponto .k. dela linea .ik. e fienno li triangoli .adk. e .edg. simili. Onde è cosí .ad. al .de., cosí .ak. al .ge. Ma .ad. del .de. è doppio. Onde la retta .ak. è doppia ala retta .ge. Ancora, perché simili sonno e triangoli .atk. e .btg., é cosí .ak. al bg., cosí .at. al .tb. É adonca .ak. iguale ala retta .bg. e .at. iguale ala retta .tb. Adonca è diviso il lato .ab. nel ponto .t., dala linea .gt., in .2. parti iguali. E questo era bisogno mostrare. E anco- ra è da sapere che la retta .gt. passa per lo ponto .d. e questo, per quello che s’ é ditto, si manife- sta. E ancora, per questo, è da sapere che nel triangolo nonn’ é se non un ponto per lo quale le linee, che si muovano dagli angoli e vanno ala mitá dele facie, di sottostanti ali ditti an- goli, passano. Adonca, quando un ponto dato nel triangolo sia e voi da quello menare una linea dividente el triangolo in .2. parti iguali e il detto ponto sia quello di che habiamo ragio- nato, alora dal’ angolo menarai la linea, infino ala mitá del lato, a quello angolo opposto e harai el desiderio. Commo sia il triangolo .abg. E il ponto dato sia .d., per lo quale passino le linee menate dagli angoli e menate in sula mitá degli lati opposti, cioé menate .ea. e .bz. e .gt. Dico che ciascuna di queste linee divide el triangolo in .2. parti iguali. E questo, per quel che s’ é detto, chiaro appare.

E, se ’l ponto dato, dal quale debbia passare la linea che divida il triangolo in .2. parti iguali, non sia sule linee che si muovano dal’ angolo ala mitá del lato op- posto, cioé non sia quello dove vien la segatione dele linee, alora dico che, se da- gli angoli si menano le linee che passino per quel ponto dato, e lle divideranno li lati opposti al’ angolo in .2. parti non iguali, dele quali le .2. parti magiori dela mitá deli la- ti fienno intorno a uno angolo de’ ditti .3. angoli e le .2. minori intorno a un altro angolo e un’ al- tra parte magiore e l’ altra minore intorno al’ altro angolo. Commo sia il triangolo .dez. Nel quale sia dato il ponto .i. e menisi .dia. e .zig. e .eib., rette che passeranno sopra il ponto .i., el qua- le nonn’ é nella linea menata dall’ angolo ala mitá delo lato opposto. Dico che le .2. parti ma- giori, cioé .gd. e .db., fienno intorno a uno angolo, che sia .d. E le .2. parti minori intorno al’ al- tro angolo, che sia .e. E una dele parti magiori e una dele minori sia intorno al’ altro ango- lo che è .c.

Sia adonca uno ponto dato nel triangolo, che non sia nelle linee descendenti dal- l’ angolo ala mitá del lato. E vorrai quello triangolo dividere in doi parti iguali dala linea passante per lo ditto ponto. Studiarai, per quelle cose che sonno det- te, l’ angolo contento dale parti non iguali, perché le cose che s’ ánno a dire, per quelle, si manifestaranno. Verbi gratia. Sia il triangolo .abg. Nel quale sia il ponto dato .d., che non sia in alcuna dele linee rette descendenti dal’ angolo e dividenti el lato opposto in doi parti iguali. E vogliamo dividere il triangolo .abg. in doi mitá dala linea passante per lo ponto .d. Piglise, prima a ochio, sopra li lati, el cadimento .del., accioché s’ abbia la no- titia degli angoli contenti dale parti non iguali, che sia l’ angolo che è al .g. E, dal ponto .d., si meni al lato .ag. la equedistante alo lato .bg., che sia .de. E menise lo lato .ga. infino a tanto che, multiplicato .de. per quello, faccia la mitá di quanto .ag. in .gb. E sia .gz. Cioé la mitá dela multiplicatione del .ag. in .gb. sia divisa per .de., che ne venga .gz. Dipoi, ala linea .gz., appiccarai uno paralello mancante ala figura tetragona, che sia iguali ala multiplicatione del .ge. in .gz., cioé che si divida .gz. in doi parti. Dele quale una multiplica- ta per l’ altra facia lo eguale dela multiplicatione del .ge. in .gz., che altramenti non si pó fa-

re, se ’l quadrato dela mitá .gz. avanza ala superficie del .ge. in .gz. overo sia a quella igua- le, che sia l’ una .gi. e l’ altra .iz. E compise la retta .id. infino al ponto .t. Dico adonca el trian- golo .abg. esser diviso in .2. parti iguali dala linea .idt., che cosí te ’l proveró. Perché, a mul- tiplicare del .ge. in .gz. è iguale ala multiplicatione del .gi. in .iz., sará cosí .gz. al .zi. comme .ig. al .eg. Onde sia cosí .zg. al’ altra parte di sé, cioé al .ig., comme .ig. al’ altra parte di sé, cioé al .ie. Ma è cosí .gi. al .ie., cosí .gt. al .de. Adunca cosí .gz., al .ig., cosí .gt. al .de. Ma la multiplicatio- ne del .zg. in .de. è la mitá dela multiplicatione del .ag. in .bg., onde il triangulo .itg. è la mitá triangulo .abg., comme dicemmo. E, acioché questo s’ abia neli numeri, sia .ab.13. e .ag.15. e .bg.14. E faciase .ac. catetto, che sia .12. E il cadimemo .bc. sia .5. e .cg. sia .9. e il ponto .d. sia infra il catetto e l’ angolo .g. E faciase la linea .dk. equedistante al catetto e sia .3. E me- nise la linea .edl., e e al lato .bg., e sia .ld. 3/16. d’ uno. Voglio, pel ponto .d., menare una linea che divida lo triangulo .abg. in .2. parti iguali. In questo modo .kc. è iguale e equedistante al .ld. e il .dk. sia iguale e equedistante ala linea .lc., dove .lc. è .3. e .kc. sia .3/16. e .al. rimará .9. e la linea .le. sia .6 1/4., che in questo modo lo troverai. Nel triangulo .acg. la linea .le. è equidistan- te ala linea .cg. Sará cosí .al. al .ac. comme .le. al .gc., per la .2a. del sexto. Dove, multiplicato .al., ch’ é .9., per .gc., che è ancora .9., fanno .81. che, diviso per .ac., ne viene .6 3/4. per la linea .le., dela qua- le, tratta .ld., cioé .3/16., rimarrá .de.6 9/16., per lo quale numero se divideremo la mitá del fatto del .ag. in .bg., cioé .105., ne perverrá .16. per la linea .gz. Ancora, perché gli é cosí .al. al .ac., cosí .ae. al .ag., sia .ae.11 1/4., cioé diviso la multiplicatione del .al. in .ag. per .ac., dove .eg. fieno .3 3/4., cioé il quar- to dela linea .ga., per la quale multiplicato la linea .gz., fanno .60. Adunque abiamo a dividere .16. in .2. parti che, multiplicata l’ una per l’ altra, facino .60. Dove del quadrato dela mitá di .16. cioé .64., ne trarrai .60., rimane .4., del quale la radici è .2., dove, che tratta di .8., riman .6. per una parte. L’ altra sia infino in .16., che è .10. Adunque .gi. sia .10. Dipoi, diviso .105. per .gi., cioé per .10., ne viene .10 1/2. per la linea .gt., che passa per lo ponto .d., e la linea .ti. sia radice di .80 1/4., che la troverai, se il catetto .in. troverrai che sia .8. e .ng. sia .6., ch’ era da mostrare. Se’ l ponto datto fosse di fora del triangulo dal quale vogliamo menare la linea che divida il detto triangulo in .2. parti iguali. Comme sia il ponto dato .d., fuori del tri- angulo .abg. E voglio dividere il detto triangolo in .2. parti iguali dala linea che si muova dal ponto .d. Io meneró la linea .ad., segante il lato .bg. nel ponto .e. E, se la retta .be. è iguale ala retta .eg., noi aremo il proposito, che giá molte volte l’ abiamo det- to. Adunque la linea .aed. sarebe quella che dividerebe il detto triangulo in .2. parti iguali. Ma non sia .be. iguali al .eg., ma sia una di loro magiore e sia .be. magiore del .eg. e dal ponto .d. si meni la retta .dz. equidistante ala linea .be. E menise la retta .ab. infino tochi lo ponto .z. E, perché la retta .be. è magiore dela mità del lato .bg., la superficie fatta dal .be. in .ba. é piú che la mitá dela superficie fatta dal .ba. in .bg. E ancora molto piú è la superficie .ba. in .zd. che la mitá dela superficie del .ba. in .gb., imperoché magiore è .zd. che .bc. Piglise adunca la superficie .ib. in .zd., che sia iguale ala mitá dela superficie del .ab. in .bg. E, perché magiore è la superficie del .ab. in .be. dela super- ficie del .ib. in .zd., sará la proportione del .zd. al .de. minore dela proportione del .ba. al .bi. Ma la proportione del .zd. al .be. è iguale ala proportione del .za. al .ab. E, per la disgionta proportionalitá, sirá la proportione del .zb. al .ba. minore dela proportione de .ai. al .ib. On- de la superficie del .zb. in .bi. è minore dela superficie .ba. in .ai. Agiungase adunca ala retta .bi. uno paralello iguale ala superficie del .z.b. in .bi., cioé che ala retta .bi. s’ agiunga alcuna li- nea che, multiplicata in sé e nel .ib., facia iguali ala multiplicatione del .zb. in .bi., che sia .ti., e com- pise la retta .tkd. La quale linea divide il triangulo .abg. in .2. parti iguali, commo volava- mo. E con numeri. Sia .ab.13. e .ag.15. e .gb.14. e .zd.10 2/5. e .bz. 1 3/7. Voglio dal ponto .d. mena- re la linea che divida il triangulo .abg. in .2. parti iguali. Divideró la mitá dela multiplica- tione del .ab. in .bg., cioé .91., per .dz., cioé per .10 2/5. e verrane .8 3/4. per la linea .bi. E multiplica- ró .zb., cioé .1 3/7. per .8 3/4., fanno .12 1/2., a’ quali agiongneró. Il quadrato dela mitá dela linea .bi., cioé la multiplicatione de .4 3/6. in sé, che fanno .19 9/64. che, con .12 1/2., fanno .31. e .41/64., de’ quali la radici è .5 5/8. per la linea .lt., ai quali, agionto .lb., che è .4 3/6., fanno .10. per la linea .tb. E, perché gli é cosí el

.zt. al .tb., cosí .zd. al .bk., multiplicaró .zd. in .bt., cioé .10 3/5. per .10., fanno .104., lo quale divi- deró per 11 3/7., cioé per la linea .zt., vienne .9 1/10. per la linea .bk. overo .91., che sonno la mitá dela superficie del .ab. in .bg. Divideró per .bt., cioé per .10., similmente ne viene .9 1/10. per la linea .bk. E cosí sia il triangolo .abg. diviso in .2. parti iguali dala linea .tkd., comme era de bisogno. E questo del dividere el triangolo in .2. parti iguali sia abastanza e daremo mo- do a dividere quello in .3. o piú parti e peró starai atento.

Sia dato uno triangolo .abg. del quale voglio torne la terza parte per una linea cadente da uno angolo. Dico che bisogna che quella linea caggia in sul terzo de- la facia oposta a quello angolo, comme per la linea .ad., che è .bd. il terzo dela linea overo lato .bg. che, per quel che s’ é detto, chiaro si manifesta. Adunque, essendo .ab.13. e .bg.15. e .ga.14. lo .bd. sia .5.

E, volendo il detto triangolo diveder per terzo, cioé .3. parti iguali, dale linee .de. e .if., e voglio sapere quanto è dal .a. al .d. e dal .a. al .e. e quanto è la linea .ed. e anco- ra quanto .ef. e .ai. e .if. Multiplicarai .ab. in sé, cioé .13. in sé, fanno .169. De’ quali pi- glia il .1/3., che è .56 1/3., e la radice di .56 1/3. è .ae. E, per lo lato .ag., multiplica .14. in sé, fan- no .196. De’ quali il 1/3. è .65 1/3. e la radici de .65 1/3. é la linea .ad. E, per .ed., multiplica .bg. in sé, fanno .225. De’ quali il .1/3. è .75. e radici di .75. è .ed. E, dipoi, piglia e .2/3. di .169., che sonno .112 2/3., e radici di .112 2/3. é la linea .ai. e piglia e .2/3. di .196., che sonno .130 2/3., e radice di .130 2/3. sia la linea .af. E pi- glia e .2/3. di .225., che sonno .150., e radice di .150. sia la linea .if. e cosí opera in simili. E, volendo il detto triangolo dividere in .2. parti iguali per la linea .pq., e vorai sa- pere quanto è .ap. e .aq. e quanto è .pq. Multiplicarai .13. in sé, fanno .169. e di quel piglia la mitá, che è .84 1/2., e radici de .84 1/2. sia .ap. E, dipoi, multiplica .14. in sé, fanno .196. De’ quali la mitá è .98., la cui radici è la linea .pq. E, dipoi, multiplica .15. in sé, fan- no .225. De’ quali la mitá è .112 1/2. e radici de .112 1/2. é la linea .pq. E cosí, in similianti, è da operare. E, se si dá un ponto in sul lato del triangolo. Comme nel triangolo .gbd. e sia nel lato .dg. dato il ponto .z. E voglio dal ponto .z. menare una linea che del triango- lo ne tolga il .1/3. Adimando in che parte dela linea .bd. tocherá la linea che si muo- ve dal .z. E questo modo farai. Overo il ponto .z. é in sul terzo dela facia .gd. o non. Se gli é in sul terzo, alora si muova la linea dal ponto .z. e vada in sul’ angolo oposto. E, com- me ó detto, la linea .bz. harebbe diviso il triangolo in terza parte. Ma, se ’l ponto .z. non è in sul ter- zo dela linea overo lato .gd. overo .gz. sia piú che ’l terzo overo meno. Sia prima meno: dove togli del .gd. la terza parte e sia .ag. e compise la retta .ai. equedistante ala linea .bz. E, di- poi si facia la linea .zi., la quale divide lo triangolo .bgd. in terza parte, cioé lo quadrilatero .bgzi. é il terzo del detto triangolo. Dove, con numeri, sia .gz.3., dove .zd. sia .12. E multiplichi- se .gd. per .db., cioé .15. per .14., fanno .210. De’ quali togli e .2/3., sonno .140., li quali dividi per .12., haremo .11 2/3. e .11 2/3. è la linea .di. E questo volavamo mostrare. E, se ’l ponto .z. è dato in modo che .zg. sia piú che ’l .1/3. e meno che .2/3., faciase dal lato del’ angolo .d. la terza parte del .dg., che sia .ed. e menise .ei. E, dipoi, si meni .zi. Di- co .zi. essere quella linea che divide il triangolo in terza parte. Cioé che ’l triangolo .zid. è il terzo del triangolo .bgd. Che con numeri sia .gz.9. e multiplicarai .gd. per .db., cioé .15. per .14., fanno .210. Del quale il .1/3. è .70. che, diviso per .9., ne viene .7 7/9. per la linea .di. E cosí sempre a simigliante é da operare. E, se ’l ponto dato fosse infra ’l .e. e .d., operaresti com- me in quella fatta innanze ala detta.

Ancora sia il triangolo .abg. il quale voglio dividere in .3. parti iguali. Dele quali parti ciascuna habia uno angolo e uno lato. Divideró .bg. in .2. parti iguali dal ponto .d. E compiró la linea .ad. E, dipoi, dela linea .ad. piglieró il terzo, che sia .dc., cioé dala parte del .d., e faró le linee .bc. e .gc. Dico adunque il triangolo .abg. essere diviso in .3. parti iguali, de’ quali ciascuna è sopra a uno lato del triangolo .abg., le quali parti sonno li triangoli .abc. e .bgc. e .gac., che cosí el proveró. Perché .dc. è la terza parte de- la retta .da., sia .ac. doppio del .cd. Onde el triangolo .abc. è doppio al triangolo .bcd., per primam sexti. E, per questo, ancora el triangolo .acg. è doppio al triangolo .gcd. Ancora per- ché e gli é iguale la retta .bd. ala retta .dg., iguali sonno li triangoli .cbd. e .cdg. infra loro, pur per la pa. del .6o. Onde tutto .cbg. triangolo è iguale a ciascun de’ triangoli .cbd. e .cdg. e quel- li, che a una medesima cosa sonno doppi, infra loro sonno iguali per la conceptione. Diviso è adunque il triangolo .abg. in .3. parti iguali.

Ancora sia uno triangolo .abg. e in quello sia dato uno ponto fortuitu .d., per lo quale .d. voglio passi la linea che divida el triangolo overo che pigli del triango- lo una parte, comme a dire il terzo. Adimandase in che modo si debia operare. Dal ponto .d. meneró la linea .ae. e considereró se la settione .be. overo .eg. sia la terza parte del lato .bg. Onde, se ’l .be. è la terza parte dela retta .bg., alora el triangolo .abe. è la terza parte del triangolo .abg. E, se niuno di loro è la terza parte del lato .bg., alora meneró la linea per gl’ altri angoli, passante per lo ponto .d. Dico che, se alcuna dele dette linee piglia il terzo del lato, e alora dirai quella linea pigliare del triangolo il terzo. E, si troveró questo non essere, meneró dal ponto .d. la linea .dz. equedistante ala linea .ge. E porró la superficie .dz. in .zi. iguale ala terza parte dela superficie .ag. in .bg. E apiccheró ala linea .gi. la superficie equiangola alla quale manchi la figura tetragona iguale ala superficie del .gz. in .zi., che sia la superficie .it. in .tg. e, comporró la retta .dt. e producerolla infino al .k. Dico adunque che dal triangolo .abg. n’ é tolta la terza parte, cioé il triangolo .tkg., dala linea .tk. passante per lo pon- to .d. che, per le cose dette, chiaro appare. E questo basti quanto alo primo capitolo di que- sta distintione e, seguendo, diremo delo secondo.

Qualiter figure quadrilatere in partes proportionabiliter dividantur. Capitulum secundum. Le specie de’ quadrilateri sonno .3., cioé paralelli, caput abscisum e diversilatero. E paralelli sonno figure che hano e lati oposti equedistanti e gli angoli oposti iguali, per la .34a. del po., de’ quali le specie sonno .4. Li primi sonno tetragoni, che hano tutti e lati iguali e gli angoli retti. E li secondi sonno parte altera longiore, che hanno e .2. lati oposti infra loro iguali e tutti gli angoli retti. Nela terza spetie sonno e rom- bi, che hano e lati igual e gli angoli non sonno retti e né iguali. Nela quarta specie sonno li romboidi, li quali hano le faccie overo lati oposti iguali, ma gli angoli non sonno iguali e non retti. E, perché e gli é uno modo solo al dividerli queste .4. specie di paralelli, tutte le loro figu- re, sotto le medesime notule, porremo, peroché quello che d’ una se dici, quel medesimo del’ al- tre si possono dire. Sia adunque uno tetragono e parte altera longiore e rombo e romboi- de .abcd. De’ quali ciascuno voglio dividere in .2. parti iguali. Li detti paralelli, se per diame- tro gli dividerai, harai fatti di quelli .2. parti iguali. Onde, se meneremo il diametro .ac. ove- ro .bd., comme è manifesto nela prima figura, saranno in .2. parti divise. Comme havendo menato il diametro .ac., sia il triangolo .abc. iguale al triangolo .adc., perché il lato .ad. è iguale al lato .bc. e il lato .ab. iguale al lato .dc. e la basa .ac. è comune a ogni triangolo. E, se la divisione vuoi incomenzare d’ alcuno de’ lati, quello lato in .2. parti iguali segherai e, per lo ponto dela settione, sopra il lato opposto, agli altri lati equedis- tante, menerai una linea, comme nela figura sola appare, nela quale sopra la mitá del lato .bc. è segnato uno ponto e da quello è menato la retta .ef. equedistante a- le rete .ba. e .cd. E cosí tutto il quadrilatero .ac. è diviso in .2. parti iguali che sonno .ae. e .fc. Sonno adunque sopra le base iguali .be. e .ec. e nele medesime linee equedistanti .ad. e .bc. dove, comme appare per lo primo de Euclide, e lle sonno infra loro iguali. Similmente, se meneremo la linea .gk. equedistante ale rette .ad. e .bc., dividente e lati per lo mezzo, cioé dividente li lati .bc. e .ad., sirá ancora diviso il paralello .abcd. in .2. parti iguali dala linea .gk., comme nela presente figura appare. Sonno certamente li paralelli .gd. e .bk. infra loro iguali. Conciosiacosaché sienno infra le base iguali e ’lati equedistanti]. E, se sopra ad alcun lato sirá dato il ponto, comme se manifesta nella presente figu- ra, nela quale è dato il ponto .h., cadente infra ’l ponto .be., segnerai nello posto di quello il ponto .i., cadente infra ’l .fd. E sia .fi. iguali ala retta .ch. E compise la retta .hi. Dico certamente essere il detto quadrilatero in .2. parti iguali diviso dala linea .hi. Che cosí si pruova. Perché, in equedistanti linee .ad. e .bc., le rette .fe. e .hi. son menate, sirá l’ angolo .ifk. alo angolo .keh. iguali, per la .29a. del primo, perché son coalterni. E ancora l’ angolo .fik. al’ angolo .khe. e gli angoli che sonno al .k. sonno infra loro iguali e la basa .fi. ala basa .eh. è iguale. Adunque e il triangolo .fhi. è iguale al triangolo .khe. E, comunamente, s’ agionga el pentagono .kfabh., sirá el quadrilatero .iabh. iguale al quadri- latero .abef., che è la mitá di tutto el quadrilatero.

E, se uno di detti paralelli in .2. parti, iguali per la linea menata dal ponto dato in- fra quello, vuoi dividere. Comme il parelello .ag., infra ’l quale sia dato el ponto .f., per lo quale debba passare la linea che divida il detto quadrilatero in .2. parti igua- li e sia il detto ponto sopra il .1/2. del diametro .bd. Onde puoi dire che ’l detto diame-

tro lo divida per .2. parti iguali. Overo menerai una linea che si parta da uno de’ lati, comme dal lato .bg., dal ponto .z. E sia la linea .ze. che passi per lo ponto .f. Dico che la linea .ze. è quel- la che divide il paralello .ag. in .2. parti iguali che, per quello che s’ é detto, chiaro appare. E pe- ró lascieremo la dimostratione.

S e lo ponto dato fosse fuori del diametro, comme sia il ponto dato .e. nel quadrila- tero .abgd. Dico che meni il diametro .bd. e in sun quello segna un ponto che sia in mezzo del detto diametro e sia ponto .f. e menise dal ponto .f. ala linea .fc., che termini infino agli lati del detto quadrilatero, e sia la lina .zcfe., la quale linea di- co che la divide il detto paralello in .2. parti iguale. E questo, per quel che s’ é detto, chiaro è manifesto.

E, se ’l ponto dato fosse fuore del paralello. Comme sia il paralello .abcd., fuor del quale sia dato il ponto .e. E da quello voglio menare una linea la quale divida il detto paralello in .2. parti iguali. Meneró in quel paralello il diametro .bd. e in quello diametro segneró un ponto, che sia .o., el quale sia nel mezzo del detto dia- metro. E meneró la linea .ekf., la quale linea passi per lo ponto .o. Dico che la linea .ekof. divi- de il detto paralello per mitá. E questo chiaro appare per le cose dette. Ancora sienno le .4. spetie di paralelli .abcd. e vogliamo alcuni di quelli divide- re in .3. parti iguali sopra e .2. lati dati de quello, che sonno .ad. e .bc. Divideró quel- li in .3. parti iguali, che fienno .ae.ef.fd. E, per gli ponti .e.f., meneró le rette linee .eg. e .fh. equedistanti agli lati .ab. e .dc. Dico che qual vuoi di questi paralelli é diviso in .3. parti iguali dale rette .eg. e .fh., che cosí si prova. Perché equedistanti sonno le rette .ad. e .bc. e con quelle sonno fatte l’ equedistanti .ab.eg.fh. e .dc. fienno infra loro iguali. On- de i paralelli sonno quadrilateri .ag.eh.fc. E hano le base iguali infra loro, che sonno .bg. e .gh. e .hc. e ciascuna di quelle é il terzo del lato .bc. Onde ciascuno di quelli paralelli é il terzo di tutta .ac. paralello, per la pa. del 6o. E questo era da mostrare. E, se sopra uno ponto dato sopra uno lato si menerá la retta che dal paralello .abcd. dato tolga la terza parte e il dato ponto si ponga essere sopra la linea overo il lato .ad., diviso prima el lato .ad. in .3. parti iguali sopra ponti .ef., comme habia- mo detto, cioé che ciascuna settione .ag.eh.fc. sia il terzo di tutto .ac. e il dato pon- to sia .e. e meneró la linea .eg. equedistante ala linea .ab., sirá per lo paralello .ag. il terzo del pa- ralello .ac. E, similmente, se il dato ponto fosse .f., sirá il paralello .fc. il terzo del paralello .ac. e questo chiaro si vede.

Ma se ’l ponto dato non fosse in sul .e. overo in sul .f., sirá adonque infra ’l .a. e .e. ove- ro infra ’l .e. e .f. overo infra ’l .f. e .d. Sia prima infra ’l .a. e .e. il ponto dato .i. e voglio dal ponto .i .menare la linea che divida il paralello in una parte che sia il terzo di tutto, cioé del paralello .ac. ne tolga el .1/3., che cosí faró. Segnato il ponto .f., che sia .ef .ancora il terzo del .ad. E dal ponto .f. meneró la linea .fh. equedistante ala linea .ab. overo .dc. Dove il paralello .abfh. e gli é .2/3. del paralello .ac. Dove dividerai il paralello .abfh. in .2. par- ti iguali dala linea che si parte dal ponto. Onde, quanto .i. é discosto dal .a., tanto faró un pon- to discosto dal .h. e sia .k. E meneró la linea .ik. Dico che ’l quadrilatero .aibk. è la terza parte del quadrilatero .ac., imperoché gli é la mitá del pararello .abhf. E cosí ancora el quadrila- tero .ae. è diviso in .3. parti iguali che sonno e quadrilateri .iabk. e .ikhf. e i paralello .fc., com- me per la figura apare.

E, se il dato ponto .i. sia infra ’l .fd., se oprerá quel medesimo nella parte aversa, cioé dal paralello .ac. torró il paralello .ag., che sia la terza parte del paralello .ac. Di- poi il paralello .ec. divideró in .2. parti iguali per la linea menata dal ponto .i., che sia .il., che toglie del paralello .ac. la terza parte, cioé il quadrilatero .ilcd., comme per la figura si manifesta.

E, se ’l ponto .i. sia infra ’l .e. e .f., taglieró del paralello .ac. il paralello .fc., che sia il ter- zo del paralello .ac. e l’ avanzo divideró in .2. parti iguali per la linea menata dal pon- to .i., che sia la retta .im. E tolglise, per la linea .im., el quadrilatero .iabm. dal para- lello .ac., ch’ é il terzo del paralello .ac.; l’ altre due parti fienno el quadrilatero .imhf. e il para- lello .fc., comme nella quarta figura designata appare.

Per lo detto modo si puó ogni paralello dividere in .4. o piú parti iguali, come volendo dividere uno paralello in .4. parti iguali. Divideralo prima in .2. parti iguali o vuoi per lo dia- metro suo o voi per la retta equedistante a doi suoi lati. Dipoi ciascuna di quelle

2. parti in .2. parti iguali segherai e sia tutto il paralello in .4. parti diviso comme vorrai. E, volendo dividere uno paralello in .3. parti non iguali, comme sia il paralello .abgd. el quale in .3. parti non iguali voglio dividere in tal modo che ’l primo habia la .1/2. e ‘l secondo il terzo. E il terzo habia il sexto. Divideró prima il paralello .ag. in .2. paralelli igua- li che sonno .az. e .eg. Dipoi, da uno di quelli, segheró il terzo, cioé la terza parte del paralello .az. overo .eg. che sirá il paralello .ig. Cioé che la retta .id. sia la terza parte del .ed. Dico il paralello .ag. essere diviso in .3. parti predette dele quali la mitá è il paralello .az. e il sexto é il paralello .ig. e l’ avanzo, cioé il paralello .et. sia la terza parte di tutto il paralello .ag. ch’ era bisogno mostrare. Possiamo adunque qualunque parte vogliamo torre dele predette fi- gure dala linea menata dal ponto dato fuor o dentro overo sopra uno de’ lati del paralello, per quelle cose dette. E questo basti quanto al dividere de’ paralelli e, seguendo, diremo del dividere dele figure dette caput abcisum.

Le figure chiamate caput abscisum, cioé le figure dette capo tagliato, sonno di .4. spetie, de quali la prima se dice mezzo capo tagliato, l’ altra figura se dice igual ca- po tagliato, la terza diverso capo tagliato. La quarta capo tagliato declinan- te, commo di sopra havesti in lor misurare. E, perché el modo a dividere de tutte queste è uno, quelle per ordine porró sotto medesime notule e termini acioché quello che se dici d’ una di tutte l’ altre s’ intenda. Sienno adunque queste .4. specie di quadrilateri segna- te .abgd., aventi e lati .ad. e .bg. equedistanti e volse ciascuna di queste dividere per la retta equedistante ale base loro, le quali base sonno .bg., in .2. parti iguali, che in questo modo lo faremo: perché la equistante .ad. e .bg. non sonno iguali, anzi é magiore .gb. che .ad. se me- neremo le rette .ba. e .gd. nela parte del .ad. infino dove concorrono nel ponto .e. E sia il qua- drato dela retta .ze. la mitá de’ quadrati delle rette .eb. e .ae. e dal ponto .z. si meni la retta .zi. e- quedistante ala basa .gb. Dico el trapezzo .abgd. essere diviso in .2. parti iguali dala linea .zi. equedistante alla linea .bg. che cosí si prova. Perché e quadrati dele linee .eb. e .ae. sonno dop- pi al quadrato dela linea .ez., fienno ancora doppio li triangoli .ebg. e .ead. al triangol .ezi. conciosiacosaché fra loro sienno simili. Ma, se del triangolo .ebg. lasciamo el triangolo .ezi., che è iguali a quello triangolo che è nel triangolo .ebg., rimarrá il quadrilatero .izbg. e ‘l triangolo .ead. iguali al triangolo .ezi.; onde, d’ ogni parte si traga el triangolo .ead., rimane el quadrilatero .zgi. iguale al quadrilatero .ai. Adonca è diviso el quadrilatero .abgd. in .2. parti iguali dala linea .zi. ch’ era de bisogno mostrare. Che ancora con numeri il mostraremo. Sia .ab.12. e .bg.12. e .ad. sia .3. e il lato .gd. sia .15. E, perché nel triangolo .ebg. é menata la retta .da. equedistante ala basa .bg., sia cosí .ad. al .gb., cioé cosí .3. e a .12., cosí .ea. al .eb., per la .2a. del 6o. Onde comme .3. è a .9. cosí .ea. e .ab. Adunque .ea. é .4., cioé il terzo del .ab., adunque .eb. é .16. Agionti adunque e qua- drati dele linee .eb. e .ea., cioé .256. e .16., fanno .272., de’ quali la mitá, cioé .136. é il quadrato della linea .ez. E, perché e gli é cosí .ez. al .eb. cosí .zi. al .bg., sirá adunque comme el quadrato de- la linea .ez. al quadrato dela linea .eb., cioé commo .136. a .256. che, ne’ minori numeri, é comme .17. a .32. Cosí il quadrato dela linea .zi. é alo quadrato della linea .bg. Onde, se multiplicare- mo .17. per .144. e divideremo per .32., verranne .76 1/2. per lo quadrato della linea .zi. E, perché ortogonio è il triangolo .ezi. e ancora il triangolo .ead., onde, multiplicando la mitá del .ez. in .zi., haremo l’ area del triangolo .ezi. che è .51. che viene dela multiplicatione della quarta par- te di .136. nel quadrato dela linea .zi., cioé in .76 1/2. La quale multiplicatione è la radice de .2601.

Del quale, togliendo el triangolo .ead. che è .6., rimangono .45. per l’ area del quadrilatero .azid., el quale .45. è la mitá de .90. ch’ é l’ area di tutto il quadrilatero mezzo caput abscisum .abgd. perché multiplicando la mitá del .ab. nel congionto del .ad. e .bg., cioé .6. per .15. haremo el det- to .90. che è doppio de .45. e peró è provato el quadrilatero .ai. essere la mitá di tutto il quadri- latero .abgd. overo altramente tratta .ez. del .ed., cioé radice di .136., di .16., rimarranno .16. me- mo radice di .136. per la linea .bz. del quale il .1/2. è .8. meno radice di .34. che, multiplicato per lo congionto del .zi. e .bg., cioé per .12. e radice di .76 1/2., haremo .45. per l’ area del quadrato .gz. e questo era da mostrare.

E, se sopra il lato .ad. alcun ponto sia dato e vorrai da quello menare la linea che divi- da el detto quadrilatero in .2. parti iguali, e lati .ad. e .bg. in .2. parti iguali dividi sopra li ponti .k. e .t., che cosí si prova. Io compiró la retta .tk. Dico che la retta .tk. é quella che divide il detto quadrilatero in .2. parti iguali. Adonca, quando el ponto dato fosse in sula mitá dela linea .ad. com- me il ponto .t., alora el detto quadrilatero è diviso in .2. parti iguali comme nela presente

figura appare che cosí el proveró. Io comporró le rette .bt. e .gt. e fienno e triangoli .tkb. e .tkg. infra loro iguali. E conciosiacosaché sienno sotto una altezza e habino le base iguali. Ancora, perché e triangoli .bat. e .tgd. sonno sotto una altezza, è cosí .at. al .td., cosí il trian- golo .bat. al triangolo .gtd. E certamente .at. iguale al .cd. dove el triangolo .bat. è iguale al triangolo .gtd. Dimostrato è adonca el triangolo .tkg. iguale al triangolo .tkb. Onde il qua- drilatero .ak. è iguale al quadrilatero .tg. Diviso adonca il quadrilatero .abgd. in .2. parti iguali dala linea .tk. e manifestasi, per quello che habiamo detto che in ogni quadrato aven- ti .2. lati equedistanti, se una retta linea segherá quello proportionalmente, quelli lati segherá in detta proportionalmente e conterranno medesima quantità comme dicemo .at. al .td. co- sí .bk. al .kg. Dove fo cosí .at. al .td., cosí el quadrilatero .ak. al quadrilatero .tg. E, se ’l ponto dato fosse in sulo minor lato in sul ponto degli angoli. Comme sia il qua- drilatero .abgd. E sia il ponto dato .a. dal quale voglio menare una linea che di- vida il detto quadrilatero in .2. parti iguali. Prima meneró la linea .tk., la quale dividerá il detto quadrilatero in .2. parti iguali e passerá per gli ponti .t. e .k., li quali son- no fatti in sula mitá deli lati .ad. e .bg. E, sopra la retta .kg., torró la retta .kl. iguale ala retta .at. E sia .bl. la mitá de’ lati .bg. e .ad. e faró la retta .al. Dico el quadrilatero .abgd. essere divi- so in .2. parti iguali dala linea .al. che cosí el proveró. Perché equedistante é la retta .at. dela retta .kl. e la retta .al. le taglia, sirá l’ angolo .atm. iguale al’ angolo .lkm. e l’ angolo .tam. iguale al’ angolo .klm. E ancora gli angoli che sonno al .m. sonno infra loro iguali, conció- siacosaché sienno contraposti per la .15a. del primo e fatti dale base iguali. Onde il triangolo .amt. è iguale al triangolo .lmk. ai quali, agionto a ciascuno el quadrilatero .mabk., sirá il triangolo .abl. iguale al quadrilatero .abkt. che è la mitá di tutto el quadrilatero .ag. comme è manife- sto nella .3a. figura.

Ancora per simil modo, faresti quando il dato ponto fosse sopra lo lato .ad. nel pon- to .d. Imperoché si piglierá lo equale dela retta .td. in sulo lato .kb. che sia .kn. Dico che tutta .gn. sia la mitá degli lati .ad. e .bg. E compilero la retta .dn. la qua- le dividerá il quadrilatero .abgd. in .2. parti iguali comme si manifesta in que- sta figura che si proverá per quello che s’ é detto nela precedente figura. E, se ’l ponto dato fusse infra ’l .td. overo .at., comme sia il ponto dato .o. infra ’l .td., menise prima .tk., el quale divida el quadrilatero in .2. parti iguali sopra li ponti fatti nel mezzo de’ lati .ad. e .bg. Dipoi si pigli del .kb. lo equale al .to. e sia .kn. E menise la linea .on. la quale dico che divide el quadrilatero .abgd. in .2. parti igua- li comme volavamo.

Similmente è da operare quando li ponti dati fosseno nel lato .bg. in luogo che la distantia dal ponto .k. al ponto dato sia quanto dal ponto .t. al’angolo oposto a quel ponto. Comme se fosse dal lato del .kg., é de bisogno la distantia sua sia me- no che dal .t. al .a. E, similmente, se fosse dal lato del .kb., é de bisogno sia meno che dal .td. E, se ’l ponto dato fosse piú distante dal ponto .k. che non n’ é dal ponto .t. al’angolo opo- sto, che comme si debba operare al dividere el detto quadrilatero lo mostraro. Sia il quadri- latero .abgd., nel quale sia il ponto dato .b. dal quale voglio menare una linea che divida lo detto quadrilatero in .2. parti iguali. Prima faró la linea .dn., la quale dividerá lo detto qua- drilatero in .2. parti iguali. E, questo fatto, comporró la linea .bd. ala quale linea faró la linea che si parta dal ponto n. e sia equedistante alla linea .bd. e sia la linea .nc. E comporró la ret- ta .bc. Dico el quadrilatero .abgd. essere diviso in .2. parti iguali dala linea .bc. che è mena- ta dal ponto dato .b., che cosí te ’l proveró. Li triangoli .ncb. e .ncd. sonno infra loro iguali: conciosiacosaché sienno infra le equedistanti .bd. e .nc. e sopra le medesime base .nc. Ai qua- li agionto di comune el triangolo .cng. sia il triangolo .cgb. iguale el triangolo .dgn. Ma ’l triangolo .dgn. è la mitá del quadrilatero .ab.gd. Onde el triangolo .cgb. è la mitá del qua- drilatero .abgd. ch’ era de bisogno mostrare. É ancora a sapere che, se ’l ponto dato sia infra .bn. overo nel’ altra parte, é de bisogno menare da quello ponto .n. la equedistante alla linea che se parte dal .d. al ponto dato. E compilare dal ponto dato una linea retta al ponto dove la linea equedistante cade infra ’l ponto .d. e .c.

Similmente è da operare se ’l ponto dato fosse sopra la linea .bg., infra li ponti .l.g. Verbi gratia: sia uno quadrilatero .abgd. diviso in .2. parti iguali dala linea .al. e sia el ponto dato .g. e comporró per lo detto ordine nela retta .ga. E a quello mene-

ró la equedistante retta .lf. e comporró .gf. che divida il quadrilatero .abgd. in .2. parti iguali e partase dal ponto .g. che se perverá per l’ ordine e modo detto. E cosí habiamo mostro in che modo el quadrilatero .abgd. si divide in .2. parti iguali dagli .2. lati equidistanti dala linea me- nata dal ponto dato in suli deti lati in che luogo voi. Ora é da mostrare commo si divida da- la linea che esca dagli altri .2. lati.

Sia adonca uno quadrilatero .abgd. diviso in .2. parti iguali dala linea .zi. la quale trovo per lo passato modo. E ancora si meni la linea .gf. la quale divida il detto qua- drilatero in .2. parti iguali per la passata. E il ponto dato sia sopra la linea .ab., in qual parte voi: cioé o infra ’l .bz. o fra’ l .zf. overo infra ’l .fa. overo uno de’ ditti ponti. Onde, se il dato ponto fosse .b., si dividerebe il detto quadrilatero da linea .bc. in .2. parti iguali commo giá habiamo dichiarato. E, similemente, se il dato ponto fosse .z. la retta .zi. lo dividerebe in .2. parti iguali comme é mostro. E, se ’l ponto dato é .f., ancora .fg. segará il quadrilatero .abgd. in .2. parti iguali commo dicemmo, essendo el ponto .a., la linea .al. é quella che llo dividerebe. E secondo quello che s’ é detto. Ma sia il dato ponto .h. infra ’l .bz., meneró la linea .hi. e dal pon- to .z. faró la linea .zc. equedistante ala linea .hi. e meneró la linea .hc., la quale linea .hc. dico che la divide el quadrilatero .abgd. in .2. parti iguali che cosí se prova: perché nelle equedistan- ti e infra quelle cioé .hi. e .zc. e sopra la base .zh. sonno li trianguli .zih. e .hcz., quai triangoli son- no infra loro iguali. Onde agiungnendo a ciascuno dei triangoli .hiz. e .hic., che sonno iguali, lo quadri- latero .igbh., será lo quadrilatero .cgbh. iguali al quadrilatero .izbg., che è la mitá di tutto el qua- drilatero .abgd. commo è mostro. Adunque la linea .hc. divide il quadrilatero in doi parti iguali. E, se dal ponto .p. posto infra ’l .zf. voi che si parta la linea che divida il detto quadrila- tero in .2. parti iguali è de bisogno facia la retta .pi. e dal ponto .z. si facia la linea .zq., la quale sia equedistante ala linea .pi. e dipoi si meni la linea .pq., la quale di- co che divide il detto quadrilatero in .2. parti iguali, e la prova non bisogna, conciosia- cosaché per quelle cosse che sonno dette chiaro appaia.

E, se ’l ponto dato fosse infra ’l .f. e .a. e sia .r., dico che si facia la linea .rg. e dal ponto .f. si meni la linea .fs. equedistante ala linea .rg. e, dal ponto .r. al ponto .s., si meni la li- nea .rs., la quale linea dico che la divide lo quadrilatero .abgd. in .2. parti iguali che ancora chiaro appare per quello s’ é detto.

Ancora dimostraró per uno altro modo commo un quadrilatero di .2. lati equedi- stanti si debi dividere dali angoli soi. Sia il quadrilatero .abgd. capo tagliato, del quale .ad. e .bg. soi lati sienno equedistanti e il minore di quelli sia .ad.; meneró in quello el diametro .ag. e .bd., infra lor segantesi in sul ponto .m. E, perché e doi lati .ad. e .bg. sonno equedistanti, simili sonno e triangoli .amd. e .bmg. Onde e gli é cosí .bg. al .ad. commo .bm. al .md. e .gm. al .ma. Magiore é certamente .bg. che .ad., magiore sia .gm. che .ma., dividinse adunque li diametri .ag. e .bd. in .2. parti iguali sopra li ponti .e. e .z. e per lo ponto .e. equedistante al diametro .bd. si meni la retta .ec. e compise la retta .bc. Dico el quadrilatero .abgd. essere diviso in .2. parti iguali dal’ angolo .b. per la linea .bc. che cosí il prover. Compon- gase la retta .be. e .ed. E, perché il ponto .e. é in mezzo del diametro .ag. fienno e triangoli .ade. e. gde. infra loro iguali. E ancora il triangolo .abe. è iguale al triangolo .gbe. Onde il qua- drilatero .edab. è la mitá di tutto il quadrilatero .abgd. E, perché li triangoli .bdc. e .bde. sonno infra le equedistanti .bd. e .ec., sopra la basa .bd., sonno infra loro iguali, ai quali agionto a ciascuno el triangolo .abd., sará el quadrilatero .abcd. iguale al quadrilatero .abed. Ma il quadrilatero .abcd. è la mitá di tutto el quadrilatero .abgd. Onde ancora el quadrilate- ro .abcd. sia la mitá di tutto el quadrilatero .abgd., ch’ era bisogno mostrare. Similmente, se meneremo la linea .zf. equedistante ala linea diametrale .ag. e comporremo la retta .gf., sará il quadrilatero .abgd. diviso in .2. parti iguali dala linea .gf. menata dal’ angolo .g. che, per lo detto modo, lo poi provare.

Diciamo adonca, quando uno ponto è dato for del quadrilatero, in che modo in .2. parti iguali si deba dividere per una linea passante su per lo ponto dato. On- de sia un’ altra volta il quadrilatero di .2. lati equidistanti diviso in .2. parti iguali da- le linee che si parteno dagli angoli: cioé dale linee .al.dn.gf.bc. Le quali, menate da ogni parte infinitamente nei ponti .e.z.i.t.k.h.o.p., le dimostra adonca non se potere dare al- cuno ponto se nno infra le dette linee: overo in sulle dette linee. Onde, se alcun ponto será da- to in sulle dette linee che sonno .4., overo ne’ termini di quelle, sirá quella linea retta menata dal detto ponto dividente il quadrilatero .abgd. in .2. parti iguali. Commo se ’l dato ponto fosse

e da quello si menerebe la linea .eal. la qual divide il quadrilatero in doi parti iguali e quel medesimo intenderai degli atri. Overamente, se ’l dato ponto fosse .q., cadente infra le linee .ea. e .zd. sopra il lato .ad. e voglio che dal ponto .q. esca la retta dividente il quadrilatero .abgd. in .2. parti iguali, perché equedistanti sonno e llati .ad. e .bg., faró la retta .qm. e menerola infino al ponto .v. Dico el quadrilatero .abgd. essere divisso in .2. parti iguali dala linea .qrsu. e in- tendi che ’l ponto .m. sia el ponto dove le linee diametrali s’ intersegano, che in .2. parti sia di- viso e cosí te ’l proveró. Perché le rette .ad. e .nl. sonno infra loro equedistanti e iguali e in quella la retta .rs. passa, sia l’ angolo .ars. iguali al’ angolo .rsl. E ancora l’ angolo .sla. al’ angolo .lar. è iguale e le rette .am. e .md. sonno infra loro iguali. Imperoché le rette .ad. e .ln. sonno infra lo- ro iguali. Onde .ax. è iguale al .xl., onde perché le tagliate e equedistanti le rette si segano per igual parti si segano commo in geometria si mostra. Onde iguale è la retta .nx. ala retta .xd. e .ax. ala retta .xl. comme ó detto. Onde il triangolo .arx. e .xsl. sonno infra loro iguali e equiangoli e equilateri. Onde, se a ciascuno s’ agiongi el quadrilatero .absx., sará el quadrila- tero .absr. iguali al triangolo .abl., cioé ala mitá del quadrilatero .abgd. segato. E adonca il quadrilatero .abgd. in .2. parti iguali diviso dala linea .rs. che esci dal ponto .q. Similmen- te, se sirá dato il ponto infra la linea .nl., infra le rette .nh. e .lk., per lo detto modo sirebe da ope- rare, cioé da quel ponto si menase la retta che passasse per lo ponto .x. e facesse quella retta so- pra il lato .ad. Verbi gratia: se ’l ponto dato sirá .v., didise per la linea .usxr. in .2. parti iguali, com- me era di bisogno mostrare.

Per simili figure quadrilatere è da notare commo in exponendo Euclide, nel principio del suo primo libro, solemo dire dove diffinendo le specie dele figure ret- tilinee, asegna dele quadrilatere solo quelle .4. specie, cioé quadrato equilatero, tetragono longo, helmuaym e simile helmuaym e l’ altre tutte a queste non simi- li, de .4. lati existenti, le chiama helmuariffe, cioé a modo nostro irregulari, che sonno molte sorti e avenga che qui, de simili quadrilateri parlando, de tutte apieno non si tratti. Nondi- meno tu, per tuo peregrino ingegno, le ritroverai che sonno de grande industria lor divisioni. Ma pur sempre per viam triangulorum faciliter le dedurai siché bisogna che l’ ingengno aiuti el libro, che ogni cosa non é possibile scrivere. Ideo et cetera. Se alcuna figura detta capo tagliato in .3. parti iguali dale rette equedistati ale sue base voi dividere, comme sia il quadrilatero .abgd. del quale e .2. lati .ad. e .bg. sienno equedistanti, gli altri lati .ab. e .gd. dai ponti .ad. concorrino infino al .e. E faciase la linea .zti. e sia la proportione del .zi. al .it. comme la proportione del quadrato dela linea .eb. al quadrato dela linea .ae. E divideró .tz. in .3. parti iguali che sienno .tk.kl.lz. e porró il quadrato dela linea .em. al quadra- to dela linea .eb. comme .zi. al .ik. E ancora porró il quadrato dela linea .en. al quadrato dela linea .eb. comme .li. al .zi. E, per li ponti .nm., meneró le rette equedistanti ale basi .bg. e produ- ceró la retta .mo. e .np. Dico el quadrato .ag. essere diviso in .3. parti iguali che sonno quadri- lateri .adom. e .mopn. e .npgb., che cosí te ‘l proveró. E adonca (comme dissi) come il quadra- to dela linea .be. al quadrato dela linea .ae., cosí el triangolo .ebg. al triangolo .ead. Anco- ra, perché e gli é cosí .zi. al .ik., cosí il quadrato dela linea .be. al quadrato dela linea .me. Ma comme il quadro .be. el quadrato .me., cosí el triangolo .ebg. al triangolo .emo. e ancora cosí el .zi. al .il., cosí el triangolo .ebg. al triangolo .enp. E, per la disgionta proportionalitá, sia co- sí .it. al .tk., cosí il triangolo .ead. al quadrilatero .ao. E ancora é cosí .tk. al .kl., cosí il quadri- latero .ao. a il quadrilatero .mp. É certamente .tk. iguale al .l.kl. Onde e .ao. quadrilatero sa- rá iguale al quadrilatero .mp. Ancora sirá cosí il .kl. al .lz., cosí il quadrilatero .mp. al quadri- latero .ng.; è certamente .kl. iguali al .lz. e .mp. quadrilatero sirá iguale al quadrilatero .ng.; igua- li adonca sonno i quadrilateri infra loro .ao. e .mp. e .ng. comme dicemmo. E, acioché con numeri l’ abia, sia .ad.6. e .bg.15. e .ab.12. e .dg. 15. E sia l’ angolo .b. retto. Donde tutta .eb. sia .20., che ’l suo quadrato cioé .400., è al quadrato dela linea .ea. comme .25. a .4. Porró adonca .zi.25. e .ti.4., rimane .tz.21., li quali dividi in .3. parti iguali, sirá ciascuna dele parti .tk.kl.lz.7. Onde .ik. è .11. Multiplicarai adonca .11. per .400. e dividerai per .25. e virranne .176. per lo quadrato de- la linea .em. Ancora stenderó .li., cioé .18. per .400. e divideró per .25. e haremo .288. per lo qua- drato dela linea .en. Adonca .am. è radici di .176. meno .8. perché .ea. è .8. per la linea .mn., é ra- dici de .288. meno .R. di .176. e la linea .nb. è .20. meno .R. de .288. E, perché e gli é cosí el quadrato de- la linea .ea. al quadrato dela linea .ad., cioé comme .16. a .9., cosí el quadrato dela linea .em. al quadrato .mo. dove,

se multiplicarai .176. per .9. e divideremo per .16., haremo .99. per lo quadrato dela linea .mo. Ancora se .1/16. de .288. et cetera E questo basti sopra li quadrilateri che si dicano capo tagliato e diremo de’ quadrilateri detti diversilateri.

Prima voglio dimostrare commo si divida el quadrilatero diversilatero in .2. parti iguali dal’ angolo dato. Sia il quadrilatero .abcd. el quale voglio dividere in .2. parti iguali dal’ angolo .a. Meneró prima el diametro .bd. opposto al’ angolo .bad. e segaró el detto diametro per lo diametro .ac. in nel ponto .e. e fienno le rette .be. e .ed. iguali o non. Sienno prima iguali: e, perché iguale è la retta .be. del .ed., sará il triangolo .abe. iguale al triangolo .ade. e il triangolo .ebc. è iguale al triangolo .acd. Onde tutto il triango- lo .abc. a tutto il triangolo .acd. è iguale. Diviso é adonca il quadrilatero .abcd. in .2. parti igua- li dal diametro .ac. usciente dal’ angolo dato ch’ era bisogno mostrare. Ma non sia la linea .be. iguale ala retta .ed., ma sia .bz. iguale ala retta .zd. E meneró la retta .zi. equedistante al dia- metro .ac., commo in questa figura si manifesta e comporró la retta .ai. Dico adonca il quadrila- tero .abcd. essere diviso in .2. parti iguali dala linea .ai. che esci dal’ angolo .a. dato, che sonno li triangoli .abi. e il quadrilatero .aicd., che cosí te’ l proveró. Io comporró la retta .az. e .cz. e fienno li triangoli .azd. e .dzc. Iguali a’ triangoli .abz. e .bzc. Onde il quadrilato .aicd. é iguale al triangolo .abi. Onde il quadrilatero .abcd. è diviso in .2. parti iguali commo bisogna. Ancora, se da uno ponto dato sopra uno de’ lati del quadrilatero diversilatero vor- rai dividere per una linea retta in .2. parti iguali: commo il quadrilatero .ac. el quale voglia dividere per una linea usciente dal ponto .e. sopra il lato .ad. Divideró prima il quadrilatero .ac. in .2. parti iguali dal’ angolo .d. e sia la retta .td. quella linea che lo divide in parti iguali e faró la linea .et. la quale porró sia equedistante ala retta .cd. Commo appare in ditta figura. E faciase la retta .ec. Dico certamente la retta .ec. essere quella che divi- de il quadrilatero .abcd. in .2. parti iguali, la quale linea escí dal ponto .e., che cosí si pruova. Perché equedistanti sonno le rette .et. e .cd., fienno li triangoli .ecd. e .tde. infra loro iguali, ma il triangolo .tcd. è la mitá del quadrilatero .ac.; diviso é adonca el quadrilatero .ac. in .2. par- ti iguali dal ponto .e., dato ch’ era bisogno fare. Ma, se la retta .et. non fosse equedistante ala retta .cd., faró adonca la retta .dz. equedistante ala retta .te. e comporró .ez. commo appare nel- la ditta figura. Dico adonca el quadrilatero .ec. essere diviso in .2. parti iguali dala linea .ez., che cosí si prova. Sonno certamente li triangoli .dze. e .dzt. infra loro iguali, perché sonno in- fra medesime base e in linee equedistanti; a’ quali, se s’ agiongni in commune il triangolo .dez., sia el quadrilatero .ezcd. iguale al triangolo .det., cioé ala mitá di tutto el quadrilatero .ac. Ed é da notare che, se ’l diametro .bd. divide il quadrilatero .ac. in .2. parti iguali, ne perviene similmente quello che habiamo detto in queste .2. figure. Ma se la divisione caderá sopra il lato .ab., commo la retta .di. che sia dividente il quadrilatero .ac. in .2. parti iguali, altramente si debbia operare. Divideró .ac. dal’ angolo .b. con la retta .bk. e alora se ’l .k. sirá il dato ponto sopra il lato .ad., dal quale sia de bisogno partire la retta dividente el quadrilatero .ac. in .2. parti igua- li e la retta sua quella linea .kb. Ma, se ’l .k. non sirá il dato ponto, sirá allora il dato pon- to infra ’l .k. e .a. Sia prima il dato ponto .e. infra ’l .dk. e facciase la retta .be. E dal ponto .k. si me- ni la retta .kl. equedistante ala retta .eb. e facciase la retta .el. dividente il quadrilatero .ac. in .2. parti iguali che sonno li quadrilateri .al. e .ce. commo è manifesto nella figura passata che an- cora si prova per l’ ordine ditto.

Ancora, se il dato ponto fosse infra ’l .a. e .k. e compise similmente la retta .eb. e dal ponto .k. si meni la retta .km. equedistante ala retta .eb. e faciase la retta .em. di- vidente il quadrilatero .ac. in .2. parti iguali, che sonno li quadrilateri .am. e .ec., commo nella sexta figura appare, cioé nella figura presente, che si prova per lo modo che nell’ altre figure s’ é provato. E peró non á bisogno de dimostratione e questo vo- levamo mostrare. Insegnaró certamente, per lo modo di sopra detto, commo si divida- no li quadrilateri diversilateri dal ponto dato sopra uno de’ lati soi. Sia il quadrilatero .abcd. e il dato ponto sia .e., cadente prima sopra la mitá delo lato .ab. E menise dal ponto .d. la retta .dz. equedistante ala retta .ab. e dividerolla in .2. parti iguali: sopra il ponto .i. E fa- ró .ei.ec. e .ic. E faró la linea .it. equedistante ala linea .ec. e faró la linea .et. Dico che la li- nea .et. è quella che divide il quadrilatero .ac. in .2. parti iguali dala linea .et., che cosí si pro- va. El quadrilatero .ez. è la mitá del quadrilatero .az. per la .34a. del primo de Euclide. Simil- mente, perché le base .zi. e .id. sonno infra loro iguali, fienno li triangoli .czi. e .cid. infra lo-

ro iguali. Onde il triangolo .ciz. la mitá è del triangolo .cdz.; sirá ancora el quadrilatero .ez. la mitá del quadrilatero .az. Adonca el quadrilatero .ebci. è la mitá del quadrilatero .ac. Sonno certamente li triangoli .eci.ect. infra loro iguali, ai quali, se s’ agiongni in commu- ne el triangolo .ebc., sirá il quadrilatero .ebct. iguale al quadrilatero .ebci., ma il quadrila- tero .ebci. è la mitá del quadrilatero .ec. Onde il quadrilatero .bt. è la mitá del quadrilate- ro .ac. Commo era de bisogno. Le quali cose dette e date e provate, potremo dividere in .2. parti iguali ogni quadrilatero da ogni ponto dato sopra ad alcuno de’ lati di quelli. E, se ’l pon- to dato sirá fuor over dentro, per lo quale la linea sia de bisogno passi che divida el quadri- latero in doi parti iguali, potremo queste cose, coll’ operatione delle linee over fili subtilmen- te operare. Ora dimostraremo il modo a torre d’ un quadrilatero una parte nominata dal’ angolo dato.

Sia adonca el quadrilatero del quale voglio dal’ angolo .d. tagliare una parte da- ta e conosciuta, commo sia la terza parte. Faró il diametro opposto al’ angolo .d., che sia il diametro .ac., el quale segaró col diametro .db. sopra il ponto .e. La retta .ce. overamente é la terza parte overo non cioé la terza parte de tutto el diametro .ac. Sia prima .ec. il terzo de tutta .ac. Dico che ’l diametro .bd. togli del quadrilatero .abcd. la terza parte, la quale è il triangolo .acb., che cosí te ’l proveró. Perché el triangolo .dce. e .dca sonno sopra una altitudine saranno im proportione infra loro commo la basa .ce. al .ca. e per quel medesimo, li triangoli .bce. e .abc. sonno in ditta proportione. Onde è cosí .ce. al .ac. co- sí il triangolo .bcd. al quadrilatero .ac. e certamente la retta .ce. il terzo del .ac. Onde il trian- golo .bcd. è il terzo del quadrilatero .ac. tagliato e adonca la parte data: cioé la terza par- te del quadrilatero .ac. per la linea .bd. che esci dal ponto .d. ch’ é angolo del detto quadrilate- ro ch’ era de bisogno fare. Ma non sia .ce. la terza parte del .ac. Porró adonca .cg. il terzo del .ac. e dal ponto .g. meneró la retta .gf. equedistante al diametro .bd. e comporró la retta .df. la quale toglie del quadrilatero .ac. la terza parte, la quale dimostraró essere de tutto el quadrilatero .ac. il terzo per prova chiara. Imperoché .cg. è il terzo del .ca., siran li triangoli .bgc. e .cdg., cioé il quadrilatero .bcdg., la terza parte de’ triangoli .abc. e .acd., cioé del qua- drilatero .abcd. el quale, per quello che s’ é detto, se dimostra chiaro essere iguale al quadri- latero .fbdc. et cetera. E questo basti quanto al secondo capitolo dela presente distinctione e se- quendo diremo del terzo. Modus dividendi multi lateras formas: videlicet pentagonas, exagonas et cetera in par- tes proportionabiliter plures: capitulum tertium.

Se un pentagono equilatero e equiangolo da uno de’ soi angoli in .2. parti igua- li voi dividere, la linea retta da quello angolo sopra la mitá del lato a lui opposto mena. Verbi gratia: sia il dato pentagono equilatero e equiangolo .abcde. e il dato angolo sia .a. e sopra la mitá del lato .cd. la linea .af. mena. Dico el pentago- no detto essere diviso in .2. parti iguali dala linea .af., che cosí te ’l proveró. Comporró le ret- te .ac. e .ad.; seranno li triangoli .abc. e .aed. infra loro iguali e equiangoli e gli triangoli .afc. e .afd. iguali. Onde il quadrilatero .aefd. è iguale al quadrilatero .abcf. e diviso adonca il pentagono detto in .2. parti iguali dal’ angolo .a. per la linea .af. ch’ era bisogno mostrare. E, per questo, se manifesta che quando in un pentagono equilatero e equiangolo sopra la mitá di qual voi lato si dirizza una linea al’ angolo, la quale pigli el detto lato, che quella li- nea divide il detto pentagono in doi parti iguali.

E, se dal ponto dato .g. sopra uno lato del medesimo pentagono e da quello voi si parta la linea la quale divida il detto pentagono in .2. parti iguali, é da consi- derare se ’l ponto .g. è in mezzo del lato .ab., perché alora è da menare una linea dal dato ponto .g. infino al’ angolo opposto .d. e sia la retta .gd. dividente il pen- tagono .abcde. in doi parti iguali. E, se ’l ponto dato sirá infra ’l .a. e .g., che sia .h., allora di- videró il pentagono dala linea .af. in .2. parti iguali. E compileró la retta .hf. e dal ponto .a. comporró la linea .ai. equedistante alla linea .hf. e faró la linea .hi., la quale divide il pentago- no .abcde. in .2. parti iguali, che cosí si prova. Perché li triangoli .hfa. e .hfi. sonno infra .2. linee equedistanti e sopra la medesima basa .hf. e peró infra loro sonno iguali per la .36a. del primo, se a ogni parte s’ agiongni il quadrilatero .hbcf., sirá il quadrilatero .hbci. iguale al quadrilatero .abcf. Ma il quadrilatero .abcf. è la mitá del pentagono .abcde. Onde il

quadrilatero .hbci. sia ancora la mitá del pentagono .abcde. commo volavamo. Ma non sia el dato pentagono equilatero e equiangolo, commo il presente pentagono segnato .abgde. el quale voglio dividere in .2. parti iguali. Produrró la retta .eg. e, sopra la mitá di quella, segneró il ponto .z. dal quale meneró la retta linea che divida el quadrilatero .abeg. in .2. parti iguali, la quale sirá la linea .zi. e comporró la retta .zd. la quale ancora divide il trian- golo .edg. in .2. parti iguali. E la retta .zd. overo é una colla linea .zi. overo non. E sia prima l’ una e l’ altra per lo diritto: cioé sia la linea .di. una linea, commo in questa figura è manife- sto. Dico la linea .id. essere quella che divide el ditto pentagono in .2. parti iguali commo era de bisogno. Ma non sia la retta .zd. per lo diritto colla retta .zi. Comporró la retta .id. e porró a quella la equedistante la retta .zl. e comporró la retta .il., la quale ancora dividerá il pentagono .abgde. in .2. parti iguali, che cosí si prova. La retta .zd. e .iz. dividono il pentago- no .abgde. in .2. parti iguali e sonno il triangolo .idz. e .idl., infra loro iguali, ai quali, agio- gnendo il quadrilatero .ibgd., sirá il pentagono .ibgdl. iguale al pentagono .ibgdz., cioé ala mitá del pentagono .abgde., commo era de bisogno. E cosí, secondo questo modo, pos- siamo produre la divisione sopra ogni lato del pentagono da ogni ponto dato sopra quel- lo e ancora lo potremo in piú parti dividere per quello che s’ é ditto. Imperoché, se la retta .eg. in .3. parti iguali dividerai e, per li ponti della divisione, in parti iguali dividerai il qua- drilatero .abgc. e il triangolo .egd. e dapoi, procedendo per l’ ordine dimostrato, haremo quello vogliamo.

E, se ’l pentagono hará forma dimitra, commo il pentagono .bcdef., meneremo a retti angoli, sopra il lato del pentagono .cd., la linea .fa. e investigaró l’ area del .bcaf. e ancora l’ area del quadrilatero .deaf. che, se le trovi iguali, sará il ditto pen- tagono diviso in li ditti doi quadrilateri per doi parti iguali dala linea .af. E, se l’ area de’ detti .2. quadrilateri non è iguale e sia el magiore di loro l’ area del quadrilatero .fabe., secondo la quantitá d’ uno numero e porró el ponto .z. tanto discosto dal ponto .a. in verso .c. che, multiplicato .za. in .af. fará il detto numero e comporró la retta .fz. e sará l’ area del trian- golo .faz. la mitá del detto numero. Onde la linea .fz. divide il pentagono in .2. parti iguali, cioé in .2. quadrilateri che sonno .bcdf. e .fzdc. e questo è fatto secondo un vulgar modo. Ma, se secondo geometria vorrai questo adoperare, comporremo .be. e divideremo .be. in .2. parti iguali in sul ponto .i., commo nella figura appare, e divideremo el quadrilatero .bcde. in .2. parti iguali dala linea .ik., la quale passerá per lo ponto .f.; sirá il detto pentagono diviso in .2. parti iguali per la linea .ik. che dico fosse .ifk., perché del quadrato .bkci. togliamo il triangolo .bif. e del quadrilatero .ikde. auferamus triangulum .ief.; rimaranno li quadrati- lateri .fc. e .fd. infra loro iguali. Adonca la linea .ik. divide il pentagono in .2. parti iguali. E, se la retta ik. sega il lato .ef. nel ponto .l., commo nella figura appare, porró .ml. al .lf. com- mo .il. al .lk. e comporró la linea .km. La quale dico che la divide il pentagono in .2. parti igua- li dele quali una parte sirá il quadrilatero .mkde. e l’altra il pentagono .bokmf. La pro- va: faciase la retta .if., fienno li triangoli .ifl. e .kml. infra loro iguali, conciosiacosaché sienno la proportione del ml. al .fl. commo .il. al .kl., onde il triangolo .ife. è iguale al triangolo .ile. e .klm. è certamente e il triangolo .ife. iguale al triangolo .ibf. Onde il triangolo .bif. é igua- le al triangolo .iel. e .klm. Onde se dal quadrilatero .bcki. togliamo .bfi. e dal quadrilatero .ikde. togliamo li triangoli .ile. e .klm., rimarranno li quadrilateri .bckl. e il triangolo .ifl. iguali al quadrilatero .kdem. é certamente il triangolo .klm. eguale al triangolo .ilf. On- de il pentagono .bcfmf. è iguale al quadrilatero .mkde., commo ó detto. La quale divisione produrremo dal ponto .f. componendo .fk. e a quello porremo la equedistante .nm. e fare- mo .nf., la quale divide il detto pentagono in .2. parti iguali. E ancora in .3. parti iguali si possono, per le cose dette, dividere.

E volendo dividire uno exagono, commo lo exagono .abcdef. in .2. parti igua- li, dove menerai la linea .ad. la quale dividerá il detto exagomo in .2. parti che son- no .2. quadrilateri .adef. e .adcb. E ponendo il ponto .g. in sula linea .ab. mene- rai la linea .gps., la quale passi per lo ponto .q. segnato in sul mezzo dela linea .ad. Dico la linea .gs. dividere lo exagono in .2. parti iguali, commo era de bisogno. E cosí potre- mo mutare le divisione mutando li ponti e cosí, commo habiamo detto nello exagono e del pentagono possiamo ancora d’ altre figure de piú lati procedere e in piú parti dividerli, com- mo sarebbe in .3. o piú parti. E questo basti quanto al terzo capitolo dela detta distincio-

ne e seguendo diremo del quarto e ultimo.

De divisione circulorum in partes ad invicem proportionabiles. Capitulum quartum.

Se alcuno cerchio in .2. parti iguali voi segare per una linea menata da uno pon- to dato in sula perifera sua overo fuor del cerchio, quel ponto, col centro del cer- chio, componi e quella passi per infino ala perifera dal’ altro lato e harai quello voi. Verbi gratia: Sia el dato circulo .abgd. e fuor di quello sia dato il ponto .e. e sia .z. centro del cerchio. Compila .ez. infino al ponto .g., sia tutta .ag. diametro di cerchio .abgd. Imperoché ’l diametro del cerchio è la retta menata pe ’l centro e terminata da ogni parte dela periferia e la retta .ezg. è diametro del cerchio, adonca ciascuna parte .eazg. e .ebzg. è mitá de ditto cerchio. E, se infra ’l cerchio il ponto dato sará .i. comporró .iz. e me- nerolla in ogni parte neli ponti .b. e .d. e sia la retta .bd. diametro del cerchio che sega .abgd. similmente in .2. parti iguali per la linea .bizd., commo da lato appare nella figura presen- te. E, se uno cerchio dato vorrai dividere in tre parti iguali constituisce in quello uno trian- golo equilatero. Commo sia il cerchio .abg. nel quale sia el centro .d. e in quello compilere- mo uno triangolo equilatero e equiangolo e comporemo le rette .da.db.dg. che divideran- no il cerchio in tre parti iguali, dele quali l’ una sia il settore .dab., la seconda il settore .dbg., la terza il settore .dga. Verbi gratia. Perché iguali sonno le rette .ab.bg.ga., perché le ret- te iguali nelli cerchi iguali hano archi iguali e dal centro sonno infra loro igualmente disco- ste. E peró le parti infra loro fienno iguali. Adonca le rette .da.db.dg. in tre settioni iguali dividono el cerchio, commo era de bisogno. E, se in piú parti quelli dal centro voi divi- dere, in quante parti quante voi, in tante dividi la circunferentia di quel cerchio e questo sen- za fatiga harai se le sexte overo una misura che si possa curvare harai. Se il cerchio per le linee equedistanti in tre parti voi dividere questo, senza gran fatiga, non si puó fare. Nientedimeno commo questo, secondo l’ appressamento, si debbia fare lo mostraró. Porró prima nel cerchio .abg. la retta .ag., che sia il lato del triangolo equilatero cadente in quello. Onde la periferia .ag. sirá. la ter- za parte di tutta la periferia del cerchio .abg. E porró dal centro .d. la retta .db. equedistan- te ala retta .ag. e comporró le rette .da.dg.ab. e .bg. e fienno li triangoli .bag. e .dag. infra loro iguali. Ali quali agionto l’ augmento commune dela portione del cerchio contenta sot- to la retta .ag. e l’ arco .ag., sirá la figura contenta sotto le rette .ba. e .bg. e l’ arco .ag. iguale al settore .dag., che è la terza parte del circulo. Adonca la figura fatta dale rette .ba. e .bg. e l’ar- co .ag. è la terza parte del cerchio .abg. ali quali, agionto la portione del circolo contenta sot- to la retta .ab. e la perifera .agb. piú dela terza parte del circolo .abg., secondo la quantitá dela portione .bg., onde troveró l’ area dela portione fatta e contenta sotto la retta .bg. e la periferia .bg. e divideró il doppio sopra la retta .ab. e poco piú di quello ne perverá. Trarró dela periferia .bg. e sia quello l’ arco .be. E comporró la retta .ae. e sirá secondo l’ apressamen- to la portione .age. il terzo del cerchio .abg. Dipoi, sopra la retta .ae., meneró dal centro .d. el catetto .dz. e produrollo infino al .i. e sia la retta .di. iguale ala retta .dz. E, per lo ponto .i. meneró la retta .tk. equedistante ala retta .ae. e sia la portione .thk. iguale ala portione .abe. L’ avanzo certamente che si contiene sotto le rette .ae. e .tk. e l’ arco .ke. e .at. sirá l’ altra terza parte, che cosí si prova. Meneró dal ponto .e. sopra la linea .ab. il catetto .ec. e sia quello che pervie- ne del doppio dell’ embado dela portione del .bg. nella retta .ab. e compongase la retta .eb. e sia il triangolo .abe. iguale alla portione del cerchio. Onde .bg., quando si togli il triango- lo .abe. della portione del cerchio .agb., rimarrá la portione .aeg. terza parte del circulo .abg. e, perché la retta .tk. e .ae. equedistanti sonno, equalmente distante del centro, sonno iguali e, perché iguale è la retta .tk. ala retta .ae., quelle doi linee rette da uno medesimo cerchio iguale parte pigliano. Commo per lo terzo de Euclide mostrammo. Iguale é adonca la por- tione .tkl. ala portione .aeg. Onde la terza parte è la settione .tkl. l’ avanzo che se contie- ne infra le equedistanti .tk. e .ae. rette. E l’ arco .ik. e .at. sirá l’ avanzo, cioé l’ altra terza parte, com- mo bisogna. E, accioché questo s’ abia piú presto, quanto piú sotilmente poddi trovar la pro- portione dela retta .dz. al mezzo diametro del circolo e trovai quella essere secondo l’ apres- samento, commo .9. a .34. Onde, quando alcuno cerchio in tre iguali parti colle rette equedi- stanti vorrai dividere, el diametro del cerchio studiamo di trovare e la mitá di quello nella

detta proportione da ogni parte sirá diviso.

Similmente, se ’l circulo .abgde. in quatro parti iguali vorrai dividere, li diametri .az. e .ge., sopra il centro del cerchio .c., a retti angoli, faró segare. Dapoi el mezzo diametro .ez., sopra il ponto .k., divideró e sia la proportione .ck. al .ez. commo .611. a .1522. E porró la retta .cl. iguale ala retta .ck. e, per li ponti .lk., produrró le ret- te .bh. e .df. seganti el diametro .az. ad angoli retti. Sirá ciascuno de’ mezzi cerchi, secondo l’ a- pressamento, diviso in doi parti iguali.

E, se in doi linee equedistanti voi porre il terzo d’ uno cerchio. Commo sia il cer- chio .abg. del quale il centro sia .d. Porrola equedistame la retta .dg. ala ret- ta .ab. E divideró la periferia .ab. in doi parti iguali sopra il ponto .e. e meneró la retta .ez. equedistante ala retta .bg. Dico che la figura contenta infra le rette eque- distantti .ez. e .bg. e dagli archi .cg. e .eb. è il terzo di tutto il cerchio .abg. La prova. Meneró le rette .da. e .db. e .ag. fienno li triangoli .gab. e .dab. iguali, ai quali, quando s’ agiongnerá la portione .abe., sirá la figura contenta sotto le rette .ga. e .gb. e l’ arco .aeb. iguale al set- tore .da. e .eb., che è la terza parte del circulo .abg. Adonca la figura contenta dale rette .ga. e .gb. e l’ arco .aeb. é il terzo del circulo .agb. E, perché la retta .bg. e .ez. sonno equedistanti, sia l’ arco .eb. e .gz. iguale. Ma l’ arco .eb. è iguale al’ arco .ae. Adonca l’ arco .ae. è iguale al’ ar- co .gz. al quale, agionto l’ arco .bg., sirá certamente l’ arco .aebg. iguale al’ arco .ebgz. Onde la portione del cerchio .ezgb. è iguale ala portione del circulo .agbe. Onde d’ ogni parte si tolga la portione contenta dala retta .bg. e l’ arco .gb. rimarrá la figura contenta dale rette .gb. e .eb. e dagli archi .be. e .gz. iguale ala terza parte del cerchio, cioé ale figure contente dala rette .ga. e .gb. e dal’ arco .aeb., ch’ era bisogno mostrare.

Se il mezzo cerchio .abg. in doi parti iguali voi segare, dividi la retta .ag. in doi parti iguali dala linea .db. e la prova è questa: productte le rette .ba. e .bg., fien- no li triangoli .bdg. e .bda. infra loro iguali, é certamente il lato .ad. del lato .dg. iguali e la retta .bd. è commune e ancora gli angoli che sonno al .d. sonno retti. E, perché la retta .bg. è iguale ala retta .ba. e le rette iguali nel cerchio hano iguali portio- ni e perché la settione .bg. è iguale ala settione .ba. e li triangoli .bdg. e .bda. sonno iguali. Onde la settione .bdai. ala settione .bgdi. è iguale. Diviso é adonca el mezzo cerchio .abg. in doi parti iguali, ch’ era de bisogno fare. E, se colla retta equedistante ala basa .ag. voi dividere in doi parti iguali. El mezzo diametro .bd. sopra il ponto .z. dividi e sia .dz. al .zb. commo .611. a .1512. e per lo ponto .z. mena la retta .ei., la quale dividerá similmente el mezzo cerchio .abg. in doi parti iguali, che saranno, per quelle cose ditte nella divisione de’ cerchi in quatro parti.

E, se la portione del cerchio, overo sia menore overo magiore del mezzo cerchio, in doi parti iguali voi dividere, in detto modo, sopra la mitá dela corda sua la saetta menarai. Verbi gratia. Sia data la portione magiore che ’l mezzo cerchio .abg. e sopra la mitá dela sua corda sia menata la saetta .da., la quale dico che di- vide la detta portione .abg. in doi parti iguali che sonno .abd. e .adg., che se proverrebbe per quelle cose che sonno ditte nel mezzo cerchio. E, se dal ponto .d. menaremo la retta .dc., a retti angoli sopra la corda .bg., la quale dividerá ancora la ditta portione in doi parti igua- li, commo volavamo e haremo diviso la portione magiore e la portione minore. E, se ’l mezzo cerchio .abgc. in tre parti iguali voi dividere, la retta .bc. in doi par- ti iguali dividi al ponto .d. Dipoi l’ arco .bac. in tre parti iguali dividi in sugli pon- ti .a.g. e compilerai .ad. e .dg. che dico che dividono el mezzo cerchio in tre par- ti iguali, che si prova, perché el mezzo cerchio è la portione .abdc. Sia il .d. cen- tro del cerchio del quale cerchio la mittá è il detto semicirculo .abdc. Onde le rette .db.dc. .da.dg. sonno iguali infra loro, sirá ciascuna di quelle figure settore di cerchio contente sot- to le doi rette e gli archi preditti. Onde quando li sonno sotto medesime linee e medesimi ar- chi sonno certamete infra loro iguali. Diviso é adonca il mezzo cerchio in tre parti iguali che sonno .dab.dag.dgc. ch’ era bisogno fare.

E, se una figura contenta sopra doi rette e l’ arco dela periferia in doi parti igua- li voi dividere, commo sia el settore di cerchio .abcd. Dico che divida l’ arco .ac. in doi parti iguali in sul ponto .b. e dal ponto .d. si meni la retta .db. la quale dico che la divide la detta figura in doi parti iguali commo era bisogno. E questo é

bene da considerare imperoché bisogna che sia settore di cerchio. Potrei sopra questa parte assai cose dire, ma le ditte bastino. Onde adonca faremo fine generalmente a tuta la distintione. E peró diremo deo gratias. Distinctio sexta. De his que ad corporum dimensiones spectante ex .11o. Euclidis. Capitulum primum. La presente distintione non voglio dividerla in alcune parti, conciosiaché com brevitá sia de bisogno dire. E peró adonca starai atento a quello che sia necessa- rio. Dico adonca le genere de’ corpi essere molti. Corpo è quello che ha longhez- za, altezza e larghezza. Sonno adonca li corpi questi. E solidi. Serratili. Pi- ramide. Colonne. Spere. E loro parti. E ancora corpi di molte base, commo de sotto de’ cor- pi regulari intenderai. El solido è quello che ha longhezza larghezza e altezza e fasse di .6. su- perficie, commo sonno e dadi, cassi, le citerne e simili. El serratile è la mitá del solido, che è fa- tto di .3. paralelli e doi triangoli, che sonno quando le superficie segha el solido di .6. base so- pra il diametro suo risolvendolo in doi parti iguali. De quali ciascuna se dici serratil. La pir- ramide è una figura di che basa sia d’ uno solo ponto dedutta. La colonna è una figura or- togonalmente elevata sopra la basa circulare e terminata nel cerchio, che è iguale ala sua ba- sa. Overo è quella che á per basa uno paralello e simile per capo. La piramide colonnale è quella che ’l triangolo rettangolo segue il lato che tiene il retto angolo a quel ponto mena- ta. La spera è uno corpo ritondo che vulgarmete noi la diciamo palla et é quella che fa il mezzo cerchio intorno al diametro che sta fixo e non si muove e a quel ponto menato don- de si mosse, dela quale il suo centro é il centro del mezzo cerchio, dal quale tutte le linee rette che vanno ala superficie dela spera sonno iguali infra loro. Mezza spera é quella che la mi- tá contiene. Dela quale la basa è uno cerchio, il magiore che nella spera si puó circinare. Del quale il diametro è il diametro dela spera de’ quali i soi termini sonno ditti poli dela spera. La portione dela spera è quella che piú overo meno dela mezza spera consiste. E solidi di molte base sonno di molti modi, de’ quali sonno solidi di .8. base e .12. base e di .20. base eguali, li quali Euclide insengna mettere nella spera nel .14o. libro. Sonno ancora molte altre infini- te figure corporee dele quali la misura s’ á per quello che habiamo detto. E debbi notare che, quando diciamo questo corpo è tanto quadro, commo a dire .20. braccia quadro, intendia- mo che in quello entrarebbe uno cubo, che fosse per faccia uno braccio, .20. volte: cioé uno brac- cio quadro corporale é uno braccio longo, uno braccio grosso, un braccio alto e á tutti gli an- goli retti. E cosí intendi degli altri nomi de misure. E, accioché quello che dire debbio sia be- ne inteso, alcune cose che son nel .11o. de Euclide narraremo, delle quali queste sonno. Cioé una linea retta, per niuno modo, puó essere in piano e in alto. E, quando .2. linee in- fra loro si segano, amendoi sonno in una superficie. E in ogni triangolo é in una superfi- cie. E, quando .2. piane superficie infra loro si segano, quella settione è commune. E, quan- do stará una linea retta sopra una commune settione di .3. linee che con ciascuna dele ret- te faccia angolo, queste tre linee sonno in una superficie. Ogni superficie stante ortogo- gonalmente sopra una superficie infra loro si segano e commune é la loro settione ala perpen- diculare dela subjecta superficie. L’ angolo solido, se tre angoli contiene, li .2. insiemi presi sonno magiori che l’ altro. Ogni angolo piano che è contenuto dal’ angolo solido sonno minori di .4. angoli retti. Se fra iguali linee tre angoli piani sonno fatti, de’ quali .2. pre- si sonno magiori del’ altro, si puó con quelli collocare per corde uno triangolo. El soli- do de equedistanti lati, se la superficie lo sega per lo diametro, le .2. superficie opposite è de necessitá segarse per lo mezzo. E solidi de lati equedistanti sopra una medesima basa so- pra una linea di medesima altezza sonno iguali. E solidi de lati equedistanti sopra una medesima basa e non sienno sopra una linea non sonno iguali. E solidi de equedistanti lati sopra le base eguali e ortogonalmente levate con iguali linee sonno iguali. E solidi si- mili si dicano quelli che hano gli angoli iguali e intorno agli angoli iguali e lati proportio- nali. Tutte le colonne de quali sia una base overo sopra medesime base é la loro propor- tione commo l’ axe al’ axe. E questo basti a notitia de’ corpi.

Se uno solido voi mesurare, prima trova l’ area della superficie dela basa e quel- la, per l’ altezza, multiplica e quella multiplicatione sia l’ area corporale di ditto so- lido. Sonno i solidi nominati in diversi nomi commo chiare appare per lo sequente dire. Ma in questo nome s’ inchiude che lo lato del’ altezza sia perpendi- culare ala superficie dela basa].

E gli é un cubo o vogliamo dire dado, che per ogni faccia é .10. braccia. Adiman- do quanto è l’ area corporale di ditto cubo. Prima trova l’ area dela basa cioé l’ area superficiale, dove multiplicarai .10., ch’ é longo, per .10., ch’ é largo, fanno .100. e .100. braccia quadre è l’ area e queste multiplica per l’ altezza, cioé per .10., fanno .1000. e .1000. braccia corporali è la detta figura. E, se voi il diametro di detto cubo, el quale diciamo il cu- bo .aeg. E questo s’ ará se li quadrati .ab. e .bc. insiemi agiongni e haremo .200. per lo quadra- to dela linea .bd., al quadrato dela quale linea, agiongnendo il quadrato dela linea .dh., che è .100., haremo .300. per lo quadrato del diametro .bh. Adonca .bh. è radici de .300. E debbi sapere che la retta .bh. è diametro nella spera nella quale cade el cubo .aeg. E, se solamente voi per la notitia del diametro .bh. havere e lati del cubo e l’ area sua; prima desidera d’ avere il quadrato del diametro e di quello che fanno piglia il .1/3. e harai il quadrato delo lato del cubo el quale tetragono, se per la radici sua il multiplicarai, certamente l’ area del detto cubo haremo.

E, se alcuno dirá io agionsi il quadrato del diametro con li lati soi e pervennene .310. Adimandase quanto è il lato del cubo. Porrai il lato del cubo essere una cosa, dove il quadrato suo è uno censo e .3. cotanti sonno .3.censi., ai quali agionto una cosa, sonno tre censi e una cosa iguali a .310. Dove areca a uno censo e harai uno censo e .1/3. cosa iguali a .103. Dimezza le cose, sonno .1/6. e in sé multiplica, sonno .1/36., agiongni a .103 1/3., fanno .103 13/36., de’ quali togli la radici che è .10 1/6. De’ quali tra .1/6., rimane .10. per lo lato .ab., cioé per lo lato del cubo.

E, se alcuno dicesse io ó agionto el quadrato del diametro del cubo col quadra- to del lato di detto cubo e feciono .400. Adimando quanto è il lato del cubo. Poni il lato del cubo una cosa che, in sé multiplicata, fa un censo, la quale agion- gni a .3. cotanti, cioé col quadrato del diametro .bh., fanno .4.censi. che sonno igua- li a .400., dividi adonca .400. per quatro e haremo .100. per lo quadrato delo lato del cubo ch’ é .ab. onde .ab. é .10.

Ancora e gli é un solido del quale la basa sia el tetragono havente in ciascuno la- to .10. E la longhezza, o vogliamo dire l’altezza sua, è .12. Adimando quanto cor- porali è la detta figura. Prima trova l’ area dela basa, ch’ é .100. e questo multi- plica per .12., fanno .1200., cioé multiplica per l’ altezza e .1200. corporali é la detta figura di detto solido. E, se ’l suo diametro voi, multiplica .10. in sé e radoppia, fanno .200. per lo quadrato dela linea .bd. e questo agiongni al quadrato dela linea .ie., cioé .a.144., fan- no .344. per lo quadrato del diametro .be.

E, se si propone el diametro del solido de equedistami lati é radici di .344. e de- la basa tetragona e la sua altezza avanca el lato dela basa .2. e adimandasi quan- to è il lato suo dela basa e la sua altezza. Multiplicarai una cosa che porrai sia il lato dela basa e radoppia, haremo .2. censi. E dipoi multiplica l’ altezza in sé, cioé una co- sa e .2., fanno .1. censo e .4.cose. e .4. per numero. Agiongni a’ .2.censi., haremo .3.censi.4.cose. e .4. E questo è iguali a .344., dove tragase da ogni parte .4., haremo .3.censi.4.cose. iguali a .340., dove secondo l’ algebra opera e harai la cosa valere .10. e cosí l’ altezza troverai essere .12. e co- sí farai le simiglianti.

Ancora e gli é un solido che la basa è tetragona e la sua altezza è .2. piú che lo lato dela basa e agiongnendo insiemi il quadrato dela faccia dela basa e il quadrato del dia- metro dela basa e il quadrato del diametro del solido fanno .688. E adimandasi quan- to è il lato dela basa e quanto la sua altezza. Perché il quadrato del diametro .eb. fa dello agiognimento de’ quadrati dele linee .ab. e .bg. e .ie., se dimezzaremo adonca .688., che è .344., hare- mo el quadrato dela linea .be. Onde operarai commo nella passata.

Ancora agionsi lo lato dela basa collo lato del’ altezza e col quadrato del diametro suo e feciono .366. Porró adonca el lato dela basa una cosa, dove l’agregatione preditta è .3.censi. e .2.cose. e .2., dove operarai secondo l’ algebra e harai lo lato dela basa essere .10. e l’ altezza .12. Intendi che si proponga che l’ altezza sia .2. piú che ’l lato dela basa.

Possonsi in questi modi proporre molte questioni le quali per questi modi s’ asolvono.

Ancora sia uno solido de equedistanti lati .aeg., del quale l’altezza .hd. è .12. e lla lon- ghezza dela basa, cioé .ad. sia .11. e la larghezza dela detta basa sia .10. e sia ortogo- nalmnente eretto. Onde volendo l’ area corporale de ditta figura multiplicarai la lon- ghezza dela basa per la larghezza e haremo .110. e questo multiplica per la sua altezza, cioé per .12., fanno .1320. per l’ area corporale de ditto solido. E, volendo il suo diametro, cioé .hb., multiplica .10. in sé e .11. in sé e .12. in sé e agiongni insiemi e haremo .365. per lo quadrato del diametro del ditto soli- do, cioé per lo quadrato dela linea .bh. Adonca .bh. sia la radici de .365.

E per simil modo diremo adonca: e gli é un solido de equedistanti lati che l’uno lato dela basa avanza al’altro uno e l’altezza del detto solido è uno piú che ’l magiore lato, cioé .2. piú che ’l minore lato dela basa e il suo diametro è radici di .365. Adimandase et cetera. Porrai per lo minore lato una cosa, per lo magiore .1a. cosa e .1o., per l’ altezza .1a. cosa e .2. Dove li quadrati, agionti insiemi, sonno .3.censi.6.cose.5. e questo è iguali a .365. Dove opera secondo l’ algebra, ha- rai lo lato minore essere .10. e il magiore .11. e l’ altezza sua è .12., commo volevi. Similmente, se ’l si dicesse io ó agionto li quadrati del .ab. e del .ad. e del .dh. col quadrato del .bh. e fo tutto quello .730. Adimandase ciascuno lato. Dimezzaró .730., del quale la mitá è .365., per lo quadrato .hb., dove opera commo di sopra e virrá. E, se sia detto io agionsi l’ altezza .dh. col quadrato del diametro .hb. e fe- ciono .377. e .fo.dh. 1o. piú che .da. e .da. 1o. piú che .ab., porró similmente .ba. 1a. cosa, onde .ad. sia una cosa e .1. e .hd. sia .1a. cosa e .2. e gli quadrati dele .3. linee sienno .3.censi.6.cose.5., che sonno iguali al quadrato del diametro .hb. al quale agionto l’ altezza .dh., che è radici e .2., cioé una cosa e .2., fanno .3. censi .7.cose. e .7. iguali a .377. Dove opera secondo la regola e harai .dh.12. e .da.11. e .ab.10., com- mo volavamo. E questo de’ solidi basti e diremo de’ serratili.

De corpore seratili eiusque dimensione necnon columnan cuiuscunque generis earunque pirramidum.

Comme ó ditto el serratile è quello che è segato del solido quando el filo segnato va su per lo diametro. E peró Euclide dici cosí. Corpo serratile è quello che á .5. superficie dele qua- li .3. sonno paralelle e le .2. triangulari. E sappi che li triangoli sonno iguali. E l’ uno è ba- sa, l’ altro è capo. E, a volere l’ area corporale d’ uno serratile, prima trova l’ area superficiale dela basa triangulare. E quella area superficiale multiplica per l’ altezza del ditto seratile e harai l’ area corporale de dit- to seratile. Commo sia uno seratile .abgdez. del qual li triangoli .abg. e .dez. sonno amendoi equila- teri o equicurii over diversilateri. E, di che forma sia, prima trova l’ area del triangolo .abg., com- mo nel trattato de’ triangoli dicemmo. E diciamo el lato .ab. sia .13. e .bg.14. e .ag.15. Onde sia an- cora .de.13. e .ez.14. e .dz.15. Meneró nel triangolo .abg. el catetto .al. che sia .12. el quale multiplicaró per la mitá del .bg. e haremo .84. per l’ area del triangolo .abg. che, multiplicato per l’ altezza .ad. che sia .20., virranne .1680. per l’ area corporale del seratile .abgdez. E, se la retta .da. non stesse ortogonalmente sopra il triangolo .abg., ma inchinasse da alcuna parte, alora studia di trovare la perpendicu- lare del ditto seratile e opera commo di sopra. E, se la basa fosse paralella, commo fosse .eb. e .gz., a- lora multiplica .eb. per .gz. fanno .280. E questo multiplica per la mitá del catetto .al., cioé per .6., fanno .1680. per l’ a- rea corporale preditta. E, havendo a trovare l’ area corporale d’ alcun corpo composto del soli- do e del seratile, prima trova l’ area del solido, intendi corporale, e poi quella del seratile e in uno agiongni e harai quello voi e di queste figure sonno l’ arche da tenere grano. E, se voi misurare una colonna dela quale il diametro dela basa sia .7. e l’ altez- za, cioé l’ asse sia .20., prima trova l’ area superficiale dela basa dicendo: e gli é un tondo che ’l diametro è .7., quanto é quadro. Dove li modi oprati tenendo harai essere quadro .38 1/2., li quali per la sua alteza multiplica, cioé per .20., fanno .770. e .770. corporale è la detta colonna. Ed é da saper che tutti i corpi, in che modo sienno, quando infra loro sienno simili, sia la propor- tione del’ area corporale del’ uno al’ area corporale del’ altro, commo la proportione de’ lati tripli- cata, cioé cubicata. Verbi gratia: sia d’ alcun solido la longhezza .2. e del’ altro .3., sia la pro- portione del minore solido al magiore commo la proportione del .2. al .3. triplicata, cioé commo il cubo fatto da .2. al cubo fatto da .3., cioé commo .8. a .27. é certamente .8. a .27. infra .3. quantitá formata, cioé cosí .8. a .12. e cosí .12. a .18. e cosí .18. a .27. E peró la proportione del .8. al .27. è tripli- cata la proportione del .2. al .3., onde, sapendo del corpo del minore, la quadratura multiplicarai per .27. e dividerai la summa per .8. e harai l’ area corporale del minore corpo. Quando alcuna piramide voi misurare, l’ area dela sua basa di che forma sia, per lo terzo del’ altezza multiplica. E quello che ne pervirrá sirá l’ area dela detta piramide: la quale regola perviene di quello che è ditto in Euclide, cioé che ’l solido è doppio al seratile e

il seratile è .3. cotanti che ’l suo piramide havente la basa triangulare. E a questo indurremo la piramide .abgd. havente e lati iguali e la basa triangulare, che è .abg., e la sua altezza quel- la che cade ortogonalmente dal ponto .d., ortogonalmente sopra le base .abg., che è de bisogno trovare il cadimento suo nel triangolo .abg. Cosí si fa: intorno al triangolo .abg. scrivi il cerchio .abc., intorno al centro .e. Dico certamente che ’l ponto .e. et il cadimento dela perpendi- culare cadente dal ponto .d. sopra la superficie del triangolo .abg. El quale, se non fosse, sia adonca .z. e faciase .dz.za.zb.zg. E perché .dz. è perpendiculare sopra il piano .abg. e sia ret- to ciascun degli angoli .dza. e .dzb. e .dzg.; li lati adonca .dz. e .za possono sopra la retta .da. Similmente li quadrati dele rette .dz. e .zb. sonno iguali al quadrato dela linea .db. e il qua- drato dele rette .dz. e .zg. sonno iguali al quadrato dela linea .dg., ma li quadrati .da.db.dg. sonno iguali infra loro, perché le ditte linee sonno iguali. Adonca li .2. quadrati dele linee .dz. e .za. agli .2. quadrati dele linee .dz. e .zb. sonno iguali. Dove, de ciascuna parte togliendo il quadrato dela linea .dz., rimarranno li quadrati dele linee .za. e .zb. iguali. Onde .za. è igua- le al .zb. Similmente si mostrará la retta .zg. essere a ciascuna dele rette .za. e .zb. Adonca dal ponto .z. ala periferia del cerchio concorrono .3. rette infra loro iguali. Onde il ponto .z. è cen- tro di cerchio .abg., per la .9a. del terzo de Euclide, che non è in niuno modo vero. Adonca il cadimeto è in sul centro .e., centro del cerchio .abg. Meneró adonca el catetto .de., del qua- le la terza parte multiplicaró per l’ area del triangolo .abg. e haremo la capacitá dela pira- mide .abg. che con numeri la mostraremo. Sia ciascuno de’ lati dela piramide .12. e compi- se la retta .ae. e .be. nel ponto .i. e .t. Sirá il ponto .i. sopra il lato .bg. aponto nel mezzo di quel- lo. Imperoché gli angoli .bai. e .gai. sonno infra loro iguali. E, perché .ab. e .ag. sonno infra loro iguali, segherá ancora .bt. il terzo del catetto .ai., commo monstrammo nel trattato de’ tri- angoli. Tratto adonca el quadrato del .bi. del quadrato .ab., cioé .36. di .144., rimarranno .108. per lo quadrato dela linea .ai. E, perché .ei. è il terzo del .ai., sirá el quadrato dela linea .ei. el nono del quadrato .ai. Adonca el quadrato dela linea .ei. é .12., a’ quali agionto il quadrato dela linea .ib. fienno .48. per lo quadrato dela linea .eb. Overamente, perché .ae. è gli .2/3. del .ai., sirá al quadrato dela linea .ae. li .4/9. del quadrato dela linea .ai., cioé li .4/9. di .108., el quale tratto del quadrato dela linea .db., rimarrá il catetto .de. radici di .96. e, multiplicato .ai. in .bi., fanno radici di .3888. per l’ area del ditto triangolo .abg. che, multiplicato nel terzo del .de., cioé nel nono del quadrato di .96., cioé in .10 2/3., fanno .41472. per lo quadrato del’ area dela dit- ta piramide .abgd., del quale la radici è circa .203 3/5., over un poco piú, el quale è meno d’ un .1/20. et piú di .1/21. E per questo è manifesto che, in ogni piramide equilatera, el quadrato dela sua altezza é gli .2/3. del quadrato d’ un suo lato, commo Euclide mostra. E ancora el quadrato dela linea retta, che procede da ciascuno angolo al ponto del cadimento dela sua altezza, é il ter- zo del quadrato del suo lato, che in questo modo lo possiamo investigare. Il .bi. è la mitá del .bg. Onde il quadrato .bi. è il quarto del quadrato del .ab. Onde il quadrato del .ai. è gli .3/4. del quadrato, che fatto dala retta .ab., è certamente .ae. gli .2/3. del .ai., onde il quadrato del .ae. è gli .4/9. del quadrato dela retta .ai. Adonca il quadrato del .ae., cioé del .be. over del .ge. sia li .4/9. de .3/4. del quadrato del lato .ab. Ma gli .4/9. de’ .3/4. d’ alcuna cosa é quanto e .3/4. di .4/9. de ditta cosa, cioé .1/3. Adonca il quadrato di ciascuna dele rette .ac.be.ge. è .1/3. del quadrato del lato .ba., cioé del lato .da. Onde, se dal quadrato del lato .da. si tolga il quadrato .ae., rimarranno per lo quadrato del lato .de. li .2/3. del quadrato delo lato .da. commo dissi. E ancora è da notare che, in ogni piramide dela quale la basa è triangulare havente e lati che si partano dagli ango- li dela basa infra loro iguali, il cadimento di ditta altezza é sopra il centro del cerchio conte- nente la basa de ditta piramide.

Ancora e gli é una piramide .abcd. havente li lati .da.db.dc. infra loro iguali. E la sua basa cioé el triangolo imperoché la pongo triangulare. E sia .ab.13.ac.15. .bc.14., dove il catetto è .12., cioé .ae., per lo quale diviso la superficie del .ba. in .ac., cioé .195. vienne .16 1/4. per lo diametro del cerchio contenente il diametro .ac. del qua- le la mitá è .8 1/8. e questa è la differentia che è dal cadimento del’ altezza de ditta piramide a ci- ascuno degli angoli dela ditta basa. E diremo ciascuno de’ lati .da.db.dc. essere .12. dove, se del quadrato di .12. che è .144. si togli el quadrato del .8 1/8., che è .66 1/64., rimarranno .78. meno .1/64. per lo quadrato del catetto .dg. del quale, se pigliaremo il .1/9. e multiplicarenlo contra al quadra- to del’ area dela basa, cioé contra .7056., se hará il quadrato dela piramide.

E debi notare che, se la basa de simile piramide sirá d’ angoli acuti, alora il cadimen- to del’ altitudine dela ditta basa cadrá dentro al triangolo .abc.; se l’ angolo .abc. sia retto, alora il cadimento dela ditta piramide sia in sul mezzo diametro .bc. E, se l’ angolo .abc. sirá obtuso, alora il cadimento de ditta piramide sia fuori del tri- angolo dala parte .bc. Le qual cose asa’ te fien piú chiare di sotto in questo: nel particular tratta- to de’ corpi regulari, dove apieno ancora de ditte piramidi se trattará a inteligentia deli .5. corpi regulari, cioé tetracedron, che è de .4. base triangulari equilatere e equiangole e con- sta de .4. piramidelle simili al tutto che lo compongano. E delo exacedron, che consta de .6. qua- drilatere e octocedron, che ne contien .8. triangole e duodecedron, che ne riceve .12., ciascuna pentagonale e lo icocedron, che è formato de .20. piramidelle, che ognuna è triangula, in le qua- li piramide tutti li detti corpi sempre se hano a resolvere tanquam in sua componentia, per- ché, sí commo de triangoli rettilinei tutte le superficie rectelinee piane si compongano, cosí tutte le specie di corpi rectilinei se hano a componere de piramidi triangulari, avenga che non sempre abino a essere equilatere ditte piramidi. E cosí poi le piramide, maxime quelle che ha- veranno la basa trilatera, si pó resolvere in doi equali piramide fra loro e tutta la grande si- mili. E ognuna de quelle in doi seractili li quali insiemi presi de necessitá siranno magiori che mitá de ditta piramide, commo nella terza del .12o. libro dimostra Euclide, siché a lui sem- pre recorri in ditto .12o., che di loro difusamente ne parla et cetera. Ancora porró una piramide dela quale la basa .abc. sia triangolo equilatero over equicurio e de’ lati adonca .da.db.dg. doi solamente sonno iguali, che sienno .db. e .dg. Voglio dimostrare il modo in che modo se habia l’ altezza di quella pi- ramide. Perché nel triangolo .dbg. ‘2. lati .db. e .dg. sonno iguali, se dal ponto .a. si menerá la retta da ogni parte in infinito ne’ ponti .f. e .c., dapoi sopra la retta .fc. produr- remo el catetto dal ponto .d., che è il catetto del’ altezza dela piramide .dabg., dela quale al- tezza il cadimento alcuna volta cade infra ‘l .ae., alcuna volta fuori del triangolo infra gli pon- ti .af. over .ec. over alcuna volta nel ponto .a. over nel ponto .e., che ogni cosa mostraremo con numeri. Sia adonca ciascuno de’ lati .ab.ag.10. e il lato .bg. sia .12. e ciascuno de’ lati .db. e .dg. sia .14. e il lato .da.12. Troveró prima il catetto .de., che è radici di .160., cioé trahendo el qua- drato del cadimento .be. sie tratto del quadrato del lato .db. Similmente il catetto .ae. sia .8.

Dapoi troverró el cadimento d’ altri angoli .dae. sopra la basa .ae., cosí del quadrato che è fatto del .de. togli el quadrato del .da., cioé .144. di .160., rimangono .16., li quali divisi per .at. vienne .2., che agionti con .ae. fanno .10., de’ quali la mita, cioé .5., è il magiore cadimento dal lato del magiore .de. Onde porró .h. sopra il ponto .e., che sia .eh.5., rimarrá .ah.3. Adonca el quadrato dela linea .ah. si togli del quadrato dela linea .da. over del quadrato dela linea .de. si traga el quadrato dela linea .eh.; sirá quel che rimarrá .135. per lo quadrato del catet- to .dh. Ed, é da notare che, se l’ angolo .dah. fosse retto, alora .da. sarebbe il catetto discenden- te dal ponto .d. E, se l’ angolo .dah. fosse magiore che ’l retto, alora el catetto discendente dal pon- to .d. caderebbe fuori del triangolo sopra la linea .af. Similmente, se l’ angolo .deh. fosse retto, a- lora .de. sirebbe l’ altezza dela piramide. E, se obtuso, alora il catetto descendente dal ponto .d. cadrebbe infra li ponti .ec. fuori del triangolo. E, se ciascuno degli angoli .dah. e .deh. fos- se, acuto, alora la perpendiculare infra ‘ponti .ae. cadrebbe.

Sia ancora un’ altra volta la piramide dela quale la summitá è .a. e la sua basa sia il triangolo .bcd. diversilatero. Dela quale la basa sia .bc., cioé el lato .bc. sia .13. e .cd. sia .14. e .db.15., del quale il catetto sia la retta .be.; degli altri lati descendenti dal ponto .a. al ponto .bcd. sienno e lati .ac. e .ad. iguali e sia ciascuno .10. e l’ altro lato .ab. sia .15. Voglio adonca il catetto cadente dal ponto .a. sopra il piano nel quale è il trian- golo .bcd. Meneró la linea .fg. causante retto angolo .gfd. e .gfe., comporró la retta .ag. e nel triangolo .afg., sopra la linea .fg., il catetto produrró che sia il catetto cadente dal ponto .a. sopra il lato del triangolo .bcd. el quale catetto per numero cosí si trova per noticia deli an- goli, commo nel secondo Euclide mostra. Perché retto è l’ angolo .gfd. e peró sia la linea .fg. equi- distante al catetto .be. Onde e gli é cosí .df. al .de. cosí .dg. al .db. certamete e gli é .de.9. e .df.7., cioé la mitá del .cd., imperoché equicurio è il triangolo .acd. Adonca è cosí .7. al .9. cosí .dg. non saputo al .db. saputo che è .15. Onde, multiplicando .7. per .15. e diviso per .9., vienne .11 2/3. per la linea .dg. non saputa. Similmente, se multiplicaremo .df. per .be., cioé .7. per .12. e dividere- mo per .de., virranne .9 1/3. per la linea .fg. Dapoi nel triangolo .abd., sopra il lato .bd. meneremo

il catetto .ah. e sia il cadimento piú longo .bh.11 2/3. e il minore sirá .3 1/3. Onde il quadrato del catetto .ah. sirá .88 8/9., col quale agiongnendo el quadrato dela linea .hg., che è .69 4/9., faranno .158 1/3. per lo quadrato dela linea .ag. Ancora, se del quadrato dela linea .ad. si togli il quadra- to del .df., cioé .49. de .100., rimarranno .51. per lo quadrato dela linea .af. Adonca la linea .af. è radici di .51. e la linea .ag. è radici de .158 1/3. e la linea .fg. è .9 1/3. E, poiché habiamo e lati del triangolo .afg. noti, possiamo la noticia del catetto descendente dal .a. sopra la linea .fg. (per la dottrina che insengnanmo nel trovare l’ area de’ triangoli) havere. Ancora sia una piramide .abgd. dela quale la basa sia il triangolo .abg. diversi- latero e gli lati discendenti dal ponto .d. ne’ ponti .a.b.g. sienno similmente di- versi e non iguali, che alcuna volta ne sia uno di loro ortogonalmente ritto so- pra il triangolo .abg. E alcuna volta fienno tutti e lati declinanti. Verbi gratia: sia il lato .ab.10. e .ag.9. e .bg.5. e .da.15. e il lato .db. sia .13. e il .dg. sia .12. In questa piramide rit- ta .dg. catetto imperoché li quadrati dele linee .bg. e .gd. sonno iguali al quadrato dela li- nea .bd. e ancora li quadrati dele linee .dg. e .ga. sonno iguali al quadrato dela linea .ad. Adonca, se ’l terzo del .gd. si meni per l’ embado, over area, del triangolo .abg., sará l’ embado o- ver capacitá dela piramide .abgd. Ma non sia il catetto dela piramide alcuna dele linee discendenti dale summitá sua, commo nela piramide .abcd. dela quale il lato .ab. sia .13., bc. .14. e .ac.15. e il lato .bd. sia .15., .dc. sia .13., .da.14. Prima nelo triangolo .abc. meneró il catet- to .ae. e nel triangolo .dbc. meneró il catetto .df. e per lo ponto .f. meneró lo catetto .fh. eque- distante al catetto .ae. e sia l’ angolo .hfc. retto. Dapoi nel triangolo .dac. meneró il catetto .dg. sopra la retta .ac. De’ quali tutti siranno manifesti: la linea .dh., ‘lati del triangolo .dfh. sia noti. E peró il catetto cadente in quello dal ponto .d. sopra la linea .fh. sia nota che sirá l’altez- za dela piramide. Verbi gratia: el catetto .ae. è .12., il cadimento .be. è .5. e il cadimento .ec.9.

Similmente il catetto .df. nella superficie del triangolo .dbc. è .12. e il diametro .fc. è .5. E, per- ché .fh. è equedistante al catetto .ae., sia cosí .cf. al .ce. cosí .fh. al .ae. e .ch. al .ca. Onde .fh. è .6 2/3. e .ch. è .8 1/3. Dapoi, acioché troviamo el catetto .dg., trarró el quadrato .dc. del quadrato del lato .da., cioé .169. di .196., rimane .27. e quali, divisi per .ac., vienne .1 4/5. che, agionti con .ac., fan- no .16 4/5., de’ quali la mitá è .8 2/5., che è il cadimento del magiore .ag. Onde il caso minore .gc. è .6 3/5. e per questo s’ ánno .11 1/5. per lo catetto .dg., del quale el quadrato, se s’ agiongni al quadra- to del .gh., fienno .128 4/9. per lo quadrato del .dh. che è .11 1/3. Resta che nel triangolo .dfh. trovia- mo el catetto cadente dal ponto .d. sopra la linea .fh. e sirá il caso magiore .fi. 4 1/2. Onde il ca- tetto .di., che è l’ altezza dela piramide sia radici di .123 3/4., per la quale se multiplicaremo per lo terzo del’ area del triangolo .abc., cioé .28., haremo radici di .97020. per l’ area corporale dela piramide .abcd. E debbi notare, se l’ angolo .dcb. del triangolo .dbc. sirá obtuso, alora el catet- to .df. caderá di fuori del triangolo .dbc., commo in questa altra figura si manifesta, nela qua- le poniamo el lato .ac.13. e .bc.9. e il lato .ab. radici di .160 e il lato .da. sia .19. e il lato .db. sia .17. e il lato .dc. sia .10. Onde il catetto .ae. sia .12. e il caso .be. sia .4. et .ec. sia .5. E dapoi trarremo el quadrato del lato .dc. del quadrato del lato .db., rimarranno .189., lo quale dividerai per .bc., cioé per .9., vien- ne .21. che, agionto a .9., fanno .30. del quale la mitá è .15. per lo cadimento .bf. Onde il ponto .f. cade di fuora del .bc. e sia .cf.36. el quale quadrato, tratto del quadrato del lato .dc. rimane .64., cioé tratto .36. di .100., rimane .64. per lo quadrato del catetto .df. Onde .df. è .8. Dapoi meneró la linea .fh. equedistante al catetto .ae. e farollo concurrere con la linea .ba. nel ponto .h. e comporró .dh. e fie il triangolo .hbf. ortogonio simile al triangolo .abc. Onde sia cosí .be. al .ea. cosí .bf. al .fh. e .hf. è .45., del quale el quadrato è .2025. al quale, agionto el quadrato del- la basa .bf., che è .225., vienne .2250. per lo quadrato dela linea .bh. Overo, perché e gli é cosí .be. al .bf. cosí .ba. al .bh., se multiplicaremo el quadrato del .bf. per lo quadrato del .ba., cioé .225. per .160. e divideremo la summa per lo quadrato del .be., che è .16., vienne similmente .2250. per lo quadrato dela linea .bh. Dapoi, acioché veniamo ala noticia dela linea .hd., troveró il catetto cadente dal ponto .d. in sul lato .ba., che cosí si fa. Del quadrato fatto del .da. si traga el quadrato del .db., cioé .289. di .361., rimane .72. Dapoi, per lo lato .ba., che è radici di .160., dividi. Onde il quadrato di .72., che è .5184., dividi per .160., vienne .192 2/5. del quale, se si trae el doppio dela radici dela multiplicatione de .32 2/5. in .160., che è doppio .144., rimarran- no .48 2/5. per lo quadrato del doppio minore cadimento che sia .bk. Onde il quadrato del .bk. sia .12 1/10., cioé il .1/4. di .48 2/5., e quali .12 1/10., tratti del quadrato dela linea .db., rimarranno .176 9/10. per lo quadrato del catetto .dk. Dapoi cosí, acioché habiamo noticia del .bk., agiongneró il

quadrato .bk. col quadrato che è fatto dal .bh., cioé .12 1/10. con .2250., fanno .2262 1/10., del quale tor- ró el doppio dele radici, ch’ é fatto del .12 1/10. in .2250., el quale doppio è .330., rimarranno .1932 1/10. per lo quadrato dela linea .kh. al quale, agionto el quadrato del .dk., cioé .276 4/19., virranno .2209. per lo quadrato dela linea .dh. Onde .dh. è .47. Dapoi, acioché troviamo il catettto del triangolo .dfh. cadente dal ponto .d. sopra il lato .fh. che è .45. e il lato .df. è .8., operaremo al modo detto e trovaremo quel catetto essere cadente fuori dela linea .hf., secondo la quantitá del .1 1/3. el quale cadimento è .fl. E tragase el quadrato .fl. del quadrato .df., che è .64., rimarran- no .62 2/9. per lo quadrato dela linea .dl., cioé il catetto dela piramide .abcd., che quel medesi- mo troverai, se ’l quadrato delo lato .dh. si trae del quadrato del cadimento .hl. over se del quadrato dela linea .d. ci si togli il quadrato dela linea .cl., é il quadrato dela linea .cl. igua- le a’ .2. quadrati dele linee .cf. e .fl. Over altramente io meneró la linea .ae. ne’ ponti .m. e sia .em. iguale al .fl. Onde tutta .am. sirá .13 1/3. e compileró .lm. che sia iguale del .ef., che è .11., e agion- gneró li quadrati dele linee .am. e .ml. e haró il quadrato dela linea .al. el quale, se io lo tra- go del quadrato dela linea .ca., cioé di .361., rimarrá similmente .62 2/9. per lo quadrato del ca- tetto .dl. E per questo è manifesto che la retta .dl. è ortogonalmente sopra il piano .flh., con- ciosiacosaché fanno retti angoli con le linee .lh.la.le. Dapoi, se ’l catetto .dl. multiplicaremo per lo .3o. del triangolo .abc., che è .18., haremo .20160. per lo quadrato del’ area corporale de ditta piramide .abcd. E cosí in tutte le piramide studia di fare e potresti ancora ala noticia di ciascuna dele ditte pi- ramide procedere secondo gli strumenti sopra ditti, cioé canne over con filo con biombo e verissimamente harai tutto. E, se la basa d’ alcuna piramide sirá quadrilatera over di molti lati, sempre il terzo dela sua altezza nel’ area dela basa multiplica, imperoché chiaro appa- re che la piramide triangulare è il terzo del serratile. E cosí ciascuna piramide è subtripla al suo chelyndro over colonna, per la .9a. del .12o. de Euclide. Dove, quando la piramide á per basa uno quadrilatero over multilatero, lo puoi risolvere in triangoli e harai la prova resol- vendo la piramide in tante piramide quanti triangoli hai fatto dela basa e ciascuna pirami- de hará per basa uno triangolo e l’ altezza di ciascuna sirá una medesima. E peró, multiplican- do il terzo di ciascuna nel’ area dela basa, harai quello e tutta la piramide. E, se d’ alcuna piramide si togli una piramide per la superficie equedistante ala sua basa e vorrai sapere l’ area di quello rimane dela piramide dicurtata, che cosí si chia- ma, del’ area corporale di tutta la piramide trai l’ area dela piramide picola e quel- lo che rimane sirá l’ area dela piramide decurtata. Verbi gratia: dela piramide .dabg., dela quale la basa è uno triangolo .abg. e sia equidistante ala basa .ezi. dela piramide .dezi. dela quale é da sapere l’ area. Dico che del’ area dela piramide .abgd. si traga l’ area dela piramide .dezi. e quello che rimane sia l’ area dela piramide decurtata .abgezi. Overo altramente, perché li triangoli .czi. equedistante è al triangolo .abg. e sonno li lati del trian- golo .ezi. seganti le superficie .dab. e .dbg. e .dag., fienno ancora e lati di quelli triangoli eque- distanti: cioé il lato .ez. al lato .ab. e il lato .ei. al lato .ag. e il lato .zi. al lato .bg. Perché ne’ trian- goli .dab. e .dag. e .dbg. menate sonno le rette .ez.ei. et .zi. equedistanti alle base .ab.ag.bg., sirá uno gli angoli di fuori iguali agli oposti e dentro. Certamente .dez. angolo al’ angolo .dab. e ancora gli angoli .dze. e .dzi. e .diz. e .die. e .dei. agli angoli .dba.dbg.dgb.dga.dag. sonno iguali. Sonno ancora gli angoli .zei. et .eiz. et .ize. iguali agli angoli .bag. et .agb. et .gba., perché la superficie .ezi. è equedistante ala superficie .abg. Onde gli angoli solidi che son- no al .e. et al .z. e .i. dela piramide .dezi. sonno iguali agli angoli solidi che sonno al .a. e .b. e .g. Onde è manifesto la piramide .dezi. essere simile a tutta la piramide .dabg. E le pirami- de simili infra loro sonno nela proportione cubicata de’ lati simili. Onde la proportione dela piramide .dabg. ala piramide .dezi. è proportione triplicata del lato .bg. al lato .zi. Onde poniamo essere cosí .bg. al .zi., cosí la quantitá del .c. al .f. e cosí .c. al .f. cosí .f. al .x. cosí .x. al .y. sia il .c. al .y. proportione triplicata del lato .bg. al lato .zi. Onde é cosí .c. al .y. cosí la pira- mide .dagb. ala piramide .dezi. Tolgase adonca dela quantitá .c. la quantitá .y. e rimanga la quantitá .h. Sirá ancora commo il .c. al .y. cosí la quantitá .hx. ala quantitá .y. Adonca é co- sí la quantitá .hy. ala quantitá .y. cosí la piramide .dagb. ala piramide .dezi. Sia adonca dis- iunctim cosí lo .h. al .y. cosí la corta piramide .abgezi. ala piramide .dezi. Onde, se gli lati de’ trian- goli .abg. et .ezi. e l’ altezza dela piramide .dabg. fienno saputi, sirá ancora manifesto, per quello che s’ é ditto, l’ area dela corta piramide .abgezi., che si mostrará con numeri. Sia il lato .ab.13.ag.15. .bg.14. e l’ altezza dela piramide .dabg., che sia la retta .dk. e sia .24. E sopra la .1/2. de’ lati .da.db.dg.

passi la superficie del triangolo .ezi. e sia il lato .ez.6 1/2. e il lato .ei.7 1/2. e il lato .zi.7. e il catetto .dk. ponemmo .24., che è segato dala superficie .ezi. in .2. mezzi nel ponto .t. E poniamo la quanti- tá .c. essere .8. e, perché lo lato .bg. é doppio al lato .zi. sia la quantitá .c. doppia ala quantitá .f. dove .f. sia .4. e l’ .x. sia .2. e l’ .y. sia uno e tolgase dela quantitá .c. iguali ala quantitá .y., cioé uno del .8., rimarranno .7. per la quantitá .h. E, perché troviamo essere cosí .h. al .y. cosí la piramide corta .abgezi. ala piramide .dezi., é certamente .h. sette cotanti del .y., onde la piramide .abgezi. corta è .7. cotanti dela piramide .dezi. Ma la piramide .dezi. è .84., che pervengono del multiplicamento dela terza parte del’ altezza dela ditta piramide cioé .dt., che è .4., nel triangolo .ezi., che è .21. Onde, multiplicando .84. per .7., fanno .588. per l’ area dela piramide corta .abgezi. Overo, se di tutta la piramide .dabg., che è .672., che vengono del multiplica- mento dela terza parte del’ altezza del .dk., che è .8., nel triangolo .abg., che è .84. E trarremo .84., cioé la piramide .dabg., che è .672., che pervengono commo ó ditto del .8. in .84., rimar- ranno .588. per la piramide corta .abgezi., commo volavamo.

Ancora sia una piramide .dabg. dela quale la summitá sia .d. e tolghise dala pi- ramide .dabg. la piramide .dezi. Dico che l’ area dela corta piramide .abgezi. perviene del dutto dela terza parte e l’ altezza sua, che è .ek., nela summa del’ area dela basa e del capo di quella e dela superficie che è nela proportione media in- fra la superficie dela basa e del capo, che cosí si prova. Sopra la retta .bg. ordineró la super- ficie di retti angoli .bm. iguale ala superficie del triangolo .abg. e porró la linea .ng. iguale al .zi. e aplicaró sopra la retta .ng. la superficie di retti angoli .nopg. iguale ala superficie del triangolo .ezi. e meneró la retta .po. infino al .q. Dico prima la superficie .np. essere simile a- la superficie .bm., che cosí lo proveró. Perché commo nela passata figura triangulare pira- mide e triangoli .abg. et .ezi. sonno dimostrati essere equiangoli, siranno ancora per questo li presenti infra loro simili. E gli triangoli simili sonno nela doppia proportione de’ lati simi- li, commo per la .17a. e .18a. del sexto libro Euclide prova. E lati certamente .bg. et .zi. infra lo- ro sonno simili. Onde la proportione del triangolo .abg. al triangolo .ezi. è duplicata del lato .bg. al lato .zi. Sia adonca cosí .bg. al .zi. cosí .zi. al .u. Onde è cosí .bg. al .u. cosí il trian- golo .abg. al triangolo .ezi., ma al triangolo .abg. è iguale la rettangula .bm. e al triangolo .ezi. è iguali la superficie .up. Onde è cosí .bg. al .u. cosí la superficie .bm. ala superficie .np. et è .ng. iguale ala retta .ci. Onde è cosí .bg. al .ng. cosí .ng. al .u. E, perché dela continua propor- tione cosí è la prima ala seconda cosí la seconda ala terza cosí la figura che è ala prima ala fi- gura che è ala seconda simelmente descritta. Onde è cosí .bg. al .u. cosí el quadrilatero descrit- to .bm. al quadrilatero descritto dala linea .gn. simile al quadrilatero .bm. Onde se ’l quadrila- tero .np. nonn’ é simile al quadrilatero .bm., discrivase sopra la linea .ng. e nel’ angolo .ngm. un altro quadrilatero che sia magiore over minore .np. al quadrilatero .bm. che è descritto dala linea .bg. harebbe la proportione quella medesima che .bg. al .u. Cosí è dimostrato el quadrilatero .mb. al quadrilatero .np. Adonca al quadrilatero .bm. á doi diverse a quella medesima proportione che è inconveniente. Similmente adonca el quadrilatero .np. al quadrilatero .bm., commo ho ditto, le superficie simili intorno agli angoli hano e lati proportionali. Onde è cosí .bg. al .gn. cosí .ng. al .gp. e per la permutata proportione è cosí .bg. al .gn. cosí .mg. al .gp., ma commo .mg. al .pg. cosí la superficie .bm. ala superficie .bp. E ancora cosí .bg. al .qg., cioé commo .mg. al .pm. cosí la superficie .bp. ala superficie .pn. Adonca è cosí la su- perficie .bm. ala superficie .bp. commo la superficie .bp. ala superficie .pn. Onde la superfi- cie .bp. è mezzana nela proportione infra la superficie .bm. e la superficie .pn. E questo infra la superficie .abg. e il triangolo .ezi. Onde è mostro che la multiplicatione dela terza par- te del .tk. nel congionto dele superficie de’ triangoli .abg. et .ezi. e dela superficie .bp., cioé nel congionto dele superficie .bm. e .bp. e .pn. fará l’ area del tagliamento dela piramide .abgezi. prima è manifesto che l’ area di tutta la piramide .dabg. se ha dela multiplicatione dela ter- za parte del’ alteza del .dk. nella superficie del triangolo .abg., cioé nella superficie .bm. Adon- ca, a multiplicare .dk. nela superficie .bm., ne perviene .3. cotanti del’ area dela piramide .dabg. Ma la multiplicatione del .dk. nela superficie .bm. sonno iguali ale multiplicatio- ni del .dt. et .tk. nela superficie .bm. Adonca dele multiplicationi del .dt. in .bm. e del .tk. in .bm. ne perviene .3. cotanti del’ area dela piramide .dabg., dela qual summa, se se ne togli .3. cotanti del’ area dela piramide .dezi., la qual summa s’ á del multiplicare del .dt. nela superficie del triangolo .ezi. cioé nela superficie .np., rimarrá la multiplicatione del .tk. nela superficie

.bm. e del .dt. nela superficie .r. e .s. per l’ area dela corta piramide .eg. Queste cose dimostrate, io comporró le rette .bk. e .zt., che sonno nela superficie del triangulo .dkb. e sian le rette .bk. e .tz. equedistanti. Onde è cosí .bd. al .zd. cosí .kd. al .tk. Ma commo .bd. al .zd. cosí .bg. al .ng. e .mg. al .pg. dove, per la disiuncta proportionalitá sia cosí .bn. al .ng. over commo .mp. al .pg. cosí .kt. al .dr., ma commo .mp. al .pg. cosí la superficie .qm. ala superficie .bp. Onde la multiplicatione del .tk. nela superficie .bp. è iguale ala multiplicatione del .de. in superfi- cie .r., cioé nela superficie .q.m. Ancora, perché e gli é cosí .bn. al .ng. cosí la superficie .s. cioé la superficie .bc. ala superficie .np. Onde la multiplicatione del .tk. nela superficie .np. è igua- le ala multiplicatione del .rd. nela superficie .s. Adonca la multiplicatione del .tk. nel con- gionto dele superficie .bp. e .pn. è iguale ala multiplicatione del .de. nela superficie .rs. Com- munamente si ponga la superficie del .tk. nela superficie del .bm., sirá la multiplicatione del .tk. nele superficie .bm.bp.pk. iguale ala multiplicatione del .tk. in .bm. e del .de. nela super- ficie .rs. Ma la multiplicatione del .tk. nela superficie .bm. e del .de. nela superficie .rs. ne perviene .3. cotanti del’ area dela corta piramide .eg. Adonca el dutto del .tk. nela superficie .bm.bp.pn., cioé nela superficie de’ triangoli .abg.ezi. e nela superficie .bp., che è mezzana in- fra li triangoli ditti, ne perviene .3. cotanti del’ area dela tagliata piramide .eg. Onde, a mul- tiplicare la terza parte del .tk. nela superficie de’ triangoli .abg. et .ezi. nela superficie .bp., ne perviene l’ area ditta, cioé dela tagliata piramide e questo é quello che io volia dimostrare. E con numeri sia il lato .bg.12. e il catetto cadente nel triangolo .abg. dal ponto .a. in sul la- to .bg. sia .15. e il lato .zi. sia .4. e l’ altezza del .tk. sia .12. Onde sia cosí .3. a uno cosí .bg. al .zi.3. cotanti. E adonca il lato .bg. del lato .zi., cioé cosí .bg. al .zi. cosí .zi. al .u. Onde .bg. é nove cotan- ti del .u. E, perché e gli é cosí .bg. al .u., cosí la superficie del triangolo .abg. ala superficie del triangolo .ezi. La superficie adonca del triangolo .abg. è .9. cotanti del triangolo .ezi., impero- ché la superficie del triangulo .abg. è .90. quadro, che se hano dela multiplicatione del ditto catetto nela mitá del lato .bg., dove il nono di .90. sonno .10. quadre per l’ area del triangolo .ezi. E la superficie mezzana infra ’l triangolo .ezi. e il triangolo .abg. è .30., imperoché tal parte é .30. di .90. commo .10. di .30. Agionte queste .3. superficie in una summa, cioé .90.30.10., fanno .130. li quali, multiplicati per lo terzo del .kt., cioé per .4. fanno .520. per l’ area dela corta pira- mide .eg. ala quale summa ancora virremo se dela quadratura di tutta la piramide .dabg. torremo la piramide .dezi. che cosí si fa. Perché e gli é cosí .bg. al .zi. cioé commo il .bg. al .ng. cosí .dk. al .dt., per la disiuncta proportionalitá, sirá cosí .bn. al .ng. cosí .kt. al .td. Onde, se multiplicaremo .ag. per .bt., cioé .4. per .12., e divideremo per .ba., cioé per .8., vienne .6. per lo catetto .dt. Onde tutta .dk. è .18. Di quali la terza parte multiplicata nel triangolo .abg., cioé in .90., fanno .540. per l’ area di tutta la piramide .dabg. dela quale misura, se se ne trae l’ area dela piramida .dezi., cioé .20. che pervengono del dutto del tertio del catetto .dt. nel trian- golo .ezi., cioé .di.2. in .10., rimarranno .520., commo di sopra per la corta piramide .eg. Si- milmente se dimostra con le ditte demostrationi se la basa d’ alcuna corta piramide sirá qua- drilatera over multilatera over circulare quel medesimo evenire. Nientedimeno acioché questa opera sia piú perfecta alcuna corta piramide havente la basa e il capo circulare pro- porremo cosí.

L‘ é una piramide corta dela quale la basa é ’l circulo .abcd. e il suo capo sia il cerchio .efgh. e la sua altezza sia la linea .ik., dela quale altezza li termini sonno e centri de’ ditti cerchi. E menise li diametri loro .bd. e .fh. e sienno e ditti circuli in- fra loro equedistanti. Onde si multiplicará el terzo del .ik. nela summa dele su- perficie de’ cerchi .abcd. e .efgb. e dela superficie che è in mezzo dela proportione di cia- scuno cerchio. Verbi gratia: sia il cerchio .omn., cioé cosí .efh. al .mno. cosí il cerchio .mno. al cerchio .abc. Onde, multiplicando la mitá di ciascun diametro de’ ditti cerchi per .3 1/7., ha- remo l’ area de’ ditti cerchi la quale, multiplicata per lo terzo dela sua alteza, cioé nel terzo del .ik., haremo l’ area dela piramide corta .ec. che voglio si mostri con numeri. Sia il mezzo dia- metro .bk.4. e il mezzo diametro .if. sia uno, unde il mezzo diametro .lm. sia .2. imperoché gli é cosí .4. a .2. cosí .2. a uno e giongnamo li quadrati di questi .3. mezzi diametri, sonno .21., cioé agiongni .16.4.1. Li quali, multiplicati per .3 1/7., fanno .66. e questo, multiplicato nel terzo dela sua altezza che sia .5., cioé il terzo del .lk., vienne per l’ area di tutta la piramide .ac.330. E volendo sostituire tutta la piramide .qabcd., intendiamo il triangolo .qbd., segare la pira- mide .qabcd. in .2. parti iguali nela quale superficie è il catetto .ik. el quale menato infi-

no al .q. sia la linea .qk. catetto del triangolo .qbd. nel quale, menato la linea .fr. equedistan- te al .ik., sirá .fr. equale ala linea .ik., perché equedistante è la linea .fi. ala linea .kc.bk. e sia .rk. iguale al .fi. e il triangolo .qif. e .frb. sonno simili. Onde se traremo .rk., cioé .if. del .kb., ri- marranno .br.3. e, perché e gli é cosí .br. al .rf. cosí .fi. al .iq. Onde multiplicando .rf. per .fi. e dividendo per .br., vienne .5. per lo catetto .qi. Onde tutta .qf. è .20. che è l’ altezza dela pira- mide .qabcd.

Se inn una spera si piglia un ponto dal quale .4. rette linee si menino infra loro iguali e vadino ala superficie dela spera e quelle linee non sienno in una superficie piana, quel ponto sia il centro dela spera. Verbi gratia: sia la spera .ab. e in quella sia il ponto .z. dal quale sienno menate .4. linee infra loro iguali .zb.zg.zd.ze. e non sienno li ponti .b.g.d.e. in una superficie piana. Dico il ponto .z. essere centro dela ditta spera e questo evidentemente appare e peró nonn’ á bisogno de dimonstratione. Quando sirá menato dal ponto del capo d’ ogni piramide colonnale al centro dela basa sua perpendiculare sopra la sua basa, alora le linee rette che sonno menate dal ponto del capo suo al cerchio contenente la superficie dela sua basa sonno in- fra loro iguali. E la multiplicatone d’ una di quelle linee che sonno menate dal ca- po loro al cerchio contenente la sua basa nela mitá del cerchio contenente la ditta basa é l’ a- rea dela superficie de ditta piramide colonnale. Verbi gratia: sia la piramide colonnale .abgd. dela quale la sua somitá sia .a. e la sua basa sia il circulo .bgd. del quale sia il centro .e. E la li- nea .ae. ortogonalmente sia ritta sopra il piano del cerchio .bgd. E dal ponto .a. ala linea cir- cunferentiale contenente il circulo .bgd. dela basa dela data piramide di colonna se meni molte linee .ab.ag.ad. Dico certamente le rette .ab.ag.ad. infra lloro essere iguali. La prova: me- nise dal centro .e. le rette .eb.eg.ed. che sonno tutte iguali infra loro. E, perché .ae. è perpen- diculare sopra il piano del circulo .bgd. fienno gli angoli .aeb.aeg.aed. retti. Onde li trian- goli sonno ortogonij .aeb.aeg.aed. e hano le base iguali che sonno .eb.eg.ed. e il lato .ae. è commune. Onde li lati subtendenti agli angoli retti, che sonno .ab.ag.ad., sonno infra loro iguali. E per questo è manifesto che tutte le rette linee che si possono menare dal .a. ala linea circunferente .bgd. essere iguali ala linea .ab.

Ancora dico che, multiplicato .ab. nela mitá dela linea circunferente .bgd., fará l’ area dela superficie dela piramide, cioé l’ area di fuora dela superficie .abgd., la quale superficie é dal circulo dela basa .bgd. infino ala sua summitá. E, se non fos- se cosí, alora sia la multiplicatione dela linea .ab. dela mitá del circulo .bgd. ma- giore o minore quella che facia l’ area dela superfie. Dico che quella quantitá che se mul- tiplica per .ab., a fare l’ area dela superficie, sia minore over magiore dela mitá dela linea cir- cunferente .bgd. E sia la quantitá .iz. e il doppio del .iz. é piú che ’l cerchio .bgd. Adonca fa- ró sopra il cerchio .bgd. una figura rettilinea havente e lati e gli angoli iguali contenente quello. E fienno li lati insiemi agionti meno che lo doppio del .iz. che sia la figura .lkt. E me- neró la linea .ab., la quale è perpendiculare sopra la linea .bk., in questo modo. Meneró la li- nea .et. Fienno li quadrati dele linee .eb. et .bt. iguali al quadrato dela linea .et. e commune a tutti sia il quadrato dela perpendiculare .ae. Siranno li quadrati dele linee .eb. e .ba. igua- li al quadrato dela linea .et. E communamente s’ agionga il quadrato dela perpendiculare .ae. Fienno li quadrati dele linee .ae.eb.bt., cioé li quadrati dele linee .ab. e .bt., iguali al qua- drato .at., onde l’ angolo .abt. è retto. Perpendiculare è adonca la linea .ab. sopra la linea .tk. Similmente si mostra la linea .ag. essere perpendiculare sopra .kl. e .ad. sopra la linea .tl. E, perché le rette .ab.ag.ad. sonno infra loro iguali, virrá dela multiplicatione d’ una di quel- le, commo del .ab., nela mitá de’ lati del triangolo .tkl., l’ embado over area dela superficie de- la piramide .atkl. magiore dela superficie dela piramide .abgd. conciosiacosaché la con- tenga quella, cioé quello ch’ é infra ’l cerchio .bgd. e il ponto .a. E la mitá de’ lati del triangolo .tkl. é minore che la quantitá .iz. Adonca giá fo la multiplicatione dela linea .ab. quello che è meno dela linea .iz. é magiore dela superficie dela piramida di colonna che è impossibi- le. Adonca nonn’ é possibile che la multiplicatione dela linea .ab. nela linea che sia magio- re dela mitá del cerchio .bgd. sia l’ embado over continentia dela superficie .abgd. Anco- ra porró la linea .iz. minore dela mitá dela circunferentia del circulo .bgd. e, se possibile è che del dutto .ab. in .iz. ne pervenga l’ area dela superficie dela piramide .abgd. A multiplicare adonca dela .1/2. dela circunferentia del circulo .bgd. fará la superficie d’ una minore piramide dela piramide .abgd.

che sia la piramide .acfh. dela quale la somitá sia .e. la basa sua sia il circulo .fcb. E descrive- ró nel cerchio .fch. la figura rettilinea .cfh. e meneró, dal centro .e. sopra la linea .cf. el catetto .el. che dividerá la linea .cf. in .2. parti iguali e comporró la retta .ac. al .af.ah. E, per quello che s’ é detto, si mostrará la linea .al. essere perpendiculare sopra la linea .fc. e fienno iguali le perpendi- culari cadenti sopra le linee .ch.fh. ala perpendiculare .al. Sia la retta .al. magiore che .ab., impero- ché magiore è .el. che .eb. e la mitá de’ lati dele figure .cfh. è magiore dela mitá dela linea circunferentiale del cerchio .bgd. e la mitá del cerchio .bgd. è magiore che .iz. E, a multiplicare .al. nela mitá deli lati dele figure di rette linee .cfh., fanno l’ area dela piramide .acfh., dela quale la basa è il triangolo .cfh. e dela multiplicatione del .ab., che è minore del .al., nel .iz., che è minore de’ lati .cfh., ne proviene l’ area dela piramide magiore che la piramida .acfh., che è in- conveniente. Adonca, a multiplicare .ab. nela mitá dela circunferentia del cerchio .bgd., fa- ranno l’ area dela superficie dela piramide .abgd., ch’ era da dimostrare, la quale superficie é dal summo dela piramide, cioé dal ponto .a., e il cerchio .bgd. Onde, se poniammo la perpendicula- re .ae. essere .24. e il mezzo diametro .eb.7., sirá la linea .ab.25. la quale, multiplicata nela mitá de- la circuferentia del circulo .bgd., che è .22., faranno .550. per l’ area dela superficie dela piramide .abgd. Se sia una piramide di colonna corta dela quale la basa sia uno cerchio e il capo sia il cerchio e sia equedistante la basa al capo e tu voglia la superficie di quella piramide corta, dico che te bisogna sapere la linea che si mena dala circunferentia del cerchio del capo dela basa ala circonferentia dela basa dela ditta piramide. E quella nela mi- tá dela circunferentia de’ .2. cerchi, cioé del capo e dela basa, multiplica. E la mulplicatione si- rá la superficie dela ditta piramide corta. Commo sia la piramide corta dela quale la basa sia il cerchio .abg. e il suo capo sia il cerchio .dez. li quali cerchi sienno infra loro equedistanti e da’ cen- tri loro si meni la retta .it. perpendiculare ad amendoi li cerchi e l’ estremitá di ditti cerchi si congionga per le linee .be. e .gz. Dico che la multiplicatione del’ una de linee .be.gz. nela mitá de- la circunferentia de’ cerchi .abg. e .dez. ne pervenga l’ area dela superficie dela corta piramide cioé l’ area dela superficie che è infra ’ditti .2. cerchi. Commo sia il diametro .bg.14. e il diametro .ez. sia gli .2/5., cioé .5 3/5. Per la linea .be.15. e .it. sia .14 2/5. E comporró la retta .mi. e, per li gli ponti .ez., me- neró le linee .ec.zf. equedistanti ala retta .it. E fienno le rette .ct. et .tf. iguali commo sonno .ei. e .iz. l’ altre .bc. e .gf. infra loro iguali. Onde li triangoli .ecb. e .zfg. sonno simili infra loro e igua- li. E gli angoli al .b. e al .g. sonno infra loro iguali. Onde il triangolo .mbg. è equicurio haven- te lati .bm. e .mg. iguali. E, perché la retta .ez. è equedistanti ala retta .bg., sia il triangolo .mez. si- mile al triangolo .mbg. e equicurio havente gli angoli che sonno al .e. e .z. iguali. Onde la ret- ta .mi. sia catetto sopra .ez. conciosiacosa sia in sul mezzo .ez., fo adonca l’ angolo .tib. retto. Onde è manifesto la linea .mit. essere continuata. Adonca .me. è perpendiculare dela pira- mide .mbag. e passa per lo centro del cerchio .edz. E, perché e la retta .mb. e .mg. sonno igua- li, se da quelli togli .me. e .mz., rimarranno .eb. e .zg. infra loro iguali. Adonca .gz. è .15. E, per- ché .ez. al .bg. è como .2. a .5. E per questo .me. al .mb. è commo .2. a .5. Onde .me. del .eb. è gli .2/3., cioé .10.; onde .mb. sia .25. del quale il quadrato, che è .625., se se ne togli el quadrato .tb., che è .49. rimarrano .576. per lo quadrato del catetto .mt. e l’ arco .mag. sia .22., che vengono del .tb. in .3 1/7. E l’ arco .edz. sia .8 14/5., cioé li .2/5. del’ arco .bag., li quali archi agionti fanno .30 4/5., li quali multiplicati nela linea .eb., cioé in .15., fanno .462. per l’ area dela superficie che è infra ‘circuli .abg. e .dez. E s- se del’ area dela superficie dela piramide .mabg., che viene del .mb. nel’ arco .bag., cioé del .25. in .22., si togli l’ area dela superficie dela piramide .mez., che viene del .me. nel’ arco .dz., cioé de .10. in .8 4/5., rimarranno similmente .462. per l’ area contenta infra ’l circulo .edz. e il cerchio .bag. e questo volia mostrare.

Quando uno cerchio è diviso in .4. parti iguali dali doi diametri li quali fanno sul centro .4. angoli retti. Dico che, se ’l si divide l’ arco d’ un di quelli .4. quarti in par- ti iguali quante voi e de ciascuna di quelle parti si meni nel cerchio la linea eque- distante alo diametro. E dal ponto del diamentro in sula circunferentia si pona il regolo et passi per lo primo ponto dela prima parte e menisi in infinito, infino si congion- ga colla linea del diametro menata infinitamente. Commo sia il cerchio .abcd., diviso in .4. par- ti iguali dal diametro .ab. e .cd., che fanno .4. retti angoli al centro .e. e dividase una parte, cioé il quarto, che è l’ archo .da., in .4. parti iguali che fienno .df.fh.hk. e .ka. E menise le li- nee da’ ditti ponti .fhk. equedistanti alo diametro .ab. e fienno .fg. e .hi. e .kl. Dico che, menan- do la linea .df. in infinito infino a tanto si congionga con lo diametro .ab., menato in continuo

con la linea del diametro menata infinitamente. Comme sia il cerchio .abcd., diviso in .4. par- ti iguali dal diametro .ab. e .ed., che fanno .4. retti angoli al centro .e. e dividase una parte, cioé il quarto, che è l’ arco .da., in .4. parti iguali che fienno .df.fh.hk. e .ka. E menise le linee da- i deti ponti .f.h.k. equedistanti alo diametro .ab. e fienno .fg. e .hi. e .kl. Dico che, menando la linea .df. in infinito infino a tanto si congionga con lo diametro .ab., menato in continuo e diritto, el quale ponto del congiongnimento sia il ponto .m. Dico che la linea che è dal pon- to dove si congiongono, cioé dal ponto .m. infino al centro del detto cerchio, cioé la linea .me., essere iguale al’ agiongnimento di tutte le linee .fg.hi.kl. e ala mitá del diametro .ea. E questo te sia manifesto.

De modo inveniendi superficiem sphericam eiusque capacitatem et portionum suarum. Capitulum quartum.

Se la superficie d’ una spera voi havere multiplicarai l’ area del magiore cerchio per .4. e haremo l’ area dela superficie d’ una spera. E il diametro del magiore cerchio ca- dente nela spera è il diametro overo l’ axe dela spera. Onde, dicendo e gli é una spera dela quale il diametro è .7., adimandasse quanto è la superficie dela spera. Di- co che l’ area del cerchio che il suo diametro sia .7. truovi. E questo harai per gli modi dati. Overo multiplicando la mitá del diametro in sé e la multiplicatione in .3 1/7. e haremo .38 1/2. e .38 1/2. è l’ area del detto circulo, la quale multiplica per .4., fanno .154. e .154. è l’ area dela superficie dela spera. Overamente el quadrato del diametro del detto cerchio multiplica in .3 1/7. e haremo quello medesimo, cioé .49. multiplicati in .3 1/7., fanno .154. Overo il diametro mul- tiplicato per la circonferentia, cioé .7. in .22. e haremo quel medesimo cioé .154. E, se vuoi l’ a- rea dela mitá dela superficie dela spera, quando harai l’ area dela superficie dela spera, in .2. la dividi e harai l’ area dela predetta mezza spera.

E, se l’ area corporale d’ una spera vuoli, l’ area dela superficie di detta spera nel sex- to del diametro di detta spera multiplica e la multiplicatione sia l’ area corpora- le predetta. Comme nelo exemplo dato multiplicarai .154. per lo sexto di .7., cioé per .1 1/6., fanno .179 2/3. per l’ area corporale di deta spera. Imperoché gli é provato dagli antichi savi. (Como de sotto di lei piú amplamente nel tratato particulare de’ corpi regulari parlaremo) che la multiplicatione dela terza parte dela superficie dela spera nella mitá di tutto il diametro sará l’ area di tutta la spera, cioé l’ area corporale di tutta la spera che ancora te ’l mostreró. Sia la spera .ab. e la mitá del diametro suo sia la linea .ag. e il centro suo sia il ponto .g. Dico adunque che la multiplicatione del .ag. nel terzo della superficie dela spera .ab. è iguale ala misura del corpo dela spera .ab. Della quale questa è la dimostratione. Se non è la multiplicatione del .ag. nel terzo dela superficie dela spera .ab. iguale al corpo dela spera, sirá iguale a uno corpo magiore che la spera .ab. o- vero minore. Sia adunque prima iguale a una magiore spera che la spera .ab. e sia la spera .de. che sia con la spera .ab. in su uno medesimo centro. Possibile adonca è che nela spera .de. sia uno corpo di piú lati, dele quali quelli lati che li diciammo base non sienno contingenti ala superficie dela spera .ab. Onde sirá ciascuna dele perpendiculari, overo le linee cadenti dal centro .g. so- pra le superficie di quelle magiore che ’l mezzo diametro .ag. Se adonca si continuan gli angoli di quel corpo che caggiano nela spera .de., col centro della spera faranno piramide, dele quali el lo- ro capo fienno li centri dela spera e le loro base fienno base di corpi. E la misura di tutte le det- te piramidi viene dela multiplicatione dela sua perpendiculare nel terzo dela sua basa. E, per- ché la linea .ag. è mezzo il diametro della spera .ab., e la è minore di ciascuna del’ altre perpen- diculari. E sirá quello la multiplicatione dela linea .ag. nel terzo di caduna basa minore, che la misura dela piramide dela quale la basa è quella. Adunque la multiplicatione dela linea .ag. nel terzo dela superficie di quel corpo è magiore della superficie .ab. La multiplicatione del .ag. nel ter- zo di quella superficie è minore di quel corpo. E giá fo posto la multiplicatione dela linea .ag. nel ter- zo dela superficie dela spera .ab. essere iguale al .de. spera. Adunque è di bisogno che la spera .de. sia minore molto del corpo che è infra quella: che è impossibile. Non adonca la multiplicatione dela linea .ag. nel terzo dela superficie dela spera .ab. è magiore dela spera .ab. E an- cora dico che nonn’ é minore della spera .ab. Comme è la spera .zh. che sia sopra il cen- tro .g. E possibile ancora è che sia nella spera .ba. uno corpo di piú base de’ quali le base non sien- no contingenti la superficie dela spera .ch. Adonca sirá ciascuna dele perpendiculari cadenti sopra le superficie di quelli corpi moventisi dal centro dela spera .ab. meno dela mitá del diametro dela spera .ab., che è la linea .ag. Sirá adonca la multiplicatione del terzo di ciascuna superficie loro magiore che la misura dela piramide, dela quale la basa è quella superficie e dela quale é il centro .g. La multiplicatione

adunque dela linea .ag. nel terzo di ciascuna superficie .ab. è magiore del corpo di piú base. Giá posto fo equale al’ embado, overo capacitá spere .zh. é molto magiore del corpo detto e quella è infra quello e questo è impossibile. Non adunque la multiplicatione dela linea .ag., che è la mitá del diametro della spera .ab., nel terzo dela superficie sua è magiore del corpo suo: quella adunque è iguale di quello corpo e quello é quello vogliamo la dischiaratione. E, quando questo dichiarato sie e vogliamo havere la mitá dela spera, e multiplicaremo l’ a- rea dela superficie sua nel sexto delo suo diametro. Overo la mitá del diametro suo multi- plicaremo nel terzo dela sua superficie. Verbi gratia: sia il diametro dela data spera .10., la quale, per la mitá sua, fanno .50. li quali, in .3 1/7. multiplicati, fanno .157 1/7., che sonno l’ area dela superficie dela mezza spera. La quale, se multiplicaremo per lo sexto di quello, vienne .261 19/21., cioé multiplicando .157 1/7. via .1 2/3., che è il .1/6. di .10., fanno .261 19/21., comme disse per l’ area dela mitá dela spera.

E, se sia de bisogno a noi misurare una portione de spera che sia magiore o mino- re dela mezza spera, comme sonno le fonte ritonde e gli vasi i quali hano li fondi tondi, l’ altezza del detto corpo che è una linea che si extende dal centro del cer- chio dela bocca di quella tale parte e va infino al ponto del polo del detto cerchio colla mi- tá del diametro dela spera, proportionare curiamo. E quella parte dela superficie dela mitá dela spera e ancora dela misura sua togliamo. E haremo il desiderio. Verbi gratia: sia la linea .ab. el diametro dela bocca d’ una fonte ritonda e .g. sia il suo centro e il ponto .d. sia il polo del detto cerchio. Onde la linea .dg. sta ortogonalmente sopra la superficie del cerchio del qua- le il diametro è .ab. Dove il quadrato dela mitá del diametro .ab. divideremo per .gd. e hare- mo quello che resta di tutto il diametro dela spera sopra la linea .gd. Verbi gratia: sia la linea .ab., cioé il diametro, radici di .160. Onde .gb., che è la mitá del .ab., sia radice di .40., del quale il quadrato sia .40. El quale, se lo dividiamo per .gd., che lo poniamo .4., vienne .10. per lo avan- zo del diametro sopra la linea .dg. El quale diametro, in .2. parti iguali diviso sopra il ponto .z., sia il detto .z. centro del cerchio grande cadente nela spera, el quale cerchio sia il cerchio .aebd. Proportioneró adonca la linea .gd. con lo mezzo il diametro dela spera, che è .zd., cioé .4. con .7. sia .gd. del .zd. gli .4/7. Onde torremo li .4/7. del’ area dela superficie dela mitá dela spera, cioé di .308., che viene dela superficie del .dz. in .de. multiplicato in .3 1/7., viene .176. per l’ area dela super- ficie dela portione dela spera, dela quale la basa è il cerchio del quale il diametro è .ab. e il suo polo è .d. e l’ arco cadente in quella portione è l’ arco .adb. fatto dal cerchio grande cadente nela spera. E la sua misura corporea, cioé la misura corporea dela detta portione, s’ ará se ’l ter- zo del’ area dela sua superficie si multiplica in .7., cioé nelo mezzo diametro .zd., e di quella se ne traga la misura corporea dela piramide di colonna, dela quale la sommitá è uno ponto .z. e la sua basa è uno cerchio del quale il diametro è la linea .ab. e la sua altezza è la linea .zg., che è .3. E la sua misura, cioé la misura dela detta piramide, é .125 5/7. Rimangano adonca, tratti di .410 2/3., che è la multiplicatione del mezzo diametro in el terzo di .176., rimangono .285. meno .1/21. per l’ area corporale dela portione detta.

E, se l’ area del’ avanzo dela spera vuoli, cioé l’ area d’ una portione magiore dela mi- tá dela spera dela quale sia la basa, cioé la bocca, quel medesimo cerchio del qua- le il diametro è .ab. e la sua alteza è la linea .eg., che si chiama saetta, che la poniamo essere .10. E vogliamo la misura dela detta portione. Dico che operiamo in questa comme nella minore portione dela mitá dela spera facemmo. Cioé el quadrato dela linea .gb., che è .40., dividiamo per la saetta .ge. e haremo .4. per la linea .gd., che è la saetta del’ altra portione dela spera. Dove tutto il diametro dela spera è .ed. che è .14., nel quale, se multipli- caremo la saetta .eg. e quello multiplicaremo per .3 1/7., overo se del’ area dela superficie dela mitá dela spera che è .308. torremo li .10/7., cioé la parte che á la saetta .eg. al mezzo il diametro .cz., haremo .440. per l’ area dela superficie di questa parte magiore dela mitá dela spera. La quale area, se nel sexto del diametro dela spera la multiplicarai, overo se ’l terzo di quella area nela mitá del diametro multiplicarai, haremo .1026 2/3., al quali agionto la piramide di colon- na sopra detta, che è .125 5/7., cioé la piramide .abz., fanno .1152 5/21. per la grandezza di quella magior portione. Poterebesi fare la demostratione, dove se demostrarebbe queste cose dette dela par- te dele spere essere chiare, ma perché el tempo poco non lo patisci per l’ altre cose che seguano, le lascieró. Adunque a questa distinctione faremo fine e seguendo del’ altra diremo Deo gratias.

Distinctio .7a. de instrumentis quibus mediantibus solo aspectu rerum longitudines la- titudines et altitudines habentur. capitulum primum. Alcuni per misurare con l’ ochio compongano uno strumento decto gnomone e di questi forono alcuni antichi. El quale strumento è uno quadrato, cioé una figura qua- drata, fatta d’ alcuno metallo, overo alcuno legno sodo e duro, di quantitá con- vonevole, de magiore puoi, imperoché quanto è mangiore tanto meglio. E quel- lo constituto quadrato con gli angoli retti e tu lo dividi in .60. parti per uno bracio, cioé che, se gli é uno bracio per ogni verso, quello si divida in .60. parti, commo qui da lato appare, e quel- le parti igualmente le constituisci e chiamarai ciascuna parte ponto. Adunque in .60. ponti lo dividerai, e questo fatto, piglia una regola, al modo di quella del’ astrolabio, overamente togli uno cannone con piccolo foro per lo qual passi lo tuo visuale, e con quello, comme ti mostraró, trouverai quel vuoi. Alcuni hano .2. virgole insiemi commese in modo che l’ u- na si puó andare in alto e in basso e con quelle facilmente vengono allo efetto loro. Al- cuni con lo quadrante ordinano di sapere la longhezza e altezza dele cose vedute. Alcuni con lo strolabio fanno medesimo. Alcuni con l’ ombra del sole hano quello che desidera- no. Alcuni fanno quel medesimo con lo spechio, comme distesamente di sotto vederai. Non mi pare necessario dividere questa distinctione in alcune parti, ma una sola e quella vene e diligentemente mostraremo secondo l’ aiuto haró da chi puó. Dobiamo in questa parte mostrare il modo a misurare una longhezza o altezza, ala quale non si possi andare, so- lamente con l’ ochio. E peró è opportuno stare attento ale cose future lasciando quello che fa- rebbe superfluo, cioé non dimostrando quello che dá impedimento al’ ochio, ma ragionamo che l’ ochio sia chiaro e chiaramente comprenda. Dico adonca.

De diversis casibus exemplaribus circa aspectuum dimensiones. Capitulum secundum Sia un piano dato .ab. el quale sia de bisogno misurare; conciosiacosaché sia il pie’ tuo in sul ponto .a. Questo voglio per lo strumento gnomo. In questo modo pon- gasi il detto gnomo in sul ponto .a., in modo che la basa .pq. sia uno con lo piano .ab. E porrai l’ ochio tuo in sul ponto .s., cioé nel’ angolo .s. e guarda per la regola, cioé per lo foro del detto strumento, e nota, overo fa notare, in che parte dela linea, overo lato .rq. quella regola passa: che sia il ponto .c. E questo te bisogna perfettamente havere, imperoché ogni poco de errore ne generaebbe gran quantitá. Adonca, bene compreso questo ponto .c., e tu considera che parte e gli é dal .rc. al .rq. che, se la regola occupa un ponto, é .1/60., se .2., é 1/30. e, se .3., è 1/20. e cosí de singulis. Ora, al presente, diciamo .rc. occupare un ponto del .rq., adonca è .1/60. Dico adonca el .pq., che è iguale al. rq., essere .1/60. di tutta .ab. Dove, se ’l .qp. è uno bracio, .ab. sia .60. bracia. E, se .qp. fosse .2.bracia., sarebbe .ab.120.bracia. se ’l .pq. fosse .2/3. di bracio, sarebbe .ab.40. braccia. E cosí de singulis. Aliter, questo medesimo si puó fare con .2. virgole in questo modo. Rizzise una virgola in sul ponto .a. e sia la virgola .ac., la quale sia rita in mo- do che ’l ponto .a., cioé che l’ angolo .a. sia retto. E notato il ponto .c. e da quello si ponga l’ ochio. E, notato lo raggio visuale in su che ponto dela virgola .mn. passa, la quale virgola sia dirit- ta in sul piano .ab. in sul ponto .n. in modo che l’ angolo .n. sia retto. E adonca, saputo in che ponto dela linea .mn. lo raggio visuale pasa, lo quale ponto sia .o., e questo bene notato e tu considera che parte è .on. del .ca. Comme sia .ca.3.bracia e la linea .on. sia .2.bracia.9/10., che son- no .2 9/10. di .3. gli .29/30. Dove considera quanto manca allo intero .1/30. E questo è la parte che l’ .an. é del .ab. Comme sia .an.4.bracia adonca .ab. sia .30. cotanti che .an., che sia .120.bracia. An- cora puoi sapere quanto è meno .on. che .ca. E comme ó detto sia .1/10. di bracio. Dove diremo: per 4.bracia. si scema .11/10. di bracia, per quante bracia si scemerá .3.bracia? Multiplica .3. per .4. e parti in .1/10., vienne .120.bracia. E .120.bracia. sia la linea .ab. comme dicemmo. 2a. Se fosse in un piano e volesse misurare quanto è dal’ ochio tuo, overo da’ pie’ tuoi in- fino ala somitá d’ una altezza per la linea uscente dal ponto dove voli misurare infi- no al’ ochio tuo. Come sia l’ ochio tuo nel ponto .a. nel piano e volesse sapere quan- to è dal ponto .a. infino al ponto .b. che è in sula somitá d’ una altezza, comme sonno e campanili, monti o simile cose. Per lo modo passato lo puoi fare. Exempli gratia. Poni il ponto .p. delo strumento gnomico in sul ponto .a. e dal ponto .p. si guardi, essendo la regola del det- to strumento in sulo lato .pq., anzi uno col detto lato, e guarda per lo foro dela detta regola in modo che vegga il ponto .b. E, quando l’ ái bene notato, e tu fa stare lo detto strumento senza muoverlo di nulla. Et etiamdio guarda che non fosse mosso. E, questo fatto, dal ponto .f., con la regola, guarda il medesimo ponto .b. e nota in che parte delo lato del .rq. la regola passa. E qual be-

ne notato, che pongo sia il ponto .d. E tu considera .rd. che parte sia del .sp. e tal parte sia .aq. del .ab., adonca sia .rd. il terzo d’ un ponto. Conciosiacosaché noi habiamo detto che .rq. sia .60. ponti, adonca .1/3. de ponto é .1/180. del .sp., per la qual cosa .aq. sia .1/180. del .ab. Onde, quando .aq. fosse .1o. bracio, la linea visuale che si parte dal ponto .a. e va in verso .b., cioé la linea .ab., è .180.bracia. E questo era da mostrare. 3a E similmente è da operare quando tu fosse in sul’ altezza .b. e volesse sapere quan- to fosse dal ponto .b. infino al ponto .a. Alora porrai lo ponto .p. col ponto .b. e l’ o- chio tuo poni al ponto .p. e manda la regola secondo lo lato .pq. e, per lo foro de- la regola, fa divedere il ponto .a. E perfettamente aconcio lo strumento in modo che non si possa muovere né mutare e tu poni l’ ochio in sul ponto .s. e poni l’ uno lato, overo capo, dela regola in sul ponto .s. e fa di vedere per lo suo foro il ponto .a., lo quale veduto, ferma la regola e sappi in che parte del lato .rq. e lla passa, che pongo sia il ponto .d. E truova che par- te é .dr. del .sp., che pongo sia .1/180., cioé che .dr. sia .1/180. del .sp. Adonca .sp. sia .1/180. del .ab., che, essendo noto .qp., haremo nota tutta .ab. comme vogliamo. 4a Se fosse in un piano, cioé in sun un prato e volesse misurare una altezza dela quale il pie’ si vede con l’ ochio. Comme volendo misurare l’ altezza dela torre .bc. la quale altezza è .bc. e fosse in sul ponto .a., dal quale ponto si vedesse il ponto .c. e volesse sa- pere quanto sia .bc. Prima te bisognia sapere la distantia dal .a. al .c., la quale, se al- tramente non potesse, misurala secondo la prima di questo trattato, cioé collo strumento: o- vero con le .2. virgole, che pongo che dal .a. al .c. sia .240.bracia. Porrai lo tuo strumento in mo- do che ’l lato .pq. sia in sul detto piano uno con lo piano .ac. E, questo fatto, e tu poni l’ ochio tuo al ponto .p. e guarda per la regola, acioché vegga il ponto e noti in che parte delo lato .rq. la regola passa, cioé quanto é dal .d. al .q., che pongo sia .40. ponti, li quali proportionerai collo lato .aq., che è .60. ponti. Onde .40. sonno di .60. gli .2/3. Dico che .bc. è gli .2/3. del .ac. E detto é che .ac. è .240.bracia. Dove gli .2/3. sonno .160. Adonca .bc. è .160.bracia. commo volavamo. Overo mul- tiplicarai .40. per .240.bracia. e partirai in .60., che ancora ne viene .160.bracia. per l’ altezza .bc. Cioé multiplicarai .dq. per .ac. e partirai per .aq. e cosí di tutte poi fare. 4a Ancora questo medesimo si puó fare col quadrante. Commo nel detto exemplo diciamo che havesse a misurare il .bc., cioé la sua alteza. Dico che pigli el quadran- te e, per lo verso del’ arco, guarda il ponto .b. E sempre poni l’ ochio per gli buchi del quadrante. E, se lo filo con lo piombo che passa per lo dorso del quadrante é in mezzo .fe. ale .2. ombre, cioé in sul ponto .n., alora l’ altezza è iguale ala distantia del pie’ tuo, o- vero all’ ochio tuo ala radici dela torre. E, quando il filo cadese in sula linea .no., alora l’ altezza è minore dela detta distantia e, quando cade nela linea .mn., alora l’ alteza è magiore. Onde, adonca, tanto indrieto overo innanzi te farai che il filo caggia in sul mezzo dele dette ombre, cioé in sul ponto .n., cioé a .45. gradi. E fermati e misura dal tuo pie’ ala radici dela torre. Overo di quella alteza e, a quella somma, agiongni la tua alteza e harai l’ alteza dela detta torre e que- sto è assai buon modo. 4a Ancora questo medesimo si puó fare con l’ ombra del sole. Exempli gratia: rizza una misura conosciuta equedistante ala torre e quando il sole è in modo che l’ om- bra dela detta torre si possa bene comprendere, e tu piglia la detta ombra. E simil- mente piglia l’ ombra dela tua conosciuta misura, e proportionerai l’ ombra dela tua misura al’ ombra dela torre. E quella parte e veramente sia la tua misura dela torre. Ver- bi gratia: sia la misura conosciuta .4.bracia., cioé .ef. e l’ ombra dela torre sia .ed. e sia .120. bra- cia. E la torre sia .bc., sí comme vedi segnato apresso. E l’ ombra dela tua misura sia .fg. e sia .3. bracia. Dove proportionerai .3.bracia. con .120.bracia.: sonno .1/40. e 1/40 è la tua misura .ef. dela torre. Adunque la torre è .160.bracia. E questo habia a mente. 4a Questo medesimo ancora si puó fare col spechio. Cioé dico, chi volesse misurare una altezza comme è uno albero, el quale è situato in sul piano .ac. Dico che pon- ga lo spechio in sul piano e da quello ti parti in modo che l’ ochio tuo vegga la ci- ma del’ albero. E quando ái veduto la cima, cioé il ponto .b., e tu considera che parti è la tua altezza, cioé .fg. del .ge., tal parte é .cb., cioé l’ altezza del’ albero, del .ce. Comme sia la tua altezza .3.bracia. e .ge. sia .2.bracia.1/2. e .ce. sia .12.bracia. Dove, a volere l’ altezza del’ albero, .cioé .bc., multipli- carai .12. per .3., fanno .36. E questo parti in .2 1/2., vienne .14 2/5. E .14.bracia.2/5. sia l’ altezza .bc. e cosí habia a mente sempre. 5a

S e tu fosse in sul ponto .b. d’ altezza del monte o altra cosa e vedese nel piano il pon- to .a. e volesse sapere quanto é dala linea che si parte dal ponto .a. e sia equedistan- te al piano del monte, overo dela cosa alta, cioé al piano .be. e dal ponto .b. perpen- diculare al detto piano del .a., cioé quanto sia dal .b. al .c., che è il congiongnimento del piano .ac. con la radice del’ altezza .bc. Porrai lo tuo strumento in sul piano del .bc. e, quan- do quello è bene situato e aconcio, che non sia per alcuna cagione movente, e guarda per la regola, cioé per li fori dela regola, havendo postola al canto .r. E guarda con quella il ponto .a. e quello, senza niuno impedimento veduto, e tu considera in che parte del lato .sp., overo .pq., la detta regola passa, che a questa proposta pongo passi per lo ponto .d., lo quale sia nel lato .sp. E sia .sd.36. ponti e .dp. sia .24. ponti. E il .rs. sia .60. ponti, cioé lo iguale del .qp.; sia .rd. cir- ca .70. ponti, cioé piccola cosa meno di .70. ponti, cioé la radici di .4896., la quale é di poca dif- ferentia a .4900. Queste cose note, e tu per la .3a. di questo sappi quanto é dal .r. al .a., che pon- go sia .150.bracia. E dipoi adonca dirai, se .36. ponti, cioé .ds., danno .70. ponti, cioé .rd., overo .dr., adimando che daranno .150.bracia. Dove con minori numeri dirai, se .18. danno .35., cioé, se .ds. é .18. e .rd. é .35. e .ra. é .150., che sirá .rc. Multiplicarai .18. via .150., fanno .2700. E parti in .35., vienne .77 1/7. E .77.bracia.1/7. sia l’ altezza .rc., dela quale altezza traremo l’ altezza del .rq., cioé .1o. braccio, rimane .76 1/7. E .76.bracia. 1/7. é dal .b. al .c., la quale cosa era da mostrare. 6a E, volendo sapere quanto è dal .a. al .c., convienti operare comme nela passata, cioé sapere la longhezza del .r. al .a., per .3am. precedenten, che pongo ancora sienno .150.bracia. E sappi quanto è dal .r. al .s. e quanto é dal .s. al .d., che pongo sia .60. ponti. E dal .r. al .d. sienno .70. ponti. E dirai, se .70. potumisa danno .60. de piano, cioé, se .7. danno .6., che daranno .150. Multiplicarai .150. via .6., fanno .900. e partirai in .7., vienne .128 4/7. E .128. bracia .4/7. sia dal .a. al .c. E questo sempre ti stia a mente. 7a S e l’ ochio tuo è nel piano e tu voglia misurare una altezza in su uno monte, comme sonno roche o castella. Comme sia l’ ochio al ponto .d. nel piano del .dc. e in sul monte .cb. sia la torre .ba., la quale vogliamo misurare. Prima è di bisogno sapere quanto è dal .d. al .b. E questo, per la seconda di questo, chiaramente l’ arai, che pongo che dal ponto .d. al .b. sia .320.bracia. E dipoi, ponendo l’ ochio al ponto .d., debbi trovare la lon- gezza .ad., per .2am. huius, la quale pongo sia .400.bracia. E, tutte queste cose notate, e tu poni l’ ochio tuo al ponto .d. e poni la regola su per lo lato .pq. e fa di vedere dal ponto .d. il ponto .b. e, quan- do lo vedi senza alcuno impedimento, e t’ aponi l’ ochio ancora al ponto .d. e mena la regola in modo che, guardando per la regola, vegga il ponto .a. E quello veduto senza alcuno impedi- mento, e tu nota in che parte del lato .rp. la regola passa, che dico sia il ponto .f. E questo bene notato, tu poi, per piú agilitá, levare lo strumento e con questo argomento entrare. Noi dicemmo che .db. era .320.bracia. e .da. era .400.bracia. Dove, se è possibile, con interi nume- ri minori in detta proportione havere, togli. Adunque che haremo nei minori numeri, cosí .4. a .5. comme .320. a .400. Adonca, quando .db. fosse .4.bracia, .da. sarebbe .5.bracia. Per la qual cosa, io torró delo lato del strumento .qp.30. ponti, cioé il mezzo che sia il ponto .h. dela linea .pf., ne piglieró tanti quanti é di bisogno sienno in detta proportione a .30. comme .5. a .4.

Dove sia .37 1/2. Dico che dela linea .pf. ne piglieró .37. ponti .1/2., che sia .pu. Dove dipoi menerai una linea dal .u. al .h., che sienno .20. ponti. E questo perfettamente inteso e compreso, e tu di- rai, se .37 1/2. danno .20., che daranno .400. Dove multiplicarai .400. via .20., fanno .800. e parti- ralo in .37 1/2., vienne .213 1/3. E .213.bracia.1/3. sia alta la detta torre, cioé dal .b. al .a. Potresti anco- ra argomentare in questo modo. Detto é che .ph. è .30. ponti e .hu. è .20. ponti. Onde dirai, se .30. mi danno .20., che mi dará .320., cioé .cb. Multiplicarai .320. per .20. e partirai in .30. e vienne .213.bracia.1/3. E tanto è l’ altezza dela torre, comme di sopra trovammo. E nota che l’ al- tezza .ba. é equedistante ala linea .hu. E questo era da mostrare. 8a S e fosse in su un monte o altra altezza e vedesse .2. ponti in un piano, comme .2. ca- se o .2. fonti o .2. albori o quel che si sia. Diciamo .2. case, le quali sonno in su’ ponti .c. e .d. nel piano .db. E pongo sia in sul’ altezza .ab. nel ponto .a. E vogli sapere quanto è dal ponto .d. al ponto .c. Piglierai lo strumento atto a questo e con quel- lo, per la .2a. di questo, sappi la longhezza .ac., la quale pongo sia .120.bracia. E dipoi sapere ti bisognia quanto è dal .a. al .d. per lo detto modo, cioé per la seconda di questo. Dove pongo sia .140.bracia. E questo bene conosciuto, e tu ferma l’ ochio in sul ponto .p. ponendo el lato .pq. in sula linea. .ca. E, volendo conoscere se hai bene adattato lo strumento, poni la regola in sul lato .pq. e, per gli buchi di detta regola, guarda il ponto .c. E, quando bene lo strumento è adattato, e tu guarda

per lo ponto .p. in modo che per gli buchi dela regola tu vegga il ponto .d. E considera in che ponto del lato .rq. passa la regola, che pongo sia il ponto .g. E quello bene notato, e tu leva lo strumento e andrai per lo lato .pq.24. ponti, ai quali per la linea .pg. togli tanti ponti che si- enno nella proportione a .24. comme .140. a .120., che fienno .28. ponti, che pongo sia il pon- to .o. E questo perfettamente inteso, e tu mena una linea dal ponto .o. agli .24. ponti, che sia il ponto .f. e perfettamente misura la linea .fo., che pongo truovi sia .12. ponti. Dove questo com- preso, e tu in questo modo argomenta. E dirai, .se.24. ponti mi danno .12. ponti, che mi da- ranno.120.bracia. Cioé ne’ numeri minori: se .2. danno .1o., che daranno .120.bracia. Multi- plica .120. per .1o. e parti per .2., vienne .60. e .60.bracia. fienno dal .c. al .d. Overo ancora di- rai, se la linea .po., che è .28. ponti, mi danno .fo., che è .12. ponti, che mi daranno .140. ponti. Multiplica .12. per .140., overo per minori numeri, multiplica .3. per .140. e parti per .7., che è quanto a mul- tiplicare .12. per .140. e partire per .28., vienne sempre .60. E .60.bracia. é dal ponto .c. al ponto .d., commo volavamo sapere. 9 Se fosse in su n’ una altezza, comme è monte o altra alta cosa e volesse misurare .1a. altezza posta in piano. Comme essendo in sul’ altezza .ab. e vedesse una altezza in piano. Comme fosse torre overo albero, del quale si vedesse il pie’, la quale altezza è .dc., cioé il capo è .d., il pie’ è .c. Convienti prima, per la seconda di questo, misurare dal ponto .a. infino al ponto .c., cioé infino al pie’ dela torre overo altezza che vuoi misurare, la quale altezza, comme ó detto, è .dc. Dove pongo che dal .a. al .c. sia .360.bracia. E dipoi ti bi- sogna che misuri quanto é dal ponto .a. al ponto .d., pure observando il modo de la seconda di que- sto. Onde dal ponto .a. al ponto .d. pongo sia .320.bracia. E questo fatto, e tu poni lo strumen- to in modo che ’l lato .pq. sia in sula linea .ac. E questo bene operato, e tu guarda per lo pon- to .p. lo ponto .d., guardando per gli fori dela regola. E, quando ti pare bene diligentemente vedere lo ponto .d., e tu nota in che parte del lato .rq. la regola passa, che sia il ponto .g. Dove questo bene segnato, e tu misura del lato .pq.36. ponti e dela linea .pg. ne misura .32. E in cia- scuna linea poni un segno, che sia per me signato .pu.36. ponti e .po.32. ponti e dipoi, dal .o. al .u., mena una linea retta la quale misura, pongo sia .16. ponti e sia la llinea .ou., la quale è certa- mente equestistante ala altezza che disideri misurare. Adonca dirai: se .pu., ch’ é .36. ponti, mi dan- no .ou., cioé d’ altezza .16. ponti, che in minore numero, quanto .9. danno .4., che mi dará .360.

Dove multiplicarai .360.bracia. per .4. e partirai in .9., vienne .160.bracia. Cioé dicendo se .9. danno .4., che dará la linea .ac. Dará li .4/9. di detta linea, dove gli .4/9. del .ac. sonno .160. Adonca .dc. è .160.bracia. Ancora dirai, se la linea .op. é .8., la linea .uo. sia .4. Onde la linea .ou. è la mitá dela linea .po. Adonca .dc. è la mitá del .ac., che è .160., comme volavamo intendere. 10. Se fosse in su n’ un monte overo altezza, la quale sia sopra .1o. monte, comme una tor- re o albero. Comme sia il monte .ab., sopra il quale sia l’ ochio tuo e vegga il mon- te .cd., sopra il quale sia la torre dela quale sia de bisogno di sapere l’ altezza. Dico che per la seconda di questo misuri quanto é dal .a. al .c., che pongo sia .360.bracia. E di- poi trova, per la medesima ragione di questa, linea .ad., che pongo sia .300.bracia. E questo fatto, e tu poni lo tuo strumento in modo che ’l lato .pq. sia uno con la linea .pc., cioé .ac. E que- sto bene adattato e aconcio, e tu poni l’ ochio al ponto .p. e guarda per gli fori dela regola, la quale sia situata in sula linea, overo lato, .pq. e fa di vedere il ponto .c. E, quando questo è fatto, e tu muovi la regola tenendo l’ ochio al ponto .p., in modo che tu vegga per gli fori il ponto .d. E, quando perfettamente lo vedi, e tu fa notare lo passamento dela regola per gli ponti de- lo lato .rq., el quale noto che pongo sia .g. E tu leva lo strumento e con queste .2. linee, overo mi- sure, harai quello vuoli. Cioé piglierai dela linea .pg.30. ponti, che fienno .po. E del lato .pq. ne piglia .36., che fienno .pu. E dal .o. al u. muovi la linea .ou., che pongo sia .6. ponti. Onde in questo modo arguisci .po. è .30. ponti e danno .ou. che sonno .6. ponti, che daranno .pd. che sonno .300. ponti. Dove, perché .6. ponti sonno di .30. ponti il .1/5. Ancora l’ altezza .cd., che è eque- distante alla linea .ou. che sia il .1/5. del .ad. E il .1/5. del .ad. sonno .60.bracia. Overo in questo mo- do arguirai .ac. è .360.bracia. e .pu. è .36. ponti e .ou. è .6. ponti. Adonca .ou. é il .1/6. del .pu. Cosí .cd. sia il .1/6. del .ac. e il .1/6. del .ac. é .60.bracia, cioé il .1/6. di .360.bracia, comme era de bisogno tro- vare, cioé l’ altezza .dc. 11 Se fosse a’ pie’ d’ una altezza, comme sonno torre, e volesse sapere quanto è dal capo della detta torre infino al capo d’ una altra torre. Comme dicendo che fosse nel piano .ac. a lato ala torre .ab. e volesse sapere quanto é dal ponto .b. al ponto .d., capo d’ un’ altra torre situata in sul piano .ac. Dico prima che, per la .4a. di questo, truovi quanto

é .ab., che pongo sia .100.bracia. e dipoi, per la .2a. di questo, trova quanto è .ad., che pongo sia .300.bracia. E questo bene fatto e constiuito, e tu poni lo strumento in modo che lo lato .sp. sia uno con la linea .ba. E, quando perfettamente tutto questo è adatatto, e tu poni l’ ochio tuo al ponto .p. e, per la regola, fa divedere il ponto .d. E, quando perfettamente lo vedi, fa notare il ponto dove la regola passa per lo lato .rq., che sia il ponto .g. E questo bene con- preso, leverai lo strumento e in questo modo adaterai: che pigliarai del lato .ps. lo lato .po., che sia .10. ponti. E del lato, overo linea, .pq. ne piglia .30. ponti che sia la linea .au. E dipoi, dal ponto .o. al ponto .u., menerai la linea che sia la linea .ou., la quale pongo sia .15. ponti. E que- sto inteso, in questo modo argomenta: se .po. è .10. ponti e .ou. é .15. ponti e la linea .ou. è eque- distante ala linea .bd. e la linea .ab. è equedistante ala linea .po. e la linea .ab. è .100.bracia. On- de cosí comme é .15. a .10. cosí sia .bd. al .ab. Adunque .bd. sia .150.bracia. Imperoché .15. contiene .10. una volta e .1/2. E cosí .bd. contiene .1a 1/2. volta .ab. E peró .db. è .150.bracia. Ove- ramente puoi dire cosí. La linea .pu. é .30. ponti e la linea .ou. è .15. ponti. Adunque .pu. è .2. cotanti del .uo. Cosí ancora .ad. che è equedistante al .pu. sia .2. cotanti del .bd. che è equedi- stante al .ou. Adunque .bd. sia la mitá del .ad., che sia .150.bracia., cioé la mitá di .300.bracia., che è .ad. E cosí in simili sempre usare poi questi modi. 12 A ncora quando fosse infra .2. altezze, cioé infra .2. torri o .2. alberi overo .1o. albe- ro e in una torre. E volesse sapere quanto é dal’ uno capo del’ una torre al’ altro capo. In questo exemplo sia il ponto .a. infra .2. torri. In sul ponto .a. sia la tua per- sona e sienno in sul piano .ead. doi torre: una .dc. e l’ altra .eh. Voglio sapere quan- to é dal ponto .c. al ponto .h. Prima è de bisogno sapere, per la .2a. di questo, quanto è .ac., che pongo sienno .360.bracia. E dipoi è da sapere pure, per la seconoda, quanto è dal .a. al .h., che pon- go vi sia .200.bracia. E questo bene havuto, e tu poni lo tuo strumento in modo che lo lato .ps. sia uno con la linea .ac. Cioé che, guardando per gli fori dela regola, la quale sia in sul la- to .as., si vegga il ponto. E quello bene constituito, e tu guarda per lo ponto .p. delo strumen- to, adattando la regola senza muovere lo strumento. E, per gli fori di quella, guarda il pon- to .h. E quando perfettamente lo vedi, e tu nota in che parte dela linea, overo lato .qr., la regola passa. E quello nota, che pongo sia il ponto .g. E questo bene fatto, e tu leva lo strumento e togli del lato .ps.36. ponti e dela linea .pg. ne togli .20. ponti, che fienno .pu.36. ponti e .po. fienno .20. ponti. Dipoi mena la linea dal .u. al .o., che sia la linea .uo., la quale pongo sia .40. pon- ti. La quale linea .ou. è equedistante ala linea .hc. Onde con questo argomento entra, cioé, se .pu. che sonno .36. ponti mi danno .40. ponti, che per numeri minori e comme a dire, se .9. pon- ti mi danno .10. ponti, che mi daranno .36.bracia. Multiplica .360. per .10.bracia. e partirai in .9., vienne .400.bracia. E .400.bracia. sia dal .c. al .h. Overo dirai: se .po., che è .20. ponti, dan- no .ou., che è .40. ponti, cioé se .1o. dá .2., che dará la linea .ah. che è .200.bracia. Multiplica .200. per .2. e parti in .1o., vienne .400.bracia. e .400.bracia. é dal .c. al .h. comme dicemno. 13 Se la profunditá d’ un pozzo o altra cosa vuoi misurare. Comme sia il pozzo .acbd. e la bocca sia larga, cioé il diametro .ad.3.bracia. e similmente il diametro .bc. del fondo sia .3.bracia. Adimandasi quanto sia dal .a. al .c. Tieni questo modo, che por- rai una virgola in sul diametro .ad.; in su quella poni lo tuo strumento. E, per lo pon- to .r., aconciavi la regola e guarda lo ponto .b. E quello perfettamente havuto, e tu considera in che parte delo lato .pq. passa la regola, che pongo sia il ponto .g. E sia dal .q. al .g. 20. ponti, cioé .1/3. di bracia. E in questo modo arguirai: se .qg., che è .1/3., mi danno .qr., ch’ é uno bracio, che mi da- rá .ad. che è .3.bracia. Multiplica .3.bracia. per .1o. e parti in .1/3., viene .9.bracia. E .9. braccia sia .rc., dela qua- le somma trai .qr., rimane .ac.8.bracia. E questo volavamo sapere.

Se ti fosse di bisogno di misurare uno canapo del quale non potessi vedere il pie’, comme diciamo si fosse detto: misura el canapo .ab., del quale uno capo .a. non si vede, ma il .b. si vede. Dico che col capo .b. faccia uno arco, comme ó fatto, che sia l’ arco .dbe. E sia il ponto .b. nela mitá di detto arco, cioé che tanto sia .db. quanto .be. E bene notato tutto, e tu misura quanto è .dc. che pongo sia .20.bracia. Poi misura .bc., che po- go sia .4.bracia. E questo bene detto e fatto, e tu argomenta per la distintione di questo, cioé che tanto fa .dc. in .ce. quanto .bc. in .co. e .ce. é quanto .cd. Adunque .dc. in .ce. fanno .400.

E .400. debono fare .bc. in .ca. e il .bc. è .4. adunque .ca. sia .100. e tutto .bo. sia .104. E un .ba. é mitá del .bo. Adunque .ba. sia .52.bracia. E questo era da mostrare. Benché io havessi a dire di molte altre misure, nientedimeno tutte con queste misurerai. E peró piú dicendo sa- rebbe superfluo. Adunque a questa distinctione faremo fine et cetera.

Distinctio octava de diversis casibus utilissimis in differenter positis non capitulis sed so- lo numero casuum distincta. In questa ultima distintione s’á a scrivere certi casi trovati in sule distintione pas- sate, gli quali alcuna sottilitá e pratica al fare ingienerano commo vederari. E, per- ché infra loro hanno molta diversitá non voglio la presente distinctione in altre parti dividere. Anzi una sola, onde é di bisogno stia attento a quello che si deba dire. Poterei dire molti casi in sul misurare dele muraglie. Imperoché ’l tetto se misura la superficie di fuori. E del muro grosso si misura l’ area corporale e del sottile la su- perficie, de’ palchi la superficie, dele volte murate la loro superficie di sopra dele pie- tre concie la loro superficie, de’ davanzali la loro longhezza, e simili cose, le quali em- pirebbonno uno quaderno di fogli e nullo effecto ingienererebbono. E peró gli lascieró. E diremo per dare principio. po.

E gli é uno cassone longo .3.bracia, alto .1 1/2.bracio, largo .3/4. di bracio. Adimandasi quanto grano tiene, che tiene il bracio quadro .9. stara di grano. Prima hai a recare questo cassone a bracia quadri corporei. Per lo modo detto ne’ solidi il fa- rai, cioé multiplicarai .3. via .1 1/2. e quello che fanno per .3/4., fanno .3 3/8. E .3.bracia.3/8. é quadro il detto cassone. E noi diciamo che ’l bracio quadro tiene .9. stara. Dove .3.bracia.3/8. terrano: .3 3/8. via .9. stara, fanno .30. stara .3/8. E .30. stara .3/8. terrá il detto cassone. E sappi che da’ nostri antichi fo trovato che uno bracio quadro di corpo, cioé uno bracio longo, uno bracio largo, un bracio alto, tiene .9. stara di grano, .5. barile di vino, .6. orcia da olio. E, se fosse pietra, pesa .1600. libre E cosí habia a mente. 2 E gli é una botte che ciascuno fondo è alto .1o. bracio .1/3. e nel cocchiume é .1o. bracio .1/2. E dal’ uno fondo al’ altro è .2.bracia. Adimando quanto vino tiene. Questa pro- posta non è altro se non é di quadrare .2. piramide corte. E, comme dicemmo, l’ area di ciascuna piramide corta viene del multiplicare l’ area dela superficie dela basa e l’ area del capo dela piramide e quello che è in mezzana proportione fra quelle .2. superfi- cie per l’ altezza. E di quello pigliare il .1/3. Onde adunque, segando la detta botte per lo cochiu- me, haremo fatto .2. piramide, dele quali la basa loro é ’l cerchio il cui diametro è .1o. bracio .1/2. E la sua altezza è uno cerchio lo cui diametro è .1o.bracio.1/3. Dove, per piú facilitá, multiplica .1 1/2. in sé, fanno .2 1/4. E .1 1/3. in sé, fanno .1 7/9. Dove la superficie mezzana, infra .2 1/4. e .1 7/9., è .2. Adunque habia- mo a multiplicare .2 1/4. e .2. e .1 7/9., cioé .6 1/36. per lo terzo di .1o., fanno .2 1/108. E di questo piglierai gli .11/14., che sonno .1 125/216. e tanto è l’ area corporale del’ una piramide. Onde fra amendui fienno .3 17/108. E diremo la detta botte essere quadra .3 17/108.bracia. E noi dicemo che ’l bracio quadro tie- ne .5. barili. Dove in questa botte sia .15 85/108. barili di vino. E cosí sempre in simiglianti è da oprare. 3 E gli é uno tino che ’l fondo è per lo mezzo .4.bracia. e la sua bocha .á. per diametro .3.bracia. ed é alto .2.bracia. Adimando quanto è quadro, cioé quanto vino tiene essendo pieno. Ancora questa figura è una piramide corta, dela quale il diame- tro dela basa è .4.bracia. E dal capo è .3.bracia. Dove multiplicarai .4. in sé, fan- no .16., e .3. in sé, fanno .9. E la superficie mezzana infra .16. e .9. é .12. Adonca hai a mutiplicare .16.9.12., cioé .37.37., per lo terzo di .2., cioé per .2/3., fanno .24 2/3., del quale piglia gli .11/14., sonno .19 8/21. E .19.bracia.8/21. é quadro il detto tino che terrebe, quando fosse pieno di vino, .96. barili .19/21. E, se fos- se pieno d’uve di piano, terrebbe, overo n’ uscirebbe e .2/3. di vino. E, se di monte, il .1/2. 4 E gli é uno monte di grano che è in su n’ una aia piana che gira intorno .22.bracia. e nel mezzo è alto .3.bracia. Adimandasi quanto grano v’é, che tiene el bracio qua- dro .9. stara. Prima quadra, o vogliamo dire truova l’ area del cerchio. Dove multiplicarai .22. in sé, fanno .484. e partirai in .12 4/7. viene .38 1/2. E questo multi- ca contro al .1/3. dela altezza, cioé contro al .1/3. di .3., che è .1o., fanno .38 1/2. E .38.bracia.1/2. é quadro il detto monte di granno. Dove multiplicarai .38 1/2. via .9. stara, fanno .346 1/2. stara. E .346. stara .1/2. fanno il detto monte. E cosí in simili aopera. 5 Una torre è alta .40.bracia. e da pie’ li passa un fiume largo .30.bracia. Adiman- dasi quanto sia dala cima dela torre infino al’ orlo del fiume. Questa è propo- sta in questo modo: che si truova il lato del triangolo oposto al’ angolo retto, che habiamo mostro che il quadrato di quello lato è quanto e .2. quadrati degli al- tri .2. lati. Adonca in questa agiongnerai el quadrato della torre col quadrato del fiume, cioé .1600. con .900., fanno .2500. E .2500. è il quadrato dela misura dala cima della torre infino al’ orlo del fiu-

me, adunque è .50.bracia. 6 Ma dicendo e gli é una torre alta .40.bracia. e da pie’ li passa un fiume che non so quan to s’é largo, ma ben so che ponendo una fune dala cima dela torre infino al’orlo del fiume è .50.bracia. Adimandasi quanto è largo il fiume. Multiplicarai .40. bracia, cioé l’ altezza dela torre in sé, fanno .1600. E multiplicarai la longhezza dela fune in sé, fanno .2500. Del quale trai .1600., rimane .900. per lo quadrato del fiume. Adon- ca il fiume è .30. braccia. 7 Dicendo ancora e gli é una torre che non so quanto è alta e da pie’ li passa un fiume lar- go .30.bracia. E pongo una scala dal’ orlo del fiume infino ala cima dela torre, la quale è .50.bracia. Adimando quanto è alto la torre. Multiplicarai .50. in sé, fanno .2500., e poi multiplica .30. in sé, fanno .900. Tra’ de .2500., rimane .1600. per lo quadrato dela torre. Adonca la torre è 40.bracia. 8 L’ é un papiglione ch’é alto .8.bracia. e il diametro è .12.bracia. Adimando quanto pan- no v’é dentro, che è largo il panno .1o.bracio.1/4. Prima truova l’ area dela superfi- cie d’ una piramide dela quale la basa sia uno circulo no che ’l diametro è .12.bracia e la sua altezza è .8.bracia. Prima è di bisogno sapere quanto è dala sommitá de- la detta piramide infino al’ orlo del circulo, cioé ala circonferentia. Dove multiplicarai .8. in sé, fanno .64., e il mezzo diametro in sé, fanno .36., agiongni a .64., fanno .100., del quale quadrato è la .R.10. per la longhezza dela circonferentia infino ala sommitá, la quale longhezza multiplica per la mi- tá dela circonferentia del cerchio dela basa, cioé per .18 6/7., fanno .188 4/7.E .188.bracia. quadro e .4/7. di panno é nel detto padiglione. E noi habiamo detto che ’l panno è largo bracia .1 1/4. Dove par- tirai .188 4/7. in .1 1/4., vienne .150 6/7. E .150.bracia. di panno .6/7. v’é dentro. 9 E gli é un tondo il cui diametro è .7.bracia., adimando quanto sarebbe per faccia il quadrato che magiore potesse essere, che entrasse in detto tondo. Comme vedi ciascuno canto di det- to quadrato tocca il cerchio di detto tondo. Adonca il quadrato è per lo suo diametro quan- to è il diametro del tondo. Onde, se multiplicarai il detto diametro per sé, fanno .49., del quale la mitá è .24 1/2. e .R. di .24 1/2. é la faccia del quadro. E cosí farai le simili. 10 E gli é uno quadro che per faccia è .7.bracia., adimando quanto sia il diametro del tondo el magiore che si puó fare dentro al detto quadro. Comme chiaro vedi, el tondo è contingente al detto quadro. E, per quello che s’é detto, movendo la linea dalo ponto del contato infino al contato dirimpetto, quella linea sará el diametro del detto tondo, el quale diametro è equidistante al ciascuno de’ .2. lati dal lato del quadro. Adonca è iguali alla faccia del quadro. E peró el diametro del tondo è .7.bracia. comme la faccia del quadrato. 11 E gli é uno scudo che per ciascuno lato è .10.bracia. Vuovi mettere dentro el magiore tondo che posso. Adimando quanto sirá el diametro del tondo. Comme vedi e gli é certa cosa che ciascuno lato del triangolo è contingente al cerchio. E, per quello che s’é detto, movendo una linea dal ponto del contatto infino al centro del det- to tondo, quella linea sia perpendiculare al detto lato. Adonca menerai una linea da ciascu- no angolo del detto scudo infino al centro del detto tondo e haremo diviso el detto scudo in .3. triangoli e quali infra loro sonno iguali e ciascuno á perpendiculare la mitá del diame- tro del tondo. Adunque porró che la mitá del diametro sia .1a. cosa e quadreró ciascuno di .3. scudi piccoli multiplicando .1a. cosa per la mitá dello lato dove cade la perpendiculare, cioé .1a. cosa per la mitá di .10.3. volte, sonno .15.cose. per l’ area superficiale di tutto il triangolo. La qua- le area è, secondo il modo è .R. di .1875. Adonca .15.cose. sonno iguali a .R. di .1875. Dove la cosa vale radice de .8 1/3. Adonca la mitá del diametro del tondo è radice di .8 1/3. e tutto il diametro è radice di .33 1/3. E cosí in simili opera. 12 L’ é uno tondo che ’l diametro suo è radice di .33 1/3. Adimando quanto sarebbe lo scudo donde tale tondo si traesse. Si bene noterai, troverai, per le cose dette, che ’l diametro del tondo è ala perpendiculare delo scudo equilatero comme .2. a .3. Adonca el quadrato delo diametro del tondo allo quadrato dela perpendi- culare è comme .4. a .9. Onde, multiplicando .33 1/3. per .9., fanno .300., partendo per .4., vienne .75. per lo quadrato della perpendiculare. Adonca la perpendiculare è radici di .75. E, per le cose dette, la perpendiculare è ala faccia del triangolo equilatero comme radice di .3. a radice di .4. Onde il quadrato dela perpendiculare è al quadrato delo lato del triangolo equilate- ro comme .3. a .4. Dove, multiplicando .75. per .4. e partendo per .3., haremo .100. per lo qua- drato del lato del triangolo. Adunque lo lato del triangolo è .10. 13

E gli é un tondo che ’l diametro è .7.bracia. vovi mettere dentro il magiore triango- lo che è possibile. Adimando quanto sia per faccia. Comme chiaro è che dal cen- tro del tondo a ciascuno angolo del triangolo è la mitá del diametro del tondo. Adunque dirai: e gli é uno triangolo equilatero che dal centro a ciascuno angolo è .3 1/2., cioé la mitá del diametro. E noi habiamo detto che quello che è dal’ angolo d’ alcuno tri- angolo equilatero a ponto di mezzo è ala perpendiculare comme .2. a .3. Adunque multiplica- rai .3 1/2. per .3. e partirai in .2. e haremo .5 1/4. E .5.bracia.1/4. sia la perpendiculare. La quale perpen- diculare è ala faccia comme la radici di .3. ala radice di .4. Adunque multiplicarai .5 1/4. in sé fanno .27 9/16. E questo multiplica per .4., fanno .110 1/4. E questo parti in .3., vienne .36 3/4. e tan- to sia el quadrato delo lato del triangolo. Adunque il lato sia la radice di .36 3/4. E cosí dirai che il lato del triangolo equilatero che entra nel tondo il cui diametro è .7.bracia. 14 E gli é uno tondo che ’l suo diametro è .4.bracia. Voglio, nel quarto di quel tondo, fare una figura quadrata. Adimando quanto sia per faccia. Comme vedi nel di- segnio, il canto dela figura che è opposto al canto fatto dali diametri. Adunque, movendo el diametro della detta superficie, sia mezzo il diametro del cerchio. E peró dirai: e gli é un quadrato del quale il diametro è .4., adimando quanto è il quadrato per faccia. Multiplicarai .4. in sé, fanno .16., del quale piglia il .1/2., ch’é .8. e tanto è il quadrato dela faccia del quadro. Adunque il quadro sia per facia la radici di .8. E cosí farai le simili. 15 E gli é un mezzo tondo del quale e il suo diametro è .12.bracia. Adimando quanto sia la faccia d’ un quadro el magiore che dentro vi cape. Adimando quanto è per faccia il detto quadro. E gli é vera cosa che, faciendo nel’ altro mezzo ton- do una figura al detto modo, tu haresti in tutto il tondo una figura quadrilate- ra che á gli angoli retti e é .2. tanto longa che larga. E ancora è assai chiaro che ’l diametro dela detta figura è el diametro del tondo. E peró diremo: e gli é una figura quadrilatera che è .2. tanti longa che larga e il suo diametro è .12.bracia. Adimando quanto è longa e quanto è larga. Dí: io fo position sia larga .1a. cosa, sia longa .2. cose. Dove il suo diametro sia la .R. di .5.cose. Adonca .R. di .5.cose. sonno iguali a .12. Onde la cosa varrá la .R. di .28 4/5. E diremo fosse larga la .R. di .28 4/5. Adonca fo per faccia la .R. di .28 4/5. E cosí farai le simiglianti. 16 E gli é uno vivaio che è longo .8.bracia, largo .6.bracia, alto .4.bracia. Ed é pieno d’ aqua; cadendovi dentro una pietra ch’ é quadrata ed é per ogni verso .3.bra- cia, adimando quanta aqua n’ uscirá, che comme ó detto il brachio quadro tiene .5. barili. Noi habbiamo detto che ’l vivaio è pieno. E peró, non per altro, si pone la mi- sura del vivaio, se non per mostrare che la pietra facilmente nel vivaio entra sotto l’aqua. Adon- ca troverai l’ area corporale di detta pietra: che multiplicarai .3., che è longa, via .3., che è alta, via .3., che è grossa, fanno .27. E .27.bracia. solide è la detta pietra. E ogni bracio tiene .5. barili. Do- ve .27.bracia. terranno .135. barili. Adonca n’ uscirá .135. barili e cosí fa le simili. 17 E gli é uno vivaio che è longo .8.bracia. e largo .6.bracia. e alto .6.bracia. Ed évi alta l’ aqua .4.bracia; cadevi dentro .1a. pietra quadrata, che è per ogni verso .3.bracia. Adimando quanto vi debbe cresciere l’ aqua. Quadrerai prima la pietra, multiplicando .3. che è longa, via .3., che è larga, via .3., che è grossa, fanno .27. E .27.bracia. è quadra. Le quali .27. partirai per quello che fanno a multiplicare la longhezza del vivaio, per la larghezza, cioé per .48., vienne .9/16. E .9/16. di bracio alzerá l’ aqua nel vivaio. Adonca vene sia .4.bracia.9/16. Cosí farai le simili. 18 E gli é una pietra tonda che ’l diametro è .2.bracia. Adimando quanto pesa. Prima ái a tro- vare l’ area corporale di detta pietra. Dove multiplica il diametro .3. volte in sé, fanno .8. e di que- sto piglia .11/21., che sonno .4 4/21. E .4. bracia .4/21. é quadra la detta pietra e detto habia- mo che ’l bracio quadro pesa .1600. libre. Adonca multiplicarai .1600. via .4 4/21. fanno .6704 16/21. E .6704. e .16/21. sia il peso della detta pietra. 19 Se ti fosse proposto un tondo e tu ne voglia fare uno altro di .2. tanta possessione, fa- rai un quadro el minore che puoi, il quale contenga in sé el detto tondo. E dipoi farai un al- tro tondo, il quale contenga in sé el detto quadro. Dico che ’l tondo di fuora è .2. cotanti di pos- sessione che ’l tondo dentro. Imperoché ’l quadrato del diametro di quel di fuora è .2. tanti che’ l quadrato del tondo dentro, comme chiaro appare per la figura et cetera. 20 Se ti fosse detto di fare un quadro di .2. cotanta possessione che uno quadro dato, comporrai il minore quadro. E di fuora a quello farai un minore cerchio puoi, il quale con- tenga il detto quadro e, di fuora a quel tondo, comporrai uno quadro el minore si puó, che contenga quel tondo. Dico che ’l quadro di fuora è .2. cotanti che ’l quadro dentro.

Imperoché ’l quadrato dela faccia di quel di fuora è .2. cotanti che ’l quadrato della faccia di quel di dentro, comme chiaro appare nela figura. 21 E gli é una figura quadrata che per ogni faccia è .2.bracia; vovi mettere dentro .2. tondi e magiori che io posso. Adimando quanto sia il loro diametro. E gli é co- sa assai chiara che li detti tondi debbono essere collocati in sul diametro del qua- dro in modo che infra loro sonno contingenti. Dico adonca, se si menerá per lo ponto dela loro contingentia il diametro, certamente quel quadrato è diviso in .2. triangoli equi- curij e in ciascuno triangolo è collocato uno de’ detti tondi. Ma perché io nonn’ ó posto il mo- do a mettere in uno triangolo equicurio il tondo porremo questo caso. Cioé: 22 E gli é uno triangolo equicurio che per ciascuna dele .2. faccie iguali è .10.bracia. e per l’ altra è .12.bracia. Vovi mettere il magiore tondo che vi cape. Adimando quan- to sia il suo diametro. Certamente, se dal centro del detto tondo a caduno ango- lo del triangolo menerai una linea, tu dividerai il tuo triangolo in .3. triangoli e ciascuno lato del grande triangolo sia la basa d’ uno triangolo piccolo, ale quali base menan- do una linea dal centro del detto tondo al ponto dove il tondo è contingente, sia quella li- nea perpendiculare. E questo dichiarato, e tu dirai: io pongo che dal centro del tondo infi- no al ponto dove il cerchio tocca la basa sia una cosa, cioé che la mitá del diametro sia una co- sa. Dove troverai l’ area de’ .3. triangoli, la quale s’ ará multiplicando la mitá di ciascuna basa in una cosa. Adunque harai in tutto l’ area de’ .3. triangoli piccoli é quanto l’ area del gran trian- golo, la quale è .48. Adunque .16.cose. sonno iguali a .48. Dove la cosa vale .3. Adunque la mi- tá del diametro è .3. e tutto è .6. e questo era bisogno mostrare. 23 Hora al proposito nostro diremo: e gli é uno triangolo equicurio che per ciascu- na dele faccie iguali è .6.bracia. e per l’ altra è la radice di .72., cioé il diametro del quadro. Adimando quanto sia il diametro del tondo che magiore vi cappia. Comme ó detto, dividendo (per la linea che si muova dal centro del tondo e vada a ciascuno angolo) il deto triangolo, si fará .3. triangoli, de’ quali l’ area s’á del multiplicare la mi- tá del diametro del tondo in mitá dela basa sua. Onde io porró il mezzo diametro del ton- do sia una cosa. Adunque il detto triangolo, che è risoluto in .3. triangoli, é quadro .6.cose. e radici di .18.censi. E noi sappiamo che gli é quadro .18., cioé la mitá di .36., che è tutto il quadro. Adunque .6.cose. e radice di .18.censi. sonno iguali a .18. Dove la cosa vale .6. meno radice di .18. E tu ponesti il mezzo diametro essere una cosa. Adunque tutto il diametro del tondo è .12. bracia meno radice di .72. e diremo che ’l diametro del tondo sia .12. meno radice di .72. e co- sí sempre opera. 23 E sonno .2. tondi iguali, de’ quali il diametro di ciascuno è .4.bracia. Vogli collocare in nel minore quadro possono, in modo che gli stieno inn ischiso. Adimando quan- to sia per faccia il quadro. Comme vedi, io divideró il detto quadro per lo dia- metro passante per lo ponto del loro toccamento, non segando niuno degli ton- di e haró diviso il detto quadro in .2. triangoli iguali. E in ciascuno sia collocato uno de’ .2. tondi. E questo inteso, io faró positione che ’l quadro sia per faccia una cosa. Adonca .1o. de’ .2. triangoli sirá per le .2. faccie, per ciascuna, una cosa. E per l’ altro lato sia radice di .2.censi. El qua- le triangolo è risoluto in .3. triangoli per le linee che escono dal centro del tondo e vanno a ciascuno angolo. Onde quadra el detto triangolo multiplicando .2.bracia., cioé la mitá del diametro, per la mitá di ciascuna basa. E haremo il triangolo, che è risoluto in .3. triangoli, es- sere quadro .2.cose. e .R. di .2. censi. E detto è che uno di quelli triangoli è la mitá del quadro. Adonca del quadro è la sua area .4.cose. e .R. di .8.censi. E detto è che ’l quadro è per faccia .1a.cosa. Dove sia la sua area .1o.censo. Adonca .1o. censo è iguali a .4.cose. e .R. di .8.censi. Dove la cosa varrá .4. e radice di .8. è .4. e radice di .8. sia per faccia il quadro e cosí fa sempre. 24 E gli é uno quadro che è per faccia .5.bracia.; metto nel canto una colonna che gira .6.bracia.2/7. Cioé è il suo diametro .2.bracia. Adimandasi quanto sia il quadro per faccia che rimane dentro ale colonne. Prima è da vedere di quanta grandez- za è uno quadro dove entrasse un tondo il cui diametro sia .2.bracia. dove che sia .2.bracia. per faccia. E di questo quadro trova il diametro che è radice di .8. e radici di .8. è quello ch’ é in- fra gli .2. canti che sonno tra la circonferentia e del tondo e il canto del quadro con uno diametro d’ uno de’ tondi. Adunque trarai .2. e radice di .8. del diametro del quadro, el quale è radice di .50. Dove, tratto radice di .8. di radice di .50., rimangono radice .18., dela quale trai .2., rimangono radice di .18. men .2. E questo è il diametro del quadro

che rimane. Adonca hai a trovare uno quadro che il suo diametro sia radice di .18. men .2.

Dove, a trovarlo, multiplicarai radice di .18. men .2. in sé, fanno .22. men .R. di .288., la qual somma par- ti in .2. viene .11. men radice di .72. e la radici di questa somma sia il lato del quadrato, cioé presa la radice del .72., tratta de .11., e del rimanente preso la radice, comme volavamo. 52 E gli é una scala di non so che longhezza la quale è ritta a un muro che è iguale a- la longhezza dela scala; discostola da pie’ .6.bracia. e abassossi la vetta dela scala da- la sommitá del muro .2.bracia. Adimandasi quanto è la scala longa. Benché alcum maestro che pone questi casi gli asolva per altri modi, noi per l’ algebra gli asolveremo. Porremo adonca la longhezza dela scala sia una cosa. Sirá adonca dal .a. al .b. Sia la radice d’ uno censo meno .36. Adonca dal .b. al .d. sia .2. e radice d’ uno censo men .36. E noi dicemo che dal .b. al .d. era .1a. cosa. Adonca .1a. cosa è iguale a .2. e radice di .1o. censo men .36. Onde raguaglia le parti e harai .1a. cosa meno .2. iguali a radice d’ uno censo meno .36. Do- ve recha ciascuna quantitá a quadrato e harai .1o. censo meno .36. iguali a un censo meno .4. cose e .4. piú. Dove raguaglia le parti, levando da ciascuna parte uno censo e .4. e dando a cia- scuna parte .36. per numero. E harai che .4.cose. sonno iguali a .40. Dove la cosa vale .10. Adon- ca la scala fu .10.bracia. E questo volavamo mostrare. 26 E gli é una scala alta .10.bracia., la qual è congionta al muro iguali ala scala. Disco- stola dal pie’ tanto che, agionto a quello ch’ é lo capo dela scala discende dal mu- ro, sia .8. Adimandasi quanto la scostai dal muro. Pure per l’ algebra l’ asolvere- mo dicendo: io pongo che io la scostasi una cosa. Cioé che dal .b. al .c. sia .1a. cosa. Adonca dal .a. al .d. sia .8. meno .1a. cosa. E dal .b. al .a. sia radice di .100. meno uno censo. Adon- ca, dal .b. al .d., é .8. meno .1a. cosa e radice di .100. meno .1o. censo. E noi dicemo che gli era .10. bracia. Adonca .10.bracia. sonno iguali a .8. men .1a. cosa e radice .d.100. men .1o. censo. Do- ve, da ogni parte, leva .8. men .1a. cosa, haremo che .2. e .1a. cosa sonno iguali a radice di .100. meno .1o. censo. Dove multiplicarai ciascuna parte in sé, haremo che .1o. censo e .4.cose. e .4. son- no iguali a .100. men .1o. censo. Dove reguaglia le parti, haremo che .2.censi. e .4.cose. sonno iguali a .96. Dove opera secondo la regola, harai che la cosa vale .6. Adonca dal .b. al .c. fo .6. e dal .a. al .d. è .2. e cosí farai le simili. E nota che sempre quello che la discende dal capo è me- no che quello che la si discosta dal pie’ del muro. 27 E gli é una scala che acosto al muro d’ iguali altezza. La quale scala è .10.bracia. Discostola di sotto in modo che quello che la vetta venne in verso terra tratto di quello si discostó dal pie’, rimangono .4. Adimando quanto si discostó da pie’ e quan- to da capo. Dirai pure per la regola d’ algebra. Io pongo che dal .a. al .d. sia .1a. co- sa. Adunque dal .a. al .b. sia .10.bracia. meno .1a. cosa. Onde è da sapere quanto è dal .a. al .c. Mulitiplicarai .ab. in sé, cioé .10. men .1a. cosa, fará .100. men .20.cose. e piú .1o.censo. E multiplica .bc. in sé, fanno .1o. censo e .8.cose. e .16. Agiongni al .1o. censo e .100. men .20.cose., fanno .2. censi e .116. meno .12.cose. e la .R. di .2.censi. e .116. men .12.cose. è .ab. E noi dicemo era .10. Adonca .10. è iguali ala radice di .2.censi. e .116. meno .12.cose. Dove multiplica ogni parte in sé e hare- mo .100. essere iguali a .2.censi. e .116. meno .12. cose. Dove, da ogni parte, leva .100. e, a ogni par- te, darai .12.cose. e haremo che .2.censi. e .16. sonno iguali a .12.cose. Dove, secondo la regola, la cosa vale .2. Adonca dal .a. al .d. è .2. e dal .b. al .c. è .6. e cosí farai le simili. 28 E gli é una scala che è longa .10.bracia. ed é appogiata a uno muro di simile altezza; discostola dal pie’ tanto che la vetta viene in verso terra il .1/3. di quello che io la disco- sto. Adimando quanto la discostai. Dirai: io fo positione che dal .a. al .d. sia .1a. .cosa.; sia dal .b. al .c.3.cose. E, se .ad. è .1a.cosa., .ab. sia .10. meno .1a.cosa. Onde diremo .ab. è .10. men .1a.cosa. e .bc. è .3.cose. Dove, a sapere che è .ac., multiplicarai .10. meno .1a. cosa in sé, fanno .100. e .1o. censo meno .20.cose. E dipoi multiplicarai .bc. in sé, fanno .9.censi.; agiongni a .100. e .1o. censo meno .20.cose., fanno .100. e .10.censi. meno .20.cose. e questo è iguali al quadra- to del .ac., cioé a .100. Dove reguaglia le parti, harai che .10.censi. sonno iguali a .20.cose. Dove la cosa vale .2. Adonca dal .a. al .d. fo .2.bracia. e dal .b. al .c. forono .6.bracia. E questo era da mostrare. 29 L’ é una scala di non so che longhezza, acostata a un muro di simile altezza. Ólla di- scostato di sotto tanto che, agionto a quello che la s’ abassa giú pel muro, fanno .8. e multiplicato quello che io la discostai per quello che ’l capo venne in giú feciono .12. Adimando quanto era lon- ga la scala. Prima ái a ffare di .8. due parti che, multiplicata l’ una nel’ altra, facciamo .12.

Dove torrai la mitá di .8., che è .4., e multiplica in sé, fanno .16., trane .12., rimangano .4., de’ quali la radice sonno .2., trala di .4., riman .2. Adunque l’ una parte é .2., l’ altra è .6. Ora diremo

e gli é una scala che è longa non so quanto, la quale è agionta, cioé achosto, a uno muro d’ iguali al- tezza. Óla dischoto di sotto .6.bracia. e lo capo venne in giú .2.bracia. Adimando quanto è la scala. Dove, per la .15a. di questo, troverai che la scala è .10.braza. 30 E gli é una scala di non so che altezza, congionta a un muro d’ iguali altezza. Ó discosto il pie’ tanto che lo capo venne in giú tanto che, tratto di quello che ’l pie’ si discostó rima- sono .4. e, multiplicato quello discostai di sotto per quello che la vetta andó in giú, fecino .12. Adi- mando quanto è la scala longa. Prima dirai truova .2. numeri che l’ uno sia piú che l’ altro .4. e multiplicato l’ uno per l’ altro faccino .12. Che, per gli modi dati multotiens, harai l’ uno essere .2. e l’ altro .6. Onde dirai: quando si discosta .6.bracia., la vetta vien .2.bracia. in verso terra che, per la .25a. di questo, harai la scala era .10.bracia. 31 E gli é uno albore alto .30.bracia. Talgliasi in tal parte che la vetta sta in terra apresso al pe- dale a .10.bracia. e l’ altro capo è appiccato al’ albore. Adimandasi in che parte si rup- pe lo detto albore. Di molti modi che pone maestro Gratia, questo mi pare piú bel- lo e di sottile inventione. Cioé poniamo che l’ albero, che è .30.bracia., sia la saetta .ag., la quale passi per lo centro .d., che sia in luogo dove l’ albore si rompe. E .bg. sia quello ch’ é discosto la vetta quando ela é in terra, che sirá la mitá della corda del’ arco .bkc. E, per quello che s’ é detto de’ tondi, tanto fa a multiplica- re .bg. in .gc. quanto .ag. in .gk. E noi dicemo che .bg. è la mitá del .bc. Adonca, a multiplicare .bg. in .gc., fanno .100., el quale partirai in .30., vienne .3 1/3. e tanto è .gk. Adonca tutto .ak. é .33.bracia.1/3. E, perché tan- to é .ad. quanto .dk., sirá .ad. la mitá del .33 1/3., cioé .16 2/3. E .16.bracia.2/3. é dal .a. al .d. e tante ancora fienno dal .b. al .d., cioé quella parte che cadde. E quello che rimase sia l’ avanzo infino in .30.bracia., che sia .13.bracia.1/3. e .13.bracia.1/3. sia quello che rimase, cioé .dg. e questo era da mostrar. 32 .4. bracia di corda legono uno fastello de .100. verghe. Adimandasi quante verghe si- mili fie legate da una corda di .10.bracia. Multiplicarai .4. in sé, fanno .16. e .10. in sé, fanno .100.

E diremo: se .16. legano .100. verghe, quanto legheranno .100. Multiplica .100. via .100. verghe, fanno .10000. verghe, patirale in .16., vienne .625. e .625. verghe legheranno .10.bracia. di cor- da. E cosí farai le simiglianti. E la cagione è che tal parte debba essere le verghe ale verghe com- me el quadrato dele .4.bracia. al quadrato dele .10.bracia. E dicendo e gli é .4.bracia. che le- gono uno fastello di .100. verghe. Adimando quante bracia legheranno .625. vergole. Mul- tiplicarai .625. via .16.bracia., fanno .10000. Dico .16., cioé el quadrato di .4. E questo .10000. parti- rai in .100., vienne .100. e la .R. di .100. braccia fienno quelle che legheranno .625. verghe e cosí et cetera. 33. F irenze gira intorno .5. miglia. Ed é grosso il muro .3.bracia.1/2. e il fosso è largo .14. bracia. Adimando quanto girerá di fuori in sul’ orlo del fosso. Perché il diametro è cresciuto .2. cotanti, imperoché da ogni parte è agionto .3.bracia.1/2. e .14.bracia. dele mura, adonca il diametro crescie .35.bracia. Dove diremo .35.bracia. de diame- tro danno .35. via .3.bracia.1/7., fanno .110.bracia. E .110.bracia. girerá piú di fora. Adunque gi- rerá .5. miglia e .110.bracia. e cosí se usa in simili. 34 Firenze gira .7. miglia ed é tonda; Prato é tondo e gira .2. miglia. Adimando quante volte entrará Prato in Firenze. Como è mostro per lo .11o. libro de Euclide, tu debbi multiplicare il giro di Firenze in sé e partire per la multiplicatione del giro di Prato in sé. Cioé per .4. vienne .12 1/4. e .12. volte .1/4. entrará Prato in Firenze. E cosí farai le simili. 35 Roma è tonda e gira .33.miglia. Constantinopoli è per triangolo e gira .42. miglia, in questo modo, ch’ é per l’ una faccia .15. miglia, per l’ altra .13. e per l’ altra .14. miglia. Adiman- do chi possiede piú terreno. Quadrerai Roma multiplicando il giro per sé e pigliando di par- tire in .12 4/7., vienne .86 5/8. E .86. miglia e .5/8. é il terreno che possiede Roma. E dipoi fa- rai el terreno che possiede Constantinopoli. Dove quadrarai Constantinopoli per lo modo che dicemmo ne’ triangoli, che troverai che possiede .84. miglia. Dove Roma possiede magiore terreno e peró partirai .86 5/2. in .84., vienne .1 1/32. e .1a. volte e .1/32. entrará Constantinopoli in Roma e cosí habi a mente. 36 E gli é un mantello che è alto .2.bracia. Vo’ sapere quanto panno v’ entrará, che è largo il panno .1o. bracio .1/2. E gli é vera cosa che il mantelo è .2. tanti il suo diametro che la sua altezza. Imperoché, ponendolo in terra, farebbe un tondo, adonca dirai: e gli é .1o. tondo che il suo diametro è .4.bracia. Adimando quanto é quadro. Multiplicarai .4. in sé, fanno .16., de’ quali piglia li .11/14., che sonno .12 4/7. E .12.bracia.4/7. quadre sonno le bracia del panno del detto man- tello. E noi diciamo che ’l panno è largo .1o.bracio.1/2. Dove partirai .12 4/7. in .1 1/2., viene .8.bracia. .8/21. E .8.bracia.8/21. sia bisognio di panno a ffare il detto mantello. 37 E gli é uno che vole fare uno vestire e dice al sarto: Io ó trovato uno panno ch’ é lar- go .1o.bracio.2/3. E ‘l detto sarto gli dice: .9.bracia. di panno te ’l faranno e, tornando al fondecho

truova quel panno essere venduto. Ma éve, di quel colore, panno che è largo .1o. bracio .1/2. Adimandasi quanto panno debba torre. Bisogniasi multiplicare .9. via .1o. bracio .2/3., che è la largheza del primo panno, fanno .15.bracia. E questo partirai in .1 1/2., viene .10.bracia. E .10.bracia. di pan- no sia di bisognio a ffare la detta roba, overo vestire, del secondo panno e cosí usa et cetera. 38. Uno toglie a cavare uno pozzo hadentro .10.bracia. e debene havere .10. denari. Álo cava- to .6.bracia. e non n’ é di bisognio lo cavi piú. Adimando quanto debba havere. Benché in diversi modi per alcuni si dica, io voglio tenga questo, cioé che gli é cosa assai ma- nifesta che al .2o.bracio. egli .á. la fatica del .primo. E al terzo bracio egli á la fatica del .primo. e .2o. E cosí al quarto bracio egli .á. la fatica del .primo. 2o. 3o.bracio. e cosí degli altri. Adonca, al diecimo, egli á le fatiche degli altri. E peró, a volere dare absolutione al caso, dirai s’ abbia a ragiongnere insiemi tutti e numeri che sonno da .1o. infino in .10., che, per gli modi passati, sonno .55. e .55. fatiche diremo sia in .10.bracia. Ora è da vedere quante fatiche sonno in .6., dove hai a giongnere tutti e numeri che son- no da .1o. infino in .6., che sonno .21. e .21. fatica sonno in .6.bracia. Onde dirai: se .55. fatiche vagliono. 10.denari., che varrano .21. fatica. Multiplicarai .21. via .10. e parti in .55., vienne .3 9/11. e .3 9/11. debba havere per .6. bracia e cosí farai le simiglianti. 39 Uno toglie a cavare un pozzo adentro .10.bracia. e debbane havere .10.denari. Állo cavato tanto che n’ á avuto .4.denari. Adimando quanto lo cavó. Comme ó detto in .10.bracia. sonno. .55. fatiche, onde dirai: se .55. fatiche hano .10.denari., quante fatiche fienno a .4.denari. Multiplica .4. via .55. fatiche, fanno .220. fatiche e partirai in .10., vienne .22. fatiche .e. 22. fatiche sonno quelle che ne debba havere .4.denari. Ora è da saper quanti numeri son quegli che agionti insieme fanno .22. Dove, di molti oppenioni, togli questo: tu sai che da uno infino in .6. fanno .21. e per infino in .22. v’ é .1o. e il nume- ro seguente e .6. é .7. Dove .1o. è .1/7. di .7. Adonca lo caverá .6.bracia.1/7. E cosí farai le simiglianti. 40 E gli é uno albero che è longo .50.bracia. Uno lo vole tagliare e, a ogni colpo che gli dá, la vetta sciende in verso la terra, cioé piega in verso la terra, uno bracio. Adimando in quan- ti colpi la vetta sia in terra. E gli é cosa assai manifesta che, se la via che fa la vetta fosse visibile, comme la via delo razo quella sarebbe uno arco e, possendo la vetta taglia- re la terra e ritornare al primo luogo, ella farebe uno tondo, del quale quello che si fa insino in ter- ra è il .1/4. del tondo. Adonca dirai: e gli é uno tondo che il mezzo diametro è .50.bracia. Adiman- dasi quanto gira. Radoppiarai .50., fanno .100., el quale per .3 1/7. multiplica, fanno .314 2/7. E .314.bracia.2/7. gire- rebbe se lla vetta ritornasse in suo luogo, ma noi habiamo detto che gli é il .1/4. Adonca piglierai il .1/4. di .314 2/7., che è .78 4/7. E .78.bracia.4/7. girerá il detto quarto di tondo. Adonca penerá la vetta a ve- nire in terra in .78. colpi .4/7. E cosí farai le simili. 41 E gli é uno albero che è alto .40.bracia.; lego la vetta con una fune che è longa .50. bracia e dipoi lo fo tagliare e, quando credo che sia tagliato, mi scosto tanto quan- to posso e tiro, credendo caggia. Ma e non cade e misuro la fune che io ó in mano. E é .10.bracia. Adimando, pionbando uno piombino, in che parte cadrá, cioé quanto apresso al pedale e quanto sia longo il filo del piombino. Questa é una gran favola e non altro vuol dire che questo: e gli é uno scudo ch’ é per li due lati .40.bracia. e per l’ altro é .30.; adimandasi quanto è la perpendiculare che cade in sula facia dele .30.bracia, la quale sia la radice di .1375. E radice di .1375. sia lo filo del piombino e cosí fa sempre. 42 E gli é una macina che ’l suo diametro é .6.bracia. la quale é di .3. huomini e ciascuno ne debba havere la terza parte. Adimando quanto sia il diametro di ciascuno. Debbi multiplicare .6. in sé, fano .36. del quale piglia .2/3., sonno .24. e .R. di .24. debba rimanere del dia- metro, quando l’ ará logro il .primo. E, per lo .2o., trai overo piglia, il .1/3. di .36., che è .12. e .R. di .12. sia il diametro dela macina, quando il secondo l’ará logro. E cusí ái diviso la detta macina in .3. parti iguali. E piú stesa di sotto subtiliter ne porró un’ altra per algebra ala ragion .77. 43 Se volesse quadrare uno corpo iregulare, cioé senza regola, si dá questo modo. Poniamo che volessi quadrare uno bove, overo una pietra di strana statura. Metterala in uno viva- io in modo che l’ aqua sia sopra di quella tale figura e poi ne la trai e quello che isciema è l’ area corporale di quella tale figura. 44 E sonno .2. sacchi d’ iguali altezza; l’ uno tiene .6. stara. e l’ altro .24. stara. Vogli scuscirli e farne uno di simile altezza, cioé di .2. farne uno che sia alto quanto era prima. Adi- mando quanto terrá il sacco grande. Debi agiognere .24. e .6., fanno .30. e questi serba. Dipoi multiplica .24. via .6., fanno .144., dela quale somma si piglia la radice e rad- doppiasi. Overamente el .144. multiplica per .4., fanno .576. e di questo piglia la radice, che è .24., el quale agiongni a .30., fanno .54. E .54. staia terrá dapoi el grande sacco.

Qui é a dire ragiongni la radice di .24. con la radice di .6., fanno radice di .54., comme si disse nel trattato dele radici. Adunque terrá .54. stara. 45 E gli é uno triangolo ch’ é .12.bracia. per faccia; voglio farvi a ciascuna faccia uno muro grosso due bracia. Adimando quanto sia il vano di dentro, cioé quanto gi- rerá dentro per faccia. Prima truova el catetto del detto triangolo, che è ra- dice di .108., dela quale radice trai la grosseza del muro .de., cioé .2.bracia., rimango- no .ae. radice di .108. men .2. Dipoi ne trarai .fa. e truoverai quanto è la quantitá del .fa. in que- sto modo. Tu sai che .fg. è .2.bracia. e ancora è equedistante al .cb. Adonca dirai: se .db., che sonno .6.bracia, mi danno .da., che è radice di .108., che mi dará .fg.,, che è .2.bracia. Multiplica .2. via radice di .108.,, fanno radice di .432. e parti in .36., vienne radice di .12., la quale trai dela radi- ce di .108., rimane radice di .48. Adunque .fe. è la radice di .48. men .2. Ora, per sapere quan- to é per faccia dirai: e gli é uno triangolo equilatero ed é il suo catetto radice di .48. men .2.; quan- to è per faccia. Multiplica la radice di .48. men .2. in sé, fanno .52. meno la radice di .768. Ponvi sul terzo, fanno .69 1/3. men radice di .1365 1/3. e la radice di questo sia per faccia. Cioé preso la ra- dice di .1365 1/3. e tratta di .69 1/3. e di quel preso la radice. 46 E gli é una piramide, di che forma sia non fa alcuna cosa, la quale è alta .6.bracia. Vorrela segare per lo mezzo, cioé che da una parte rimanesse una piramide intera e l’ altra parte fosse una piramide corta. Debbi multiplicare l’ altezza in sé, fanno .36. e ancora questo multiplica per .6., fanno .216., cioé a dire debi cubicare l’ altezza che è .216. il suo cubo. E di quello piglia il mezzo, che è .108. e .R. cubica di .108. sia l’ altezza dela pira- mide intera e de l’ altra sia .6.bracia. meno la .R. cubica di .108. E cosí usa sempre di che parte voi .47.

E gli é uno scudo che per l’ una faccia è .15. e per l’ altra è .14. e l’ altra non so. Ma ben so che gli é quadro .84.bracia. Adimando quanto è per l’ altra faccia. In questo modo farai. Tu sai che a multiplicare la basa dove cade il catetto per la mitá del ca- tetto fa l’ area del triangolo. Onde poniamo la basa sia la faccia del .14. Adonca, a partire .84.bracia., cioé l’ area del detto triangolo, in .14., ne verrá la mitá del catetto, che è .6.

Adunque tutto è .12. Ora, trovato il catetto, e tu truova quanto cade presso ala faccia dele .15. bracia, cioé ala faccia nota. Dove multiplicarai .12. in sé e .15. in sé e haremo .144. e .225.; trai .144. di .225., rimane .81., la cui radice é .9. per lo cadimento del catetto apresso al lato dele .15.bracia., dove cadrá apresso a quella dele bracia non sapute a .5.bracia., cioé da .9. a .14. E per sapere quanto è, multiplica .5. in sé e .12. in sé e haremo .25. e .144. che, e insiemi agionti, fan- no .169., la cui radice è .13. per la facia non saputa. 48 E gli é una linea che è longa .8. bracia, la quale é .ab. e in su ciascuna extremitá pon- go una linea la quale faccia angolo retto con la linea .ab.; e sia la linea .da. e .bc. E sia .bc.6. e .da. sia .4. E dal ponto .a. meno la linea .ac. e dal ponto .b. meno la linea .db., le quali s’ incrocichiano, overo si segono, dal ponto .n., dal quale meno la linea .no., equedistante a ciascuna dele linee .ad. e .bc. Adimando quanto è .no. Qui è d’ arguire co- sí: simile é il triangolo .ano. al triangolo .acb. Adunque tal parte é .ao. del .ab. quanto .no. del .bc. Adunque tanto fa .no. in .ab. quanto .ao. in .bc. E questo dichiarato, e tu va al’ altra parte e dirai: simile è il triangolo .bno. al triangolo .bda. Adunque tal parte è .bo. del .ba. quanto .no. del .da. Adunque tanto fa a multiplicare .no. in .ab. quanto .ob. in .da. E di so- pra truovamo che tanto faceva a multiplicare .no. in .ab. quanto .ao. in .bc. Onde tanto fa .ob. in .da. quanto .ao. in .bc. Cioé tanto fa a multiplicare .ob. per .4. quanto .ao. per .6. e tut- to .ab. é .8. Onde s’ á a ffare di .8.2. parti che, multiplicata l’ una per .4., faccia quanto l’ altra per .6.

Che haremo l’ una .4 4/5. e l’ altra .3 1/5. Adonca .ao. è .3 1/5. e .ob. è .4 4/5. Ora per sapere quanto è .no., di molti modi detto é che gli é tal parte .ao. del .ab. quanto .no. del .bc. E peró tanto fa .ao. in .bc. quanto .no. in .ab. E la multiplicatione del .ao. in .cb. fanno .19 1/5. Adunque a multipli- care .no. in .ab. fará .19 1/5. e noi habiamo detto che .ab. è .8. Adonca .no. in .8. fanno .19 1/5. E peró .no. sia .2 2/5. e tanto diremo sia la linea .no. E cosí opera in simili. 49 E gli é uno quadrangulo rettangulo del quale la longhezza è piú che la larghezza .6.bracia. e la sua area, col diametro, è .100. Adimandasi quanto è la sua longhezza e quanto la larghezza. El quale quadrilatero rettangulo é qui da lato designato. Poni el lato magiore una cosa piú .3. Onde il minore lato sia una cosa meno .3. E nota che tu non ponga .1a. cosa e l’ altro .1a. co- sa e .6., perché, per la confusione dele cose, censi e cubi, la questione non si potrebe asolvere. Ma per questa via si levono via quelli nomi. E peró in ogni questione é da prociede secondo meno e piú. Multiplica adonca .ab. in .bc., cioé .1a. cosa e .3. in una cosa meno .3., haremo .1o. censo meno .9. per l’ area del detto quadran-

gulo. Dipoi trova el diametro .ac. dove multiplicherai .ab. in sé, cioé .1a. cosa men .3. in sé fanno . 1o. censo e .9. men .6. cose. Dipoi multiplica .bc. in sé, cioé .1a. cosa e .3. in sé, fanno .1o. censo e .6. cose e .9. che, con .1o. censo e .9. men .6. cose agionte, fanno .2. censi e .18., de’ quali la radici è il diametro. Adunque .1o. censo men .9. e radice di .2. censi e .18. sonno iguali a .100. Raguaglia le parti, cioé darai a iongni parte .1o. censo meno .9., harai radice di .2. censi e .18. iguali a .1o. censo e .109. Dove multiplica ogni parte in sé harai .2. censi e .18. iguali a .11881. meno .218. censi e piú . 1o. censo di censo. Raguaglia levando el superfluo e giongnendo el diminuito e haremo .11863. e uno censo di censo iguali a .220. censi. Dimezza li censi, sonno .110., multiplica in sé, fa .12100.; tra- ne .11863., rimane .237. e la radice di .237. non si truova. Adunque dirai il censo valere .110. men radice di .237. e la cosa varrá la radice di quello. Cioé preso la radice di .237. e tratta di .110. e del rimanente piglia la radice. Adunque fu largo presa la radice di .237. e tratta di .110. e di quel preso la radice men .3. E, per longhezza, sia preso la radice di .237. e tratta di .110. e di quel preso la radice piú .3. e cosí farai l’ altre. La prova che la superficie con lo diametro fa- cia .100. è bella e farala cosí. Multiplica ciascun di doi lati propinqui in sé: cioé il largo che fará .119. men radici .237. e men .6. siate l’ incrociamento di quella radice. E il longo fa- rá .119. piú .R.237. piú .6. volte ditto incrociamento che, gionti ditti quadrati, fanno .R.v.238. men .R.948. per la linea diagonale. Poi trova la superficie multiplicando el largo per lo longo, fa- rá .101. men .R.237. che, gionta al diametro, deve esser .100. Ma serebe travaglio asai acozzar dit- te .R., perché l’ una è .R.v. e l’ altra puro reciso. Ma proverai che fanno .100. in questo modo. Cava .101. men .R.237. di .100., resta .R.237. men .1. E questo sirá equale al ditto diametro che si pro- va per la comune scientia: cioé le linee che fanno quadrati equali sonno equali, unde l’ uno e l’ altro in sé fará .238. men .R.948. Donca chi havesse gionto possiando el diametro ala superficie harebe fatto .100. et cetera dignum nota. 50 E gli é uno triangolo .abc. del quale il lato .ab. è .7.bracia. e il lato .ac. è .9.bracia. e il lato .bc è .8., nel quale voglio collocare il magiore tondo che si puó. Adimandasi quanto sia il suo diametro. Prima si debba quadrare il detto triangolo per lo mo- do giá dato e harai sia quadro la radice di .720. E dipoi dobbiamo, dal centro del detto cerchio al tocamento de’ lati del triangolo con la circonferentia del cerchio, produrre .3. linee, cioé .of.oh.om. E, da quello centro agli angoli .a.b.c., debbi produrre .3. linee, cioé .ao.bo.co. E queste linee dividono tutto il triangolo in .3. triangoli, cioé .aob. e .boc. e .aoc. E hora è di bisogno quadrare questi .3. triangoli per questa via, perché quelle .3. linee che son- no dal centro al toccamento de’ lati sonno perpendiculare sopra e lati de’ triangoli, comme per la .17. del .3o. de Euclide è manifesto. Onde poniamo che ciascuna di queste linee sia una cosa e, perché ciascuna è perpendiculare, ciascuna è semidiametro di questo circulo e le son- no infra loro iguali. Adunque habiamo posto sia ciascuna una cosa. Adunque multiplica- rai una cosa per la mitá di ciascuno lato del triangolo, cioé la mitá del .ab. per una cosa e la mi- tá del .bc. per .1a. cosa e la mitá dela .ac. per .1a. cosa e in tutto haremo .12. cose per lo quadrato di questo triangolo. Ma noi habiamo detto el detto triangolo essere quadro radice di .720.

Onde .12. cose sonno iguali .720. cose, dove la cosa vale la radici di .5. E noi dicemmo che l’.1/2. diametro era una cosa. Adunque il .1/2. diametro fo la radice di .5. e tutto fo radice di .20. E co- sí habiamo fatto che la radici di .20. sia il diametro del magiore tondo che intra nel detto triangolo. 51.

E gli é uno triangolo .abc. del quale il lato .ab. sia .14. e il lato .ac. sia .13. e il lato .bc. sia .15., nel quale voglio constituire .2. circuli iguali e magiori che è possibile. Cercho la quantitá de’ loro diametri. Prima dal ponto .a. produrró la perpendi- culare ala linea .bc., che sia la linea .ax., che comme e gli é manifesto sia .11 1/5. Dipoi dal centro di questi cerchi al tocamento dela loro circonferentia al triangolo predetto me- na le linee, che fienno .pn.ps. e le linee .mo. e .ot. E dipoi da’ loro centri a’ loro canti mena le linee, cioé .ob.ao.ap.pc. Dipoi quadreró tutto il triangolo .abc. multiplicando la perpen- diculare .11 1/5. nela mitá di .15., fanno .84. e .84.bracia. é quadro el detto triangolo .abc. e que- sto serba. Dipoi quadrerai tutte le figure che sonno nel detto triangolo. Cioé il triangolo .aob. e il triangolo .apc. e il triangolo .otb. e .pnc. e il quadrangolo .optn. Ma quando questi cir- coli fienno iguali e loro diametri sonno iguali. Onde poniamo che ’l mezzo diametro di ques- ti circoli sia .1a.cosa. Hora incomenciamo a quadrare questi triangoli. E prima quadreró il triangolo .aob. multiplicando el mezzo diametro .om., che è .1a. cosa, per la mitá del .ab., che è .14., fa .7. cose. E dipoi quadra il triangolo .apc. multiplicando il mezzo diametro .ps., che è una cosa,

per la mitá del .ac. che è .13., fanno .6.cose.1/2. Ora ci resta a quadrare el quadrangolo .opnt. multiplicando .ot., ch’ é mezzo diametro, cioé una cosa, in .tn., che è .2.cose., fanno .2. censi. Anco- ra è di bisogno quadrare li .2. triangoli .obt. e .pnc. Ma, perché .ot. e .pn. ciascuno è una cosa, do- biamo multiplicare una cosa per la mitá dela basa, cioé .bt. e .nc. che, insiemi agionti, fanno .15. meno .2.cose., fanno .7 1/2. cosa meno uno censo. Ancora è di bisogno quadrare el triango- lo .aop., che cosí il quadreró, che multiplicaró .ax., ch’ é perpendiculare del triangolo .abc. et è .11 1/5. meno el lato del quadrangolo, che è una cosa. Adonca la perpendiculare ditta è .11 1/5. meno una cosa. Et, perché .fx. è una cosa, multiplicarai .11 1/5. meno una cosa per .2.cose., fanno .22.cose.1/5. meno .2.censi., de’ quali la mitá è .11.cose.1/5. meno uno censo. E cosí hai quadrato tut- te le figure che sonno nel ditto triangolo, che in tutto sonno .32. 1/5. e tanto è quadro il ditto tri- angolo .abc., che è quadro, commo dicemno, .84.bracia. Onde dividerai .84.bracia. per .32 1/5., vien- ne .2 14/23. e tanto val la cosa. Et noi ponemmo che mezzo il diametro del tondo era una cosa. Adon- ca fu .2 14/23. e tutto fu .5 5/23. e cosí farai le simili. .52.

E gli é uno triangolo .abc., del quale il lato .ab. è .10. e il lato .ac. è .10. e il lato .bc. è .12., cioé á .2. lati iguali e l’ altro lato non è iguale. Commo ó detto nel quale voglio met- tere .3. tondi, e magiori che posso, e iguali. Adimando quanto sia il diametro di- ciascuno de’ ditti .3. tondi. Prima noi dobiamo collocare questi .3. cerchi nel trian- golo .abc., in modo che dal centro .m. al centro .o. si meni la linea .mo. e dal centro .o. al centro .n. si meni la linea .on. e dal centro .n. al centro .m. si facia la linea .mn., in modo che queste .3. linee facino uno triangolo e sonno equedistanti ali lati del triangolo grande .abc. e, per con- sequente, sonno proportionali imperoché cosí é il lato .ab. alo lato .mo., a lui equedistante, co- sí é il lato .bc. allo lato .mn., a quello equedistante, e similmente .ac. al .on. sará. Onde questi .2. triangoli sonno proportionali secondo e lati suoi. Ora é di bisogno trovare la perpendicu- lare .ak. e, per lo modo ó detto, la farai e harai essere .8. La quale, multiplicata per la mitá dela basa sua, cioé per .6., fanno .48. e tanto è quadro el triangolo .abc. Dapoi che habiamo trova- ta l’ area del ditto triangolo, é di bisogno quadrare tute quelle figure che sonno nel ditto triangolo, che sonno .3. quadrangoli e .7. triangoli e haremo, se agiongneremo insiemi .48., cioé l’ area de tutto il triangolo. Poniamo adonca che ’l diametro di ciascuno cerchio sia .2. co- se, onde mezzo il diametro sia una cosa. Onde incominciamo a quadrare le ditte figure scritte dentro al triangolo. E prima quadraremo il quadrilatero .mnze., che è longo .2.cose.2/5., im- peroché la facia .bc. é piú il .1/5. che l’ altre doi facie e in longhezza é una cosa, cioé mezzo il dia- metro. Onde l’ area sua è la multiplicatione d’ una cosa in .2.cose.2/5., che fanno .2.censi.2/5. E da- poi quadriamo gli altri .2. quadrilateri, cioé .mrto. e .nuof., che ciascuno è, per larghezza, una co- sa e per longhezza, .2.cose., dove ciascuno sia quadro .2.censi. E fra amendoi sonno .4. censi. Ora è di bisogno quadrare e triangoli. E prima e .2. triangoli, cioé .mzb. e .nec. e, perché le base di questi .2. triangoli e la linea .bc. meno la linea .ze., cioé .12. meno .2.cose.2/5., e il catetto di ciascu- no è una cosa. Onde multiplica una cosa contro ala mitá di .12. meno .2.cose.2/5., fanno .6. cose meno uno censo .1/5. E dapoi quadra e .2. triangoli, cioé .un.c. e .afo. E, perché le base loro, insie- mi agionte, sonno tutta la linea .ac., che è .10. meno .2.cose., e la loro perpendiculare è una co- sa, onde multiplica una cosa per la mitá di .10. meno .2.cose., fanno .5.cose. meno uno censo e que- sto serba. E dapoi quadra e .2. altri triangoli, cioé il triangolo .aot. e il triangolo .mrb. E, perché questi .2. triangoli sonno sopra la basa .ab., adonca la basa loro è .10. meno .2. cose, cioé meno la linea .er. Adonca multiplica una cosa per la mitá di .10. meno .2.cose., fanno .5. cose meno uno censo. E questo serba. E dapoi quadrarai el triangolo .mon., che sai che gli é per li .2. lati ciascuno .2.cose. e il terzo lato è .2. co .2/5., dove è di bisogno trovare la perpendicula- re. Che farai in questo modo: multiplica .om. in sé, fanno .4.censi. e dapoi multiplica .mx. in sé, fanno uno censo .11/25., e quali trai di .4.censi., rimangono .2.censi.14/25., de’ quali la radice è una cosa .3/5. E tanto è la perpendiculare .ox. Adonca multiplicare bisogna .ox. per la mitá del .mn., cioé una cosa .3/5. per una cosa .1/5., fanno uno censo .23/25. e tanto è quadro il ditto triangolo. Onde agion- gni l’ area di queste figure insiemi, fanno .5.censi.3/25. e .16. cose. E tanto è l’ area del grande triangolo. E noi dicemmo che ’l gran triangolo è quadro .48.bracia. Adonca .5.censi.3/25. e .16. cose sonno iguali a .48., dove la cosa vale .1 7/8. e il diametro del tondo sia .3 3/4. e cosí farai le simili. 53. E gli é uno cerchio del quale il diametro è .12., nel quale voglio collocare .3. cerchi i- guali e magiori che posso. Adimando quanto è il diametro del’ uno di loro. Tu de- bi producere .3. linee dal centro d’ uno cerchio al centro del’ altro, cioé la linea .dc. E la linea .de. e la linea .ce., che fanno uno triangolo equilatero, cioé el triangolo

.dce. Ora poniamo che il lato di questo triangolo sia .2.cose. E, perché ciascuno lato di que- sto triangolo è fatto di .2. mezzi diametri, onde questo triangolo è .2.cose. per ciascuno la- to e tanto è il diametro del tondo. E dapoi meneremo la linea .ab. del diametro del gran cer- chio, che passa per lo ponto .d. e per lo centro .r., centro del gran cerchio. Ed é la ditta linea, cioé diametro, .12. commo habiamo ditto. Ora è di bisogno trovare quanta sia la linea .ar., che è mezzo il diametro del gran cerchio, che è fatto del .ad., mezzo diametro del cerchio picolo, e dela linea .dr., che è .2. parti dela linea .df., la quale linea .df. è radice di .3.censi., commo è ma- nifesto per Euclide. Onde .dr. è radice d’ uno censo .1/3. Onde la linea .ar. è fatta del .ad., che è una cosa, e dela linea .dr., che è radice d’ uno censo .1/3. E cosí diremo che tutta .ar., che è mezzo dia- metro del gran cerchio, è una cosa e radice di .1 1/3. censo. E noi habiamo posto che ’l diametro era .12. e il .1/2. diametro è .6. Adonca una cosa e radice di uno .1/3. censo é iguali a .6., che partirai .6. in radice di .1 1/3. e uno, che ne viene radice di .432. meno .18. e tanto vale la cosa. E noi ponen- mo che il mezzo diametro era una cosa e tutto il diametro era .2. cotanti, che sia radice di .1728. meno .36. E cosí farai li simili. .54.

S ia uno cerchio .ahp. del quale il diametro è .40., nel quale voglio collocare qua- tro cerchi magiori chi posso. Adimando quanto sia il diametro di ciascuno. Tu vedi commo questi .4. cerchi sonno congionti per uno quadrato segnato .qkxm., del quale gli angoli sonno terminati ne’ centri di questi .4. circuli, del quale il dia- metro con lo diametro d’ uno de’ piccoli tondi è iguali al diametro del gran tondo, cioé il dia- metro .ap., che è .40., é iguali al diametro del quadrato .mxqk., el quale diametro è .mk., e al diametro d’ uno de’ tondi piccoli. E, questo inteso, e tu dirai: io pongo che ’l diametro d’ uno de’ ditti tondi sia una cosa. Adonca il quadrato preditto é per facia una cosa. Onde il suo dia- metro sia radice di .2.censi., cioé el diametro .mk. al quale, agionto el diametro d’ uno de’ tondi piccoli, cioé .ak., che è mezzo diametro, e .mp., che è anco mezzo diametro, haremo radici di .2. censi e una cosa. E questo è la quantita del diametro del tondo, cioé .40.bracia. Adonca ra- dice di .2.censi. e una cosa è iguale a .40. Che, a sapere quello vale la cosa, parti .40. in radice de .2. piú uno, vienne radice .3200. meno .40. E radice di .3200. men .40. val la cosa e tanto adonca sia il diametro d’ uno de’ ditti tondi e cosí in simili aopera. .55.

Adimandasi el diametro d’ uno de’ .5. magiori cerchi collocati in un cerchio del qua- le il diametro è .12. Commo sia el circulo .anc., del quale il diametro .ac. è .12. e il cen- tro de ditto tondo è il ponto .d. E commo vedi nela presente figura, e ditti tondi, con- tingenti l’ uno l’ altro hano tale natura che, menando da’ centri loro le linee passan- ti sopra le contingentioni, farebono uno pentagono. Dove dimostraremo che, essendo il diame- tro .ac. noto, che tutto .ah. sia noto. E acioché con brevitá parliamo, manifestaremo una au- toritá di Ptholomeo, lo quale dice che, quando el diametro del tondo fosse .4., el lato del pen- tagono sarebbe la radice di questa linea, cioé di .10. meno radice di .20. Adonca, quando il dia- metro del cerchio fosse .4., el lato del pentagono sia radici di .20. tratta di .10. e di quel preso la radici. Onde, per havere piú noticia, togli el quadrato del diametro e il quadrato delo lato del pentagono e haremo .16. e .10. men radice di .20. Dico che la proportione del quadrato del diametro al quadrato del lato del pentagono è commo .16. a .10. men radice di .20. Onde io porró che il lato del pentagono, cioé .zo., che è quanto el diametro d’ uno de’ minori tondi, esse- re una cosa, dove il quadrato è uno censo. E dirai: se .16. val .10. men radice di 20., che varrá, cioé che è quello che vale uno censo. Multiplica uno censo via .16. e parti in .10. men radice di .20., vienne .2.censi. piú radice di .4/5. di censo di censo. E questo è per lo quadrato dela linea .zp. E, perché la linea .ac. è il diametro del gran cerchio, el quale agiongni al diametro .zp. il diametro d’ uno de’ piccoli tondi. Adonca .2.censi. e radice di .4/5. di censo di censo sonno quan- to il quadrato di .12. meno una cosa, che è .144. e uno censo men .24. cose. Dove raguagliarai le parti e harai che uno censo e radice di .4/5. di censo di censo e .24.cose. sonno iguali a .144.

Onde riduci a uno censo, dove partirai tutto in uno censo e radice de .4/5. di censo di censo e haremo .120.cose. e radice di .11520.cose. e per numero .720. meno radice di .414720. Dividi le cose, haremo .60. meno radice di .2880. e il loro quadrato, al numero, e haremo .7200. meno radice di .414720. e meno radice di .41472000. e preso la radice di tutto e trattone .60. men radice di .2880. E, acioché con piú brievitá diciamo, noi possiamo ragiongnere radice di .414720. meno con meno radice di .41472000. e tutto questo è radice di .50181120. E peró haremo che la cosa vale la radice di .50181120. tratta di .720. e del rimanente preso la radice e agionta ala radice di .2880. e tratta di .60. e tanto adonca sia il diametro de ciascuno de’ .5.

ditti cerchi. E cosí opera sempre. Possiamo ancora in un cerchio collocare .6. cerchi, imperoché, commo dice Eucli- de nela .15a. del quarto, infra ’l proposto cerchio, cioé dentro al proposto cerchio, uno exagono equilatero e equiangolo collocare. E per questo è manifesto che il la- to del exagono è il .1/2. diametro del cerchio al quale lo exagono si scrive. E peró pos- siamo in uno cerchio fare .6. triangoli iguali e, in ciascuno triangolo, possiamo scriverne uno, cioé mettervi uno circulo. E cosí adonca, in ciascuno cerchio, possiamo scrivere .6. cerchi senza tropo fatica.. E, perché quelli cerchi sonno insiemi contingenti, fanno, menate le linee da’ centri loro, uno exagono. Onde, nel mezzo di loro, rimane uno spacio che vi si pó collocare un altro cer- chio iguale a uno di quelli .6. cerchi. Onde sia l’ exagono .a.b.c.d.e.f. e dal’ angolo di ciascuno lato infino al centro si meni le linee che con lati delo exagono faranno .6. triangoli iguali e equilate- ri, che sonno congionti nel ponto .o. e i loro lati sonno igual commo manifesta Euclides. Onde ancora negli angoli di questo exagono si ponga il pie’ dele sexte inmobile e l’ altro pie’ si extenda infino ala mitá delo lato di quello exagono per ciascuna parte e risultane uno cerchio del quale il diametro è iguale alo lato del exagono. E, cosí facendo in ciascuno an- golo del ditto exagono e a questo modo, haremo .6. cerchi iguali descritti nel cerchio del qua- le è il centro .o. centro del exagono. Adonca la linea .xo. é una volta e .1/2. il lato delo exagono, cioé una volta .1/2. il diametro d’ uno de’ cerculi piccoli. E peró dala circunferentia d’ uno di quel- li cerchi infino al centro .o. rimane uno spacio nel quale spacio, computando tutti e .6. e detti cerculi, si constituirá un altro cerculo iguale a ciascuno de’ .6. cerculi. E peró si pó costituire .7. cerchi e ’l diametro di ciascuno di questi .7. cerchi è la terza parte del diametro del gran cerchio che contiene e detti cerchi. E peró, quando il diametro .xt. fosse .30., il diametro de ciascuno di cer- chi piccoli sarebbe .10., commo si manifesta per la linea .xt., diametro che passa per gli centri del ditto cerchio. .75.

E, volendo mettere uno ottagono in uno cerchio del quale il diametro fosse .2. bra- cia. Commo sia il cerchio .agbd. del quale il diametro .ab. sia .2. Adimando quan- to sia il lato del ottagono .ac. Dico prima doversi trovare il lato del quadrato che si pó fare in ditto circulo. Dove multiplicherai il diametro del cerchio in sé, fanno .4., del quale la mitá è .2., e radici di .2. sia il quadrato per facia, cioé il quadrato .hcef. E, questo fatto, e tu dividi la linea, cioé lo lato del quadrato qual voi, per .2. parti iguali, commo sia il la- to .hc. diviso in .2. parti iguali nel ponto .k. E faciasi la linea .ka., menata infino in nel ponto .i. E sia semidiametro del cerchio, la quale linea .ai. sia uno bracio. Adonca .ka. sia uno bracio meno radici di .1/2., imperoché .ki. è radici di .1/2. bracio, imperoch’ é la mitá dela facia del qua- drato. Adonca sapiamo che .ak. è uno bracio meno radici de .1/2. e .kc. è radice di .1/2. Onde, a vo- lere la linea .ac., che è la facia delo ottagono, multiplicarai .ak. in sé e .kc. in sé e haremo, per la loro agiontione, il quadrato .ac. Imperoché l’ angolo fatto dala linea .ai. in sul ponto .k. ala facia del quadrato .hc. qual voi è retto, imperoché lo lato .hc. è diviso in .2. parti iguali. E la linea .ai. passa al centro. Onde multiplicarai uno meno radici di .1/2. in sé, fanno .1 1/2. meno radi- ci di .2. E dapoi multiplicarai .kc. in sé, cioé radici di .1/2. in sé, fanno .1/2., agiongni a .1 1/2. men radici di .2. fanno .2. meno radici di .2. per lo lato .ac., lato del ottagono constituto e fatto nel cerchio il cui diametro è .2.bracia.

E, volendo sapere quante bracia é quadro il ditto ottagono, di molte vie e modi, pi- glia questo el quale da Lionardo P. è mostro: cioé di multiplicare el diametro del cerchio per la facia del quadrato. Commo in questo passato caso multiplicarai il diametro, che è .2.bracia., via la facia del quadrato, che è radici di .2.bracia., fanno radici di .8. e la radici de .8. è quadro il ditto ottagono. E, acioché chiaro appaia in questo caso passato, di- remo si voglia recare a bracia quadre l’ ottagono preditto, el quale è diviso in uno quadrato ret- tangulo in .8. triangoli ortogonij. Del quadrato se ha l’ area multiplcando lo lato in sé, cioé mul- tiplicando radici de .2. in radici di .2., che fanno .2. e .2.bracia. é quadro el quadrato. E dapoi qua- dra ciascuno de’ ditti triangoli, de’ quali l’ area loro s’ á del multiplicare la saetta nela mitá dela mitá dela facia del quadrato. E la saetta è, secondo che habiamo trovato, uno men radici di .1/2. e la facia è radici di .2., cioé la facia delo quadrato è la mitá dela mitá, cioé il .1/4., dela ditta fa- cia, è radici di .1/8. Adonca habiamo a multiplicare uno men radici di .1/2. via radici di .1/8., fanno radici .1/8. meno .1/4. E tanto è uno de’ ditti triangoli. Dove .8. fienno .8. via radici di .1/8. meno .1/4., fanno radici del .8. men .2. E questa è l’ area degli .8. triangoli, e quali, agionti a .2., che è l’ area del quadrato, fanno radici del .8. E radici di .8. é quadro el ditto ottagono commo volavamo

Ancora secondo la dimostratione. Comme vedi, il ditto ottagono è diviso in uno quadra- to e .8. triangoli ortogonij e l’ area del quadrato s’ á del multiplicare una dele facie in sé, cioé diciamo del multiplicare .hf. in sé. E tu sai certo .ku. essere iguali al .hf. Adonca l’ area del dit- to quadrato s’ á del multiplicare .hf. in .ku., cioé del .hc. in .ku. E l’ area de’ ditti triangoli s’ anno del multiplicare .ak., cioé dela saetta, nella mitá dela mitá dela facia del quadrato, cioé il trian- golo .akh. si quadra del multiplicare .ak. nela mitá del .hk. e il triangolo .akc. si quadra del multiplicare .ak. nela mitá del .kc. e il .kc. é quanto .kh. Adonca e .2. triangoli ditti si quadrano del multiplicare .ak. in .hk. E similmente e .2. triangoli .cdm. e .emd. si quadrano del multiplcare .md. nela mitá dela facia .ce. e la mitá dela facia .ce. é quanto .kc. Adonca, a quadrare il ditto quadro e gli .4. preditti triangoli, si multiplica .au. nela facia .hc., cioé facia del quadrato, e gli altri .4. triangoli nel medesimo modo s’ ánno del multiplicare la loro saet- ta nela mitá dela mitá dela facia e la loro saetta è iguale al .ub. Adonca l’ area loro s’ á de mul- tiplicare .ub. nel .fe., cioé .ub. nel .hc. E peró, adonca l’ area de tutto l’ ottagono s’ á de multipl- care il diametro .ab. nela facia del quadrato, la qual cosa era da mostrare. 58 Ancora proporró: e gli é uno ottagono la cui facia è .6.bracia. Adimando quanto è il diametro del tondo dove tale ottagono s’ iscrive. Dico che di molti modi que- sto mi pare il migliore. Commo diciamo e gli é uno ottagono .abcdefgh, del qua- le il lato suo è .6.bracia. Adimandase quanto è il diametro .ae. Dico che in questo modo facia, che dirai: ditto é che, quando il diametro è .2.bracia., che l’ ottagono è per facia la radici di .2.bracia. meno la radici di .2. E noi diciamo che l’ ottagono è .6.bracia. Dove, con pro- portione, andremo inperoché ciascuna figura constituta nel cerchio, di simile sito, è proportiona- le e simile. Como se in .2. cerchi in ciascuno si fa uno triangolo di simile sito, cioé .2. lati iguali e l’ an- golo del’ uno sia iguale al’ angolo del’ altro, over sienno .2. quadrati, over qual figura voi, infra loro sonno simili e proportionali. Adonca dirai: se .2.bracia. fanno la .R. di .1. e meno radici di .2., che fu quello che feci .6.bracia. Multiplicarai .6. via .2.bracia., fanno .12.bracia., e quali parti in radici di questo, cioé in radici di .2. tratto di .2. e di quel preso la radici. Dove arrecarai cia- scuna parte a quadrato multiplicando .12. in sé, fanno .144. e multiplica preso la radici di .2. e tratta di .2. e di quel preso la radici in sé, fanno .2. meno la radici di .2. Onde partirai .144. in .2. meno radici di .2., dove multiplicarai .2. meno radici di .2. per lo suo binomio, cioé per .2. e radici di .2., fanno .2. e questo è il partitore. Dapoi multiplica .144. via .2. e radici di .2., fanno .288. e radici di .41472., e quali parti in .2., vienne .144. e radici di .10368. E questo è il quadra- to del diametro. Adonca il diametro del ditto tondo è la radici di questo, cioé di .144. e radici di .10368., cioé preso la radici di .10368. e posta sopra .144. e di quel preso la radici. .59.

E gli é un exagono .abgdez. el quale voglio quadrare. Dico che meni la linea .ag., la quale linea è la facia del triangolo che cade nel cerchio dove si constituisse tale exagono, la quale si seghi in .2. parti iguali dal diametro .bc., sopra il ponto .k. Sará il triangolo .iab. la sexta parte delo exagono .abgdez. e la corda .ag. é il lato del triangolo equilatero cadente nel cerchio agd. Conciosiacosaché l’ arco .ag. sia la terza parte dela circunferentia del circulo e dividasi .kg. in doi parti iguali sopra il ponto .l. sia .ak. doppio al .kl. Multiplicato .ak. in .bi., fanno el doppio del’ area del triangolo .abi. Ma il diametro .be. è .2. cotanti del .bi. Onde, multiplicato .ak. in .be., fanno .4. cotanti de- l’ area del triangolo .abi. e il .kl. é il quarto del .ag. Adonca sia la mitá del .ak. E peró, mul- tiplicato .kl. nelo diametro .be., fará .2. cotanti del’ area del triangolo .abi. Onde, multiplica- to .al. nel .be., fará .6. cotanti del’ area del triangolo .abi. E .6. cotanti del’ area del triangolo .abi. e .6. cotanti del’ area del triangolo .abi. é quanto l’ area del’ exagono .abgdez. Adonca si con- chiude che, a multiplicare il diametro per gli .3/4. dela corda del’ angolo exagono, cioé per gli .3/4. dela facia del triangolo, over del multiplicare tutta la corda ditta negli .3/4. del diametro. E questo è chiaro che sara la sua area. .60.

Se in uno cerchio s’ iscrive uno triangolo, de’ quali e .3. angoli tochino la circunferen- tia del cerchio, è possibile, per la noticia de’ lati del ditto triangolo, trovare il dia- metro del ditto tondo. E, acioché questo chiaro appaia, sia el cerchio nel quale voglio fare il triangolo .abg., de’ quali e .3. angoli, tocando el cerchio ne’ ponti .a.b.g. E dal ponto .a. si meni lo diametro .ad. segante il lato del triangolo .bg. nel ponto .e. Dico che, per la noticia de’ lati del triangolo .abg., esser possibile di trovare la quantitá delo diame- tro .ad. Sienno prima e .2. lati del triangolo .ab. e .ag. infra loro iguali e compisi la retta .bd. e .dg. E sia ciascuno de’ triangoli .abd. e .agd. ortogonio, imperoché ciascuno é nel mezzo cerchio

e, perché lo lato .ab. è iguale alo lato .ag., sará il lato .bd. iguali alo lato .dg. Onde la periferia .bd .ala periferia .dg. è iguale. Sopra le iguali periferie si fanno iguali angoli, adonca l’ ango- lo .dag. è iguale al’ angolo .bad. e la basa .be. è iguale ala basa .eg. Adonca il diametro .ad. sega la retta .bg. in .2. parti iguali e ad angoli retti lo sega, commo Euclide nel terzo libro mo- stra. Ortogonii sonno e triangoli e iguali .aeb. e .aeg. e simili, perché gli angoli del’ uno agli angoli del’ altro sonno iguali e perché il triangolo .abd. á l’ angolo .bad. commune col triangolo .abe. e l’ angolo .aeb. al’ angolo .abd. é iguale perché ciascuno di loro è retto. L’ altro adonca, che è .adb., al’ altro, che è .abe., iguale. Adonca sonno e triangoli .abd. e .aeb. iguali. Similmente si mostra el triangolo .agd. essere equangolo col triangolo .aeg. e’ .4. triangoli adonca .aeb. e .aeg. .abd.agd. sonno infra loro simili. E gli triangoli simili intorno agli angoli iguali hano e lati proportionali. Unde é cosí .da., che è sotto al’ angolo retto che è .abd., al .ab., contenen- te quello, cosí .ab., over .ag., che sonno opposti agli angoli retti alla retta .ae. Unde la multi- plicatione del .ad. nel catetto .ae. è iguale a ciascuno de’ quadrati dela linea .ag., over .ab., o vo- gliamo dire ala multiplicatione del .ab. in .ag. Unde, multiplicando .ab. in .ag., over piglian- do il quadrato dela linea .ab. o quello del .ag. e quella quantitá divideremo per lo catetto .ae., ne perverrá la quantitá del diametro .ad. E il catetto .ae. é nota, quando e lati del trian- golo sonno noti. Onde e il diametro .ad. sia noto. E, acioché habia piú chiaramente, sia cia- scuno lato .ab. e .ag.10.bracia. e .bg. sia .12. Onde il catetto .ae. sará .8. Onde, multiplicato .ab. in .ag., over el quadrato dela linea .ab., over .ag., che è .100., el quale diviso per .ae., cioé per .8., vien- ne .12 1/2., per lo diametro .ad. Over altramente .ad. e .bg. infra loro si segano nel circulo .abgd. Sará la multiplicatione del .ae. in .ed. commo la multiplicatione del .be. in .eg. Onde, multi- plicando. be. in .eg. e divideremo per .ae., cioé .36. per .8., vienne .4 1/2. per la linea .ed. onde tutta .ad., che è diametro, sia .12 1/2. commo dicemmo. E, quando e fossino note le .2. facie .ab. e .ag. e l’ altra facia non fosse nota, ma il diame- tro .ad. fosse noto. Onde multiplicarai .ab. in .ag., che fanno .100. e divideralo per .12 1/2., che è il diametro, vienne .8. per lo catetto .ae., del quale, il quadrato tratto del qua- drato .ab., rimangono .36. per lo quadrato dela linea .be. Onde. be. è .6. e tutta .bg. è .12.

Ma non sienno iguali li lati del triangolo .abg. Ma sia lo minore .ab., commo in que- sta figura appare, e menise nel triangolo .abg. el catetto .az. e, perché nel segamen- to .bd.ga. sonno .2. angoli, de’ quali uno è .bga. e l’ altro .bda. e fienno infra loro i- guali, imperoché ciascuno è retto e l’ angolo .azg. al’ angolo .abd. iguali, perché sonno retti. E l’ altro, che è .zab., al’ altro, .bad. Et equiangoli sonno e triangoli .azg. e .abd. Si- milmente si dimostra il triangolo .azb. essere simile al triangolo .agd. Sonno certamente ne- la settione contenta dala retta .ga. e dal’ arco .abgd. gli angoli che sonno .abg. e .adg. Onde quelli angoli sonno infra loro iguali e gli angoli .azb. e .agd. E, perché simili sonno e triangoli .abd. e .azg., sia cosí .de.al.ab., cosí .ga.al.az. Onde, multiplicando .ab. in .ag. e dividendo per .az., ne perverrá il diametro .ad. Exemplo con numeri: sia .ab.13. e .ag.15. e .bg.14. Voglio intorno al det- to triangolo fare il minore cerchio posso. Adimando quanto sia lo suo diametro. Trovato dove cade il catetto in sula facia del .bg. che sia .z. e sia .bz.5. e .zg. sia .9., il catetto .az. sia .12., adonca multiplicarai .ab. in .ag., cioé .13. in .15., fanno .195. che, divisi per .12., viene .16 1/4., cioé divisi per lo catetto .az., el quale .16. .1/4. è il diametro del detto tondo.

Sia noto il diametro .ad. e .sia noto ciascuna dele rette .ab. e .ag. e la retta .bg. che è la corda del’ archo .bdg., overo .bag. non sia manifesta. Perché simili sonno e trian- goli .adg. e .azg. e intorno a simili angoli sonno e lati in proportione e sia cosí .ad. al .dg., cosí .ab. al .bc. Onde la multiplicatione del .ab. in .dg. è iguale ala mul- tiplicatione del .ad. in .bz. Ancora, perché simili sonno e triangoli .abd. e .azg., sia cosí .ad. al .db., cosí .ag. al .gz. Onde la multiplicatione del .ad. in .zg. è iguali ala multiplicatione del .db. in .ag. Ma la multiplicatione del .ab. in .gd. fo iguale ala multiplicatione del .ad. in .bz. Adonca la multiplicatione del .ab. in .gd., con la multiplicatione del .ag. in .bd., è iguale ale .2. multiplicationi del .ad. in .bz. e del .ad. in .zg., le quali .2. multiplicationi sonno iguali a quel ch’ é fatto del .ad. in .bg. Adonca la multiplicatione del .ab. in .gd., con quello ch’ é fatto del .ag. in .db. è iguale a quel ch’ é fatto del .ad. in. bg. Adonca, se la multiplicatione del .ab. in .dg. congiongnerai con quello ch’ é fatto del .ag. in .bd. e la summa dividerai per .ad. ne perverrá nota la corda .bg., commo dicemmo, che adonca del quadrato del diametro, ch’ é .264 1/16., si tolga el quadrato del .ab. e .ag., cioé .95 1/4. e .39 1/16., dele quali le radici sonno le corde .bd. e .dg. Adonca .bd. é .9 3/4. e .dg. é .6 1/4. Onde, multiplicando .6 1/4. per .13., cioé .gd. per .ab., e .9 3/4. per .15., cioé .bd. per

.ag., ‘remo in tutto .227 1/2., che dividi per .ad., cioé per .16 1/4., haremo .14. per la corda .bg. E que- sto è molto utile nel trovare le corde del’ archo agregato di .2. archi de’ quali la corda sonno note, cioé forono note le corde deli archi .ba. e .ag., cioé la retta .ab. e .ag. per la quale noticia troviamo la corda .bg. del’ archo .abg., che è l’ agionto di .2. archi .ba. e .ag. E questo dimostró Ptolomeo nela compositione dele taole deli archi e dele corde nel’ almgesto. .61.

E gli é uno triangolo, commo vedi disegnato, .abc. e .bc. é uno piú che .ac. e .ab. é uno bracia piú che .bc. e trovo che gli é quadro .84.bracia. Adimandasi quanto é per ciascuna facia. Abi questa per una sottile e bella domanda. E questo modo ti bisogna tenere. Che porrai che .bc. sia una cosa, dove .ac. sia una cosa meno uno e .ab. sia una cosa piú uno. Ora, a volere trovare l’ area sua, tu hai prima a trovare il catetto .ad., dove prima è di bisogno sapere il ponto .d. quanto presso al ponto .b. e quanto è presso al ponto .c., che cosí lo saperai: multiplica .ab. in sé, cioé una cosa e uno, fanno uno censo e .2. co- se e uno. E poi multiplica .ac. in sé, fanno uno censo e uno meno .2. cose. Trallo del’ uno censo .2. cose e uno, rimane .4. cose, le quali parti nel .bc., cioé in una cosa, vienne .4., agiongni a una cosa, fan- no una cosa .e.4., cioé al .bc. tone la mitá, ch’ é .1/2.co. e .2. E tanto é dal .b. al .c. Overo trai .4. d’ una cosa, rimane una cosa men .4., de’ quali la mitá è .1/2. cosa men .2. e questo è .dc. Ora, saputo qu- anto é .bd. overo .cd., et tu voglia .ad., del quadrato del .ab. trai il quadrato .bd., overo del qu- adrato del .ac. trai il quadrato .dc., che uno medesimo numero te rimarrá. Dove, tratto il qua- drato .bd. del quadrato .ab. rimane .3/4. di censo meno .3., la cui radice è il catetto .ad. Adonque .ad. è la radice di .3/4. di censo e .3. meno. E, a volerlo quadrare, multiplicarai la radice di .3/4. di cen- so men .3. per la mitá del .bc., cioé per .1/2. cosa, fanno la radice di .3/16. di censo di censo meno .3/4. di cen- so. E tanto é quadro el detto scudo. E noi dicemmo che gli era quadro .84.bracia. Adonca la radice di .3/4. di censo di censo meno .3/4. è iguali a .84. Dove areca ciascuna parte a quadrato e harai che .3/16. di censo di censo meno .3/4. censo sonno iguali a .7056., dove raguaglia le parti dando .3/4. di censo ciascuna e arai .3/16. censo di censo iguali a .3/4. di censo e .7056., dove areca a .1.cen. di censo e arai uno censo di censo iguali a .4.censi. e .37632. Dimeza e .censi., sono .2., multiplica in sé, fanno .4., po- ni sopra .37632., fanno .37636., la cui radice è .194. e diremo la cosa valere la radice di .37632., ci- oé .194., posta sopra .2. e di quel preso la radici, cioé la radice di .196., che è .14. Adonca la cosa vale .14. e tanto é .bc. e .ab. sia .15. e .ac. sia .13. e cosí fa sempre. .62.

E sono .2. torri, l’ una distante al’ altra .150. e l’ una è alta, cioé .ab., 100.bracia. e .cd è .70. bracia e il piano .bd. è .150. In sule quali torri, cioé in ciascuna extremitá, é uno uccelo e a uno tratto si movano e a uno modo volano e uno tratto giongano a una fon- te situata infra ’l .b. e .d. Adimandasi quella fonte quanto é apresso al .b. e quan- to è apresso al .d., cioé. a dire trova uno ponto, infra ’l .b. e .d., che sia da quello alla somitá .a. quanto da quello alla somitá .c. El quale ponto diciamo sia el ponto .e. E diremo che dal .e. al .b. sia una cosa. Seguita dal .e. al .d. essere .150. meno una cosa. Ora, per sapere quanto è .ae., multi- plica .ab. in sé, cioé .100., fanno .10000. e multiplica .be. in sé, cioé una cosa, fanno uno censo che, con .10000., fanno .10000. e uno censo. E la radice di questo è .ae. Ora é da sapere quanto è dal .e. al .c., dove multiplicherai .ed. in sé, cioé .150. meno una cosa in sé, fanno uno censo e .22500. meno .300.cose. E di poi multiplica .dc. in sé, cioé .70. in sé, fanno .4900. Agiongni a uno censo e .22500. meno .300.cose., fanno uno censo e .27400. meno .300.cose. E la radice di questo é la linea .ec., la quale è iguali ala linea .ea. Adonca la radice di uno censo e .27400. é iguali ala ra- dice di uno censo e .10000. Unde multiplica ogni parte in sé e arai che uno censo e .27400. meno .300.cose. è iguali a uno censo e .10000. Dove raguaglia li parti levando da ogni parte uno censo e .10000. e dando a ogni parte .300.cose. E aremo che .17400. sonno iguali a .300. cose, dove la cosa vale .58. E noi facemmo posicione che dal .b. al .e. fosse una cosa. Adonca fo .58. bracia, cioé dala torre dele .100.bracia. alla fonte. E dala torre del .70.bracia. alla fonte fo l’ avan- zo infino in .150. che fo .92. bracia. E cosí aopra sempre. Potresti ancora multiplicare cias- cuna torre in sé e trare il quadrato dela minore del quadrato dela magiore e quello avanza partire nel dopio dela distancia dal’ una torre al’ altra e quello ne viene poni sopra la mitá dela distantia che è dal’ una al’ altra e quella somma è quello che la fonte è presso ala mi- nore torre. Puó intervenire che la fonte è fora del piano .bd., o dala parte del .b., overo dala parte del .d. et cetera.

Sonno doi arbori over torri equedistanti in un piano levate, l’ una .ab., alta .30., l’ altra .ec., alta .40.; distante l’ una dal’ altra .20. Io tiro una corda ale loro cime, longa .25. Dimando, lasciando un piombino dala cima dela piú alta, quanto si fermará distante

dal’ una al’ altra e quanto saran del piombino a terra perpendiculariter. Fa cosí. Poni che dal piombino al ponto .f. sia .1.co., che .gi. ven a essere .20. men .1.co. Ora, se tu ben guardi, tu ái doi triangoli ortogonii mediante la equedistante .gf., tirata al al ponto dela gravezza del piombo. La quale è quanto bc., cioé .20., per la .34a. del primo de Euclide di quali triangoli, l’ uno éne .agi., l’ altro .efi. E l’ angolo .g. e l’ angolo .f. son retti per la .29a. del primo. Ora, se tu imagini una equedistante ala basa .bc., tirata dal ponto .a. fin al lato .ec., sará ancor lei equale e equedistante al .gf. e causará el triangolo ortogonio .aek., che l’ angolo .k. è retto, che, per non confonderte, in linee .ak. non tiro. E lo ponto .i. sia pure nel medesimo luogo, distante dal .k.l. cosí commo dal .f. Peró, commo de sotto apresso ave- rai, se dirá: se .20., cioé .ak., de basa, mi dá .25., cioé .ae., de potunissa, che mi dará .1.co. de basa, cioé .if. Adonca aveno che gli é cosí .ai.alo.gi. commo .ei. alo .fi. e cosí .ag. alo .gi. commo .ef. alo .fi. E peró dirai, per modo sotietatis, se .20. me dá .25., che me dará .1.co. Multiplica e parti, arai che .1.co. te dará .1 1/4.co. e tanto sia .ei. L’avanzo fin .25., che è .25. men .1 1/4.co., sará .ai. Ora quadra .ei., fará .1 9/16.ce. e di questo chava el quadrato .fi., cioé .1.ce., resta .9/16.ce., la cui .R. sia .ef., cioé .3/4.co. E poi multiplica ancora .gi. in sé, cioé .20. men .1.co., fa .400. men .40.co. piú .1.ce. e questo cava del quadrato .ai., cioé de .625. piú .1.9/16.ce. men .62 1/2.co., re- sta .225. piú .9/16.ce. men .22 1/2.co. La .R. de questo fo .ag., cioé .15. men .3/4.co. Donca, se giogni .10. sopra .ag., fa- rá .25. piú .3/4.co. e sirá equale alo .ef., cioé a .3/4.co., peroché, siando ex ypotesi .ec.10. piú alta che .ab. e da- l’ una e dal’ altra se remove quantitá equale, cioé da .ab. se cava .gb. e dalo .ec. si leva .fc., che sonno equali che ’l mostra la equedistante .gf. Adonca li remanenti sonno .ag. e lo .ef. inequali e peró, gionto .10. sopra .ag., cioé sopra .15. men .3/4.co., fa .25. men .3/4.co. equali a .3/4.co., che è .ef. Aguaglia e sequi la equa- tione, arai la cosa valere .16 2/3. E tanto sia distante el piombino dala torre .ec. piú alta che sia .fi. E la distantia dal piombino ala torre bassa sia .3 1/3., cioé .gi. fatta et cetera. Ora farai de .25. doi tal parti che tanto sia l’ una a .3 1/3. quanto l’ altra a .16 2/3. O voi dire che tal parte sia l’ una del’ altra qualche .3 1/3. de .16 2/3., overo che, multiplicata l’ una per .3 1/3., facia quanto l’ altra multiplicata per .16 2/3., che tanto fará a una via quanto al’ altra. E averai .ai.4 1/6. e lo .ie.20 5/6. E lo .id.27 1/2., perché .ag. sia .2 1/2. et cetera. 64 Sono .2. albori, o voi dir torri, l’ una alta .10.ab., l’ altra alta .15.dc., distanti a livello .12.bc. Vengo e tiro doi corde, l’ una .db., l’ altra .ac., cioé dalla cima del’ una al pie’ del’ al- tra. Dimando in che parte se intersegaranno e quanto lonzi da terra e a che parte de ciascuna corda. Fa chosí. Poni che .ei. sia .1.co., poi dí: se .dc., ch’ é .15., mi dá de basa .12., che me dará .1.co. Opra. Te dará .4/5.co. e tanto sara .ib. Poi voltate al triangolo .abc. e dirai: se .ab. ch’ é .10. me dá de basa .12., che me dará .1.co. Che te virrá a dare .6/5.co. E tanto sirá .ic., peroché .ei. perpendicu- lare fue al’ un triangolo e l’altro, movendose dal ponto .e., sotto le potunisse .ac. e .db. Ora cava .4/5.co., che prima avesti per .bi., de .12., cioé .de.bc., resta .12. men .4/5.co. e tanto viene essere .ic. Et tu ái trovato che lo .ic., per ragion del triangolo .abc., essere .6/5.co., donca arai .12. men .6/5.co. equale a .6/5.co. Aguaglia e sequi. Arai la cosa va- ler .6. E tanto sia .ei. Ora, per sapere quanto sia .eb., multiplica .bi. in sé, che é .4 4/5., fa .576/25. e multiplica in sé .6. cioé .ei. fa .36. che, gionti insiemi, fanno .59 1/25. e la .R. di questo sia .eb. L’ avanzo fin .d., cioé .ed., sia .R.369. men .R.59 1/25. e lo .ec. sia .R.87 21/25. e lo resto fin .a. sia .R.244. men .R.87 21/25. facta et cetera. 65 E gli é un alboro de nave che tende in cono uniformiter, ma schapezzo in ponta, alto .25. El diametro dela basa de sotto è .3., cioé .cg., el diametro dela basa de sopra è .1., cioé .ab. Vogliolo segare in doi parti equali atraverso, che l’ una metto tochi al patrone e l’ altra al nochieri. Dimando quanto distante dale base se doverá segare. Fa chosí. Perché le spetie de piramide troncata, fornesila tutta fin in ponta aguzza in questo modo. Imagina doi perperpendiculari equidistanti dale extremitá del diametro dela basa de so- pra verso la cima al diametro dela basa de sotto e sieno l’ una .ad. l’ altra .bf. che ciascuna sia .25., cioé quanto l’ altezza. Ora tu ái che .df. similmente è .1. commo .ab. Donca .cd. sia .1. e anco .fg.1., secon- do el tema. Ora tu ái da’ lati doi triangoli ortogonij, se ben guardi, cioé .acd. e l’ altro .bfg., che li angoli .d. éne retto e cosí l’ angolo .f. causati dal caso dele perpendiculari. Or prendine uno qual voli, che non fa caso, e sia .acd., del qual li doi lati .ad. e .cd. sonno noti. Ora per for- nire la piramide al suo vertice supremo, che sia el ponto .h., prendi la .1/2. de .cg., cioé dela ba- sa del pede, che è .1 1/2. e sia .ce., nella cui mitá imagina cadere l’ assi .he. perpendiculariter, qual similmente fará un triangolo ortogonio .hce. simile al primo .acd., per la .2a. del .6o. de Euclide: peroché la linea .ad., equedistantemente al terzo lato .he., taglia li doi lati .hc. el lato .ce. nelli pon- ti .a. e .d. che li sega in proportione, per la giá adutta conclusione. Donca, per trovare la quan- titá .he. dirai: per la regola del .3., se .1. de basa, cioé .cd., me dá de catetto .25., cioé .ad., che me dará de catetto .1 1/2., cioé la basa .ce. Multiplica .25. via .1 1/2. e parti in .1. Arai che te dará .37 1/2. per tutto l’ a- xis .he. Ora quadra la basa .cg., con la ragione del cerchio, arai de sua quadratura .7 1/14., qual multiplica via la longhezza tutta del’ alboro, cioé via .he., che è .37 1/2., fará .265 5/26. e tanto sia l’ aria corpo-

rea de tutto el chelindro rotondo. Del qual prendi el .1/3. per lo suo cono, ne ven .88 11/28. per tut- ta la soliditá del’ alboro, qual serba da parte. E poi quadra tutta la piramide piccola agion- ta al ponto .h., dela quale hai noto tutti ’soi lati. Cioé altezza e basa .ab. ch’ é 1. E l’ axis .hk. che è .12 1/2. Cioé el rimanente de .37 1/2. trattone .25., che fo posto longo l’ alboro. Multiplica in sé .ab., fa .1., prendene li .11/14., ne ven .11/14. E tanto sia quadra la basa .ab. dela suprema piramidella, qual multiplica via la sua altezza .hk., cioé via 12 1/2., fa .9 23/28. per lo chelindro; prendine el .1/3. harai .3 23/84. per la piramide .hab. La qual cava dela piramide tutta che sopra serbasti, cioé de .88 11/28., re- sta .85 5/42. per tutta la soliditá del’ alboro proposto. E questo parti in .2., ne ven .42 47/84. E tanta soliditá del ditto alboro tochará per uno, cioé al patrone e nochiero. Hora e da vedere in che parte se deverá segare, commo dici el tema. La qual cosa te conven fare per positione al- gebratica in questo modo. Poni che ’l diametro dela basa dove se debia segare sia .1a. cosa e di questo trova l’ axis fin ala ponta .h., ala rata de tutta la gran piramide, dicendo: se .ab., che è .1., diametro me dá .12 1/2., cioé .hk. de altezza, che me dará .1.co. Opera multiplicando .1.co. via .12 1/2. e parti in .1., ne ven .12 1/2.co. E tanto sia l’ axis dela piramide la cui basa fosse .1.co. E po’ devi ancora dire: se .3., cioé .cg. basa del grande, me dá .37 1/2., che me dará .1.co. Operando te darebe el medesimo che di sopra, cioé .12 1/2.co. Perché ditte piramidi sonno fra loro proportio- nali, perché stanno sotto medesima altezza e medesima basa .cg., avenga che l’ una naschi ma- gior del’ altra et cetera. Hora quadra la basa posta. Cioé multiplica .1.co. in sé, fa .1.cen., prendine li .11/14., ne ven .11/14. cen., qui multiplica via l’ altezza, cioé via .12 1/2.co., fa .3 23/84.cu. E tanta sia la soliditá dal taglio in cima. E giá tu sai che al’ uno ne tocha .42 47/84. de soliditá fra le doi base .ab. e .cg. Don- ca, per venire ala equatione del capitolo, giongni .3 23/84., che è la piramidella .hab. dela cima, sopra .42 47/84., fará .45 25/42. per tutta la soliditá dela piramide, la cui basa hai posto essere .1.co. Doncha harai .3 23/84.cu. essere equali a .45 23/42., sequi, la cosa varra .R.cu.13 51/55. E tanto conven che sia el diametro .lm. dela basa dove si deve segare. Ora, per sapere quanto distante dal capo grosso se debia segare, prima trova l’ axis da questo diametro trovato fin ala cima. Poiché tu sai la valuta dela cosa essere .R.cu.13 51/55. e giá tu sai comme sopra trovasti che l’ axis .hn. de questa basa .fo.12 1/2.co. Donca multiplica .12 1/2. via la valuta de .1.co., cioé via .R.cu.13 51/55., fará. .R.cu.27201 31/44. E tanto distante dala ponta se segará l’ axis interiore del qual cava .12 1/2., che sai de certo essere l’ axis .hk., che de ponto te forní la gran piramide de tutto l’ alboro, restará aponto .R.cu .27201 31/44. men .12 1/2. E tanto distante sia la segatura dala basa suprema .ab., cioé .kn. E dala basa inferiore .cg. sia la distantia del rimanente de .25. trattone .R.cu.27201 31/44. men .12 1/2. Overamente el rimanente de .37 1/2., che è tutto l’ axis grande .he., cavatone .R.cu. .27201 31/44. per l’ axis piccolo, che l’ uno e l’ altro tanto fa, cioé. 37 1/2. men .R.cu.27201 31/44. E tanto lon- tano dal capo grosso del’ axis interiore se segará. E sia .ne. Mo é da vedere quanto distan- te dala parte defore da ciascun capo se doverá metter la sega, che cosí lo troverai tutto per la penultima del primo de Euclide, perché tu hai un triangolo ortogonio .hln., del qual l’ an- golo .n. éne recto. E l’ un di lati che lo contiene sia mezzo diametro dela basa .lm., cioé .ln.e l’ altra l’ axis .hn. Peró multiplica .hn. in sé, cioé .R.cu.27201 31/44. E multiplica .ln. in sé, cioé la .1/2. de .R.cu.13 51/55. E queste doi quadrature giongnerai insiemi faranno el quadrato dela ypo- tomissa .hl., dela cui .R. caverai la quantitá .ha. che ancora, per ditta penultima, la troverai, perché tu hai pur un altro triangolo ortogonio .hak., del qual l’ angolo .k. éne retto. E l’ axis .hk. sia aponto in mezzo el diametro .ab., in ponto .k. Peró multiplica .ak. in sé, .che sai che è .1/2., perché tutto .ab. fo posta .1., fa .1/4. E multiplica .hk. in sé, che trovasti essere .12 1/2., fa .156 1/4. che, gionte queste doi quadrature insiemi, fanno .156 1/2. per lo quadrato dela ypotumissa .ha. La cui .R., tratta dela gran ypotumissa .hl., remarratte la quantitá nota .al. per la distantia dala segatura al capo sutile, la cui basa fo posta .ab. per diametro. E cosí poi, havuto la notitia de- lo .al., quella caverai dela quantità .ac., qual ancora éne ypotumissa de un altro triangolo or- togonio .acd., che sia .R.626., perché .ac., uno di lati continenti el rettangolo, è .25., cioé la lon- ghezza del’ alboro e l’ altro .cd., che è .1., li cui quadrati, gionti insiemi, fanno .626. per lo quadra- to dela ypotumissa .ac., la cui .R. sia essa .ac., cioé .R.626. Siché dirai che la segatura sirà distan- te dal capo grosso .R.626. men la quantitá .al. et cetera. La qual a te lascio trovare al modo ditto, per non mi stender piú in operatione et cetera. E questa sia molto utile e bella ragione e de gran stima in l’ arte geometrica. Dí che: nota che, stu ponesse ditto alboro sopra un taglio de coltello, in modo che ’l taglio fosse nel ponto .l., overo .m., staria in equilibra, cioé in bilancia, che da niun capco trabuchari. Perché tanto peso hará dal taglio al capo piccolo quato dal taglio al ca-

po grosso, peroché la mesura e ’l peso sempre sonno fra loro in tutte le cose proportionate et cetera. E, in tal modo, reggerate in tutte sorte de piramidi scapezze tonde e laterate et cetera. 66 E gli é un prato triangulare .abc., del quale el lato .ac. è .130. e ’l lato .ab.150. e ’l lato .cb.140. e in sun l’ angolo .a. é una torre .ad. alta .125. e in sun l’ angolo .b. un’ altra .bf., alta .135. E in sun l’ angolo .c. un’ altra .ce. alta .125. Io fermo un ponto in ditto pra- to, equidistante dale cime di dette .3. torri. Dimando quanto sia dal ditto ponto .a. ciascuna dele cime de ditte .3. torri e quanto da ditto ponto al pie’ di ciascuna de ditte .3. tor- ri. Fa cosí. Prima ferma un ponto a tuo modo, che sia equidistante dale cime dele doi tor- ri, quali voli, che non fa caso. E poi sequirai per la terza torre. Or pigliamo le .2., cioé .bf. e quella .ce., che sai che .bf. è alta .135. e .ce. alta .145. e la distanza dal’ una a l’ altra, cioé .cb. é .140. E in su questa linea .cb., de necessitá, sirá fermato el ponto equidistante dale lor cime, ació possamo sequire la nostra operatione, overo aguaglimento, che aliter serebe difficile avenga che ’l potesse essere ancora fore de ditta linea .cb. E seria pure equidistante, ma non serebe al proposito del nostro aguaglimento. E, per questo trovare, farai commo quella dela fonte fra doi torri e doi ucelli in cima ciascuna, volando pari a un tempo, zonzano ala fonte et cetera. E pe- ró poni che ’l ditto ponto sia distante dal pede dela torre .ce.1.co. E sia .k. Sirá adonca .kb.140. men .1. cosa. Hora quadra .ce. ch’ é. che .145., fará .21025. e quadra .ck., che è .1. cosa, fa .1. censo, zonzi questi doi quadrati insiemi, fanno .21025. piú .1. censo, qual salva. Poi quadra .bf., ch’ é .135., fará .18225. e quadra .kb. che è .140. men .1. cosa, fará .19600. men .280.co. piú .1. censo. E questo zonzi con .18225., fa- rá .37825. men .280.cose. piú .1. censo. E le .R. di queste .2. summe., cioé .R.21025. piú .1. censo che serbasti e la .R.37825. men .280.co. piú .1. censo. E l’ una prima sirá la linea .ek. e la seconda sirá la linea .kf., che vengono essere .2. ypotumisse et cetera. Adonca multiplica li extremi in sé, harai li lor quadrati equa- li, cioé che .21025. piú .1. censo sirá equale a .37825. men .28.cose. piú .1. censo. Aguaglia le parti e sequi, harai la cosa valere .60. E tanto sirá .ck. L’ avanzo fin .140. sirá .kb., cioé .80. E tanto sirá .kf. quan- to .ke., che l’ una e l’ altra sirá .R.24625. Ora, poiché abiam trovato in la linea .cb. el ponto .k. e- quidistante dale cime, bisogna trovare el catetto del prato triangulare. Cioé .abc. cadente in sula basa .cb., che sia .al. E sirá longo .120. E poi, nel ponto .k., leva una pararella equedistan- te a ciascuna torre .bf. e .ce., che sia .ko., sopra la quale, de necessitá, convien sia el ponto eque- distante da tutte .3. le cime. E peró sapi: poiché .kf. e .ke. sonno trovate equali, similmente, su per la linea .ko., fermato un ponto dove si voglia, commo sia el ponto .s., ancora siran .cs. e .sf. Avenga che non siran equali in la medesima quantitá, che prima era .kf. e .ke. E peró qui fa la toa positione. E poni che lo .ks. sia .1.co. Ora mena la linea .rs. equedistante alo .lk., che sirá ancora lei .10. Cioé la distantia dal catetto alo ponto .k., perché el ponto .l. cade distan- te dal’ angolo .c.50. e dal’ angolo .b.90. Adonca sirá .rl.1.co., comme .ks., perché dele superficie de’ lati equedistanti, li lati oppositi e li angoli opositi, sempre sonno equali, per corelario .34e. primi Euclidis. Donca sirá .ra., cioé l’ avanzo del catetto .120. men .1.co. Or, tutte queste cose notate, tu vedi che noi habiamo doi triangoli ortogonij che l’ uno è .kbs., l’ altro .rsa. E l’ angolo .k. del primo è retto e l’ angolo .r. del secondo anche è retto. Unde la linea .sf. ven a essere potumissa d’ un triangolo ortogonio .bsf., del qual l’ angolo .b. è retto, perché la potumissa .bs. del triangolet- to .ksb., movendose dal ponto .b. al ponto .s., fa squadro. Adunque li doi quadrati deli .2. lati .bf. e .bs. fanno el quadrato dela potumissa .sf., per la penultima del primo de Euclide. Ma, perché el quadrato de .bs. vale li .2. quadrati delo .ks. e .kb., per eandem penultimam, sequi- ta la linea .sf. valere .3. quadrati dele .3. linee .ks. e .kb. e .bf. E peró quadra ciascuna dele dit- te; harai per quella .bf.18225. e per quella .kb.6400. e per quella .ks.1.cen., che, gionti que- sti .3. quadrati insiemi, fanno .1.cen. piú .24625., quali serba. Ora, per lo simile, tu hai dal’ altra parte un triangolo .sad. pur ortogonio, del qual l’ angolo .a. e retto e la linea .sd. ven a esse- sere potumissa. E li doi quadrati dele .2. linee .ad. e .as., gionti insiemi, fanno el quadrato de- la linea .ds., per la ditta penultima. E cosí la linea .as., perché l’é potumissa del triangolo .ars. del qual l’ angolo .r. è retto. Donca la linea .sd. ven a valere .3. quadrati de .3. linee .rs. e .ra. e .ad. Peró quadra ciascuna de ditte linee, cioé .ad., che è .125., fa .15625. e .rs., che è .10., fa .100. e .ra. che è .120. men .1.co. fará .14400. men .240.co. piú .1. censo. E giogni questi .3. quadrati insiemi, faranno in tutto .30125. men .240.co. piú .1. censo e la .R. di questa summa convene essere equale .ala .R. dila sum- ma deli altri .3. quadrati che sopra serbasti, cioé .a.R.1.ce. piú .24625., perché le doi .li.sd. e .sf. hano essere equali per lo nostro ponere, perché si movano dal ponto .s. del’ altra che è .es., non

si fa chaso, perché, commo dicemo sempre, essa convene de necessitá essere equale ala linea .sf., quando el ponto sia super la linea .ko. E peró basta aguagliare le .2. linee .sd. e .sf. e l’ altra seque de necessitá. Ora multiplica li extremi in sé, arai .30125. men .240.co.piú .1.ce. equali a .1.ce. piú .24625. Aguaglia le parti e se- qui el capitulo, arai in ultimo .5500. equali a .240.co. Parti .5500. per .240., ne ven .22 11/12. e tan- to varrá la cosa e tanto sará .ks. e tanto .rl. e lo resto, fin .120., sia .97 1/12., ch’ é .ra. Ora poi trovare tutte le linee. Per forza dele quadrature arai .sb.R.6925 25/144. e la linea .cs.R.4125 25/144. e .lo.as. sará .R.9525 25/144. e cosí .ái. la distantia del ponto .s. dal pede de ciascuna dele .3. torri. Ora, per sapere la distanza dele cime, prima, per quella .bf. quadra .sb.; fa .6925 22/144. e quadra .bf., fa .18225. qual zon- zi con .6925 25/144., fa .25150 25/144. e la .R. de .25150 25/144. sia .sf. e altretanto sia .ds. e altretanto sia .es., com- mo porrai trovare quadrando .as. e .ad. e zonzere insemi la .R. di quel zonto, fará .sf. e quadra .cs. e .ce., zonzi insemi, fará la .R. di quella summa la linea .es. facta et cetera. 67 E gli é el triangolo .abc. che, per ciascuno lato, è .28. Meno una retta .df. distante da- l’ angolo .a.10. e passa per lo centro del ditto triangolo, che è el ponto .e., e sega .bc. in ponto .f. Dimandase che sia longa tutta .df. e quanto distante dagli angoli .bc. chaderá, cioé che sia .bf e che .fc. Fa chosí exui .2e.6i. e poi per la chosa prima trova el catetto .dl. ala basa .bc. in questo modo. Tu sai che ’l catetto .ag. è .R.588. del gran trian- golo, peró dirai: se .28. de potumissa che è .ac., mi dá .R.588. per lo catetto .ag. che mi dará la po- tunissa .de.18., cioé .dc. Opera; te dará .R.243. per lo catetto .dl. e caderá distante al .c.9. e lo .gl. resta .5. fin .14., che è el chaso .g. Ora tira una equidistante a .gl., che sia .eh., qual sirá pur .5., per la .33a.pi.e arai un triangoletto .edh. ortogonio e simile al triangolo fdl. Peró dirai: se .R.56 1/3., cioé .dh. catetto, over perpendiculare, mi dá de potumissa .R.81 1/3., cioé .ed., che mi dará .R.243., cioé .dl., che sonno sotto la medesima potomissa del triangolo .dfl. Opera per viam radicum. Multiplica .R.81 1/3. via.R.243., fa .R.19764., qual parti per .R.56 1/3., ne ven .R.350 142/169. per la linea .df. quantum est quesitum et cetera.

Potevi pigliarla per altra via, cioé per viam proportionum, cosí arguendo per .2am.6i.ed. cioé .R.81 1/3. sia li .13/27. delo .df., perché .eh. sia li .13/27. delo .fl. e lo .dh. sia li .13/27. delo .dl. E peró prendi el .1/13. delo .de., cioé .R.81 1/3., ne virrá .R. 244/507., qual multiplica per .27., fará .R.350 142/169. per tutto .df. E, perché .ed. sia li .13/27. delo .df., doncha .df. sia li .14/27. de tutto .df., che è lo resto fin .27., peroché .27/27. fanno un tutto. Doncha prendi .1/13. delo .ed. che sia .R.244/507., qual multiplica per .14., fará .R.94 106/507. per lo .efe. Cosí, de mano in mano, regite al resto le sue prove per ordine le poi parte fare. E se per la chosa la voli, ponte commo ti pare, con le predicte evidenze e viratte. Or ponte che .df. sia .1.co. Poi dirai: se .R.243. mi dá .1.co., che mi dará .R.56 1/3. Opera, viratte che sirá equale a .R 8 1/3. e sequirai etc. Overo dirai: se .R.56 1/3. mi dá .R.81 1/3., che mi dará .R.243. Opera a tuo modo, varrá la chosa .R.350 142/149. ut supra. Ma apo- nendote .al.o .fe., la cosa te virrá a valere .R.94 166/507. Et cetera. 68 E gli é el triangolo .abc., ch’ é .bc. .14.ac.15.ab.13. Jo meno una linea dal’ angolo .b. ret- ta al ponto .g., distante dal’ angolo .a.3. e meno l’ altra, dal’ angolo .a.2., che si segano in ponto .h. Dimando che sia la retta .hc. e quanto cada distante da ciascuno angolo .b. e del .c. Fa chosí. Prima trova el catetto .gf. del triangolo .bgc. dicendo: se .ac., ch’ é .15., po- tomissa mi dá .9. de basa, cioé .dc., che mi dará .12. Arai che te dará .7 1/5. per .ef. E poi, se .ac. mi dá .ad. catetto, che mi dará .gc. Multiplica .12.via.12., fa .144., parti in .15., ne ven. 9 3/5. per lo catetto .gf. E poi, per l’ altro verso, dirai: se .13. de potomissa mi dá .12. de catetto, cioé .ad., che ditto catetto è come a doi potomisse. .ac. e .ab., che è .13., che mi dará .11., cioé .mb. Multiplica .11. via .12., fa .132., parti in .ba., ne ven .10 2/13. per lo .mk. E lo .bk. sará .4 3/13. e lo .kd.10/13. e arai .m.c.R.80 33/169. e lo .bg.R 138 2/5. e lo .bn.14 70/12. e lo .co.19 13/17. Ora, per lo tema, poni che .de. sia .1.co., cioé dal caso del catetto .ad. al caso dela linea, che tu sai per l’ ordi- nario che .bd. sia .5. e lo .dc.9, perché tutta .bc. è .14. Donca .be. sia .5. piú .1.co. e lo .bf. è .6 4/5., noto. per la forza de tutte le linea protratte ut patet. Donca dirai per la regola del .3.: se .bf. ch’é .6 4/5., basa mi dá .9 3/5., che è .gf., di catetto, che mi dará .5. piú .1.co. Multiplica .9 3/5. via .5. piú .1.co., fará .48. piú .9 3/5.co. A par- tire in .6 4/5., cioé ne virá .7 1/17. piú .1 7/17.co., qual serba che sia .he. per la ragione del triangolo .boc., peró che .he. e lo .gf. sonno sotto una potomissa .bo. alla basa .bc., che sonno in proportione per esser loro equidistanti per la .2a. del .6o. Poi volta verso per ragione del triangolo .bnc. e dirai: se .9 10/13., che è .ck., de basa mi dá .10 2/13. de catetto, che è .mk., che mi dará .9. men .1.co., cioé .cd., che sonno base sotto la medesima potumissa .nc. del triangolo .bnc. Multiplica .10 2/13. via .9. men .1.co., fará .91 5/13. men .10 2/13.co. a partire in .9 10/13., che ne ven .1 61/127. men .1 5/127.co. Sirá equale a quello che di sopra serba- sti, cioé .a.7 1/17. piú .1 7/17.co., che l’ uno e l’ altro verso te dá el medesimo catetto .he. Aguaglia per la e sequi el capitulo. Arai la cosa valere .59/63. e tanto .fu.de. e tutto .be. fo .5 59/67. L’ avanzo fin .14. fo .ec., cioé .8 4/3. Poi, a saper .he., ci son piú versi, commo vedi mediante la forza dele linee note che in propor- tione procedano equidistante. Dirai: se .64. de basa mi dá .9 5/3. de catetto, cioé .gf., che mi dará .5 59/67.,

cioé .be. Opera, ti dará .8 8/21. per la linea .he. Anchora potevi dire per l’ altro verso, cioé .ck. mi dá .10 2/13., che mi dará .ce. Opera, te dará quello medesimo, cioé .8 8/21. piú o men non staria bene. E gli é un triangolo equilatero ch’ é per ciascuna faccia bracia .28. Vi metto dentro un altro trian- golo piccolo equilatero .rds. e la linea .ad. è bracia .17. e .sb. è bracia .11. e .sc. è bracia .17. e la linea.cr. è bracia .11. e la linea .ra.bracia.17. Dimandase quanto è grande per faccia el ditto triangolo interior equilatero. Fa cosí. Trova lo catetto del ditto gran triangolo e fallo ca- dere dal ponto .a. in sul ponto .e., che sirá .R.588. e serba. Or movi una linea dal ponto .d. al ponto .o. che sia equedistante ala linea .cb. e farai de sopra un piccol triangoluzzo .ado. equilatero e sia per faccia bracia .11., perché di sopra dicemmo che la linea .ab. era bracia .11. Or trova el catetto del ditto triangoluc- cio e fallo cadere dal ponto .a. in sul ponto .n. e, cosí facto, trovarai del ditto catetto é .R.90 3/4., la quale .R.90 3/4. cava de .R.588., che di sopra serbasti, restará .R.216 3/4. E tanto viene a essere la linea .ne. Or movi una linea dal ponto .d. fin al ponto .f. che sia equedistanti e equale ala linea .ne. E questa linea .df. viene a essere .R.216 3/4., cioé commo la linea .ne. Ora guarda quanto è dal ponto .s. al ponto .f. E per questo fa cosí. Tu sai che dal ponto .n. al ponto .d. è bracia .5 /12., cioé la mitá de .11. E tanto viene a essere dal pon- to .e. al ponto .f., perché le linee sonno paralelle. Adonca dal ponto .e. al ponto .f. è bracia .5 1/2. E dal ponto .e. al ponto .s. conviene che sia bracia .3., peroché dal ponto .s. al ponto .b. sonno bracia .11., commo di sopra fo detto. E dal ponto .e. al ponto .b. é la .1/2. dela faccia del gran triangolo, cioé bracia .14., siché, tratto l’ un del’ altro, resta bracia .3., commo è ditto. Lo qual, cavato de bracia .5 1/2., resta bracia .2 1/2. e tanto vene a essere dal ponto .s. al ponto .f., cioé bracia .2 1/2. E questo multiplica in sé e giongni con la multiplicatione dela linea .df. in .sé. E cosí agionto harai .223.

E di questo prendi la .R. che è .R. 223. e tanto fo per faccia el ditto triangolo e sia facta et cetera. Nota che ’l centro del gran triangolo è lo medesimo centro del piccolo, commo per te porrai provare. .70.

U gli é il quadrato .abcd. quale è .4. per faccia. Mettovi dentro el magior triangolo che vi ca- pa equilatero. Dimando quanto sirá per faccia aponto. Fa cosí. Poni che .eb. sia .1. co. Don- ca .ae. sirá .4. men .1.co. e altretanto sirá .af., perché .fc. ancor lui sirá .1.co., peroché el trian- golo conviene che habia un suo angolo in cantone, perché non è possibile che giacia in su- la faccia del quadrato, perché la faccia del triangolo è magiore che quella del quadro. E peró pongo che l’ un deli angoli s’ apoggi nel ponto .e. e dal ditto ponto al’ angolo .b. pongo sia .1. co. Ora, se ben guar- di, tu hai un triangolo ortogonio .ebd. del quale l’ angolo .b. éne recto e ’l lato .ed. sia ypotomissa che, per la penultima del primo de Euclide, é quanto li doi quadrati deli doi lati che contengono ditto an- golo recto. E peró multiplica .1.co. in sé, fa .1. ce. E multiplica .4. in sé, fa .16. Giongni insiemi, fanno .16. piú .1. censo. E .R.v.16. piú .1.ce. qual serba per lo lato .eb. E poi fa per lo lato .fe. qual troverai cosí. Tu ve- di ancora che tu hai un altro triangolo ortogonio .afe. che l’ angolo .a. éne recto, .ef. potumissa. Multiplica .4. men .1.co. in sé, fará .16. men .8.co. piú .1. ce. E multiplica .af. ancora in sé, fará pur .16. men .8.co. piú .1. ce quali giongni insiemi, fanno .32. men .16.co. piú .2.ce. per lo quadrato dela potumissa .ef., la cui .Rv. sirá equale a quell’ altra che sopra salvasti, perché li lati del triangolo sonno equali ex ypotesi. Multiplica ciascuna parte in sé per levare le .R., harai .32. men .16.co. piú .2. ce. equali a .16. piú .1. ce. Aguaglia, harai .16. piú .1. ce. equali a .16. co. Smezza le cose, multiplica in sé, fa .64., cavane el numero, resta .48. e la mitá dele cose men ditta .R. val la cosa, cioé .8. men .R.48. e tanto sia .eb. Lo .ae. sirá .R.48. men .4. E ’l lato del triangolo sirá .128. men .R.12288. e sia facta. Aliter prima al ditto quadro circunscrivi un cerchio e tira li .2. diametri .ab. e .cd. Poi, dal ponto .a., stendi .1/2. el diametro. Finirá in ponto .e. E, dal’ altro canto, in ponto .f., dico el ma- gior triangolo nel cerchio esser .bef. e li so lati taglian li lati del quadro in ponti .g.h. quali fan il numero triangoli .71.

E gli é el triangol .adg. equilatero che per ciascuna facia è .6. Dimando che sia per facia el ma- gior quadro ch’ entro vi capa. Fa cosí. Prima tira el catetto .gh., qual di ponto caderá nel mezzo del lato .ad. in ponto .h. per esser el triangulo equilatero, siché .ah. e anche .hd. ciascuna sirá .3. Or poni el quadro sia .1. co. per facia, la qual facia sia .bc., perché de necessitá el magior quadro fermará sua facia sopra uno lato del triangulo. E a questo tira la equidistante .ef., finendo el quadrato .bcef. per la propositione penultima del primo. Ora tu ái .ab. equale alo .cd., peroché delo .ah., remosso .bh., ch’ é mezza facia del quadro, per la ragion ditta e dalo .hd., remosso .hc., pur mezza facia del quadro, resta .cd. iquale alo .ab., per conceptionem si .ab. equalibus et cetera. E arai .ab.3. men .1/2.co. e cosí .cd. E cosí ái formato el triangulo ortogonio .abe. del quale li doi lati con- tinenti l’ angol retto .b. son noti e l’ un sia .eb., lato del quadro che è .1.co., l’ altro .ab.3. men .1/2.co. Quadra l’ uno e l’ altro, arai el quadrato .ab.9. men .3. co. piú .1/4.ce. e per lo quadrato .eb.1. ce., che, gionti insie- mi, fanno .9. men .3.co. e piú .1 1/4.ce. per lo quadrato dela potumissa .ae., per la penultima del pri- mo, la cui .R. sia equale a .6. men la quantitá .eg., cioé a .6. men .1. co., peroché .eg. è iguale .abc. e, per con- sequente, a .ef. e .cf. e anche a .fg., per la .2a. del .6o. Donca multiplica li extremi dela equatione in sé, per leva- re le .R., harai .9. men .3.co. piú .1 1/4.ce. equale a .36. men .12.co. piú .1. ce. Aguaglia e seque ’l capitulo reducen-

do prima tutto .a.1.ce. Harai in ultimo .36.co. piú .1.ce. equali a .108. La cosa varrá .R.432. men .18. e tan- to sia per faccia el quadro. Facta. E tu per te farai le simili et cetera. .72.

E gli é un triangolo equicurio .abc.ab.10.ac.10.bc.12. Metovi dentro un pentagono equilatero magior vi possa. Dimando li lati. Prima trova el catetto .ab., sirá .8. Poi forma il pentagono .adefg. e harai negli angoli .b.c. doi triangoletti .dbe. e l’ altro .gfe. di quali trova lor catetti .di.gl., che li troverai in questo modo. Perché el triangolo .dbi. è simili al triangolo .abh., che l’ uno e l’ altro è rectangolo e tal proportione éne .ah. alo .ab., cioé .4/5., quel .di. alo .db., che anche .di. sia li .4/5. delo .db. Questo inteso, poni che ’l pentagono sia per faccia .1.co., si- rá adonca .be.6. men .1/2.co., perché .ah. casca nel mezzo delo lato .ef. e lo .db. sirá .10. men .1.co., di qua- li piglia li .4/5., ne vien .8. men .4/5.co. e tanto sia il catetto .di. E poi, perché .bh. éne li .3/5. delo .ab., peró .bi. si- rá li .3/5. delo .db. Donca piglia li .3/5. delo .db., ne viene .6. men .3/5.co. per lo .bi. Donca quadra .bi. e anche .di e giongni insiemi, harai .100. men .20. co. piú .1.ce., over dal’ altro lato te reggi, cioé .ie. e lo .de., che tanto fará. E harai che la cosa vará et cetera harai .1.ce. piú .36 4/7.co. equali .a. 182 6/7. et cetera .73.

Uno triangolo equilatero che per ciascuna faccia è tanto quanto che è dal centro ali angoli piú la .R. di quanto é dal centro ali angoli. Dimandase quanto sia per faccia e quanto sia dal centro ali angoli e che sia quadro. Fa cosí. Poni che dal centro ali angoli sia .1.ce. Donca sirá per faccia .1.ce. piú .1.co. Ora trova il suo catetto: multiplica .1.ce. piú .1.co., che è un di lati, in sé, fará .1.ce.ce. piú .2.cu. piú .1.ce., qual salva. Poi multiplica la .1/2. de una facia in sé, cioé .1/2.ce. piú .1/2.co. fa- rá .1/4.ce.ce. piú .1/2.cu. piú .1/4.ce. E questo cava de .1.ce.ce. piú .2.cu. piú .1.ce., che fo la potumissa, del catet- to, restará .3/4.ce.ce. piú .1 1/2.cu. piú .3/4.ce. e la .R.3/4.ce.ce. piú .1 1/2.cu. piú .3/4.ce. sirá el catetto suo. Ora, per venire ala questione, prendi li .2/3. del decto catetto conmo .R. Reca .2/3. a .R., fa .4/9., piglia li .4/9. del .R.3/4.ce.ce. piú .1 1/2.cu. piú .3/4.ce., ne vien .R.1/3.ce.ce. piú .2/3.cu. piú .1/3.ce. E questa .R. universale sirá equale a .1.ce. che ponesti esser el centro distanti dali angoli, perché in ogni triangolo equilatero el centro è distante dali angoli quan- to che è li .2/3. del suo catetto, che vene a esser el semidiametro del tondo che ’l circundasse, commo se manifesta per corelarium .8e.13mi. Euclidis. Donca sequi l’ aguaglimento, leva le .R. multiplicando ciascuno extremo in sé e dirai: .R.1/3.ce.ce. piú .2/3.cu. piú .1/3.ce. in sé fa .1/3.ce.ce. piú .2/3.cu. piú .1/3.ce. Poi, per l’ altra, multiplica .1.ce. in sé, fa .1.ce.ce. Sirá equale a .1/3.ce.ce. piú .2/3.cu. piú .1/3.ce. Leva el superfluo e schisa doi volte le dignitá e arecarai a .1.ce. la equatione. Harai .1.co. piú .1/2. equale a .1.ce., perché li censi de censi vengono censi e li cubi vengon cose e li censi vengon numero et cetera. Smezza le cose, multiplica in sé, giongnici el numero, fa .3/4. piú .1/2. e la .R.3/4. piú .1/2. per lo dimezzamento val la cosa e ’l censo val la sua quadratura, che è .R.3/4. piú .1. E tanto dirai che sia dal centro a’ canti: cioé .R.3/4. piú .1. e per faccia sirá la summa del censo e dela cosa insiemi, che fa .R.3. piú .1 1/2. e tanto sia per faccia. Facta. Poi, per sapere quanto sia quadro, tro- verai el catetto, che sirá la .1/2. del censo gionta al censo per la ragion ditta e quello multiplicarai via la mitá de un di lati. E sia fatta et cetera.

Un triangolo equilatero che dal centro a’ canti é tanto quanto che è per faccia men la .R. de quello che è per faccia. Dimando quanto sia per faccia e quanto dal centro a’ canti. Poni che per faccia sia .1.ce. Donca, dal centro a’ canti, sirá .1.ce. men .1.co. Ora trova el catetto che è .R. .3/4.ce.ce. Di questo piglia el .1/3., che ne vien .R.1/12.ce.ce., perché el centro sia nel terzo del ca- tetto. Ora tu hai un triangoletto rectangolo che la potumissa sia la linea dal centro a’ canti, cioé .1.ce. men .1.co. L’ altre doi continenti el rectangolo, l’ un sia el .1/3. del catetto, cioé .R.1/12.ce.ce., l’ altro la .1/2. dela basa, cioé d’ una dele face .1/2.ce. Ora quadra li doi lati continenti el rectangolo e summa insiemi, ará l’ .1/5. ce.ce. e .R.1/3.ce.ce. sirá equale ala potumissa, cioé a .1.ce. men .1.co. Leva .R. e aguaglia, schisa la equati- one e arecarala a .1.ce., harai .1 1/2. piú .1.ce. equale a .3.co. Sequi el capitolo, harai la cosa valere .1 1/2. men .R.3/4., over .1 1/2. piú .R.3/4. Proverala meglio tu, ma un di questi doi sirá et cetera. Donca el censo varrá .3. men .R.6 3/4. e tanto sia per faccia. E dal centro a’ canti sia .1 1/2. men .R.3. et cetera. .74.

E gli é il triangolo .abc. del quale il lato .ab. éne .13.ac.15.bc.14. Io voglio slongarn uno de’ ditti lati, cioé quello che piú mi dará longhezza, non sminuendo la sua superficie. Di- mando qual di loro virrá piú longo e quanto al piú si possa, non movendo niun degli altri .2.

Questo è gentil caso e fasse cosí per solverla. Perché non te dici piú d’ un lato che de- l’ altro, bisogna che tu, da te, provi qual sia quel lato che piú si possi slongare. E, per questo, te conviene trovare li catetti che si movano dal’ angolo opposito a ciascun lato e cade in sun ciascun lato qual sia piú longo e quanto sia la distantia de lor caso ali angoli dela basa dove cade. E poi te conviene trovare la differentia dal caso ala mitá de ditta basa, peroché la linea che, dal medesimo angolo donde si move el catetto, si parte e vene a ponto ala .1/2. dela decta basa quella é la .1/2. di quello che si porrá decta basa slonga- re, commo intenderai. Verbi gratia: tirando el catetto dal’ angolo .a. ala basa .bc., che è .14., trovarai che sirá .12., per li modi dati dinanze, e sia .ad. Dove, dal ponto .d. al’ angolo .b., éne .5. e al’ angolo .c.9. Di-

co ora che prenda la .1/2. dela basa .bc. nel ponto .e., che .be. sirá .7. Altretanto sia .ec., onde tu hai, se ben guardi, un triangoletto .ade. ortogonio, che l’ angolo del cadimento del catetto éne retto, cioé .d. E la potumissa sia la linea .ae., cioé quella che vien al ponto medio dela basa, qual dico essere la mitá di quello che al piú el lato .bc. slongar si possi, non minuendo l’ area del gran triangolo .abc. proposto, la cui notitia se haverá per la penultima del primo de Euclide, giognendo la potentia del catetto .ad. con la potentia del lato .de., cioé dela differentia dal caso ala mitá dela basa. La qual differentia sia .2., perché .be., sando .7., trattone .bd., che è .5., resta .2. per lo .de. Donca qua- dra .ad., fa .144., quadra .de., fa .4.; giongni insiemi, fanno .148. per la potentia dela potumissa .ae. La cui .R. sirá sua longhezza, .cioé .R.148. Ora questa si vol doppiar, fará .R.592. e tanto si po- trá slongar il lato .bc. al piú. Qual salva da parte. E poi farai per lo lato .ac. che è .15., tenendo si- mil modo. Cioé troverai el catetto del’ angolo .b. ala basa .ac. essere .11 1/5. e caderá distante al’ ango- lo .a.6 3/5. E la differentia dal caso ala mitá dela basa: cioé .a.7 1/2. e .9/10. La potumissa del triangoletto ortogonio sia .R.126 1/4., la qua doppiata, per la cagion ditta, fará .R.505. per el piú che slon- gar si possa il lato .ac. de .15. Siché tu vedi che quel de .14. doventa piú longo che quel de .15. E questo anche salva e, per le simil vie, vederai del lato .ab., cioé de .13. Trovarai el catetto che da- l’ angolo .c. si move e cade in sula basa .ab. essere .12 12/13. e la distantia del caso al’ angolo .a. sia .7 18/13. e dal’ angolo .b.5 5/13. e la differentia dal caso ala mitá de .13., cioé a .6 1/2., sia .1 3/26. e la potumissa del tri- angoletto ortogonio sia .R.168 1/4., la qual doppiata, per la causa sopra ditta, fará .R.673. per lo piú che slongar si possi il lato .ab., cioé .13. Ora tu vedi che il lato de .13. è quello che pó doven- tare el magiore e non minuirá superficie al triangolo .abc. proposto, cioé che tanto sirá el trian- golo deli lati .14.15. e .R.673. quanto de .13.14.15. e cosí de .15.13. e .R.592. e ancora de .13.14. e .R.505., che l’ uno e l’ altro possederá .84. Facta. E per questo modo porrai sequire in tutti altri simili. El perché è da notare sí commo si dá verso a slongare, cosí ancora si porrá scortare quan- do el caso dicesse in questa forma. E gli é el triangolo .abc. proposto, del quale il lato .ab. éne .13. e il lato .ac. éne .15. e il lato .bc. éne .R.592. e questo voglio scortare al piú si possa, non minuendo .ab. e anche .ac. e né mancando superficie a tutto el triangolo. Dimando se si pó e possiandose quanto si scorterá. Opera per la via di sopra trovando el catetto dal’ angolo .a. ala basa .bc. e no- ta suo caso nel ponto .d. E poi dividi la basa .bc. in doi parti equali, cioé .R.592., ne vien .R.148.

E trova la differentia dal caso a ditta mitá, cioé .de. la quale, a modo ditto, forma un triangoletto ortogonio .ade. del qual li doi lati continenti l’ angolo retto l’ uno è .ad. l’ altro .de.; cioé il catetto e la differentia trovarai e la potumissa .ae., per la penultima del primo, e sirá .7., qual doppia, fará .14.

E fin tanto si porrá scortare ditto lato .bc. al piú. E sie in ceteris et cetera. .75.

E gli é il triangolo .13.14.15. che in sul lato del .14. faccio un semicirculo magior che vi capa. Dimando che sia suo diametro. Recordate del notando che pone la .35a. del .3o., che tutte le linee che si partano da un ponto fuor del cerchio e vengono contingen- ti sonno equali. E anche recordate che tutte le linee che si partano dal centro al luogo del contatto cagiono a squadro. E, per consequente, poni che dal centro al contatto sia .1.co. e questo è semi- diametro. Onde tu hai resoluto il triangolo .abc. in doi triangoli partiali che l’ uno éne .abd., l’ altro .adc. e il catetto di ciascuno è .1.co. Per quel ch’ é ditto quadra ciascuno, harai per quel delo .abd.6 1/2.co. e per quello .adc.7 1/2.co. Giongni insiemi, fanno .14.co. e questo è equale ala superficie de tutto el triangolo .abc., cioé .84. Sequi, harai la cosa valere .6. e tanto sia semidiametro. Fatta. Per te cerca il resto. Ma chi absolute dicesse: e gli é il triangolo .abc., non facendo mentione d’ alcun lato, e domandasse el diametro del magiore semicirculo che entro vi capa. Operando geometrice, a uno apre de sexte. Farai cosí. Prima vedi qual sia el magiore suo angolo, che pongo sia l’ angolo .a. E questo dividi in doi parti equali con la linea .ad., per la .9a. del secundo e il ponto .d. sia centro del cerchio e harai resoluto el gran triango- lo in .2. triangoli partiali che l’ uno sia .adc. e l’ altro .dba. E d’ uno de questi qual voli trova el catetto che si parte dal ditto ponto .d. in sulo lato opposito .ab., over .ac., e secondo la quantitá de ditto catetto apri le sexte, fermando el pede in ponto .d. e, circinando, harai sempre el magiore semicirculo che entro vi capa et cetera.76.

E gli é el triangolo .13.14.15. Fovi dentro un mezzo tondo sula faccia del .14. magior vi capi e tochi con la circunferentia li altri doi lati. Dimando che sia suo diametro del tondo e quanto distante da ciascun angolo el cerchio segará la basa di .14. Fa cosí. Prima trova el diametro del tondo. E poi arguesci che dal centro che sia in sul lato .14. al’ angolo .a. si move una linea che divide tutto el triangolo in doi triangoli di quali l’ uno á di ba- sa el lato .13. e l’ altro el lato .15., siando catetti sopra ditti lati el mezzo diametro, cioé la linea che si parte dal centro e vene ali contatti, che sempre cade a squadro, per la .35a. del terzo. Donca tu sai che la

linea del triangolo, che á basa .13., éne .39., che nasci dela multiplicatione de mezzo catetto, ch’ é .3., in tutta la basa, che è .13., quel serba. E sai ancora che nel triangolo .abd. vi cade un’ altra linea ala basa .bd. El resto sequi commo altre volte festi.

E gli é una rota .c. che è di .3. compagni il cui diametro .ab. é pie’ .7. La vogliano partire in questo modo che ciascuno aroti e, arotando, ciascuno consumi la sua parte, c’ altramente le cose dannose non si debono spezzare secondo le leggi. Dimando quanto diametro doverá con- sumare ciascuno di costoro da per sé. Fa cosí. Prima quadra tutta la rota conmo cerchio. Harai che sirá .38 1/2., del qual prendi el .1/3., che è .12 5/6. E tanto del campo dela rota deve consumare ognuno. E, quando el primo e secondo aran consumato la lor parte restará in ultimo un cerchietto, circa cen- trum, che sirá .fg., del qual trova suo diametro .gf. in questo modo. Poni che ’l fosse .1.co., quadra, fa .1.ce. Prendine li .11/14., son .11/14.ce. e questo sia equale a .12 5/6. Parti .12 5/6. per .11/14., ne ven .16 1/3. e .R.16 1/3. sia el diametro .fg. del piccolo cerchio ultimo circa centrum, che sirá tutta la parte del terzo compagno. Ora, per trova- re quella del secondo, doppia .12 5/6., fa .25 2/3. per lo cerchio .de., che sono li .2/3. de tutta la rota, del qual similiter trova suo diametro ponendo che ’l sia .1.co. Quadrala, fa .1.ce., prendine li .11/14., che son .11/14.ce., commo festi di sopra e siran equali a .25 2/3., partilo neli censi, virrá .32 2/3. e .R. di tanto sirá el diametro .de., del qual cava .R.16 1/3., che è el diametro del terzo, resta .R.32 2/3. men .R.16 1/3. e tanto de diame- tro, fra de sotto e di sopra, deve consumare el secondo. Qual dividi per mezzo, ne vien .R.8 1/6. men .R.4 1/12. e tanto sirá .df. e tanto ancora .ge. suo opposito. Ora, per sapere quello del primo, acozza quel del se- condo e terzo, cioé .R.32 2/3. men .R.16 1/3., con .R.16 1/3. fa .32 2/3. per lo diametro .de., qual cava delo .ab. diametro grande, resta .7. men .R.32 2/3. e tanto deve consumare el primo del diametro, fra sotto e so- pra; prendine la mitá, ne ven .3 11/2. men .R.8 1/6. e tanto sirá .ad. e altretanto sia .ab. parte opposita. Siché tu hai ciascuno da l’ un lato e l’ altro ffacta. Et cetera. E cosí sequiristi se fossero quanti si vogliava, cavando, de ma- no i mano, l’ uno del’ altro e per forza poi se conclude la parte del primo, la cui superficie sempre ce sirá no- ta. Questa ó voluto ponere piú aperta che di sopra, in questo al numero .42., non posi quel- la per piú tuo documento. .78.

Uno si trova un palio longo e largo una quantitá e vollo longo e largo a tal proportione ch’ é radoppiata la sua longhezza, cioé smezzatela e fattone larghezza e la larghezza e la larghezza fat- tone longhezza havesse la prima proportione. Se dimanda quanto sia longo e largo. Di- co che a simili, non ti strengendo piú a longo che a largo, tu poi a libito darli o longo o il largo, a tuo modo, purché uno di questi li dia fermi, l’ altro investigarai. Or poniamo che ’l tema dica che ’l voglia longo bracia .2.; la larghezza non ti pó dar se non piú larga del devere e sapere quanto si ne debbia scemare et cetera. Or poni che voglia essere largo, ala ditta longhezza data, .1.co. de bra- cio. Smezata la longhezza, che è .2., venga poi .1.co. essere in quella proportione .a.1. che è .2. a .1.co. Ora pie- ga ditto panno, el qual è .abcd., ad angoli retti e longo quanto la linea .ab., che è .2., e largo .bc. che é .1.co. Se tu lo doppi, virrá conmo in la .2a. disponne, appare longo .bc., cioé .1.co. e largo .ce., cioé .1.bracio., per- ché nel doppiarlo el longo si vien a smezzare e doventa largo. Ora é da vedere se questo secondo lon- go é in proportion al secondo largo commo era prima el primo longo al primo largo, cioé se gli é cosí .bc. al .ce. commo .ab. al .bc. in la prima disponne. E per trovarlo dirai: se .2., che era longo prima mi dá .1.co. di largo, che me dará, ala medesima ragione, .1.co., che è longo al presente. Opra, te dará .1/2.ce. per largo secondo e giá tu vedi che l’ é .1. Donca harai .1/2.ce. equale a .1. La cosa vará .R.2. e tanto bisognará che ’l detto pa- lio .abcd. sia largo, dobiando essere longo .2. Siché, se prima ti fosse proposto piú largo, dirai che bisogna tagliarlo in su .R.2.bracia. Aliter et facilis. geometrice. Stu hai il longo fermo, ut puta .2., di questo forma- te un quadro equilatero. Sirá .2. per facia, commo in la .5a. disponne, .abcd., del qual trova la diagonale .bc., che sia .R.8. Di questa sempre prendi la .1/2., ne ven .R.2. e tanto dirai che vorrá essere largo, siando longo .2. e mai falla. E, se volesse longo .10., forma ditto quadro e tolli la sua diagonale che sirá .R.200.

Pigliane la .1/2., ne ven .R.50. e tanto vorrá essere largo. E, se ti desse fermo el largo, alora dop- pialo e harai una diagonale de un quadrato, trovarai il lato e tanto converrá essere longo, quod dignissimum in arte. .79.

Cava el quadrato .adg. del quadrato .abc. magior gnomice. Fa cosí. In sul lato .ac. del grande fa el semicirculo .aoc. e dal ponto .a. tira .ao. equale alo .dg., cioé a un lato del quadrato piccolo, e tira .oc. Manifesto é che l’ angolo .o. é retto, per la .30a. del .3o. e per la pe- nultima del secundo, el quadrato .ac. val li .2. quadrati .ao. e .oc. Donca prendi dela linea ac., lato del qua- drato grande, la quantitá .cf. equale alo .oc., dal qual ponto tira la equadistante alo .ab., che sia .fh. e altretanto tagliarai per l’ altro verso del quadrato grande, nel ponto .k., e sia el gnomone .fhk. remosso equale al ditto quadrato piccolo per la {coescia}, perché el quadrato .fchk. éne equale al quadrato .oc., qual tratto del quadrato .ac., restará per forza la quantitá gnomonica equale al quadrato piccolo et cetera.

D’ un gnomone far quadrato. Prima reca un supplemento a quadrato, per la ultima del secondo e . 9a. del .6o. E cosí farai del resto e haverai doi quadrati li quali poi giongni insiemi trovando un la- to tetragonico che possa tutti doi quelli lati et cetera. 80.

E son .2. cerchi, l’ uno magior del’ altro e stanno un dentro l’ altro in su uno medesimo centro. Ora e gli é uno homo in sul gran cerchio che camina e circunda el ditto cer- chio, in .12. die é tornato donde se mosse. E in sul piccol cerchio é un altro homo che camina e circundalo in .24. hore, tornando dove si mosse. E questi .2. homi sonno rem- petto, a corda, un con l’ altro e movansi a camino a un tratto, caminando tutti da un medesimo lato. Domando in quanti giorni siranno de rimpetto l’ uno con l’ altro a corda. Fa cosí. Convien- te considerare che costoro, quando si trovaran essere rimpetto a corda in tal parte del cerchio si trovará quel del grande che quel del piccolo. Verbi gratia: se quel del gran cerchio, quando si trovaran de rimpetto, poniamo ará caminato l’ octavo del cerchio, dico che l’ altro homo si mo- vará ancor lui in sul’ octava parte del piccol cerchio. E anco te convien considerare che gli é forza che passi un dí nanze che si scontrino, per la velocitá del piccolo e per la lentenzza del grande. Peró farai positione in un dí .1.co. de dí. E poi dirai: se ’l primo camina in .12. dí un cer- chio, che ne caminerá in un dí piú .1.co. de dí, che troverai che n’ averá caminato .1/12. de cerchio piú .1/12.co. de cerchio e serba. Poi dirai: l’ altro che camina in .24. hore, che son un giorno, un cer- chio, che arallo caminato in .1.co. de dí. Troverai che n’ ará caminato .1.co. Ecco adonca .1. co. de cerchio è equale a .1/12. de cerchio piú .1/12.co. de cerchio, che sopra serbasti. Ora sequi l’ aguaglimen- to. Harai da l’ un lato .11/12.co. equali a .1/12. de cerchio, peró parti .1/12. per .11/12., ne ven .1/11. e tanto val la cosa. E noi ponemmo un die .1.co., adonca é facta a un di e .1/11. de dí. E in tanti dí si scontraranno a cor- da. E cosí fa le simili. .81.

E son .2. cerchi, uno è grande e l’ altro piccolo e l’ uno dentro al’ altro e sonno in sul medesi- mo centro. E in sul gran cerchio è un che camina e circundalo tutto in .12. di. E in sul pic- colo cerchio é un che camina e circundalo tutto in un dí, cioé in .24. hore. Ora dit- ti doi homi son a rimpetto a corda l’ uno con l’ altro e movansi tutti a una otta e camina- no uno contra l’ altro su per ditti cerchi. Dimando in quanti dí seranno insiemi a un rimpetto a corda. Fa cosí. Conviente considerare che, quando questi homi se scontrarannno a rimpetto, quella parte del gran cer- chio che hará fatto el primo, l’ altro hará fatto el resto del suo piccolo cerchio. Verbi gratia: se ’l primo hará fatto l’ octavo del gran cerchio, dico che l’ altro ará fatto li .7/8. del suo piccolo cerchio. Adonca poniamo che questi se scontrino in una cosa de dí. E poi dirai: se ’l primo camina in .12. dí un cerchio, che ne caminará in .1.co. de dí, che troverai che fará .1/12.co. de cerchio e serba. Poi dirai: per lo .2o. che ca- mina un cerchio in un dí, che ne caminará in .1.co. dí, che troverai caminará .1.co. di cerchio. Adon- ca acozza insiemi con .1/12.co., che sopra serbasti, fa .1 1/12.co. di cerchio. E doverebono fare un cerchio solo, adonca .1 1/12.co. é iguale a un cerchio. Peró parti .1. per .1 1/12., ne ven .12/13. e tanto val la cosa. E in tanti gior- ni se scontrarano a un rimpetto a corda commo domandasti. .82.

Sonno .2. nave in mare che si partano da un porto medesimo, l’ una va a sirocco e l’ altra va a libeccio, aliter garbino. E, quando ciascuna á caminato cinquanta miglia, elle si fermano. Adimando quante miglia le ditte navi sonno descoste una dal’ altra e anche domando: se una nave volesse andare a trovar l’ altra nave, con che venti navi- garanno, cioé per che vento l’ una e per che vento l’ altra, peroché l’ ánno a giostrare et cetera. Fa cosí. Con- vienti cognoscere l’ ordine deli venti, quali sonno .8., commo li vedi qui designati. E ciascuno ven- to á el suo vento opposito, siché questi venti vengono a fare un cerchio tondo con li spatij equali. Or torniamo a nostro proposito. Queste doi navi vengano a fare un triangolo nel sopra ditto cerchio, el qual ven a essere .50. miglia per ciascuno de’ doi lati e la porta del ditto triangolo, cioé el porto donde si partano, vene a essere el centro del ditto cerchio e la basa del ditto triangolo viene a essere la distantia de ditte doi navi e cosí vien a essere la faccia del quadro del sopra ditto cerchio, peroché, da libeccio a sirocco, c’ é lo spatio de’ doi venti, che sonno el .1/4. de tutto el cerchio. Siché, a voler sape- re quanto è lo spatio dal’ una nave al’ altra, multiplica le .50. miglia in se medesime, fa .2500. Ora la radop- pia, fa .5000. e di questo prendi la .R. che è .R.5000. E tanto fo dal’ una nave al’ altra ed é fat- ta. E, volendo sapere per che vento si trovaranno, fa cosí. Tu vedi che la sopra ditta basa del trian- golo, che è la linea da libeccio a sirocco, commo nel cerchio qui si vede, va equedistante con la linea de ponente e levante. E peró poi dire cosí, che le ditte doi navi se trovaranno per ponente e levante e siran discoste, l’ una dal’ altra, .R.5000. commo é detto. E, se ’l caso havesse ditto: l’ una va a siroc- co e l’ altra va a mezzodí, siando .50. miglia lontane dal porto, alora te convien trovare la distan- tia .ab., cioé da mezzodí a sirocco, in questo modo, commo descrivo in questa di sotto. .83.

Da mezzodí a sirocco è .1/8., che dicano li vulgari mezanino et cetera. Fa cosí. Prima trova lo diametro .da., quale è .100. Ora tu sai che .eb. è .R.1250., cioé la .1/2. delo .fb., che è la faccia del gran quadra- to e sai che ditto diametro taglia a squadro ditta faccia in ponto .e. e sai, commo per la .34a. del terzo Euclide prova, che tanto fa .ea., saetta piccola, ducta in .eb., saetta grande, quanto .eb. dut- ta in .ef., vel in sé. E peró, per trovare la quantitá .ea., dicendo famme de .100.2. parti che mul- tiplicata una in l’ altra faccia .1250., cioé quanto .eb. in .ef. Opera per la cosa o commo voli. Harai .ea. essere .50. men .R.1250. Ora tu hai un triangolo ortogonio, cioé .eab., del qual l’ an- golo .e. éne retto e li .2. lati che lo contengono, cioé .ea.et.eb., sonno noti, che l’ uno è .R.1250. e l’ altro .50. men .R.1250. Quadrali tutti .2. e giongnili insiemi, fanno .5000. men .R. 12500000. e la .R. di questo legata sia .ab., che è la distantia de una nave al’ altra. Cioé in questo modo .Rv.5000. men .R.12500000. Facta. La qual cosa molto serve a’ naviganti. Ma, se ’l caso dicesse che l’ una, mettia- mo quella che va a mezzodí, havesse caminato .80. miglia e quella .50. e poi fermaro e vo- lesse la distantia dal’ una al’ altra, commo se la fosse fermata in ponto .h., alora, secondo la quanti- tá dela minor linea, cioé de .50., formarai el cerchio e in quello forma el magior quadro che poi e dividi e taglia, commo di sopra, e harai noto tutto. E poi, per lo triangolo ortogonio .ehb., tu harai la potumissa .hb., cioé la distantia dal’ una al’ altra, peroché tu sai una volta .ea., che è .50. men .R.1250., al qual giongni .ah., che è .30., sirá .eh. tutto .80. men .R.1250. e lo .eb. pure .R.1250.

Quadra l’ uno e l’ altro e giongni insiemi, fará .7650. men .R.3200000. per lo quadrato dela potu- missa .hb., cioé la distantia dal’ una al’ altra, che sirá cioé .Rv.7650. men .3200000., cioé presa la .R. de .3200000. e quella tratta de .7650.R. di quel che restasse et cetera. E tu, per te, farai e for- marai del’ altre et cetera con la evidentia sempre dela bossola e ‘venti ordinarii et cetera. .83.

I o dividi un cerchio a sesta el quale á de diametro .10. e fessi una rosetta egual fo- glie .6., commo a sesto se concria. Adimando la larghezza e superficie d’ una foglia. Fa cosí: tolli la superficie de tutto el cerchio, che è .78 4/7., lo qual dividi in .6. egual parti, che ne vien .13 2/21. E cotanto superficia la sexta parte, cioé linea .cb. e linea .cd. e cir- culo .bd. E imperoché l’ é manifesto ch’ é .cb. egual .cd., vel .bd., linee per linee e pero dise .ab. è .10., adonca lo triangalo .cbd. é per fazza .5., adonca állo de superficie .R.117 3/16. Adonca, par che linea .bd. con lo suo circulo .bd. superficia .13 2/21. men .R.117 3/16., adonca adoppia questo, che fa .26 4/21. men .R.468.3/4. e cotanto superficia .ec. Ed é fatta. .84.

Le sonno doi sphere, una sopra l’ altra. Dela de sopra el diametro sia .ab., quale pon- go .10. e sia tutta lucida. L’ altra de sotto, el cui diametro è .8.de. e sia tutta obscura e densa, distante dala splendente .14., cioé .np. E la scura fa un’ ombra in terra il cui diame- tro .gh., che sia .4. Dimando quanto sia la distantia dala obscura al’ ombra che fa in terra, cioé quanto sia .qk. Questa è bella e serve a piú cose e fasse in questo modo. Te conviene immagina- re una linea che passi per li centri de tutti tre questi tondi, cioé dele doi sphere e del’ ombra in terra, per- ché anche lei se intende un cerchio. E giá tu sai che, in ciascuna spera, è un maximo cerchio, com- mo meglio de sotto intenderai nel trattato particulare deli corpi regulari. E questa linea, che pas- sa per ditti centri, sia .cfk., peroché ’l centro dela lucida pongo .c. e dela scura .f. e del’ ombra in terra .k. Ora tira una equadistante a questa dal ponto .g., extremitá del diametro del’ ombra, fin al diametro .ab. dela lucida, che lo tagli in ponto .l. E quello dela scura tagli in ponto .r. E questa linea, cosí protrat- ta, sirá longa aponto quanto che .ck., perché tuti ditti diametri sonno fra loro equadistanti. E tanto an- cora sirá .lc., quanto .rf. e quanto .gk., che ciascuno sirá .2., perché .gk. è semidiametro del’ ombra. Dapoi, dal ponto .d., extremitá del diametro dela scura, tirarai un’ altra equedistante a questa, fin al diametro dela lucida, che lo tagliará in ponto .m. e sirá questa equale .a.lr. parte del’ altra, che ciascuna sirá .23. cioé la distantia dala lucida e scura, che è .14. E tanto piú quanto sonno li semidiametri loro sin al centro interiore che ’l mezzo diametro dela lucida .cn. e .5. e ’l mezzo diametro dela scura .pf. éne .4., che fra tutti doi fanno .9., qual gionto sopra .np., cioé sopra .np., cioé a .14., fa .23. per tuta .cf. E cosí sia ancora la pa- ralella .md. Ora tu hai doi triangoli ortogonij simili, per la .2a. del sexto de Euclide che l’ u- no sia .alg. l’ altro .amd. E di questo tutti li lati te sonno noti, per la penultima del secondo del ditto Eu- clide. Cioé .am., che è .1., e .md., che è .23., che contengono l’ angolo retto .m. dela ypotomissa, non curo al presente che sia .R.530. Ora te convien trovare la quantitá .lg. in questo modo. Tu sai .al. essere .3.

E peró dirai, per la regola del .3., se .am., che è .1., me dá, de basa o de catetto, .md., che è .23., che me dará, de basa over catetto, .al. che è .3. Multiplica .al. via .md., cioé .3. via .23., fa .69., qual parti per .am., che è .1., ne ven quel medesimo. E tanto sia aponto .lg., cioé .69. E tanto ancora sia .ck., sua paralella, commo fo detto. Del qual cava .27., cioé .23. per la quantitá .cf. e ancora .4. per lo mezzo diametro .fq. dela scura, restará la parte .qk.42. E tanto dirai che sia distante la sphera

obscura dala pliana terra, dove reverbera sua umbra. E cosí farai le simili, che molto sonno applicabili in astrologia et cetera. 8 E gli é una tavola longa bracia .12., larga bracia .2., piana in terra e io sto lontano da lei bracia .10. e, dal’ ochio mio a terra, cioé la mia statura, é .bracia.2. Dimando quanto longa me se repre- senta ditta tavola. Sapi che questa domanda è de perspectiva, ma perché questa scientia è subaltternata a geometria e aritmetrica si la solveremo. Sia la tavola .abcd. e ’l piano dela distantia da te ala tavola sia .eb. e la tua persona sia .fe. e la larghezza dela tavola sia .ab. verso te e l’ ochio tuo sia el capo .f. Ora tu ái, con l’ ochio e con la per- sona e con lo piano, fine al capo dela tavola .dc., causato un triangolo rettangolo che è .fec., il cui catteto è la tua persona, cioé .fe. e la basa éne tutto el piano .ec. e la potumissa éne la li- nea .fc. visuale e taglia la larghezza .ab. nel ponto .g. e causa un altro triangoletto similmente rettangolo, zoé .gbc. e la tavola te s’ apresenta tanto longa quanto .egb., perché chi metesse un bastone ritto, a filo dela quantitá delo .gb., ritto a te, e guardando tu per lo capo suo, che seria el ponto .g., non vederesti niente dela tavola. Donca aponto te s’ apresenta quel tanto che è .gb. Ora, per saper la quantitá delo .gb., dirai cosí: se l’ .ec., basa del triangolo grande, me dá de catetto .fe., che me dará la basa .bc. del triangoletto. Che te virá a dare .gb. Zoé, per numero, dirai: se .22., ch’ é tutto el piano, me dá .2., che me dará .12. Opera e tro- verai che te dará .1 1/11. e tanto sia .gb. e tanto te s’ apresenta longa ditta tavola, zioé .ba.1 1/11. et cetera. De- la largezza non si fa caso peroché par quella medesima, perché sta in maiestá et cetera. 86. E gli é un piano longo bracia .12. e in capo d’ esso é uno homo longo bracia .2. Vengo io che so alto bracia .2. commo lui, me scosto dal’ altro bracia .10. e, dove prima io stava, vi msi un al- tro hom pur alto bracia .2., cioé in sull’ altro capo del piano verso me. Dimando qual di lo- ro me se mostrará magiore, el primo overo secundo, e quanto. Sapi che questa è di perspectiva e fassi cosí. Sia el piano .eb.bracia.12., commo è ditto, e l’ omo sia .bc.bracia.2. e habia li piedi fermi in ponto .b. e la distantia da me al ditto piano sia .ae.bracia.10. E la mia statura sia la linea .ad., bracia .2., cioé li piedi in ponto .a. e l’ ochio in ponto .d. E l’ altro homo sia la linea .eg.bracia.2., c’ abia li piedi in pon- to .e. Or, questo stante, tu imagini un quadrilatero fatto dela tu’ persona e quella del’ altro piú lontano, ch’ é .abcd. E si imagini una piramide, cioé un triangolo rettangolo .dcb., zoé facto da- l’ ochio tuo .d. con la linea che va ali soi piedi .db., ch’ é potumissa e l’ altra, che è .dc., che va simil- mente dal’ ochio tuo al suo, ch’ é tanto quanto tuto el piano .ab., cioé .22. Ora tu vedi che con l’ ochio tuo tu tagli l’ omo .eg. nel ponto .f. e causi un altro triangoletto .dgf. il cui catetto ène la linea .gf. e la basa sia .dg., che è tanto quanto la distantia e cioé bracia .10. Ora dico che quello homo che sta in capo del piano, zoé .bc., te se mostra aponto quanto che è la linea .gf., cioé molto menore che non fa l’ omo .eg. E, se voli sapere aponto per numero quanto è l’ uno e l’ altro, dirai cosí: se .dc., che è bracia .22., me dá de catetto .cb., ch’ é bracia .2., che me dará .dg. che è bracia .10., cioé se .22. me dá .2., che me dará .10. Multiplica e parti, che te dará .10/11. de bracia e tanto sirá el catetto .gf., zoé tanto te se representerá l’ omo .bc. L’ altro che te sta piú presso, senz’ altro termino fra te e lui, cioé .ge., te se rapresenta quello me- desimo che lui e zoé bracia .2. E la cagione che si mostri quello lontano manco sie che li piedi che te- ne in ponto .b. se innalzano ala vista su per la potumissa .db., ma la testa .c. sta sempre para ala tua in linea retta, siando tu longo quanto lui comme è ditto. Io et cetera. E sapi che questa va al contrario de quella dela tavola che di sopra dicemmo in questo lato, perché la tavola giaci a piano in terra. Peró ala vista vene alzare el capo lontano, zoé il capo .c., e l’ altro capo verso te, cioé el capo .b. vene a stare fermo. E inperó vene a fare catetto de sotto, in lo proprio piano, ma el capo levato, cioé l’ o- mo el capo alto sta fermo e quello che sta a pian, zoé li piedi se levano in alto a vedere su per la po- tumissa, commo è ditto, e fanno catetto di sopra ala potumissa e la longhezza che è dal’ ochio tuo al suo é simile al piano che è fra li toi piedi ali soi, cioé tanto una quanto l’ altra io diligenter adverte. E cosí sequiresti quando te fosse detto sonno piú homini, uno dopo l’ altro; l’ uno è alto tanto e l’ altro tanto et cetera, in linea retta dal tuo ochio, l’ uno é scosto dal’ altro tanto che commo per te porrai formare sempre, imaginando la piramide e li triangoli visuali. Avenga che non fossero de pari longhezza, che tanto fa, ma in questa te li ó messi tutti longhi l’ uno commo l’ altro, perché meglio li aprenda per l’ altre. E cosí, quando la domanda dicesse: io e uno altro siamo in un piano, distante l’ u- no dal’ altro bracia .10. e ciascuno di noi è alto bracia .2. Va el compagno, se slontana indrieto da me per bracia .12. Dimando se me s’ apresenta magiore o minore de bracia .2. e quanto. Alora, per farla, farai commo di sopra, perché dove lui stava prima, per imaginatione tu ci porai un altro simile di longhezza a lui e se- quirai como di sopra e arai che parrá .10/11. de bracia. E cosí, quando dicesse: noi sian doi de par sta- tura, ognuno bracia .2., distanti l’ uno dal’ altro bracia .12. Vengo e tirome indrieto bracia .10. e lui sta fer- mo. Dimando quanto me se mostreran. Fa commo di sopra. Imagina nel luogo dove prima stavi un altro a te simili e sequirai.

E gli é uno longo bracia .5. in su ‘nn un piano con meco, distante da me bracia .22. E fra lui e me éne una finestra quadra, overo balestrera, distante da me bracia .10. e distante da lui bracia .12.

E, si vego de ponto colui, dala cima del capo fino ala pianta di piedi, dimando quan- ti bracia sirá alta ditta finestra. Sapi questa essere gintil domanda e per farla fa cosí. Po- niamo che ’l piano sia la linea .cb. e la fessura .ef. e colui, dela dal muro, sia la linea .ab. e la tua perso- na sia la linea .dc., cioé l’ ochio tuo sia el ponto .d. E non fa caso sapere la tua altezza: avenga che in l’ ar- te pictoria si metta communamente l’ omo longo bracia .3. E sia la distantia da te ala balestriera .dg. e da lui ala finestra sia .gh. Ora, se tu ben consideri, tu causi doi triangoli rettanguli, fra te e lui con l’ ochio tuo: l’ uno è .dhb., l’ altro éne .dha. L’ uno, cioé .dhb. á il catetto volto in giú, che è .hb. L’ altro áne el catet- to volto in su, cioé .dha., il cui catetto éne .ha. e la linea .dh. è tanto quanto che el piano .cb., cioé .22. E taglia la finestra rettangolo nel ponto .g., siché co’ lui te s’ apresenta aponto tan- to quanto ditta finestra. E, per aver ditta finestra, troverai il catetto soprano .ge. e ancho di catetto sottano .gfe., giongnerali insiemi e tanto sia l’ alteza dela finestra. E, per trovar ditti catetti, dirari cosí: se .dh., che è .22., me dá de catetto .ha., ch’ é .2., che me dará .dg. ch’ é .10.

E troverai che te dará .10/11. e tanto sia .eg., qual salva. Poi, per l’ altro, dirai: se .dh., ch’ é .22., me dá de catetto sottano .hb., che è .3., cioé quanto la mia statura, qual per la ragion ditta metto bracia .3., e, se piú la volesse, piú la meteria, che me dará .dg. pure di catetto sottano. Multiplica e parti e troverai che te dará .1 4/11. e tanto sia lo catetto .gf., quale giongni con .eg. che salvasti, cioé con .10/11., fa .2 3/11. per tutta l’ altez- za dela finestra e tanto sia .ef. e anche tanto dirai che te s’ apresenta colui, cioé bracia .2 3/11. Fatta. Vel aliter et brevius, perché l’ ochio tuo causa piramide e anche un triangolo fra doi linee equi- distanti, che l’ una è la tua statura e l’ altra la statura del compagno, sonno pur simili fra loro. E, se ditta finestra s’ abasasse in sul piano uniforme a squadro, cadaria fra .cb. in sul ponto .l., commo appa- re in la .2a. figura. E alora diresti: se .22., cioé .cb. me dá de catetto .5., cioé .ba., che me dará .10., cioé .cl. Opera e troverai che ten dará in un tracto .2 3/11., che tuta la quantitá dela finestra, senza farla in doi volte. Ma la prima è piú demostrativa, questa piú maistrevoli et cetera. E, se la domanda dicesse: e gli é uno alto bracia .5., longni da me bracia .22.; fra lui e me c’ é una finestra che me lo mostra de ponto, da pie’ a capo, alto bracia .2 3/11. Dimando quanto sia lonta- na ditta finestra da me e quanto da lui. Alora, per le medesime considerationi dirai: se .ab. ch’ é .5. di catetto, me dá .22. de piano, ch’ é .cb., che me dará .2 3/11. Multiplica e parti. Troverai che te dará .10.bracia. E tanto sia distante da te ditta finestra. E lo resto fin .22., ch’ é .12., sirá da lui, che per l’ una poi aver l’ altra e per l’ altra l’ una e virate bene et cetera. E, se dicesse: e gli é uno lontano da me bracia .22. e fra lui e me éne una finestra, distante da me bracia .10. e da lui distante bracia .12. La quali nestra è alta bracia .2 3/11. e mostrame de ponto colui. Dimando quanto sirá longo quel tale. Alora dirai: se .10. de ba- sa me dá de catetto .2 3/11., che me dará .22. de basa. Multiplica e parti. Troverá che te dará de catetto bracia .5. e tanto sia longo quel tale.

S e gli é .1o. piano longo una quantitá e in esso a filo ugualmente sonno .3. persone; la prima è lontana dala .2a.6.bracia. e la .2a. dala .3a.12.bracia; ciascuna è alta .3.bracia. e io sto distante dal ditto pia- no .6.bracia. e da me ala prima persona é .10 bracia. Dimando quanto me s’ arepresen- ta ciascuna de ditte persone e quanto dissgrada una e quanto l’ altra. Sapi che questa é gentil domanda in perspectiva e, per satisfarla, tien questa via .V.g. Poniano che ’l ditto piano sia la linea .eb. e la tua persona sia nel ponto .o. e la linea ortogonale, da te al ditto quel piano, dicemo essere bracia .6.; sia la linea .oa. contingente il piano .eb. nel ponto .a. e sia la prima persona a te prosimana nel decto piano in ponto .d., qual dicemo esser distante da te bracia .10., che sia la linea .od. e questa viene a esser potomissa d’ un trian- golo rettangolo .oad. che l’ un di lati continenti il rettangolo, cioé .oa., é ditto esser .6. Donque dela po- sanza .od., quale è .100., trattone la posanza .oa., rimane .64. per la possanza .ad. Donca sia .ad.R. di .64., cioé .8. Ora sia la .2a. pa. apresso questa pure in decto piano d’ uno paraggio nel ponto .c., qual di- cemo essere distante dal ponto .d.bracia.6. Donca sia la potumissa .oc. del triangolo rettangolo .oac.R. di .232. Poi apresso questa sia la .3a. nel ponto .b., che dicendo .cb. essere bracia .12. donca sia la potomissa .ob. del triangolo rettangolo .oab.R. di .712., perché la basa tutta .ab. éne bracia .26. Ora, per trovare el digradamento del’ uno e l’ altro, dirai cosí: se la potomissa .ob., che è .R. di .712., me dá .3. d’ altezza che dicemo essere la statura degli omini, che me dará la potomissa .od., che è .10. Multiplica e parti e trovarai che te dará .R. de .1o.47/178. E tanto te s’ apresenta colui che sta nel ponto .b., perché, se fosse nel primo uoco a te proximano, cioé nel ponto .d., te s’ apresenteria pur .3., sí commo e gli é peroché, fra te e lui, non siri termine alcuno. Donca, per essere lui slontanato dal decto ponto .d.bracia.18., che è tutto .db., me se rapre- tenta molto manco che prima, cioé. R. 1o.47/178. Donca è digradato. El resto fine a .3., che è .3. men .R.1. .47/178. Poi, per lo .2o. che sta nel ponto .e., dirai similmente: se .oe., che è .R. del .232., me dá d’ alteza bracia

.3., che me dará .od., che è .10. Multiplica e parti. Troverari che te dará .R.3 51/58. E tanto, per la ragion ditta, te s’ apresentará quel che sta nel ponto .e. Donca, per essere lui dislontanato dal ponto .d.bracia.6., á disgrada- to .3. men .R.3 51/56. E quel che sta in ponto .d. te s’ apresenta quel medesimo che gli é a ponto, cioé bracia .3. Ma, quando nel ponto .a. vine fusse un altro dela medesima altezza, che virria a esser distante dal .d. bracia .8., alora similmente quel che sta nel ponto .d. virria a degradare ancor lui. E quell che stesse nel pon- to .a. staria saldo in sua quantitá, peroché gli é el termine a te piú proximano che sia. E, se tu volesse trova- re il digradamento di quel che sta nel ponto .d., alor diresti commo negli altri hai facto, cioé: se .10. me dá .3., che me dará .6. Che te veria a dare .1 4/5. Siché, per la mutation sua, dal ponto .a. fine al ponto .d. che è .8., vene a esser digradato el resto da .1 4/5. fine a .3., che è .1 1/5. a ponto. Cosí te converia poi similmente ritrovare gli altri del ponto .c. e ponto .b. dicendo: se .R.232. me dá .3., che me dará .6. E tanto te se rapresenterá quello del ponto .c. E poi, per quello del ponto .b., dirai: se .R.712. me dá .3., che me dará .6. E quello che ti dará, tanto ti parrá quello dil ponto .b. E cosí, se fossero infinite per- sone sopra una medesima linea, o da man destra o da senestra, commo si voglia, o de equali o vero de diverse distantie, o de equali overo diverse altezze over stature (commo torri, merli o simili co- se che vano a filo) trovaresti di tutti lor potomisse per la via ditta con la notitia dela perpendicu- lare da te al ditto piano. Avenga che l’ uno fosse alto .4.5.6..10.20. et cetera. Sempre dirai: se questa poto- missa me dá d’ altezza (.0.4.0.5. che si voglia.), che me dará quella ch’ é piú proximana. E quello che te dará tanto te rapresentará l’ alteza che sia in capo de ditta ypotomissa. E ’l digradamento puoi per te facilmente trovarai. E cosí farai in tutte simili. Avenga che fossero o da man dextra o da sene- stra de ditta perpendiculare: observarai similmente. E, per piú tua chiareza, qui da lato guarda la figura et cetera. E, quando te fosse datto fermo l’ ultimo, quello del ponto .b., e per quello tu volesse sapere quan- to te s’ apresenteran gli altri piú, alora faresti al contrario, perché ciascuno te virrá a crescere e dire- sti: se .od., ch’ é .10., me dá .3., che me dará .R.712., che te virrá a dare .R.64 2/25. e tanto te se mostra- rá quello del ponto .d. E cosí viresti per gli altri, a uno a uno. Per quello de .e. diresti: se .10. me dá .3., che me dará .R.232., che te virá a dare .R.20 22/25. e tanto te mostrará quello del ponto .e. et cetera va per lo contrario che di sopra festi .89.

E gli é un quadro .abcd. per facia .10. Io lo voglio redure a .8. facce e consumarne meno sia possibile. Dimando commo se habia a fare geometrice e ancora per arithmetica. Dico che se de’ fare cosí per geometria. Tira el diametro in lo ditto quadro, che sia .bc., e divi- dilo in mezzo in ponto .t. e super esso descrivi el cerhio torno al ditto quadro e poi l’ archo .ab. dividi in mezzo in ponto .e. e cosí li altri archi: .ac. in .f.cd. in .g.db. in .h. E tira le liniee da ditti pon- ti dividenti ditti archi per equali dal’ uno e l’ altro e harai un altro quadro .efgh. el qual taglia li ango- li del primo quadro neli ponti .k.p.l.m.n.o.p.q.r. Queli sonno angoli del quesito octagono equilatero e an- che equiangolo, commo vedi in figura, e questo è il magior che si possa fare del ditto quadro, perdendo man- co si possa del quadro et cetera. Ancora potevi fare el tondo dentro al quadro e far similiter e haresti lo octagon, ma si perde asai del .primo. quadro et cetera. Or prendila arithmetice. Poni che si levi del lato .ab .1.co. per lo .ak., donca .1.co. ancora se ne leverá del lato .ac. per lo .am. Ora tu hai uno triangolo or- togonio .akm. del quale l’ angolo .a. è retto, per la penultima del .po. Euclidis, el quadratto del lato .km. fa li altri .2. Peró quadra .ak., fa .1.ce. e quadra .am. fa .1.ce., similiter queli giongni insemi fanno .2.ce. per lo qua- drato delo .km. Donca la .R.2.ce. sia .km., lato delo octagono, quale serba. Ora prendi .kl., che sirá .10. men .2.co., perché a ogni cantone perde .1.co., siché vien restar .kl.10. men .2.co. Multiplica li extremi in sé harai .2. ce equali a .100. men .40.co. piú .4.ce. Aguaglia le parti levando li superflui e rendendo li debiti. Harai in ultima equatione, quan- do la sia recata a .1.ce., .50. piú .1.ce. equali a .20.co. Smezza le cose, multiplica in sé, cavane el numero, resta .50.e. .R. di questo cava del dimezzamento e harai la cosa valere .10. men .R.50. E tanto s’ é levato dela fa- cia verso ciascun angolo del quadro e sirá .ak. e ancho .lb. e ancho .qd. e .rd. e .co. e .cm. et cetera. Ora trova .km. multiplicando in sé .ak., ch’ é .10. men .R.50., fa .15. men .R.20000. e altretanto sia el quadrato .am. che, gionti insemi, fanno .300. men .R.80000. E tanto sia el quadrato del lato opposito al’ ango- lo retto .a., cioé de .k.m. Donca la sua .R. universale, overo legata, sia ditto lato .km., cioé .Ru. .300. men .R.80000. e altretanto sia .kl. lato pure del quesito octagono. Donca harai quella .R. lega- ta equal a .R.200. men .10., che sta bene, che tanto val l’ una commo l’ altra, peroché quella .R. legata in sé fa .300. men .R.80000. e tanto ancora fa .R.200. men .10. in sé dutto, cioé .300. men .R.80000., siché tanto sia l’ una commo l’ altra ratione quadrature quod est nota, dignissimum in similibus ut patet quamvis denominationes sint diverse tamen quantitas est eadem utrobique et cetera. 90.

Una botte tien .10. barili; ne voglio ogni giorno trare la decima parte di quello che io vi

trovaró dentro. Dimando in quanti dí n’ aró tratto .5. barili. Fa cosí. Proponi che in questa botte sia .10000000. E questa positione si fa per fugire la confusione deli rotti. Adonca, se ve siran diecimilion de barili, e gli é forza che ’l primo dí io cavi un milion de barili. E peró sequita che in essa restaran .9. milioni de barili. E l’ altro dí me conven trarne el .1/10. de nove milioni, che sonno novecento migliai e tutto questo serba. El terzo giorno sirá in essa .8. milioni e centomigliai de barilie e di questo te conven ca- cavar ne ‘l .1/10., che sonno octocento diecimigliai e similmente serba. Or vien el .4o. giorno, che non ve sirá piú che .7. milioni. e .290000. de barili, de quali similiter ne cavi el .1/10., che sonno .729000. e similiter serba. Or vien el .5o. dí, che in essa non si trovará piú che .6. milioni e .6561000., dela qual somma similiter ca- varai el .1/10., che sonno .656100. e similiter serba. El .6o. giorno in essa non trovarai se non .5. milioni e .5940900., deli quali cava el .1/10., che son .590490. e similiter serba .Ora recogli tutte queste serbanze insie- mi, faranno .4685590., che, fin .5. milioni, che è la .1/2., mi manca .314410. E si volesse trare el .7o. dí el .1/10., ch’ entro seria .5314410., deli qual serebbe el .1/10. barili .531441., siché seria troppo. E peró dico: si se .1. dí me dá .531441. e io vorri’ .314410., che parte debio prendern de dí. Fa cosí. Multiplica .1. via .314410. e parti in .531441., che nen ven questo rotto .431410/531441. de giorno. E, concludendo, dico che ditta botte sará voita mezza in dí .6. e questo spezzato .314410/531441. de giorno. Facta. 91 Una botte á .4. canole ordinate, tutte in retta linea, secundum sub et supra e non equali- ter iacentes vt pz in fila. Dala prima fin ala cima è el .1/3. del tenuto de tutta la botte; dala . 2a. ala prima é il .1/4. de tutto el tenuto; dala .3a. ala .2a. é il .1/5. del tenuto e dala .4a. ala .3a. el resto del tenuto. La prima voita la sua parte suprema in un dí, la .2a. la sua parte la voita in .2., la .3a. voita la sua in .3. dí, cioé quello che è fra la .3a. e 2a. E la 4a. voita la sua in .4. dí. Dimando: apren- dole tutte a un tratto, siando piena, in quanti giorni si voiterá. Prima te conven trovare un te- nuto a tutta la botte, poiché ‘l thema non lo dá e, quando lo desse sequiristi quello commo faremo in questo. Donca poni che la tenga una quantitá de barili a tuo modo, che non fa caso, ma per piú aconzo poni un numero che habia .1/3, 1/4, 1/5, ació possi togliere le parti sane, che sia .60. Or dici che la parte suprema tien el .1/3., donca tira barili .20. e la .2a. barili .15., per lo .1/4. dela .3a.12., per lo .1/5. la .4a. el resto fin .60., che son .13. Ora te conven fare la ragione a parte a parte, perché facendola tutta insiemi non resciri, peroché le ditte canole non lavoran tutte fin al fondo: perché, commo la parte soprana sia fini- ta, quella canella non getta piú e cosí del’ altre successive. Siché la portion prima è aiutata da tutte e la portion .2a. non è aiutata se non da .3. e la .3a. da .2. la .4a. solo da una vt pz intuenti. Donca fa- rai prima per la parte soprana e vedi, lavorando ciascuna commo è ditto, in quanti dí la voitaranno, che fai che la prima fa el dí .20. barili, la .2a.7 1/2., perché in .2. dí voita .15., la .3a. fa .4., che in .3. voita .12., la . 4a. fa .3 1/4., che in .4. voita .13. Summa insiemi .207 1/2.4.3 1/4., fanno .34 3/4. e tanti barili voitaranno in un dí tutte .4. E tu voli solo barili .20. per la prima parte. Peró dirai: se .34 3/4. sonno voitati da .1. giorno, da quanti dí siram voitati .20. barili. Opera, harai .60/139. e in tanti esimi vedi tutte .4. haranno voitata la prima parte, qual salva. Poi el simile farai per la .2a. parte e vedi le .3. canole che rimagano in quanti dí voitaranno barili .15., che sai che la seconda voita el dí .7.1/2., la .3a.4., la .4a.3 1/4. Summa insemi, fanno .14 3/4. e tanti barili ne voitaranno in un dí. E tu voi sapere de .15., peró dirai: se .14 3/4. sonno voitati da un dí, da quanti saran voitati barili .15. Opera, harai che siran voitati in dí .1 1/59., qual salva. Poi farai per la .3a. parte e vedi le .2. canelle rimanenti in quanti dí voitaraveno barili .12., che sai che la .3a. voita .4. e la .4a.3 1/4. Summa, fanno .7 1/4. e tanti barili ne voitaranno in .1. dí la .3a. e .4a. insiemi. E tu voi sa- pere de .12., peró dirai, ut supra, se .7 1/4. sono votati in .1. dí, in quanti dí siran voitati .12. Opera, siran voi- tati in dí .1 10/29. Per la .4a. parte non bisogna che facia altro, peroché lei solo se voita da una canella in .4. dí perché le precedenti non la possano aiutare .ut pz. Ora summa insiemi tutti questi dí che hai tro- vato per la prima .2a. 3a. 4a. parte, cioé .80/139.1 1/59.1 10/29.4., fanno in summa dí .7 245235/2959139. e in tanti dí dirai che voitaranno la ditta botte. E tenga ció che si voglia, siando disposte in essa le zanole: ut sonat in thenate et cetera. E cosí porresti imbratarla con .5. o .6. canolle et cetera e dirai la prima la voita in dí et cetera; la prima cannola- tien el .1/3. del tenuto per .4. barili, la .2a. á l’ .1/4. men .12. barili .et cetera. E seria grande operare siché tu per te formane. .92.

E gli é una fontana con doi pile l’ una sopra l’ altra, commo vedi. E l’ una e l’ altra ha .3. canoni, cioé .3. che empi e .3. chi voita, di tal conditione che il primo di quelli di sopra, per. se solo, empiria el pil di sotto in una ora. El .2o. lo empiria in .2. ore, el .3o. in .3. E deli canoni del pil de sotto, el primo per sé, quando fosse pieno, lo voitarebe in .2. ore. E lo . 2o. in .3. el .3o. in 4. Dimando, aprendo tutti a un tratto, cioé quelli che empiano e quelli che voi- tano e lavorando ognuno a modo ditto, in quante ore quelli de sopra haveranno impito aponto el pil de sotto. Fa cosí. Prima trova .1.no. che habia parti integre denominate da quelli numeri de ore, cioé da .2.3. e .4., cioé che habian .1/2 1/3 1/4., che si trova multiplicando li denominatori uno in l’altro. E poi quel che fa in l’ altro et cetera, commo nel trattato de’ rotti te insegnai. E dí: .2. via .3. fa .6. e poi .6. via .4. fa .24. e

questo è quel numero che á .1/2 1/3 _. integraliter per l’ ordinario trovato. Ma al piú basso, .12. ancora á le medesime parti e tanto te serve uno quanto l’ altro. Ma quanto piú basso possiamo operare tanto è meglio e men briga. Or, facto questo, vedi in questo tempo de ore .12. quante volte li cannoni de sopra (lavorando a modo ditto) inpirieno quella de sotto, che lo trovarai in questo modo. Tu fai che ’l primo cannon per sé l’ enpi in un’ ora, donca lui l’ enpi .12. volte in .12. ore. E quello da .2. l’ enpirá .6. volte. E quello da .3. l’ enpi .4. volte. Ora summa insiemi .12.6.4., fanno .22. Siché tu hai che fra tutti .3. ‘ditti cannoni la se inpiria .22. fiade; quel salva da parte. E poi fa per quelli di sotto similmente. Cioé vedi in .12. ore quante ne voitaria el cannon da .2., che ne voitaria .6. e quello da .3. ne voitaria .4. e quel da .4. ne voita- ri .3.; queli suma insiemi, cioé .6.4.3., fanno .13. e tante volte serebe voitata da quelli de sotto nel tem- po de ore .12. Ora cava queste .13. voite de .22. piene, resta .9. piene. E tu voli una sola piena. E peró dirai, per la regola del .3., cosí. Se .9. me sonno inpite da .12. ore, da quante me sirá inpita una. Multiplica e parti secondo la regola ditta. Harai che se inpirá in ore .1 1/3. Facta. La prova farai cosí commo de sopra. Cioé, vedi in .1 1/3. quante n’ enpirá ciascuna a modo ditto che sai commo lavorano, pur per regola del .3. dicendo: se un’ ora me dá .1a. piena per lo primo canonne, che me dará .1 1/3. d’ ora. Te dará .1 1/3. de pila pie- na. E quel da .2. te dará .2/3. de pila. e quel da .3. te ne dará .4/9., che fra tutti .3. te vengono a dare .2 4/9. E tante ne harai de piene in .1 1/3. d’ ora, qual salva. Poi vedi quante ne haverai de voite in ditto tem- po per li cannon de sotto similmente dicendo: se in .2. ore el primo ne voita .1., donca in .1 1/3. ne voita .2/3. El secondo ne voita .4/9., el .3o. ne voita .1/3. che, gionte insiemi .2/3 4/9 1/3., fanno .1 4/9. e tante ne votaranno ore .1 1/3. qual cava de .2 4/9., resta una sola aponto piena per quel che volemo. Siché aponto fie facta et cetera. Or prendila per la cosa. Poni che in .1.co. d’ ore quelli de sopra ne inpissero una. Unde el primo, se in un ‘ora n’ empí .1., in .1.co. d’ ore n’ enpirá .1.co. de pile. El .2o.1/2.co., el .3o.1/3.co., qual summe asiemi, cioé .1.co.1/2.co. .1/3.co., fanno .1 5/6.co. e tante pile li .3. empiranno in .1.co. d’ ora. Qual salva da parte. E poi ved quelli de sotto quante ne voitarebeno in .1.co. d’ ore, che troverai el primo d’ essi voitarne .1/2.co., el .2o.1/3.cose., el .3 1/4.co., quali summa insiemi, fanno .1 1/12.co. e tante ne voitarebeno in .1.co. d’ ore, qual cava de .1 5/6.co., resta .3/4.co. de pile. E tu ne voresti .1a. sola., donca harai .3/4.co. equali a .1. Sequi el capitolo, harai la cosa valere .1 1/3. e in tante ore quelli de sopra haveranno avanzato una pila piena, nonobstante che quelli de sot- to gettino quello che lor danno et cetera. E cosí in simili te regerai. Ma in simili é d’ avertire, ació tu non lavorasse alo impossibile, perché la domanda se porria ponere in modo che non si porebe mai in- pirne alcuna parte dela de sotto. E questo averria quando quelli cannoni de sotto fosero piú velo- ci al voitare che quelli de sopra a impire, che in tal caso mai li de sopra non porienno giongnere quelli de sotto. E anche quando l’ uni e l’ altri lavorassero pari, anche non si giongnerienno. Io n’ ad- verte. E commo habian detto de .3. che inpiano .e. 3 che voitano, cosí poi dire de .3. che empino e .4. che votino, e .10. che empino e .6. che voitino et cetera, proportionando el tempo in modo che quelli de so- pra possino giongnere quelli de sotto et cetera. E cosí, commo habian ditto de doi pile, cosí poi sequire de .3. pile e de .4., travagliando, or piú or manco cannoni, tempo e pile, nondimeno al modo dato, sequiristi e virram sempre bene et cetera. E per questa via ancora faresti quando dicesse solo deli can- noni de sopra, cioé non voitandose quel di sotto in quant’ ore quelli per sé empirieno quel di sotto et é conver- so, cioé siando pieno quel di sotto. E non inpiendo quelli de sopra in quanto tempo quelli voitarie- no el pilo, commo se costuma dire de botti de .3. o .4. cannole et cetera, ponendo sempre .1. numero fermo de ore, de giornoi et cetera e vedere in quel tempo quante volte se inpiria e quante volte se voitaria et cetera e tu poi, per la regola del .3., sempre sequirai lo effecto dicendo: se tante sonno in tant’ ore impite o voi- te et cetera in quant’ ore sira piena una. E cosí sempre operando farai bene et cetera. 93 E gli é una verga, o voi dir bastone, eguale qual è deritto e longo palmi .12. e pessa .libbre.12.

Ora io lo messi in bilico in sul primo palmo e apiccai in sula sumitá de ditto primo palmo una grossa petra con l’ oncino e dipoi tolsi un’ altra petra minore con l’ oncino di ferro e apiccala in sula stremitá opposita del ditto bastone, che pesa ditta minor pietra .libbre.2., cioé .libbre.2. con l’ oncino e trovo che stanno pari li contrapesi, cioé in equilibra. Dimando che pesa la gran petra con l’ oncino. Fa cosí. Prima é da vedere quanto el sopradetto bastone sostien da se stesso, senza l’ aiuto dela picola pietra. E, per questo fare, sappi che ogni bastone iguale, sia longo o corto, a suo modo, se tu lo metti in bilico, cioé in equilibra, diciamo in su sexta parte dela sua lunghezza, ellevará per se stesso el peso de doi bastoni. E, se tu lo metti in bilico in sula quarta parte dela sua longhezza, levará per se stesso el peso d’ un bastone. E, per questo sapere, fa cosí. Noi dicia- mo che ’l ditto bastone è in bilico in sul primo palmo e che in tutto è longo palmi .12., adonca el ditto bastone è in bilico in sul duodecimo dela sua longhezza e peró prendi el mezzo di .12., che sta sotto la verga, che è .6., del quale cava .1., ch’ é sopra alo detto .12., resta .5. e questo parti per lo preditto .1., che sta sopra al .12., ne ven .5. E tanti bastoni sostirrá per se stessa la ditta verga, cioé

.5. E, se la ditta verga over bastone fosse in bilico dela quarta parte dela sua longhezza, quanto leva- rá da se stesso. Fa commo di sopra t’ ó mostro. Prendi la .1/2. de .4., che è .2., e di questo tra’ .1., che è di so- pra, resta .1., qual parti in .1., che era di sopra, ne ven .1. e .1. bastone di peso levará per se stesso ditto bastone. Or torniamo al nostro proproposito. Noi trovamo che ’l ditto bastone da se stesso leva .5. bastoni. E co- mo fo ditto el bastone pesa .$.12., donca li .5. pesamo .$.60. Adonca bisogna ora vedere quanto leva- rá con l’ aiuto dele .$.2. Fa cosí. Sapi che l’ aiuto del bastone á questa natura: che, se ’l bastone è posto in bilico in sula quarta parte del bastone, quella petra picola che tu metti per aiuto levará .3. picole petre o voglian dire .3. aiuti e, se ’l bastone sirá messo in bilico in sula .5a. parte del bastone, l’ aiuto che li darai le- vará .4. aiuti. E, se ’l bastone sirá in bilico in sul’ octava parte del bastone, l’ aiuto che li darai levará .7. aiuti e sempre mai se ne cava .1. E se ’l bastone fosse in bilico diciamo in suli doi septimi del bastone, dimando quanto l’ aiuto levará, cioé quella preta picola ditta. Fa cosí, commo di sopra festi siando el bastone in bilico in sul’ octava parte, che cavasti .1. de .8., restó .7. e questo partisti in .1., che era sopra la ver- ga, venne .7. Cosí hai ora a fare siando .2/7. cioé tra’ .2. de .7., resta .5. e questo parti in .2. che è sopra la verga, ne ven .2.1/2. e .2 1/2. aiuti levará. Or torniamo al nostro proposito. Noi diciamo che ’l ditto basto- ne è in bilico in sula dodecima parte. E peró tra’ .1. de .12., resta .11., parti in .1. che è sopra la verga, ne ven .11. e .11. aiuti levará. E noi dicemmo che l’ aiuto era una picola preta che pesa .$.2. Adonca questi .11. aiuti sonno .$.22. che, agionto ale .$.60. che levará el bastone per se stesso, fará .$.82. e .$.82. leva- rá el ditto bastone con lo sopra ditto aiuto. Siché la sopra ditta gran preta pesava .$.82. con lo so- pra ditto uncino. Fatta. Facsimiles et cetera.

E gli é un bastone longo .12. palmi d’ una medesima grossessa e pesa .$.12. ed é tutto de- ritto uniforme. Siché ciascuno palmo pesa .$.1. Ora io lo metto in equilibra in questa forma: ch’ io lego una corda in sul segno del primo palmo e l’ altro capo dela corda ta- cai al palgo e dipoi tolli un peso de petra con .1. uncino de ferro e apicolo ala ponta del ditto bastonne, cioé ala vetta del primo palmo e trovo che gli sta paro in equilibra aponto commo sta un peso in sula stadiera di mano. Che pesava quella preta con quello uncino de ferro. Fa cosí. Convien- te considerare che ’l primo palmo se contrapesa con lo secondo e non vi resta se non .10. palmi de tracollo, li quali .10. palmi pesano .$.10., peroché, pesando tutto el bastone .$.12., li .10. conven che pesi- no .$.10. in proportione et cetera. Or ti convien cognoscere che ’l tracollo á questa natura: che leva de pe- so la mitá dela sua multiplicatione. Adonca multiplica .$.10. per lo bastone tutto, fará .120.$., pigliane la .1/2., che è .60. e parti per .1., ch’ é di lá dal bilico, viene .60. e tanto venne a pesare quella preta con quel ferro. Ed é fatta, cioé che leverá .5. bastoni. E ancora poi dir cosí: che ’l bilico é in sul .12o. del bastone, commo dis- si e levará .5. bastoni, cioé la sopraditta preta pesará .5. bastoni. E, se si ponesse in bilico in sul se- sto del bastone, e levará doi bastoni. E, se ’l si mettesse in bilico in sul .4o. del bastone, levará un ba- stone. E se ’l si mettesse in bilico in sul terzo del bastone, e levará mezzo bastone. E, se ’l si mettesse in bilico in sul mezzo del bastone, non levará niente, perché pesará tanto di lá quanto di qua. E, se ’l si metesse in bilico in sul .5o. del bastone, levará .1. bustone e mezzo e fie expedito ditto proposito et cetera.

Fa el manico dela stadera longo corto a tuo modo, che sia uniforme de groseza, o ton- do o quadro o intagliente. El romano d’ essa fallo ancora grande, picolo, commo a te pare e l’ oncini con le catene d’ atacare el peso ancora falli grandi, picoli, a to modo. E gli ata- catoi d’ essa, dal grosso e dal sotile, farali grandi, picoli, ancora o to modo e distanti da- la testa e dal’ uno e l’ altro ancora a to modo, purché non sienno de rinpetto, che alora tanto seria l’ u- no quanto l’ altro, ma con spatio. E sappi che, quanto piú discosti siranno ditti tacatoi dal’ uno al’ altro, magior differenza faranno nel peso, cioé che quanto piú discosti, tanto magior peso levará la stadera da s’ uno lato che dal’ altro. Or te bisogna provedere de far una libra de peso. Trova un saco o altra materia che pe- si .1. libra, del campione paesano, secondo el paese che voli che la stadiera serva e quello poni in su l’ uncini longhi de ditta stadiera e acosta el romano a quelli uncini di sopra, cioé ali atacatoi in qua e in lá, negotiando tanto che stia in equilibra con lo peso e, commo l’ arai in bilico con esso, segna con una tacca el ditto ma- nico e harai la tacca dela prima libra. E dapoi, per far la tacca dela .2a. libra, metti in suli ditti un- cini grandi el peso de .2.$. e di novo poni el ditto romano in bilico con questo peso, quale trovato, sega l’ altra ta- cca e sia la tacca dele .2. linee. E cosí farai per le .3.4.5. et cetera, finché decto manico s’ enpia de tacce. E vogliando che l’ abia le mezze libre, overo once, giongnerai in suli l’ oncini longhi mezza libra, overo una onci. E d’ altre parti de libra che tu volese che facesse e sia fatta bene. E, se piú presto la vogli finire, senza giongnere peso all’ oncini, farai con le seste in questo modo, cioé, commo tu hai la tacca de .2. libre, prendi con le seste el spacio dal’ una tacca al’ altra e con quello dividerai ditto manico. E ciascuna de ditte tacche tirrá una libra di peso e segnarai le dicine e li centinara et cetera. E, per havere le mezze libre, prendi con diligentia con lo sesto la mitá dal’ una tacca al’ altra e se-

gna con alquanta differentia dale prime tacche, che si cognosca le mezze dal’ intere et cetera, cioé l’ una fa che tiri giú tutta e l’ altra non tanto. E, vogliendoli far l’ once, dividirai lo spacio dal’ una tacca al’ al- tra dela libra in .12. parti equali, over lo spacio fra la libra e la mezza libra, dividi in .6., che ciascuna de ditte parti sirá una oncia aponto, ma bisogna con gran diligentia se divida ditto manico. E questo ba- sti quanto al lato piú legieri. Ora, per fare el lato grosso, cioé quello che porta piú peso e non grosso, per havere magiori libre, excepto che ale volte in Vinegia con una medesima stadiera faranno un lato per la sotile, che è .12. once e l’ altro per la grossa, ch’ é .18. once. Onde voltarai el ditto manico e ataccarai l’ altro atacatoio e reggerate similmente commo di sopra. Ma, volendo far la libra de .18. once, converebbete fare una pietra de .18. once del campione et cetera. 96. E gli é un triangolo .abc. che lo lato .ab. è .13. e’l lato .ac.15. e’l lato .bc.14. e da un pon- to intrinseco a lui, a ciascuno deli soi angoli, commo vedi in figura, meno .3. linee, cioé .db.dc.da. La linea .db. è .9. e la linea .dc. è .10. Dimando quanto sia la linea .ad. Sappi che per aponerse veresti in gran travagli de .R. e anche cubi, ma per forza de linee farai cosí. Prima tu ve- di che tu hai doi triangoli certi, cioé el grande .abc., la cui basa ponemo .bc.15., e altro si é il trian golo intrinseco a quello .dbc., sopra la medesima basa constituto. E peró, de ciascuno de questi, trova- rai soi catetti sopra la medesima basa de .15. e vederai se tutti doi cascano in medesimo ponto de- la basa o non. Se tutti doi cascassero in un luogo, la ragion seria facta perché .da. seria el resto del catetto grande abattutone el catetto piccolo. Ma, se ditti catetti non caggiano in un luogo, alora tirrai questa via. Trovarai la differenza che fa l’ un caso e l’ altro e trovarai che sirá .4/15., cioé el catetto pic- colo caderá distante dal .c.8 2/15. e ’l catetto grande caderá distante pur dal .c.8 2/5. Cava l’ un del’ altro, resta .4/15. e tanto sia fra l’ un caso e l’ altro. Ora dal ponto .d. tira la equedistante ala basa .bc. e harai un triangolo rectangolo la cui potumissa sirá .ad. Oprando per la penultima del primo ha- rai che sirá .Rv.159 81/225. men .R.16984 104/5625. .97.

E gli é un alboro longo .R.61. fitto in terra che la perpendiculare dala cima, over vetta, fine a terra è bracia .5. Vengo e alzo ditto alboro tanto che, per retta linea, dove stava prima la ci- ma e dove sta ora, sonno bracia .4. Dimando quanto sia el pendicolo .2o. dala cima fin a ter- ra et cetera. Fa cosí. Conviente considerare che questo vien essere un tondo el cui diametro é ’l doppio de .R.61., cioé .R.244. e in esso è el quadrilatero che le doi menori facce ciascuna è bracia .4. e la basa de ditto quadrangolo é doi volte .5., cioé .10. e la faccia di sopra, cioé la magior non so che sia. Diman- dase che sia la .1/2. de ditta magior facia. Fa cosí. Multiplica .R.61. in sé, fa .61., cavane el quadrato de .5., resta .36. e la .R.36. fo la linea .gn. El simile fo la linea .bp., adonca la linea .bt. fo .12. Ora poni che la linea .rc. fos- se .1.co., multiplica in sé, fa .1.ce., cavalo del quadrato de .4., resta .16. men .1.ce. e .R.v.16. men .1.ce. fo la linea .rb. Poi multiplica la linea .rb. via la linea .rt., cioé .12. men .Rv.16. men .1.ce. fará .Rv.2301. men .144.ce. men .16. men .1. ce. per quantitá pura e serba. Poi multiplica .rc. via la linea .ra., che .rc. ponemo .1.co., peró la linea .ra. fo .10. piú .1.co., peró multiplicando .1.co.via.10. piú .1.co. fa .10.co. piú .1.ce. e questo é equale a quanto serbasti, cioé a .Rv.2304. men .144.ce. men .16. men .1.ce. per quantitá pura. Aguaglia le parti daendo el debito e levando el mobile ch’ é el super- fluo, cioé darai .16. men .1.ce. a ciascuna parte e harai .Rv.2304. men .144.ce. equale a .10.co. per .16. Multiplica ciascuna extremo in sé harai .256. piú .100.ce. piú .320.co. equale a .2304. men .144.ce. Aguaglia e reca a .1.ce. l’ ultimo equamento e smezza le cose, multiplica in sé, giogni el numero, la cosa varrá .R.8 3064/3721. piú .4 21/61. e tanto fo la .1/2. de ditta gran faccia che vien a essere lo pendicolo del ditto alboro fin a terra. E la .R.8 3064/3721. men .40/61. fo la linea .rc. e sopra vai a porre .5., per venire ala .1/2. dela faccia, e fará .R.8 3064/3721. piú .4 21/61. e fo la mi- tá dela gran faccia. Facta. .98.

Un albero alto .bracia.30., lego una fune ala vetta e tirola tanto che, si tirasse dritto, el pion- bino cascaria apresso al pedale bracia .8. Or, per lo tirar ch’ io feci, non mossi piedi, anzi me ri- colsi la fune in mano. Dimando quanta fune io recolsi in mano. Fa cosí. Tu vedi che tu hai un triangolo ortogonio .abc. che ’l lato .ab. è .30. e lo .ad.50., che è potumissa, multiplicalo in sé, fa .2500., cavane el quadrato delo .ab., che è .900., resta .1600. la cui .R. sia .bd., cioé .40. Ora, per esser .ab. inclinato, e gli é pur .30. commo prima e causa un altro triangolo ortogonio con la perpendiculare .ac. e .bc., del quale .2. lati sonno noti, cioé .ab.bc., che è .8., multiplicalo in sé, fa .64., cavalo del quadrato de .ab., che è .900., resta .836. la cui .R. sia el catetto .ac. E giá tu sai che lo .ed. è .32., perché .bd. è .40. Donca quadra .32. e quadra .R.836. e giongni insiemi ditti quadrati, faranno .1860. la cui .R. sia .ad. del .2o. triangolo inclinato la qual, tratta de .50., che è tutta la fune, resta .50. men .R.1860. per lo .de., cioé per la parte recolta in mano per lo tirare et cetera. .99.

Prendi questa per bella e degna. Un cerchio il cui diametro .ab. è .10. e la linea .ce. è equidistante ala linea .fg. e la linea .fg. son lo quarto magior che la linea .ce. e lo .eg. è .2. Dimando che sia .ce. Fa cosí. Recordate che le linee che se tagliano nel cer- chio, per la .34a. del .3o. de Euclide, tanto fa .ad. in .db. quanto .cd. in .de. e tanto fa .ah. in .hb.

quanto .fh. in .hg. E peró poni che la linea .ce. sia .1.co., donca la mitá dutta in sé fa .1/4.ce., adonca .ad. per .db. de’ fare .1/4. ce. E peró fa de .10.2. tal parti che, dutta l’ una in l’ altra, faccia .1/4.ce. e será la menor .5. men .R.25. men .1/4.ce. e l’ altra, cioé .db. será .5. e .R.25. men .1/4.ce. Mo fa bisogno sapere quanto è .dh. in questo modo Di quanto è una linea piú del’ altra, cioé lo quarto, adonca è la mitá de .1/8.co., lo qual adutto in sé, fa .1/64.ce., lo qual batti de .eg. in sé, cioé de .4., resta .R.4. men .1/4.ce., cioé .dh. E peró se dirá che .ah. è .5. men .R.5. men .1/4.ce. e piú .R.4. men .1/64.ce. E l’ altra .hb. fo adonca .5. e .R.25. men .R.4.1/64.ce., li quali multiplica l’ un per l’ altro, fa .17/64. ce. men .4. e .R.1/64.ce.ce. piú .400 men .5 9/16. de .ce. E questo è equale a .hg. in sé, cioé .5/8.co. in sé, fa .25/64.ce. abatti ’censi per .ce. e sirá .11/64.ce.ce. piú .400. men .9/16.ce. equal .1/8.ce. e .4. Mo du’ ciascuna parte in sé e será .1/64.ce.ce. 400. men .5 9/16.ce., equal .16 1/3 1/64.ce.ce. Mo abatti ’censi de’ censi per censi de’ censi. E restará numero per numero anche .384., gual .6 9/16.ce. Mo parti lo numero per li censi, che ne ven .58 18/39. e la .R. di questo fo la cosa, cioé la notitia dela linea .ce. Et tu sie in ceteris et cetera. 100.

E gli é una mezza spera .ab. il cui diametro è .12. Io vi voglio mettere il magior cu- bo vi capa. Dimando quanto sia per faccia. Fa cosí. Prima farai la spera sana e in quel- la loca un solido, doi sia longo co largo, che virrá essere .2. cubi uno sopra l’ altro. E poni che sia largo .1.co. Donca longo sirá .2.co. Ora trova l’ axis over diametro di questo solido qual sirá ancora diametro de ditta spera et cetera, haverai la valuta dela cosa. E tanto sirá per faccia ditto cubo et cetera.

E, benché di sopra, in questo nella distition .6a. al capitolo .4o., dela mesura dela spera suc- cintamente fosse ditto abastanza, nondimeno me par qui, excelso Duca, particularmente dire de alquanti corpi essentiali, in ditta spera locabili, deli quali, un angolo toccando, subi- to tutti toccano. E principalmente lo so per la notitia deli .5. regulari di quali Euclide a- pieno, nelli ultimi soi libri, scientificamente tratta. Di che me pare non inutile aponere de loro cer- ti casi ació li pratici vulgari ancora essi qualche dolcezza di loro dimensioni sentino. Di questi fra’ phylosofi si fa gran discussioni. E maxime se ben el Thymeo del divin philosofo Platone (secondo lo Au- relio doctor sancto Augustin) con diligentia s’ atende. Dove de universi natura diffusamente parlando spesso a suo proposito li induci. Attribuendo lor forme separatamente ali .5. corpi sem- plici, cioé Terra.Aqua.Aeri.Fuoco e Cielo. Sí commo apieno di sopra in questo, nella par- te de Arithmetica, in la distinction prima, nel secondo suo trattato, al terzo articolo, di loro parlammo. Questi son quelli, Magnanimo Duca, di quali le forme materiali (con assai adornez- ze, nelle proprie mani di. U. D. S., nel sublime palazzo del Reverendissimo cardinale nostro, protectore Monsegnor de San Piero in vincula, quando quella venne ala visitatione del summo pon- tifice Innocentio Octavo, negli anni dela salute nostra 1489 del mese de aprile, che giá sonno .5. anni elapsi. E, insiemi con quelli, vi foron molti altri da’ ditti regulari dependenti. Quali fabri- cai per lo Reverendo monsegnor meser Pietro de Valetarij de Genoa, dignissimo vescovo de Carpentras, al cui obsequio alora foi deputato in casa dela felicissima memoria del Reverendisimo Car- dinale de Fois, nel palazzo ursino, in Campo de Fiore. Siché di questi le sequenti petitioni inqui- riranno el lor modo operentivo abastanza pratica insegnaremo, commo apresso se intenderá. E prima del primo regulare, ditto tetracedon, cioé .4. base triangolari, la cui figura Platone al fuoco attribuí, contra la cui opinione AR, in quel de celo et mundo prese ardire et cetera. E diró cosí. E gli é un .4. base triangolari equilatero .abcd. e ’l centro suo éne .e. e dal’ angolo .a. alo .e. éne .4. ch’ é l’ axis. Dimando, del lato .ab., che è equale agli altri lati. Opra ut scis, harai .ab. esser .R.24. .3.

E gli é un .4. base triangolari equilatero .abcd. e ciascun di soi lati é .R.24. e ’l suo axis .4. Dimando quanto sirá quadrato. Trova prima el diametro d’ una dele base, che è .R.24. per lato. Dividi per equali .R.24., ne ven. R.6., multiplica in sé, fa .6., cavalo de .24., resta .18. e .R.18. sia diametro d’ una dele base, cioé .bg., diametro dela basa .bcd. Donca, multiplicando .R.6., ch’ é la mitá d’ un lato dela basa, via .R.18., ch’ é lo diametro, fa .R.108. e tanto sia la superficie dela basa, la qual se vole multiplicare con l’ axis, che è .R.16., fa .R.1728., el qual se vole partire per .3. E perché .1728. è .R., reca .3. a .R., fa .9., parti .1728. per .9., ne ven .192. e .R.192. sirá quadrato. 4. E gli é una figura corporea che á base .4. triangolare, de angoli e lati equali, che ciascun lato è .R.24. e ’l suo axis è .4. Dimando quanto é da ciascuno angolo al centro. Tu hai la fi- gura corporea de .4. base triangolari equilatera .abcd. e l’ axis suo é .ae. e ’l centro suo è nell’ axis in ponto .f. E perché .ae. è .4. e .af. è sexquitertia alo .ae., adonca .af. é .3. Ala prova, se e ss’ é ditto che un lato è .R.24., peró piglia la .1/2., ch’ é .R.6. e trallo de .24., resta .R.18. e .bh. è l’ axis el qual cade in suli .2/3. del diametro .bh., ch’ é .R.18. e li .2/3. sonno .R.8. che, in sé multiplicato, fa .8. E ss’ é ditto che .af. è .3., donca .fe. é .1., perché .ae. è .4., tranne .af. ch’ é .3., resta .1. per lo .fe. che, in sé multiplicato, fa .1., gionto con .8., fa .9. Adonca .bf.af.cf.df. é ciascun .R.9., cioé .3., commo volemo nel tema aponto facta. .5.

E gli é un .4. base triangolari proposto del quale el suo axis è .4. Voglioci mettere dentro el magior corpo sperico che ci capa. Dimando che sia suo diametro. E ss’é ditto che del .4. base triangolari .abcd., che ’l suo axis è .4. e che il centro è nell’ axis in ponto .f. e anche .af. è .3. e anche .fc. è .1., donca, ponendo un pie’ del sexto sul ponto .f. e con l’ altro pie’ girare contingente, el contingerá tutte le altre facce, perché .af. è equale al .bf.cf. E cosí .fe. è equa- le alo .fk.fl.fm. Onde per questo .fe. che è .1. ed é semidiametro del corpo sperico cadente in quella figura, e tutto el diametro sia .2. braccia. Facta. .6.

E gli é un cubo .abed.efgh. che, per ciascun lato, è .4.bracia. Dimando quanti braci sirá quadro. Multiplica .4. in sé, fa .16. e poi .16. via .4., fa .64. é tanto e quadro. Facta. .7.

E gli é un cubo ch’ é .4.bracia. per lato, cioé .abcd.efgh. Dimando dela sua superfcial linea diago- nale. Opera, trovarai che sia .ad.R.32. .8.

E gli é un cubo ch’ é per faccia .4. Dimando che sia la diagonale interiore passante per lo centro .k., cioé l’ axis. Opera e troverai che sirá la diagonale .ah.R.48. Facta. .9.

E gli é un cubo ch’ é per faccia .4. Dimando che sia quadro la sua piramide e quanto sirá le sue potumisse. Vedi prima quanto e gli é quadrato ditto cubo, che hai che è .64. Adonca pigliane el .1/3. de .64., ch’ é .21 1/3., perché s’ é ditto ogni pirramide essere .1/3. de tutto el corpo, essendo sopra la medesima basa, siché sia quadrata .21 1/3. E le sue potumisse trovarai cosí, dividendo la linea .ad. in doi parti equali, ch’ é .R.32., che l’ una sirá .R.8. che multiplicata in sé, fa .8. Da poi multiplica l’ altezza del cubo in sé, ch’ é .4., fa .16., giongni a .8., fa .24. e .R.24. sia ciascuna dele sue potu- misse del ditto cono o voi dir pirramide. Facta. 10.

E gli é un cubo ch’ é per faccia .4. Vi voglio metter dentro el magior triangolo corpo- reo equilatero, cioé .4. base, che io possa. Dimando che sia per ciascun lato. Tu hai el cubo dato .abcd.efgh. Tira una linea .ad. e .af. e .df.e. taglia via l’ angolo .b. Poi linea .ag. e .dg., levando via l’ angolo .c., remarrá .adf. e .adg. che sonno doi lati del triangolo domandato. Poi linea .fg. e .af. e .ag. e .df. e .dg., levando via l’ angolo .e. e l’ angolo .h. e remar- rá .afg. e .dfg., doi altri lati dela figura .4. base triangolari. E, perché .ab. è .4. e .bd.4. e .ad. pó quan- to tutte doi, perché ella è opposita al’ angolo recto contenuto da quelle, .ab. é .4., multiplicato in sé, fa .16. e .bd. è .4., che fa pur .16., gionti insiemi fanno .32. e .R.32. è .ad., ch’ é un lato de ditta figura .4. base trian- golari. Peró dirai del magiore triangolo corporeo che capa nel cubo .abcd.efgh. éne per lato .R.32. Facta. .11.

E gli é un corpo sperico che ’l diametro suo è .7. Dimando quanto sirá la sua superfice. Éc- ci molti modi a saperlo. Primo é che tu multiplichi lo diametro suo, ch’ é .7., via la circunferentia, ch’ é .22., fa .154. e tanto sia la sua superficie. E Archimede dici che ogni superficie de spera è .4. tanto che la superficie del magiore cerchio di quella propria spera, commo in figura, di questo por- remo sua demostratione: che è il suo diametro, che s’ é ditto che è .7., che la superficie sua è .38 1/2. che, multiplica- to per .4., fa .154. aponto, commo di sopra. Siché dirai che la superficie dela spera, che ’l suo diame- tro è .7. sie .154. Facta. .12.

E gli é un corpo sperico che ’l suo diametro è .7. Dimando che sia quadrato tutto el corpo. Tu hai che la superficie è .154. e ’l suo diametro è .7. Multiplica la superficie sua via la .1/2. del diametro, over la .1/2. dela superficie via tutto el diametro, che ognuna fa .539. Del quale piglia el .1/3., che è .179 2/3. Tanto sia quadro ditto corpo et cetera. Posse ancora fare per altra via, perché tu die sapere che ogni cubo contene in sé un corpo sperico che éne li .11/21. del ditto cubo. Cioé, se ’l cubo fosse .7. per faccia, possede in tutto .343., de questo se ne vol pigliare li .11/21., che ne ven .179 2/3., commo prima, over de .343. se ne vol bugliare li .10/21., che remarrá .179 2/3. E tanto sirá el tenuto dela spera. La ragion perché se ne getti li .10/21. si é che, stu hai un dado .7. per faccia e tu ne voglia fare una pallotta, tu lo vien a scan- tonare per modo che gli é provato, che quello che se ne getta éne li .10/11. de tutto quello che prima era el cu- bo e quello che remane vene a essere li .11/21. de tutto el ditto dado et cetera. Siché basti. .13.

E gli é una palla el cui diametro è .7. Dimando che sia el lato del .4. base triangolari equi- latero ch’ entro aponto vi capiste. Dividi prima el diametro suo, ch’ é .7., in .3. parti equa- li, cioé prendi el .1/3., e quel multiplica via li .2/3., ch’ é .4 2/3., che ciascuna sia .2 1/3. Multiplica via l’ altra, cioé .2 1/3. via .4 2/3., fa .10 8/9. e questo adoppia como .R., fa .R.43 5/9. dela quale fa .4. parti equali, ne ven .R.2 32/72., trallo de .R.43 5/9., resta .R.24 1/2. che è diametro dela basa del corpo triangolare, al qual giognici .1/3. de .24 1/2., la possanza del diametro, ch’ é .8 1/6., fa .32 2/3. e la .R. de .32 2/3. sirá per lato. Facta. 14.

E gli é una palla el cui diametro è .7. Dimando che sia per facia el magior cubo che en- tro vi capisse. Habian ditto nelli cubi che ’l diametro che se parte dali angoli e pas- sa per lo centro pó quanto tre volte el lato suo. Adonca la possanza del suo diametro, divisa per .3., e quello che ne ven sirá la possanza del suo lato. E, perché il cubo continge con li soi an- goli la spera, donca é ’l diametro suo equale a quello dela spera, donca l’ uno e l’ altro sia .7., la cui possanza è

.49., qual dividi in .3. parti, ciascuna sia .16 1/3. e .R.16 1/3. sirá per lato. E gli é un corpo sperico il cui diametro è .6. Voglioci mettere dentro un corpo de .8. ba- se, .4. triangolari e .4. exagone, equilatere l’ una e l’ altra. Dimando che sia per lato. Tu hai, per la .5a. di corpi .4. base triangolari, el quale è .abcd., che dal centro a ciascun suo angolo è .3. E, perché ciascun suo angolo continge la circunferentia dela spera, sirá .3. semi- diametro e tutto el diametro dela spera è .6., che contiene quel tal corpo .4. base triangolari. E l’ axis è .4., che éne .ac. e ciascun suo lato è .R.24. E, perché questo corpo áne .4. base, volendolo redure a .8., è necessario tagliare li soi .4. angoli. E che remanga le facce equali e peró fa de’ lati soi .3. parti equali, cioé dividi .ab. ch’ é .R.24., in .3., ne vene .R.2 2/3. e .R.2 2/3. sirá ciascuna parte, cioé .al.lm.mb. Ora fa .3. parti del’ axis .ac., ch’ é .4., che sia .ag.gh.he., che sia ciascuna .1 1/3. Dividi .be., che è .2/3. del diametro, che è .R.8., in tre ponti: .1. in ponto .i. et .k., che sirá ciascuno .R.8/9. e .ie., ch’ é .2/3., é equale .ad.mh. e .2/3. de .R.8. ónno .R.3 5/9. Donca .mh. è .R.3 5/9. E tu hai che .ef. è diametro ed ái che .ef. è .1., trallo de .1 1/3., resta .fh. .1/3. Tira la linea .mf., la qual pó quanto .fh. e .mh., perché .mh. è .R.3 5/9. che, multiplicato in sé, fa .3 5/9. e .fh. è .1/3., che quadrato, fa .1/9. Giognilo con .3 5/9. fa .3 2/3., donca .mf. è .R.3 2/3. Peró dirai cosí: se .R.3 2/3., che è semidiametro, me da .R.2 2/3., che è un lato, che me dará .R.9., ch’ é semidiametro dela spera dove habian a collocarn el corpo .8. base. Multiplica e parti secondo .R. Trovarai che te dará .R.6 8/11. e tanto sirá per lato l’ otto base che .4. sienno exagone e .4. triangole. Facta. .16.

E gli é una spera il cui diametro è .6. e contiene un corpo .8. base, cioé .4. exagone e .4. triangole equilatere e ciascuno suo lato éne .R.6 6/11. Domando quanto sirá quadrato. Tu dei prima trovare el lato del triangolo donde nasce questo corpo, che ’l suo lato éne .1/3. del la- to del triangolo. Donca el lato del triangolo donde è cavato ditto corpo è tre volte .R.6 6/11., peró multiplica .3. via .R.6 6/11., fa .R.58 10/11. e tanto sia el lato del triangolo. E l’ axis éne sexquiter- tia al suo lato, siché parti .58 10/11. per .3., ne ven commo numero .19 17/33. Cavalo de .58 10/11., resta .39 3/11. e .R.39 3/11. éne el diametro dela sua basa sexquitertia a .58 10/11., che sia .R.44 2/11. El qual, multiplicato con la mitá de- la basa, che è .R.14 8/11., fa .R.632 60/121., il qual multiplica con l’ axis, che è .R.39 3/11., fa .R.19839 85/121. Parti per la .R.9., ne ven .R.2204 448/1089. E tanto è quadro el triangolo. Del qual se de’ cavare .4. ponte: che ciascun è triango- lo corporeo equilatero e ciascuno lato è .1/3. dela .R.58 10/11., ch’ é .R.6 6/11., del quale trova el diametro, cioé tranne el .1/4., che è .1 7/11. de .6 6/11., resta .4 10/11. e .R.4 10/11. è el diametro. El qual, multiplicato con la .1/2. de .R.6 6/11.R.8 4/121. el qual multiplica con l’ axis che é sexquitertia .a.6 6/11., ch’ é .R.4 4/11., fa .R. 35 871/14641., el qual parti per .R.9., ne vene .R. .3 13111/14641. e tanto è quadrata una dele ditte ponte, che sonno .4., reca a .R., fa .16., multiplica .16. via .3 13111/14641. fa .R.62 4802/14641. e tante sonno quadre tutte le ponte, trallo de .R.2204 448/1089., restará .R.2204 448/1089. men .R. 62 4802/14641. e tanto è quadro el ditto corpo .8. base, cioé .4. exagone e .4. triangole, che è contenuto dala spera il cui diametro è .6. Facta et cetera. .17.

E gli é una spera il cui diametro è .6. Voglioci mettern dentro un corpo de .14. base: cioé .6. quadrate e .8. triangolari de equali lati. Dimando che sia ciascuno de’ ditti lati. Questa tal forma si cava del cubo, perché á .6. base e .8. cantoni che, tagliando li soi .8. canti, fa .14. base. Cioé cosí tu hai el cubo .abcd.efgh., piú volte ’nanze posto; dividi ciascun lato per equali: .ab. in ponto .i.cd. in ponto .l.bd. in ponto .k.ac. in ponto .m.ag. in ponto .n.gh. in ponto .o.hb. in ponto .p.hf. in ponto .q.fd.in ponto .r.fe. in ponto .s.ec. in ponto .t.eg. in ponto .v. Tira una linea da .t. al .p., la qual pó quan- to le doi linee .nt. e .np., perché .n. fane angolo retto opposto ala linea .tp. e l’ angolo .p. e l’ angolo .t. toca- no la circunferentia dela spera. E cosí fanno li altri .mk.il.oq.ns.vr. Adonca .tp. è diametro dela spera, ch’ é .6. e la possanza sua è .36., che è quanto pó le doi linee .np. e .nt., donca é ciascuna .R.18. Se .np. è .R.18., la qual pó per le doi linee .ni. e .ip., donca è ciascuna .R.9. e la .R.9. è .3., peró .ip. é .3., che è un lato del corpo .14. base sopra ditto e .3. anche sirá ciascuno degli altri lati, quando el diametro dela spera si é .6. et cetera. Le linee tutte non se tirano, commo altre volte s’ é ditto, per la loro confusione in- trinseca neli corpi, ma tu, per ymaginatione, bisogna supplesca et cetera. .18.

E gli é una spera che contiene un corpo .14. base: cioé .8. triangolari. e .6. quadrate, che ciascun suo la- to è .3. Dimando quanto sirá quadro. Tu hai di sopra che tal figura se cava del cubo ed ái che è per lato .R.18. che, in sé multiplicato, fa .18. Poi multiplica in sé .18., fa .324. per quadrarlo. E que- sto multiplica via l’ altezza del cubo, ch’ é .R.18., fa .5832. e .R.5832. é quadro el ditto cubo. Dela quadratura hai a cavare .8. triangoli solidi: cioé le .8. ponti del cubo. Quadra prima la basa de un de questi triangoli, ch’ é .3. per lato, dimezza .3., ch’ é un lato, ne ven .1 1/2. Multiplica in sé .2 1/4. trallo de- la passanza de .3., cioé de .9., restará .6 3/4. e tanto sia el diametro dela basa, cioé .R.6 3/4. Multiplicalo via .R.2 1/4., fa .R.15 3/16. e questo se die multiplicare via l’ axis che si vol trovare cosí. Tu hai che lo diametro è R.6., dividilo in .3., ne ven .R.27/16., el quale radoppia, fa .R.3., il suo quadrato trallo de .9., resta .R.6. il qual multiplica via .R.15 3/16., fa .R.91 1/8., partilo per .3., ne ven .R.10 1/8., multiplicalo per .R.64., fa R.648. e .R.648. sonno qua-

drati li .8. triangoli solidi, cioé le .8. ponti del cubo che, tratta questa quadratura dela .R.5832., el ri- manente sia la possessione corporea del ditto .14. base cosí constituto, cioé sia quadro ditto corpo R.5932. men .R.648. El qual corpo è per ciascun lato basale .3.bracia. contenuto dala spera che ’l diametro suo sia .6. E sappi che gli é bisogno dire contenuto dala spera in simil domande, cioé vol dire che, tocando un angolo, tocan tutti, altramente serebe difficultá expedire le questioni et cetera. .19.

E e gli é una botte che li soi fondi per diametro ciascuno è .2.bracia. e al cocone .2 1/4. e tra li doi fondi e ’l cochiume è .2 2/9. e longa bracia .2. Dimando quanto será quadra. Questa è de spe- tie de piramide tagliata, peró fa cosí. Multiplica el fondo in sé, che fa .4., poi multiplica .2 2/9. in sé, fa .4 76/81., ch’ é infra el cochiume e ‘l fondo; giongni insiemi, fa .8 76/81. Poi multiplica .2. via .2 2/9., fa .4 4/9., giongnilo con .8 76/81., fa .13 31/81., parti in .3., ne ven .4 112/243., cioé .R.4 112/243. che, in se multiplicato, fa .4 112/243. e questo tieni a mente.Tu hai che, multiplicato in sé, .2 2/9. fa .4 76/81. Ora multiplica .2 1/4. in sé, fa .5 1/16. giongni fa .10. 1/1296. e multiplica .2 2/9. va.2 1/4., fa .5., giogni. insiemi, fa .15 1/1296., parti per .3., ne ven .R.5. 1/3888., quadralo, fa .5 1/3888., giongnilo con quello de sopra ch’ é .4 112/243., fará 9 1792/3888., el qual multiplica per .11. e parti per .14., cioé toglie li .11/14., ne verrá .7 23600/54432. e tanto sia quadra- ta la ditta botte. Questo modo se pó tenere quando tutte le mesure sonno equestistanti una al’ altra e sta- rá bene. Ma, quando non fossero equidistanti, tieni quest’ altro modo che vale a tutti: cioé mettamo che li fondi dela botte sienno de diametro .8.bracia. e al cochiume sienno .10. e .2.bracia. apresso ali fondi sia .9. e sia la botte longa .10. El primo fondo sia el suo diametro .af. e l’ altro diametro apresso sia .bg. e quello del cochiume sia .ch. e ’l terzo sia .di. e ’l fondo derieto sia .ek. Ora è da multiplicare prima quella del cochiu- me .ch., ch’ é .10., in sé, .fa. 100. Poi multiplica .bg., ch’ é .9., in sé, fa .81.; giongi insiemi fa .181. Ora multiplica .ch. con .bg., fa .90., giongnilo con .181., fa .271., el qual parti per .3., ne ven .90 1/3. e di questo togli li .11/14. che sonno .70 41/42., el qual multiplica per .6., che è dala linea .bg. ala linea .di., fa .428 31/42. e questo serba. Tu hai multiplicato .9., che fa .81., ora multiplica el fondo .af., ch’ é .8., fa .64., giongni insiemi fa .145. Multiplica .8. via .9., fa .72., giongni insiemi, fa .217., partilo per 3, ne ven .72 1/3. il qual multiplica per .11. e parti per .14., cioé pigliane li .11/14., ne ven .56 35/42. el qual multiplica per .4. perché dala linea .af. ala linea .bg. è .2. E dala linea .di. ala linea .ek. è .2., siché fa .4. via .56 35/42., fa .227 1/3.; gion- gnilo con .428 31/42., fará .656 1/14. Tanto sia quadrata la ditta botte, cioé bracia .656 1/14. et cetera. Facta. 20 E perché ale volte acade a mesurare corpi inregolari quelli non se possano mesurare per linee, commo statue de marmo o de metallo, cioé figure de animali regoli o irregolli dico che tenga questo modo a quadrarli apresso quello che di sopra sucintamente dissi in la domanda .43.

Verbi gratia. Metiamo che tu voglia sapere quanto è quadrata una statua de homo nuda, che sia .3.bracia. de longhezza proportionata. Dico che tu faccia un vaso de legno, longo bracia .3 1/4. e largo .1 1/2. e alto .1., el qual sia quadro, cioé con angoli retti e sia ben stagno, siché l’aqua non d’ esca ponto. Poi lo metti ben piano a livello e metti dentro tant’ aqua che agionga a un terzo al’ orlo di sopra. Poi fa un segno dove agiongni l’ aqua e mettivi dentro la statua che tu voi mesurare e vedi quanto è cresciuta l’ aqua e fa un altro segno a sommo l’ aqua ritto a quello di prima. Poi mesura dal primo segno. al .2o. e vedi quanto e gli é. Met- tiamo che sia .1/4. Ora multiplica la longhezza del vaso, ch’ é .3 1/4., con la larghezza, ch’ é .1 1/2., fará .4 7/6., el qual multiplica per .1/4. che creve l’ aqua, fa .1 7/32. e tanto è quadrata ditta statua. E cosí observa a mesurare tali corpi se fosse ben un par de buoi con un carro de fieno et cetera. .21.

E gli é un corpo sperico il cui axis è .R.48. e contiene in sé un corpo de .12. base pentago- nali equilatero. Dimando de’ suoi lati. Tu die sapere che il lato del cubo descripto in .1a. medesima spera, diviso secondo la proportione avente el mezzo e ’doi extremi, che la magior sue parte éne il lato del corpo de .12. base pentagonali in la medesima spera descripto, com- mo per la .18a. del .14o. libro de Euclide si prova. E anco hai, per la .13a. del .13o., che la possanza del diametro dela spera è tripla ala possanza del lato di quel cubo da quella contenuto. Adonca dividi .48. per .3., ne ven .16., perché .48. è la possanza del diametro dela spera, siché questo .16. éne la possanza de lato del cubo. Donca il lato è .4. Peró dividi .4. secondo la proportione avente el mezzo: cioé fa de .4. doi parti che tal parte sia la prima dela .2a., qual che la .2a. de tutto el numero, cioé de .4. E troverai che l’ una, cioé la menor parte, sia .6. men .R.20. e la magiore sia .R.20. men .2. e .R.20. men .2. dico ch’ é el lato del pentagono corpo- reo dimandato. Facta. 22.

E gli é una spera che contene un .12. base pentagone che ciascun suo lato éne .4. Di- mando che sia diametro de ditta spera. Tu hai per la precedente che ’l diametro dela spera, ch’ é .R. 48., el lato del suo .12. base éne .R.20. men .2. Multiplica .R.20. men .2. in sé, fa .24. men .R.320. Ora dirai: .se.24. men .R.320. me dá .48., che me dará .4. che è lo lato noto. Recalo a .R. fa .16., poi multiplica .16. via .48. fa .768. el qual parti per .24. men .R.320. Opra per via de binomi trovando el re- siduo e partirai, che ne virrá .72. piú .R.2880., cioé sia el diametro dela spera presa la .R. de .2880. e posta sopra .72. e la .R. di quella summa sia diametro domandato, cioé .R.72. piú .R. 2880. E, per via de proportion, riescanvi sempre questi corpi et cetera. .23.

E gli é una spera che contiene un .12. base pentagonali equilatero il cui lato éne bracia .1. Di- mando che sia la superficie de tutto el .12. base pentagonali. Tu hai che nel corpo de .12. base ogni basa éne pentagona ed esse ditto che uno di lati di questo pentago- no è .4.bracia. e tu voi la superficie de questi .12. pentagoni. Trova prima la superficie de uno, per li modi che de’ pentagoni piani te mostrai ala terza distinzione nel .6º. capitolo. Cioé tu sai, per la .9a. del 14o., che, multiplicando li .3/4. del diametro del cerchio, dove sia descripto tal pentagono, via li .5/6. dela sua corda pentagonica, quel producto sia la superficie de tutto el pentagono. E noi, per piú facilitá, dire- mo che se debbia multiplicare li .5/8. del diametro del ditto tondo via tutta la corda ditta e quello che fará sirá la superficie del pentagono. Over torremo li .5/8. dela corda e multiplicarli via tutto el diametro del ditto tondo, che tanto vale, perche è manco briga a togliere li rotti de una sola quantitá che torli d’ ambedoi Ior et cetera. Donca, prima te conviene trovare la corda de ditto pentagono e anco trovare el suo cerchio, per li modi e ve’ che nel suo luogo ó ditto ma, per men briga, habi sempre familia- re apresso te un pentagono con tutte sue indigentie: cioé cerchio, lato, corda, exagono, decagono, tondo intrinseco ed extrinseco et cetera. E, mediante quello, porrai retrovare de qualunche altro che te fosse proposto, per via de proportioni, che sempre riescano. E cosí de triangoli, quadrati, octagoni, tondi et cetera. E mai fallano. Donca habia apresso de te quello che mette Ptolomeo in el Almegesto che dici: quan- do il lato del pentagono fosse .10. men .R.20. che ’l diametro del cerchio dove fosse descrinto se- rebbe .R.16. Donca piglia li .5/8. de .16., ne ven .6 1/4. Peró dí: se .10. men .R.20. me dá .6 1/4., che me dará .4.

Reca .4. a .R., fa .16., poi multiplica .6 1/4. via .16., fa .100. e questo parti per .10. men .R.20. Trova el residuo commo t’ ó mostro al suo luogo, nella arithmetica, e partirai, ne virrá aponto .12 1/2. piú .R.31 1/4. e tanto son- no li .5/8. dela possanza del diametro del tondo che contenesse aponto una dele base del ditto .12. base pentaganiche. Poi trova la corda del ditto pentagono. Tu fai che ’l suo lato è .4. e questo è una parte de ditta corda, peró poni che l’ altra sia .1.co. Multiplica .1.co. via .4. piú .1.co., fa .4.co. piú .1.ce. E multiplica .4. in sé, fa .16. E questo equale a .4.co. piú .1.ce. Parti e sequita, harai che la cosa varrá .R.20. men .2. E questa é la menor parte, giognici .4., ch’ é la magior parte, fa .R.20. piú .2. e tanto sia tutta la dit- ta corda, perché dici la .11a. del .13o. che, se la corda sia divisa secondo la proportione avente el mez- zo, sempre la sua magiore parte sirá lato del pentagono. E peró te dissi lasú che .4. fo una par- te de ditta corda. Poi, per trovare l’ altra, festi positione. Ma stu n’ avesse una nota, haresti sequito per la regola del .3. e seri venuta ala prima et cetera. Ora multiplica .R.20. piú .2. in sé, fa .24. piú .R.320. il qual multiplica via .12 1/2. piú .R.31 1/4., fa .400. piú .R.50000. piú .R.18000. e tanto è la superficie del’ una basa. E tu voi de .12., donca multiplica .12. via .12., fa .144., poi fa .144. via .R.400. piú .R.50000. piú .R. 18000., fará .R.57600. piú .R.720000. piú .R.216000. e tanto dirai che sia la superficie tutta del ditto corpo .12. base penta gone che per lato suo sia .4. equilatero. Facta et cetera, cioé .R. dela summa, che fa la .R. de .1036800000. e la .R. de .373248000. posta sopra .57600. et cetera.

E gli é un .12. base pentagonali che il lato de ciascuna basa é .4. Dimando quanto sirá qua- dro tutto el corpo. Prima trova el diametro dela spera dove tal corpo sia descrip- to, cioé cosí. Tu hai, per la passata, che la linea che sotende al’ angolo pentagonico è .2 piú .R.20. e si hai che .2. piú .R.20. éne il lato del cubo descripto pure in tale spera, perché sempre tanto è il lato del cubo quanto che la corda pentagonale in medesima spera locati, commo per la .18a. del .14o. si manifesta. E fo ditto che la possanza del diametro era tripla al lato del cu- bo, cioé ala possanza del lato del cubo locato in ditta spera. Adonca multiplica il lato del cubo, ch’ é .2. piú .R.20., in sé, fa .24. piú .R.320. e tanto è la possanza del lato cubo. Ora triplala multiplicando per .3., fa 72. piú .R.2880. e tanto sia la possanza del diametro dela spera. Ora trova el diametro del circulo dove è descripto una dele .12. base pentagonali al modo giá ditto: che il lato del pentagono era .10. men .R.20., dava de diametro .4., che dará il lato ch’ é .4. Multiplica e parti per binomio, troverai che te dará .R. 204 4/5. piú .32., siché dirai che ’l diametro del cerchio ambiente una dele base éne .32. piú .R. 204 4/5. Ora pi- gliane la .1/2. de questi doi diametri, cioé .72. piú .R.2880., che quello dela spera è .32. piú .R.204 4/5. che è quello del cerchio basale pentagono la .1/2. de .R.72. piú .R.2880. éne .R.18. piú .R.180. E la .1/2. de .R.32. piú .R.204 4/5. éne .R.8. piú .R.12 4/5. Ora cava la possanza de .R.8. piú .R.12 4/5. dela possanza de .R.18. piú .R.180. resta .18. piú .R.180. men .8. piú .R.12 4/5. Del qual piglia el .1/3., che ne virrá .2. piú .R.2 2/9. men .8/9. piú .R.64/405. con lo qual hai a multiplicare la superficie del pentagono che il lato suo é .4. che hai, per la precedente, che l’ é in tutto ditta superficie .57600. piú .R.1036800000. piú .R.373248000. Donca multiplica .2. via .57600., fará .115200. Poi reca .2. a .R., fa .4., multiplica .4. via .103680000., fa .R. 4147200000. e .4. via .373248000. fa .R.1492992000. che, gionte insiemi queste doi .R., cioé .R.4147200000. e .R.1492992000. fanno una .R. de .16588800000. Ora reca a .R.57600., fa .3317760000., multiplica con 2 .2/9., fa .R.7372800000. e multiplica .2 2/9. via .1036800000., fa .R.2304000000., che é .48000. E multiplica

.2 2/9. via .37348000. fa .R.829440000. che è .28800., giogni con .115200. e .48000. e .28800. fa .192000. piú .R.16588800000. e .R. de .7372800000. da una parte. Ora, per l’ altra parte, ch’ é el men, multiplica .8/9. via .57600., fa .51200., reca .8/9. a .R., fa .64/81., multiplica .64/81. via .1036800000. fa .R.819200000.

E multiplica .64.81. via .37348000., fa .R.29412000. E multiplica .64/81. via .R.3317760000. che è .57600., recato a .R. fará radici .524288000. che, gionto con radici .292377600., fará una .R. de .3787908080. E multiplica .64/81. via .1036800000., fa .R.163840000. che è .12800. Poi mul- tiplica .64/405. con .37348000., fa .R.58982400., ch’ é .7680. Giogni insiemi prima .51200. e .12800. e .7680. fa .71680. e .R.2624226954 8946/16651. e. R.294912000. Adonca dirai che il corpo de .12. base pentagonali che per faccia dela basa sia .4. sirá quadro .192000. piú .R.16588800000. e .R. de .7372800000. meno. 71680. e .R.2624226954 8946/16651. e .R. de .294912000., cioé la .R. dela sum- ma che fa la .R. de .16588800000. e .R.7372800000. posta sopra .192000. meno. la .R. dela sum- ma che fa la .R. de .2624236954 8946/16651. e la .R. de .294912000. posta sopra de .71680. Facta et cetera .25.

E gli é un corpo de .20. base triangolari equilatero contenuto da una spera che il suo diametro é .12.bracia. Dimando del lato de una dele base. Fa cosí. Fa una linea che sia .ab. dela quantitá del diametro ch’ é .12. e dividila per equali in ponto .d. e descrivi el semicirculo de- la quantitá delo .ad. che sia .aed. e, sopra .a., mena la perpendiculare .fa. dela quantitá de .ab. E dal ponto .f. tira .fd. che segará il semicirculo in ponto .e. E dal ponto .e. mena la perpendicula- re sopra .ab., che la segará in ponto .c. E habiamo doi triangoli simili .afd.ced., perché l’ ango- lo .a. del triangolo .afd. è retto e l’ angolo .c. del triangolo .ecd. è retto. E l’ angolo .d. del’ uno é an- golo del’ altro e li lati e le base sonno proportionali. Adonca, de necessitá, l’ angolo .f. é equale al’ angolo .e. Conciosiacosaché ciascuno éne opposto ale base contenute da doi angoli equali. E, per l’ ultima del .13o., si prova che la linea .fd. divide el semicirculo .aeb. in ponto .e. che, preso la linea .ae., é il lato del .20. base triangolari descripto nella medesima spera. Tu sai che .af. éne equale alo .ab., ch’ é .12., e .ad. è .6., ch’ é la mitá de .ab. E perché .fd. del triangolo .afd. é opposta al’ angolo .a., ch’ é retto, per la penultima del primo, pó quanto .af. e .ad. e la possanza de .af. è .144. e la possanza de .ad. éne .36. che, gionte insiemi, fan .180. e .R.180. éne .fd., ch’ é .5. tanto dela posanza de .ad., che è .36. E tal pro- portione é da .fd. alo .ad. che è da .ed. alo .cd. e .ed. é quanto .ad., che è .6., perché éne semidiametro, che la sua posanza è .36., ch’ é .5. tanto dela posanza delo .cd. ch’ é .7 1/5. e la .R.7 .1/5. é .cd. e la posanza delo .ce. è .28 4/5., ch’ é lo resto fine a .36. Siché .ce. é .R.28.4/5. E tu voi .ae. che pó quanto .ac. e .ce., peró multiplica .ac., cioé cosí multiplica .6. men .R.7 1/5. via .6. men .R.7 1/5. fa .43 1/5., men .R.1036 4/5., giongni con la posanza delo .ce., ch’ é .R. .28 4/5., cioé tratta la .R.1036 4/5. de .43 1/5. e lo rimanente posta sopra .28 4/5. e la .R. di quella summa sirá aponto el lato del .20. base triangulari, che l’ asis dela spera é .12. Fatta. 26a E gli é un corpo de .20. base triangulari equlilatero che il lato de ciascuna basa è .4.bracia. Dimando che sia diametro dela spera che aponto lo contenesse. Fa .1. linea che sirá .ab. e dividila per equali in ponto .d. e sopra .d. centro descrivi el semicirculo che sia .aeb. e sopra .a. mena la perpendiculare .af. dela quantitá che è .abl. Dapoi tira .fd., che seghi la cir- conferentia .aeb. in ponto .e., poi linea .ae., che sia .4.bracia. che, per la precedente, é il lato dele base de .20. base tri- angolare descripto in quella spera. Dapoi linea .eb. Dico che .ae. e .eb., gionto insiemi in directo, compon- gano .1. linea divisa in ponto .a. secondo la proportione havente el mezzo e la magior parte é .be. e .ae.4., ch’ é la menore, sia e sia el lato dela basa del .20. base. E, per la penultima del primo, se prova che la pos- sanza del’ axe d’ uno triangolo oposta al’ angolo recto é quanto la possanza dele .2. linee che contengo- no l’ angolo retto gionto insiemi. E, perché s’ á a dividere secondo la proportione havente el mezzo e la menor parte è .4., trovarai la magiore commo sai: trovarai che l’ altra parte sirá .R.20. piú .2. e tan- to sirá .eb. e l’ altra parte è .4. Or multiplica .2. piú .R.20 via .2. per .R.20., fa .24. piú .R.320., ch’ é la posanza delo .eb. Multiplica .ae., ch’ é .4., in sé, fa .16., giongni con .24. piú .R.320., fa .40. piú .R.320. Tanto é la posan- za de .ab., ch’ é il diametro dela spera. Adonca el diametro dela spera che contene il corpo de .20. base triangulari equilatero è .R. dela summa che fa la .R.320. posta sopra a .40. che è lo proposito. Facta et cetera. .27.

E gli é un corpo de .20. base triangoli equilatero che per ciascuno lato è .4.bracia. Doman- do dela sua superficie. Tu sai che la sua basa è triangulare equilatera .4. per ogni verso. Trova el catetto de una basa che è .R.12. E giá tu sai che multiplicare el catetto ne- la .1/2. dela basa ne ven la superficie de .1. triangolo ch’ é una dela base .20. E tu voi la super- ficie de .20. base, donca piglia la .1/2. de .20., ch’ é .10. base, che ciascuna è .4., che fa .40. Recalo a .R. perché l’ái a multiplicare con .R.1600. e questo multiplica con lo catteto de una basa ch’ é .R. .12., fa .R.19200. e tanto è la superficie de tutte le .20. base triangolari che per fa- cia sian .4.

E gli é un .20. base triangulari la cui superficie è bracia .200. Dimando che sia ciascuno

suo lato. Tu hai che, se il lato de una basa è .4., el catetto è .R.12. e la superficie di quella basa è .R.48. E, si hai che .200. è la superficie de .20. base, peró parti .200. per .20., ne ven .10. e .10. è superficie de una. basa. E, perché la proportione de superficie a superficie è dopia ala proportione de un lato de una su- perficie a uno lato del’ altra superficie, quando sonno simili, per la .17a. del .6o. de Euclide. Peró dirai: se .R.48. de superficie me dá de lato .4., che me dará .10. de superficie. Reca .4. a .R.R., fa .256. e re- ca .10.R., fa .100. Ora dí: se .48. dá de lato .256., che dará .100. Multiplica .100.via.256., fa .25600., parti in .48., ne ven .533 1/3. e .R.R.533 1/3. sirá per lato el .20. base triangulari che la superficie sua sia .300. Facta. 29a.

E gli é un .20. base triangulari equilatero la cui superficie è bracia .200. Domando del diametro dela spera dove sia descripto. Tu hai, per la precedente, che ’l .20. base che la sua super- ficie sia .200. che il suo lato è .R.R.533 1/3. e, per la .2a. del .20. base, hai che il lato, che è .4., de diametro .40. piú .R.320. E, perché tu hai il lato che .R.R., reca .4. a .R.R., fa .256. e re- ca .40. a .R., fa .1600. e poi reca a .R.320., fa .102400. e hai .1600. piú .R.102400. Ora dí cosí: se .256. de lato dá de diametro .1600. piú .R.102400., che dará .533 1/3. Multiplica .533 1/3. via.1600., fa .853333 1/3., parti per .256., ne ven .3333 1/3. Ora reca a .R.533 1/3., fa .284444 4/9.; multiplicalo con .102400., fará .29127311111 1/9. el quale parti per .256., recato a .R., fa .65536., ne vene .429188 26068/32489. e hai .3333 1/3. piú .R.429188 26068/32489. Adon- ca dí che ’l diametro dela spera dove è discripto ditto corpo base .20. triangoli che la sua superficie sia .200., sia la .R. dela summa che fa la .R.R.429188 26068/32489. posta sopra la .R.3333 1/3. Facta. et cetera. 30a. E gli é un .20. base triangulare equilatero che il lato de ciascuna sua basa è .4. Domando quanto sirá quadrato. Tu hai, per la .2a. del corpo .20. base, che, se ’l suo lato è .4., che ’l dia- metro dela spera dove è descripto è .R. dela summa che fa la .R.320. posta sopra .40.

Adonca dividi in doi parti equali .40. piú .R.320. Cosí reca .2. a .R., fa .4., parti .40. per .4., ne ven .10. e reca .4. a .R., fará .16., parti .320. per .16., ne vene .20. che hai .10. piú .R.20. che è mezzo diametro. Ora trova il catetto de una basa del .20. base che sai che uno lato è .4. Multiplica in sé, fa .16. e multiplica la .1/2. dela basa, che è .2., fa .4., trallo de .16., resta .12. e .R.12. sia il suo catetto. Del quale trova il centro che è neli .2/3. Cosí dividi .12. per .9., ne ven .1 1/3. el quale multiplica per .4., fa .5 1/3. che è la .R. de 2/3. de .12.; trallo de .10. piú .R.20., resta .4 2/3. piú .R.20. el quale hai a multiplicare nela superficie de .20. base. Tu hai, nella terza, che la superficie di tal corpo è .R.19200. Del quale piglia el .1/3. commo .R.: reca .3. a .R., fa .9., parti .19200. per .9., ne ven .2133 1/3., il quale multiplica con .4 2/3., fa .9955 5/9. Ora reca a .R.2133 1/3., fa .4551111 1/9. che, multiplicato con .20. fa .910222222 2/9. Adonca dirai che gli é quadrato ditto corpo .20. base, che per lato è .4. la .R. dela summa che fa la .R. de .91022222 2/9. posta sopra de .9955 5/9. et cetera. 31a. E gli é un .20. base triangolari equilatero che è quadrato .400.bracia. Dimando quanto è il suo lato. Per la precedente, tu hai che il lato de .20. base, ch’ é .4., dá de quadratura .9955 5/9. piú .R.91022222 2/9. Adonca .9955 5/9. piú .R.91022222 2/9. dá de lato .R.18. Peró reca .16. a .R. cuba, fa .4096. Ora dí: se .9955 5/9. piú .R.91022222 2/9. de quadratura dá de lato .4096., che dará .400. Recalo a .R., fa .160000., il quale multiplica con .4096., fa .655360000. Volse partire per .9955 5/9. piú .R. de .910522222 2/9. Trova el partitore, cioé cosí perché gli é binomio multiplica .9955 5/9. piú .R.91022222 2/9. via. 9955 5/9. men .R.91022222 2/9., fa .8190864 16/81. e questo è partitore. Poi multiplica .9955 5/9. via .655360000., fa .6524472888888 8/9. a partire per .8190864 16/81. Reduci a una natura, harai .5.28483304000000.; a partir per .663460000. ne vene .796556 26084/66346. Ora reca .R.655360000. fa .429496729600000000.; e questo multiplica con .91022222 2/9. fa .390937467665368888888888888 8/9., el quale e se vol partir per .8190864 16/81., recato a .R. il qual fará .4401787123 29/81.900000., per lo qual parti quello de sopra, che sirá recato a otantunesimi, commo che éne il partitore .256400074527574057777777789000., che ne vene .582490855067 239590987174489/440178712329900. Adonca dirai che ’l .20. base triangolare equilatero che è quadrato .400.bracia. sia per lato la .R. cuba dela .R. del remanente de .796556 26084/66346., tratone la .R. de .582490855067 239590987174489/440178712329900. Fatta. 32a.

E gli é uno corpo de .8. base triangolari equilatero che il lato suo è .4. Domando del diametro dela spera dove se descrive. De questo corpo facilmente se ánno le sue mesure, peró non de detti niente e per questo è remaso derietro, ma, perché ci sienno tutti li .5. corpi regola- ri, non lo voglio lasciare. Dico che, per havere il diametro dela spera dove è scripto lo .8. base che il suo lato è .4., che multiplica .4. in sé, fa .16., el qual redopia commo numero, fa .32. e .R.32 sirá el diametro dela spera dove se descrive ditto corpo et cetera. 33a.

E, se ’l ti fosse detto e gli é una spera che ’l suo diametro è .10. e contene uno corpo de .8. base triangulari equilatero. Dimando che sirá il suo lato. Multiplica il diametro dela spera in sé, ch’ é .10., fa .100., dividelo per .2., ne nene .50. e la .R. dirai che sia per lato. 34a. E gli é una spera il cui diametro è .20.bracia. e contene uno .8. base triangulari equilateri. Domando dela sua superficie. Trova prima uno lato delo .8. base, commo per la precedente s’ é ditto, cioé multiplica .20. in

sé, fa .400., dividilo per .2., ne ven .200. e tanto è la possanza de uno de’ lati del triangolo d’ una basa. Trova il suo catetto, cioé dividi .200. in .2. parti equali commo .R., ne ven .50., cavalo del .200., resta .150. e .R.150. è il catetto de una dele base. Ora multiplicalo con la mitá dela basa, ch’ é .R.50., via .150., fa .7500. el quale multiplica per .8. base recato a .R., che è .64., via .7500., fa .480000. e la .R.480000. sirá la superficie domandata . 35a.

E gli é uno .8. base triangulari equilatero che è quadrato .400.bracia. Domando che sia dia- metro dela spera che ’l circunscrive aponto. Tu hai, per la passata, che .1333 1/3. de qua- dratura dá de diametro .20. Reca .20. a .R. cuba, fa .8000. Peró dí: se .1333 1/3. de quadratu- ra dá de diametro .8000., che dará .400. Multiplica .400. via .8000. fa .3200000. il qual parti per .1333 1/3., fa terzi dele parti, harai .9600000., a partire per .4000., che ne vene .2400. e la .R. cuba de .2400. sirá el diametro dela spera che lo contene . 36a.

E gli é un .4. base triangulari .abcd. ch’ é .ab.20.ac.18.ad.16.bd.15.bc.14.cd.13. Di- mandase la quantitá del suo assis .ag. Tu dei far cosí: trovar el catetto dela basa .bcd. cadente sopra la linea .bc., ch’ é .14.bd.15.cd.13. e trovarai il catetto .ce. esser .12. e casca presso al .c.5. Ora trova el catetto dela facia .abc. cadente pure su la linea .bc., che tro- varai essere .R.305 31/49. e casca presso al .c.4 2/7. Or piglia la differenza ch’ é da .4 2/7. a .5., ch’ é .5/7., multiplicala in sé, fa .25/49., trallo dela possanza dela potumissa .ad. che è da rescontro, che è .256., resta .255 24/39. Ora reca .de., ch’ é .12., a .R., fa .144. Ora tu hai uno triangolo che uno lato è .R.305 31/49. e l’ altro .R. .255 24/49. e l’ altro è .R.144. Trova el suo catetto che cade sopra la basa che è .R.144., cioé giongni insiemi .R.255 24/49. e .R.144. commo numero, fa .399 24/49. tranne .305 31/49., resta .93 42/49. El quale parti per lo dopio delo .de. che sirá .24. Fanne quarantanovesimi, harai .4599. a partire per .1176. che ne vene .3 51/56. Tanto éne .gh., el quale multiplica in sé, fa .15 421/3136., trallo de .255 24/19., restará .R.240 615/1336. e la .R. de .240. e quello rotto sirá longo l’ assis .ag. Facta. E, se tu voli .dg., giongni .25/49. sopra .15 921/3136. che fa .R.15 2521/3136. e la .R. di questa summa éne aponto .dg. et cetera. 37a.

E gli é uno .4. base triangulari .abcd. che è quadrato .252.bracia. e la sua basa éne .bcd. E lo .bd.15.bc.14.cd.13. Domandase quanto sia l’ assis .ag. Fa cosí. Vedi quanto è la superficie dela basa .bcd. che la troverai .84. Poi multiplica la quadratura del .4. base, che è .252., per .3., fa .756. qual parti per la superficie dela basa, ch’ é .84., ne vene .9. e tanto dirai che sia l’ axis. Ala prova: multiplica la superficie dela basa per .9., fa .756. E giá tu sai che ogni piramide éne uno ter- zo del suo chelindro, adoca parti .756. per .3., ne vene .252., sí commo dicemo esser quadro el .4. base. Facta. E gli é un .4. base triangulari .abcd. la cui basa .bcd. E .bd. è .15.bc.14.cd.13. el suo assis .ag. e .bg.10.cg.9. Domando quanto sirá .dg. Tu hai el .4. base triangulari .abcd. ch’ é .bc.14.bd.15.cd.13.bg.10.cg.9. Ora trova il catetto cadente dal pon- to .d. sopra la basa .bc. in ponto .e. che è .12. e cade apresso .c. .5. E giá tu hai .bgc. noto. Ora trova il suo catetto cadente pure sopra .bc. Trovarai che cade presso .c. 6 9/28. e lo catetto vene esser .R.41 31/784. Trallo delo .de., ch’ é .12., restará .12. men .R.41 31/784., il qual multiplica in sé, fa .185 31/784. men .R.2363. 8 608/784. al quale giongni la posanza dela differenza ch’ é dal caso delo .fg. al catetto .de. ch’ é .1 9/28., il qual multiplica in sé, fa .1 585/784., giongnilo con .185 31/784., fará .186 616/74. Tanto sia la linea .dg., cioé .R. del rimanente de .186 616/784. trattone la .R. de .23638 608/784. fatta aponto et cetera. 39a. E gli é un .4. base triangulari .abcd., ch’ é .bd.15.bc.14.cd.13. e l’ assis suo .ag.8.bg.10.cg.9.dg. éne .R. del rimanente de .186 616/74. trattone .R.23638 608/784. Domando che sia .ab.ac. .ad. Volse far prima per .ab., cioé multiplicare .bg., ch’ é .10., in sé, fa .100.; poi multiplicare .ag., ch’ é .8., in sé, fa .64., giogni con .100., fa .164. la cui .R. éne la linea .ab. Ora, per la linea .ac., multiplica .cg., ch’ é .9., in sé, fa .81., poi multiplica l’ axis .ag., ch’ é .8., in sé, fa .64., giogni con .81., fa .145. la cui .R. éne .ac. Ora se vole fare per .ad. Tu hai che la posanza delo .dg. é .R. del rimanente de .186. 616/784. tratone la .R.23638. 608/784. Giogni la posanza del’ axis .ag., ch’ é .64., fa .250. 616/784. men .R.23638 608/784. e tanto sia .ad., cioé .R. del rimanente de .250 619/784. trattone .R. 23638 608/784. Fatta et cetera. 40a. E gli é un .4. base triangoli .abcd. e la basa sua .ebcd. e un lato è .10. l’ altro .9., il .3o.12. e l’ a- xis è .8. Domando quanto sirá quadro. Trova prima la superficie dela basa .bcd., ch’ é .bc.12. cd.9.bd.10. Bisogna trovare el catetto cadente sopra .bc. ch’ é .12., cioé cosí: multiplica .12. in sé, fa .144. e .9. in sé, fa .81.; giongni insiemi fa .225. Poi multiplica .10. in sé, fa .100., trallo de .225. resta .125. il quale parti per lo dopio de .bc., ch’ é .24., ne ven .5 5/14. e tanto casca il catetto apresso .c., ch’ é il menor lato. Peró multiplica .5 5/24. in sé, fa .27 73/576. Ora multiplica .cd., ch’ é .9., in sé, fa .81., tratone .27 73/576. resta .53 503/576. la cui .R. sia il ditto catetto il qual multiplica con la .1/2. de .bc. ch’ é .6., recalo a .R., fa .36. e .36. via .53.503/576. fa .R. 1939 252/576. e tanto éne la superficie dela basa .bcd., la qual multiplica con l’ axis, ch’ é .8., recato a .R. ch’ é .64., fará .R. 124124., de questo piglia el .1/3. commo .R., cioé el .1/9., ne ven aponto .R. 13780 4/8. è

tanto sia quadrato ditto .4. base. Fatta et cetera. 41a.

E gli é un .4. base triangulari equilatero .abcd. che è quadro bracia .100. Domando deli soi lati. Fa cosí. Trova un .4. base che te sia noto il suo axis e li soi lati, cioé dirai che sia un .4. base che ’l suo axis sia .R.16., sirá li lati suoi ciascuno .R.14., perché la pos- sanza del’ axis è sexquialtera ala possanza del lato suo, quando il .4. base è equilatero Adonca trova il catetto de una basa cosí. Piglia la .1/2. de .R.24., ch’ é .R.6., trallo de .24., resta .18. e .R.18. sia il catetto el qual multiplica con la .1/2. dela basa .bc., ch’ é .R.6., fa .R.108. e questo multiplica con l’ a- xis, ch’ é .R.16., fa .R.1728., piglian el .1/3., cioé reca .3. a .R., fa .9., parti .1728. in .9., ne ven .192. e .R.192. sia qua- dro il .4. base il cui axis sia .4. Peró reca .4. a .R.cuba., fa .64. E, perché .192. éne .R., reca .64. a .R., fa .4096. Ora dirai: se .192. me dá .4096., che me dará .100. Reca a .R., fa .10000. el quale multiplica con .4096. fa .40960000. Partilo per .192., ne ven .R.213333 1/3. e la .R. dela .R.cuba. overo la .R.cuba. de la .R. quadra, che tanto fa, de .213333 1/3. éne l’ axis. E tu voli il suo lato. E, commo è ditto di sopra, la possanza del’ axis è sexquialtera ala possanza del suo lato. Peró trova doi numeri in proportione sexquialtera, ch’ é .2. e .3. Reca .2. a .R.cuba., fa .8., reca .3. a .R.cuba., fa .27. Peró dirai: se .8. me dá .27., che me dará .213333 1/3. Multiplica .27. via .213333 1/3., fa .5760000., partilo per .8., ne vene .720000. e la .R.cu. de .720000. síra il lato de tal .4. base et cetera pulcra per viam proportionis. 42a. E gli é un .4. base triangulari equilatero .abcd. che è quadro .bracia.100. Taglio del’ axis li .2/3. con una linea piana. Domando che levará de quadratura, cioé quanti braci solidi. Tu hai, per la precedente, che ’l suo axis è .R.R.cuba. de .213333 1/3., donca piglia el .1/3., cioé cosí: reca .3. a .R.R.cuba., fa .729. Ora parti la .R.R.cuba. de .213333 1/3. per la .R.R.cuba. de .729., ne vene .R.R.cuba. de .292 1396/2187. el qual radopia commo .R.R.cu., cioé reca .2. a .R.R.cu., fa .64. e .64. via .292 1396/2887. fa .R.R.cuba.18728 1864/2187. Questo éne .2/3. delo axis e tu voli il suo quadrato, peró dirai commo di sopra. Se .R.4096. me dá .R.192., che me dará la .R.18728 1864/2187. Multiplica .192. via .18728 1864/2187., fa .3595939 1407/2187. el qual parti per .4096., ne ven .877 8196096/8957952. e la .R. de .877 8196096/8957952. tanto se leva de quadratura del .4. base. 43 E gli é un .4. base triangulari equilatero .abcd. la cui basa è .bcd.bd. é .15.bc.14.cd. .13. e ’l suo axis .ag.9. cadente dentro dale linea .bcd. Taglio del’ axis .ag.3.bracia. apresso .a. Domando che se levará de quadratura del .4. base .abcd. Fa cosí. Vedi quanto è qua- drata la sua basa .bcd. che è .84. Multiplica .81. via l’ axis, ch’ é .9., fa .756., partilo per .3., ne ven .252. e tanto è quadrato tutto el .4. base che ’l suo axis è .9. E tu voli un .4. base che ’l suo axis sia .3. che è .1/3. de .ag. che è .9. e in quella proportione che è diviso l’ axis sonno divisi li lati dela basa .bcd. Peró piglia el .1/3. de .bd., ch’ é .15., sirá .5., piglia el .1/3. de .14., sirá .4 2/3.; piglia el .1/3. de .1/3., sirá .4 1/3. e piglia el .1/3 del catetto .de., ch’ é .12., sirá .4. el qual multiplica con la .1/2. de .4 2/3., ch’ é .2 1/3., fa .9 1/3. e questo multiplica con l’ axis ch’ é .3., fa .28. del qual piglia .1/3., ch’ é .9 1/3. e tanto se leva de quadratura del .4. base a noi proposto et cetera. .44.

E gli é un .4. base triangulari .abcd. che l’ axis suo .ag. è .10. ed é quadrato .280. Taglione con una linea piana .40. Domando quanto levará del’ axis .ag. Fa cosí. Tu sai che gli é qua- drato .280. e l’ axis suo è .10. Reca .10. a .R.cu., fa .1000. Donca .280. dá de axis .1000., che dará .40. Multiplica .40. via .1000., fa .40000. el qual parti per la quadratura del .4. base, ch’ é .280. ne ven .142 5/7. e la .R.cu.142 5/7. tagliará del’ axis .ag. togliendo .40.bracia. dela quadra dal capo. da lato. a .et cetera. E gli é un cubo che è .4.bracia. per lato, voglio dela superficie sua fare superficie de una spera. Doman- do quanto sirá il diametro de ditta spera. Fa cosí. Vedi prima quanto è la superficie de tutto el cubo il quale á .6. facce e .16. per facia. Adonca .6. via .16. fa .96. E tu voi una spera che la superficie sua sia .96., peró multiplica .96. per .14., fa .1344. el quali parti per .11., ne vene .122 2/11. E tu hai a pigliare la .1/2. commo .R., peró reca .2. a .R., fa .4., parti .122 2/11. in .4., ne ven .30 6/11. e .R.30 6/11. sirá il diametro de ditta spera.

Tu sai che l’ .1/4. de .96. ch’ é .24., è la superficie del magior cerchio il cui diametro è diametro dela spera. 46 E gli é una spera che ’l suo diametro è .7. Voglio dela superficie sua fare superficie de .1.cubo. Domando de’ soi la- ti. Trova la superficie dela spera, che sai che ’l suo diametro è .7. El magior circulo che l’ abia è .22. el qual multiplica con lo diametro, ch’ é .7., fa .154. e tanto è la superficie dela spera. E tu sai che ’l cubo á .6. facce, peró parti .154. in .6., ne ven .25 2/3. e la .R.25 2/3. sirá el cubo per facia et cetera. 47. E gli é .1.cubo che è quadrato .64.; vo- glione fare una spera. Domando che sirá suo diametro. Tu dei sapere che ogni spera è .11/21. del suo cubo, commo di sopra fo ditto. Donca multiplica .21. via .64., fa .1344. el qual parti per .11., ne ven .122 2/11. e la radici .cuba. di questo sirá el diametro dela spera adimandata. Si tu voi saper perché tu multiplichi per .21. e partisti per .11., te lo dico: perché, se la spera á essere quadra .64., cioé tanto quanto il .cu., questo .64. fo li .11/21. de un certo cubo che, quando fo scantonato, rimase .64. e peró dirai .64. de che numero foron li .11/21., sia che si vo- glia quel numero che fo multiplicato per .11. e partito per .21. Donca a multiplicare .64. per .21. e repartire per .11. ne retornará quella tal quantitá de che .64. ne fo li .11/21. e quella tal quantitá sirá el tenuto de un cubo el cui lato aponto, quando sia scantonato, vene a essere diametro dela spera et cetera. 48

E gli é una spera il cui diametro è .7. Voglio dela sua quadratura fare un cubo. Doman- do quanto siran suoi lati. Quadra la spera che ’l diametro è .7., reca a .R.cu., fa .343.

E, perché la spera è .11/21. del suo cubo e lo suo .cu. è .343., peró piglia li .11/21. de .343., ne ven .179 2/3., peró sirá el lato del cubo .R.cu. de .179 2/3. Fatta. Posiam fare per altra via. Dire cosí, sí commo di sopra, che il diametro dela spera ch’ é .R.cu.122 2/11. dá de lato de cubo .R.cu. de .64., adonca che dará el diametro ch’ é .7. Reca .7. a .R. cuba, fa .343., multiplica .64. via .343., fa .21952., qual parti per .122 2/11., ne ven .179 2/3. commo prima e .R. cuba .179 2/3. sirá per facia il cubo. 49 E gli é una piramide, o voi dire cono, che la basa sua é circulare e ’l suo diametro è equale ali lati e ’l suo axis è .4. Voglio dela sua quadratura fare una spera. Dimando che sirá suo diametro. Bisogna prima quadrare la piramide, che sai che l’ axis è .4. e la possanza del’ axis ala possanza del suo lato é in proportione sexquitertia e la possanza de- l’ axis é .16., adonca la possanza del lato éne .21 1/3., la qual multiplica per .11., fa .234 2/3., partilo in .14., ne ven .16 16/21. e tanto è la supeficie dela basa, la qual multiplica con l’ axis, ch’ é .4., fa .64 1/21. E, perché questo è che- lindro e noi volemo la piramide e ogni piramide è el .1/3. del suo chelindro, peró dividi .67 1/21. per .3., ne ven .22 2/63., tanto sia quadrata la piramide. E tu hai, per la passata, che la quadratura dela spera ch’ é .179 2/3., te dá .343., che te dará .22 22/63. Multiplica .22 22/63. via .343., fa .7665 2/9., el qual parti per .179 2/3., ne ven .42. .2/3. e la .R.cu. de .42 2/3. sirá il diametro dela spera che cerchiamo aponto, et cetera. .50.

E gli é una spera il cui diametro è .7. Voglio dela sua quadratura fare una piramide che i lati suoi sienno equali al diametro dela circunferentia dela basa. Domandase del suo axis. Trova la quadratura dela spera, che sirá .179 2/3., ut supra. E de questo se vol fa- re una piramide. E giá tu hai de sopra che la piramide dela quale l’ axis è .4. dá de qua- dratura .22 22/63. Ora reca .4. a .R.cu., fa .64., adonca .22 22/63. te dá la quadratura .64., che te dará .179.2/3. de quadratura. Multiplica .64. via .179 2/3., fa .11498 2/3., il quale parti in .22 22/63., ne vene .514 1/2. e la .R.cu. de .514 1/2. sirá l’ axis dela piramide.

E gli é una spera il cui diametro è .14., levone, con una linea piana, tanto che taglia del dia- metro .4.bracia. Domando quanto che levará dela superficie de ditta spera e quanto sirá la linea dividente. Havemo ditto nelli corpi sperici che la superficie dela spera è .4. tan- to che la superficie del magior circulo dela spera. E disesse che, a multiplicare il diametro dela spera nella circunferentia del magior cerchio, produciva la superficie de tutta la spera. Adonca, multiplicando .14. via .44., fa .616. per la superficie di questa spera. Ora, per trovar quella parte che leva quella linea che ta- glia del diametro .4., multiplica .4. nel resto del diametro, ch’ é .10., fa .40. e .R.40. è la .1/2. dela linea dividen- te e tutta è .R.160. Ora tu hai el diametro .ad. ch’ é .14. e la linea dividente .bc.R.160., che è corda e sega il diametro in ponto .e., ái che .be.R.40., ch’ é la .1/2. de .bc., e lo .ae., che è saetta, é .4., multiplicalo in sé, fa .16., giongni lo con .40., fa .56. Donca .ab. è .R.56., el qual, se vol dopiare commo .R., fa .R.224. Multiplica in sé, fa .224., pigliane li .11/14., per quello dici Archimede, ne ven .176. e tanto sia la superficie di quella portion menore che l’ axis è .4. e lo diametro dela sua basa è .R.160. Facta et cetera. 52 E gli é una spera il cui diametro .14. meno una linea piana longa .9. segante l’ axis ad angolo re- cto. Domando quanto tagliará del’ axis. Tu hai la spera .abcd.ad. è diametro, o vo- li axis, e .bc. lo sega in ponto .e. e, perché lo sega ad angol recto, é divisa per equali in ponto .e. Adon- ca .be. è .4 1/2., che è una parte de .9. che, multiplicato 4 1/2. in sé fa .20 1/4. Ora dí cosí: famme del dia- metro, ch’ é .14., doi parti che, multiplicato una in l’ altra, facia .20 /14. Opera, troverai che l’ una parte menore sia .7. men .R.28 3/4., l’ altra magiore sia .7. piú .R.28 3/4. Siché dirai che .ea. sia .7. men .R.28 3/4. Fatta et cetera. 53 E gli é una spera il cui diametro è .14.; meno una linea piana segando l’ axis ad angolo recto, che la ditta linea è .R.96. Domando quanto levará dela superficie dela spera. La spera è .abcd. e il diametro suo è .ad., che è .14. e la linea dividente, ch’ é .bc. è .R.96. Pigliane la .1/2., ch’ é .R.24., ch’ é .be., multiplica in sé, fa .24. Ora fa del diametro, ch’ é .14., doi parti che multiplicata l’ una via l’altra facia .24., per la ragion che pone el philosopho nella .34a. del terzo. Opera e trova- rai che l’ una parte, cioé la menore .ae., sia .7. men .R.25., ch’ é .2. e l’ altra, ch’ é .ed., sia .R.25. piú .7., ch’ é .12.

Adonca taglia del’ axis .2.bracia. E tu voi saper la superficie. Peró multiplica .ae., ch’ é .2., in sé, fa .4. e .R.24., ch’ é be., in sé, fa .24.; giongni insiemi, fa .28. e .R.28. sia .ba., la qual radopia commo .R., fa .112. e di questo piglia li .11/14. che ne ven .88. e tanti braci leva dela superficie per la portion .bac., per la ragion so- pra ditta d’ Archimede, che vole che la superficie de ciascuna portione de spera sia equale al cerchio el cui semidiametro sia la linea che si move dala sumitá del cono e vene ala circunferentia de- la basa de ditta portione. E peró multiplicasti .ae., ch’ é .2., in sé e .be. in sé e giongnisti insiemi e .R.28.fo.ab., che ditta linea dopia, fa .R.112. e questo sia diametro de ditto tondo. Multiplica in sé, fará .112., pigliane li .11/14., commo festi, ne vene .88. per la superficie de ditto cerchio che è equa-

le ala superficie dela portione dela spera .bac. E cosí responde in tutte portioni, o sien magiori o sien menori de mezza spera ut inpe acuratissime probat. Et cetera. .53.

E gli é una spera il cui diametro è .14. e la sua superficie .616. Levone con una linea pia- na .100.bracia. de superficie. Domandose quanto se levará del diametro, cioé axis. Tu hai che la spera .abcd., che il diametro.ad. è .14. E la linea dividente .bc. tira; .ab. e dí che la sia .1.co., redopia, fa .2.co., multiplica in sé, fa .4. ce .che sonno equali a .100.bracia., per la ragione asi- gnata in la precedente. Ma prima piglia li .11/14. de .4.ce. ne ven .3 1/7.ce. e questo sirá equale a .100. Parti, ave- rai la cosa valere aponto .R.31.9/11. e tanto sirá .ab. Ora multiplica .ad., ch’ é .14., in sé, fa .196., tranne la possan- za de .ab., ch’ é .31 9/11., resta .164 2/11. e la .R. di questo è .bd. Ora multiplica .R.31 9/11. via .R.164 2/11., fa .5223. 118/121., el quale parti per lo diametro del tondo, cioé dela spera, ch’ é .14., ne ven .R. 26 15484/23716. Quando .14.parti sia recato a .R., che fa .196., e tanto sia .be., che vene a essere catetto sopra .ad. del triangulo .abd. Cava ora la possanza del .be. dela possanza del .ab., cioé .26 15484/23716., resta .5 21560/130438. per la possanza de- lo .ae. Donca dirai che taglia del diametro.ad. la quinta .ae., che è .R.5 21560/130438. Fatta et cetera. 54. E gli é una spera il cui diametro è .14.; taglione con una linea piana .5.bracia. Domando che levará dela quadratura del corpo. Fa cosí. Vedi prima quanto è la linea dividen- te .bc. a questo modo. Tu sai che .ae. è .5. e .de.9., ch’ é il resto del diametro, peró multiplica .5. via .9., fa .45. e la .R.45. é .be., ch’ é la .1/2. dela dividente. E tu voi .ab., peró multiplica .ae., ch’ é .5., in sé, fa .25., gongnilo con la possanza .be., fa .70. e .R.70. sia .ab., la qual redopia commo .R., fa .R.280., donca piglia li .11/14. de .280., ne vene .148 4/7. E tanto e va dela superficie de ditta spera per la portione .bac. E tu voli del corpo, peró multiplica .148 4/7. per la .1/2. del diametro, ch’ é .7., fa .1040. e questo parti per .3., ne ven .346 2/3., del qual se vol trare el cono .bcf., cioé cosí. Tu hai la linea .bc., che è .R.180. e perché s’ é ditto che .be., ch’ é la .1/2. del .bc., é .R.45., siché dopia é .R.180. E la possanza de .bc., ch’ é dia- metro dela basa de ditto cono, si’ é .180., pigliane li .11/14., ne ven .142 6/7. e questo multiplica per .fe., ch’ é l’ alteza de ditto cono, ch’ é .285 5/7., pigliane el .1/3., ne ven .95 5/21., trallo de .346 2/3., che di sopra havesti, re- sta .251 3/7. e tanti braci leva del solido de ditta spera. 55.

E gli é una spera il cui diametro è .14.bracia. Segolo in doi luoghi con doi linee piane eque- distanti. La prima taglia del diametro .3.bracia, l’ altra ne taglia .6. Dimando quan- ta superficie sirá tra l’ una linea e l’ altra. Fa cosí. Vedi prima quanto é la linea che taglia .6.bracia. de diametro. Tu sai che ’l diametro .ad. è .14. e la linea .f.g. lo sega in ponto .h., che .ah. è .6.hd.8. Multiplica .6. via .8., fa .48. e .R.48. sia .fh. Ora multiplica .6. in sé, fa .36., giongnilo ala possaza de .fh., cioé con .48., fa .84. e .R.84. sia .af. Redopiata fa .R.336. Per quello che di sopra s’ é ditto, multiplica in sé, fa .336., pigliane li .11/14., ne ven .264. e questo tieni a mente, per- ché l’ é la superficie dela portione .fag. Poi trova la superficie dela portione .bac. per la me- desima via. Cioé trova .ab. E tu sai per la linea .bc. che sega .ad. in ponto e che .ae. è .3. e lo .ed.11. Multiplica .3. via .11., fa .33. e .R.33. é .be. Poi quadra .ae., ch’ é .3., fa .9.; quadra .be., fa .33.; giongni insiemi fa .42. e .R.42. é .ab.; dopialo, fa .R.168., multiplica in sé, fa .168., pigliane li .11/14., ne ven .132. e questo cava de quello che sopra serbasti, cioé de .264., resta .132. e tanti bracci se levará de super- ficie de ditta spera fra le doi linee et cetera. 56.

E gli é una spera il cui diametro è .14. ad.; meno doi linee piane equidistante l’ una dal’ altra; l’ una sega el diametro in ponto .e., l’ altra in ponto .h.; .ae. è .3.ah. è .6. e la su- perficie ch’ é tra l’ una e l’ altra è .132. Domando che si levará de quadratura del cor- po solido fra una linea e l’ altra. Tu sai che ’l diametro dela spera è .14.; piglia la mitá, ch’ é .7. e multiplica .7. via la superficie dela portione .fag., fa .1848., pigliane .el.1/3., ne vene .616. e de questo cava el cono. Tu hai, per la precedente, che .fh. è .R.48., el quale redopia, fa .R. .192., multiplica in sé, fa .192., pigliane li .11/14., ne vene .150 6/7., multiplica per .1., che è l’ alteza, cioé da .h. fin al centro, fa pur .150 6/7., pigliane el .1/3., ne ven .50 2/7., trallo de .616., resta .565 5/7. e tanto si leva de qua- dratura del corpo sperico per la portione .fag. Dela qual cava la portione .bac., a modo che di sopra in l’ altre festi, e restaratte per la ditta quadratura .349. et cetera. E cosí tu per te in ciascuna si- mili farai. E queste, a tuo documento, sienno bastanti et cetera. 57 Quadrupla è la superficie di qualunque spera ala superficie dil magior cerchio in essa contenuto, che cosí si prova. Sia una sphera qual voli e sia de poi una superficie qua- drupla al magior cerchio che in essa capi e sia el cerchio .a., qual dico ch’ é equal a tut- ta la spoglia dela sphera. Se non è equale, donca è magior overo minore. Or sia prima magiore per l’ aversario la superficie dela spera che ’l cerchio .A. Donca habiamo doi quantitá inequali, l’ una la spera, l’ altra el cerchio .A. Possibile adonca prendere doi linee

recte inequali in tal modo che la magiore habia minore proportione ala minore che la superficie dela spera al cer- chio .A. E sienno ditte linee .Bc.b. maior e .c. minor. Poi, fra queste, per la .9a. del .6o., trova la linea .d. media pro- portionale. Poi sia una superficie piana che seghi ditta spera in doi parti e passi per lo centro de decta spera e sia decta superficie piana el cerchio .efgh., el qual, de necessitá, sirá el magior cerchio che sia in spera. Poi in questo cerchio imagina una figura multiangola inscripta e una altra figura pur multiangola circunscripta simile ala prima inscripta, cioé che ‘lati del’ una a ’lati del’ altra sienno proportionali e gli angoli di l’ una iguali ali angoli del’ altra, secondo la diffinitione prima del .6o. E poni che il lato dela figura circunscripta al lato dela figura inscripta habia minor pro- portione che .b. al .d. linee. Queste cose cosí disposte, arguesci in questa forma lo intento dicendo: la superficie dela multiangola inscripta è minore che la superficie del cerchio. A, perché el cerchio .A. quadruplo al cerchio .efgh. nel qual ditta multiangola è inscripta, perché gli é il maxino nele spera contenuto, perché la segha in centro, donca ma- gior proportione ará la superficie dela spera ala inscrita multiangola che al cerchio .A. Donca la superficie multiangola al ditto cerchio cir- cunscrita è minore che la proportione dela spera, perché ex ypotesi dala circunscrita ala inscrita é minore proportione che da- la superficie dela spera al cerchio .A., peroché foron posti i lati de ditte figure multiangole in tal modo che ’l la- to dela circunscripta al lato dela inscripta havesse minor proportione che .b. al .d. E, per consequente, asa mol- to minore che dal .b. al .c. e poi molto piú che dala spera al cercio .A. Diché sequita che, duplata la pro- portione dal lato dela circunscripta al lato dela inscripta, sirá anche minore che duplata la proportione dal .b. al .d., cioé dal .b. al .c., perché la proportione dal .b. al .c. è doppia ala proportione dal .b.d., per la .10a. diffinitione del .5o. Ma la proportione della circunscripta piana ala inscripta piana é doppia ala proportione del lato dela cir- cunscripta ala inscripta, per la .18a. del .6o., perché sonno figure simili. Ora ymagina doi figure solide multi- angole facte de medesimi lati dela inscritta e circunscritta e che una sia dentro ala spera e l’ altra di fora, che li angoli de- le intrinseca tochino equaliter la pancia dentro e quella di fore le base tochino ditta spera aponto. Poi recogli tut- ta la superficie dela figura solida circunscripta e anche recogli tutta la superficie dela figura solida inscripta. Sirá ancora mi- nore la proportione de tutta la superficie dela solida circunscripta a tutta la superficie dela solida iscripta che dal .b. al .c., cioé che la doppia dal .b. al .d. è molto piú minore ancora che quella dela spera al cerchio .A. E sia la intrinseca ala extrinseca de quante voi base, che pare siranno a numero lá dentro e lá di fore, havenga che non si grandi parti. Ora, questo notato, dirai la superficie dela solida intrinseca tutta mai sirá quanto la superficie di tuta la spera, perché abia quante face si voglia mai s’ aguaglia ala spera. Donca dirai che la superficie tutta dela solida circunscripta ará magiore proportione al cerchio .A. che non haverá la spera al cercio .A., perché molto piú magiore é la superficie dela multiangola circunscripta che la spera e, per consequente, magior proportione averá la superficie dela multiangola circunscrip- ta ala multiangola inscripta che la spera a essa multiangola inscripta. Le qual cose fin qui serba in mente. Poi ar- gumenta cosí: o la superficie tutta dela multiangola inscripta è magior o minor o uguale al cerchio .A. E sia qual vo- glia, sequita lo inconveniente contra la ypotesi. Or sia prima la superficie tutta dela multiangola intrisica magior che ’l cerchio .A., donca minore sia la proportione dala spera a essa che dala spera al cerchio .A. E pur magior nondimen sia an- cor la proportione dela multiangola extrinsica ala multiangola intrinsica che dala spera ala intrinsica et ex unti magior si- rá la proportione dela extrinsica al’ itrinsica che dala spera al cerchio .A. E giá prima avamo minore per la ypotesi ecco contra al presupposto secondo non é ita, che la spera sia piú che .4. tanto dela superficie del maximo cerchio in lei contenuto. El me- desimo molto piú magior sequiri la proportione del’ estrinseca ala intrinsica che dala spera al cerchio .A., quando la in- trinsica fosse equale al cerchio .A., over minor, arguendo commo finora é facto. Donca non è piú che .4. tanto. E an- co, per le medesime vie, poi provare che non è manco che .4. tanto del ditto cerchio, ponendo ogni cosa commo di sopra, excepto che ’l cerchio .A. sia magior che la spera, mediante ditte linee proportionali e figure multiangole intrinseca e extrinseca et cetera. Nota che tal proportione è da una superficie multiangola a un’ al- tra multiangola simili, descripte intra doi cerchi, qual è dal quadrato de’ diametri de’ lor cerchi uno al’ altro, per la prima del .12o. Le simili s’ intendeno, commo è ditto in principio del .6o., d’ angoli iguali e lati che li contengono pro- portonali a’ sui relativi. E ancora de ponto la superficie dela spera, per ditto archi, quanto la superficia d’ un qua- drangolo ortogonio che sia contenuto sotto linee equali al diametro dela spera e ala circunferentia del ma- ximo cerchio in lei contento. Commo sia il diametro dela spera .7., la circunferentia del magiore cerchio sia .22. Don- ca il quadrangolo a lei equale sia longo .22. e largo .7. e possiede .154. che è il medesimo che habiam mostro. E questo havene perché tal quadrangolo sia composto dela superficie de ponto di .4. cerchi. maximi dela spera commo de sopra è detto. Del modo a far li stagiuoli e tavola de scemi in ogni luogo. Parrá forse al pratico geometra che, in questo trattato de geometria, al suo bisogno, io sia stato di minuto. Conciosiaché al suo principal desiderio, qual è de sapere ben con tuta diligentia me- surare el tenuto d’ una botte e anche el suo scemo. E anche, per tutti ’luoghi, fabricar- se i stagiuoli a sue occurentie dele prime non l’ abia suvenuto. Diché, qui sequente, el bastante a ció intendo dire. Sappi che, de tutte le mesure geometriche, quella dela botte è difficile e del scemo difficili- sima, peroché, se finora d’ una figura semplici plana circulare non s’ á per li antichi e moderni philosophy aponto sua quadratura e manco dele sue portioni, molto magiormente sia ascosta la demensione circulare

sperica e di quelle che a spherico tendano, quali non solo importano piano ma ancora soliditá. E ben- ché di sopra in questo mostrassemo di quadrare i cerchi e sue parti, nella distinctione .4a. al capitolo primo a carti- .26., questo fo facto solo con lo presuposito de Archimede che, in lo suo .3o. libro, che fa de quadratura circuli, ci mostra la proportione del suo diametro ala circunferentia esser magior che tripla sexquictava e minore che tripla sexquiseptima, onde per questo finora ci siamo fermati a questo: che ’l diametro multiplicato via .3 1/7. facia la sua circunferentia, che con precisione non é da mettere, ma poco varia: commo dici Photolomeo è quantitá non sensibile. Se tu domandi perché piú á .3 1/7. che .3 1/8. ci siamo fermati. Si fa perché menore è la differenza da .3. tanto e .1/7. ala circunferentia, che non è da .3. tanto e .1/8. e per questo s’ é facto. E, se ’l si havesse aponto la proportione del diametro ala circunferentia aponto, ancora quadraremo el cerchio e sue parti. La qual finora non s’ é trovata. Esser porria che giá fosse nato colui che ci habia a dar modo aponto quadrarlo. La cui pos- sibilitá per niun philosofo se denega. Onde AR. dici che scientia de quadratura circuli est scibilis et dabilis quamvis nondum sit scita neque data. E sopra di questo molti se sonno affatigati, tutti li matemaci, ma- xime Raymundo. Havenga che nel .1489. nella citá de Roma dove publice legiavamo Maestro Pier- Lione da Spoleti, medico che lí se stava in casa del Reverendisimo Cardinal de San Marco a sua Revederendisima Santita (me pre- sente e tutti a una mensa per sua humanitá) mostró un libro in .4o. foglio, de circa carti .150., impresso ultra- montes, compilato per un certo vescovo di quelle parti dove lui diciva haverlo studiato tutto. E che altro non trattava che de quadratura circuli con moltissime figure e diciva che la concludiva. La qual cosa non poddi mai vedere el libro dapoi non ebbi in libertá. Or commo sia stiamoci ancora un poco a’ patti vechi e modi usati, finche ’l certo si trova. Al proposito nostro tornando. Dico che le botti tut- te, a bene mesurarle, convengonse prenderle a modo piramide corta. E per imaginatione sempre tagliarla nel mezzo al cochiume e mesurarne la mitá. E poi, quel che fa, dopiare e harai tutto el tenuto. La qual cosa farai cosí, commo succintamente di sopra, nel trattato de’ corpi regolari, in una domanda te disti e anco fra li casi geometrici in la distitone .8a. al caso .2o. in ordine. Prima prendi l’ altezza del cochiume e l’ al- tezza d’ uno deli fondi e la distantia dal’ un fondo al’ altro, che, cosí facto, harai una piramide corta la quale, a ben mesurare, te conven finire fin al suo cono, commo te mostrai sopra nella distinctione .6a. al capitolo .2o. carti .44. E poi d’ essa trovare l’ area corporale al modo lí dato, qual, trovata commo è ditto, doppiala e harai el tenuto quadrato de tutta la botte, secondo la mesura che tu arai adoptata, cioé se arai facto a piedi, arai piedi quadrati e, se arai li toi stagiuoli divisi a bracia, arai a bracia quadri et cetera. Ma que- sto modo presuppone sempre nel vaso uniformitá la qual cosa, al piú dele volte, nelle botti, non si tro- va, per esser mal facte e con doghe non equali et cetera. E peró bisogna a te adoperare oltra l’ arte ancora el tuo in- gegno in guardare la botte con diligentia dentro e di fore e considerare piú apontino si pó quello che si perde overo avanza ala uniformitá et cetera. E questo non è possibile con penna insegnartelo, peró a te lo lascio meglio saparai et cetera. Ora, per li scemi, sonno per molti fabricate assai tavole di quali uno fo chia- mato garofano, l’ altro modo paulo e alcune son chiamate tavole del .60., altre del .12., altre del .10., altre de AR. e son quelle che hano molti rotti, bench’ io creda che mai AR. le vedesse, ma li vulgari li ha- no dato questo nome per piú auctentico lor fondamento. Or commo se sia le tavole ognun le pó da sé fa- re experimentado, commo altri sempre hano facto, perché de loro, commo è ditto, non c’ é scientia certa e peró, a far- tele da te, tirrai questo modo. Fa de haver una botte meglio lavorata sia possibile per bon maestro e, s’ altramente non la trovasse conporrate con un bottaro, quando e gli é per farne una, che vi duri in tuo ser- vitio alquanto piú fatiga in giustarla e usali qualche cortesia e farallo. E poi quella situa a livello in luo- go piano e falla impire d’ aqua. Facto questo prenderai li tuoi stagiuoli segnati e divisi a tuo modo, ma comunamente se dividano in .12. parti equali e ognuna se chiama ciuocolo per la Toscana, verso el Borgo nostro, Castello, Arezzo, Cortona e poscia altri li chiama braciuoli et cetera. E con questi stagiuoli prendi a livel- vello l’ altezza del fondo denanze che pongo l’ abi conmenzato e pregiato giá con quello di drieto. E segna una riga sul ditto fondo, aponto in mezzo, che sia diametro. El qual diametro dividi sutilmente secondo li ponti del tuo stagiuolo in bracia e {+} et cetera. E poi, supra ditta linea, de mano in mano, commenzando di sopra, andarai con un tri- vellino, over veriuola, piú sotil se possa, forando e quinde uscirá l’ aqua, qual fa che aponto tutta la recol- ga in qualche vaso sotto la botte prima asettato. E mesurala con la mesura del campione del paese dove te trovi a foro per foro e segna nel foglio da parte li bocali, petitti, fogliette et cetera. E cosí va facendo fin in fondo, a foro per foro. E arai, metiamo, che fin al primo foro de sopra sirá insita .4. bocali e fin al .2o.9. e fin al terzo .22. E cosí discorrendo in tutti. E quanti piú spessi farai li fori, cioé in bracci e mezzi bracci e quarti bracci e octavi bracci et cetera, meglio te sia. E, questo facto, tieni questa ta- vola scripta apresso te, con li ponti denanze, cioé, braccia, once, ponti et cetera. E al’ incontro porrai el numero de’ bocali, o barili, et cetera, che te sirá sempre tuo maestro a tutte altre botti che con li medesimi stagiuoli mesurasse, peroché sempre le tavole di scemi prosupponga- no la mesura con che loro foron fabricate. E de qua nasci che li mesuratori ale volte non s’ a-

cordano nelli scemi, havenga che usino la medesima tavola, perché la tavola sirá facta a bracia e ‘l stagiuolo di colui sirá a piedi magiori o menori del bracio. E quando poi torrai el scemo d’ alcuna botte con lo tuo stagiuolo vedi quanti ponti prende piú aponto possi e, se piglia un sol ponto recorri ala tavola giá facta e vedi scontra un ponto la quantitá segnata de’ boccali o de’ ba- rili et cetera e dirai: uno ponto me dá tanto et cetera. E cosí, se havesse .2. ponti, dirai che te dia .9. e, se .3. ponti, dirai che te dia .22. et cetera, commo qui habiamo ditto, et cetera. Ma, perché le botti non sonno tutte longhe a un modo né tutte alte a un modo, peroché in Toscana e di lá per tutto fin Roma sonno botti alte corte e gran- di. E in Romagna, commo a Rimino e Cesena et cetera sonno botti longhe a basse, per rispecto che le porta- no in carri. Non guardare a questo, che la tua mesura fatta in un luogo te serve per tutto, ma te con- verrá proportionarla per tutto dove vai con quella del paese che fosse, se non te converria farne un’ altra. de nuovo per quello. Siché bisogna sappi far ragione, se la tua te dá metadelle o bocali e tu vo- lesse raspondere a petitti. Convente esser noto el tuo vaso che parte sia di quelle, over quello che parte sia del tuo e poi respondere e mai falle. Peró tutte le mesure de una qualitá e natura sonno fra loro proportionate in modo che, per la piccola, se trova la grande e, per la grande, si trova la piccola, quando sien simili, cioé tutti cerchi o tutti quadri o tutti triangoli et cetera. E cosí riesci ne- li corpi aponto. E tu, per te, piú amplamente in ció te stenderai et cetera. Tavola dela .2a. parte principale de tutta l’ opera dove se trat- ta de Geometria in tutti li modi Theorica e pratica. Divisione de tutto el trattato de geometria. K. pa.

Divisione e continentia dela prima distinctione. K. pa.

Dele cose che sonno necessarie al buono agrimensore e pratico geometra, quali per numero son .5., commo apare al primo capitolo dela ditta di. K. pa. Del sentimento necessario senza el quale non è possibile in geometria bene operare de tutte le conclusioni e demostrationi del primo libro de Euclide. cao. 2 K. 2 Substantia efficacissima del secondo libro de Euclide. cao. 3 K. 4 De tutte le conclusioni e demostrationi dignissime del sexto libro. de Eucli. cao. 4 K. 5 Del modo a mesurare secondo el degno strumento fiorentino aplica- bile a ciascun altro in tutte parti. cao. 5 K. 7 Del modo a mesurare tutte le superficie quadrate. cao. 6 K. 7 Del modo a saper mesurare tutte sorte de’ triangoli. cao. 7. K. 8 Del modo a saper trovare tutti li catetti, over perpendiculari, in le figure triangulari. E com- me secondo un vulgar modo s’ usi in sul terreno a mesurare assai commendabile in la pratica usuale. La seconda distinctione.] cao. 8 K. 10 Del modo a saper trovare la quantitá de una linea menata da un ponto dato de fore, over dentro, d’ alcun triangolo.] cao. po. K.13 Dela protractione extrinseca dela ypotumissa nel triangolo ortogo- nio regola optima.] cao. 2 K. 15 La terza distinctione.

Del dilicato modo a saper solvere varie e diverse questioni proposte sopra le figure quadrilatere, cioé de .4. lati, che sienno rettangole, per via algebratica. cao. po. K. 16 Del modo a saper trovar l’ area, over superficie, dele figure quadrilatere, ditte dal vul- go Rombi e da Eucli. helmuaym, che sonno figure de .4. lati equali e non hano alcun angolo retto, ma solo li .2. oppositi equali e obtusi e li altri. 2. acuti, pur equali cao. 2 K. 21 Del modo a saper trovare l’ area dele figure de .4. lati, dal vulgo chiamate Rom- boide e da Euclide Simili helmuaym, che solo hano li lati oppositi equali e fra loro equidistanti e manca de angoli retti, cioé che non é rettangola. cao. 3 K. 22 Del modo a trovar l’ area dele superficie dele figure quadrilatere decte dal vulgo Ca- potagliato, cioé Caput abscisum e per Eucli. chiamate helmuariphe: e son- no quelle che hano doi lati oppositi equali e non equedistanti. E li altri doi equedistanti e non equali e non hano alcun angolo retto.] cao. 4 K. 23 Del modo a mesurare le figure quadrilatere, ditte da’ vulgari mezzo capo tagliato e da Eucli. similmente helmuariphe chiamate, che hano doi lati oppositi equidistanti non equali e li altri doi non sonno equali fra loro né equedistanti. E hano solo doi angoli retti: uno ala basa e l’altro al capo. cao. 5 K. 24 Del modo a saper trovar l’ area dele figure quadrilatere, ditte dal vulgo Capo tagliato declinante, dele quali el capo e la basa sonno equedistanti non

equali. E li altri doi non equidistanti che fano in sula basa doi sorte an- goli: cioé l’ uno obtuso e l’ altro acuto. cao. 5 k. 24 Del modo a trovar l’ area dele figure Multilatere, cioé figure de piú de .4. lati, como sonno pentagoni, exagoni, eptagoni et cetera. cao. 6 k. 25 La quarta distinctione.

Delucidatione de tutte le conclusioni e demostrationi del terzo libro de Euclide. Summamente necessari a chi vole haver notitia del’ area su- perficiale deli cerchi e de tutte le sue parti commo immediate da poi ordinatamente se dirá. cao. po. k. 26 Del modo a saper ritrovar l’ area dele figure circulari e dele sue parti, como se- micirculi, portioni magiori e minori e settori de cerchi. E del mo- do a trovar li archi per le corde, con la tavola de corda et arcu, secondo Ptolomeo in suo Almegesto. cao. 2 k 30 Del modo a saper mesurare le superficie in monti e valli. cao. 3 k 35 La quinta distinctione.

Del modo a saper dividere le superficie triangolari in quante parti se voglia tirando le linee da qualunche angolo se voglia e cosí da qualunche pon- to se voglia segnato nelli soi lati, over de fore, in tutti li modi. cao. po. k. 36 Del modo a sapere dividire le figure de .4. lati in quante parte faccia mestieri. cao. 2 k. 38 Del modo a saper dividere giustamente le figure multilatere, commo sonno pentagoni, exagoni et cetera, in quante voi parti. cao. 3 k. 42 Del modo a dividere le figure circulari in piú parti con diversi tagli.] cao. 4 k. 43 La sexta distinctione.

Dele cose necessarie a chi vol saper mesurare tutte le sorti de’ corpi. Com- mo sonno Cubi, Seratili, Colonne tonde e laterate e cosí le lor pyrami- di sane e scapezze, con le loro dechiaratione e diffinitoni poste dal philosopho. Eucli. nel suo .11o. libro, senza la cui notitia non è possibile del’ area corpora- le d’ alcum solido havere intelligentia. cao. po. 2. 44 Del modo a saper mesurare un solido rettangolo e cosí li cubi. cao. 2 k. 44 Dechiaratione del corpo Seratile e del modo a mesurarlo con quello de colonne tonde e laterate e cosí de tutte pyramide, cioé tonde laterate e scapez- ze e ancora dele loro portioni. cao. 3.k. 45 Dela mesura dele superficie Spherali e dela loro capacitá corporale e ancora de tutte le sue portioni, o sieno magiori over menori de 1/2 spera. cao. 4 k. 49 La septima distinctione.

Deli strumenti e modi diversi con li quali se costuma mesurare solo con l’ aspe- cto, cioé col vedere, ogni distantia de longheza, alteza, largheza e profonditá, pur- ché l’ ochio la possa scorgere, senza movarse de luogo. E anche del mo- do a mesurare quelle che per alcun impedimento non se potessero vedere, per la notitia dele visibili lor certa mesura proportionalmente arguire. cao. po. k. 50 De diversi casi che col vedere pó occorrere a mesurare. Exemplificativi a ciascun altro che te acadesse de Torri, Pozzi, Campagne, Valli, Fiu- mi, Fossi et cetera. Dove l’ Homo habilmente non se potesse acostare. Commo in- terven per guerra a muraglie, fortezze, bastioni o ali ostacoli che impacessero.] cao. 2. k. 50 La octava distinctione Solo per numero de’ casi distinta.

De diversi casi gentilissimi indifferentemente posti ala pratica geometrica spectanti. E applicabili a tutte occurentie in ciascuna operatione commo legendo intenderai, distincti solamente fra loro per numero de petitioni, per tutta ditta distinctione compresi, che per numero sonno .100., de dignissim piaceri. k. 53 Trattato particulare de tutti li .5. corpi regolari e sue mesure quali sonno de grandissimo artificio e la lor scientia é la subtilissima che esser possi in tut- te le discipline mathematici. E da ciascun phylosopho prosuposta. Similmen- te per numero de’ casi distincto che sonno .59. k. 69 Prova e demostratione apertissima secondo Archimede commo la superfi- cie di ciascuna spera é quatro tanto che l’ area del suo maximo cer- chio in essa contenuto. k. 74 Modo a far tavole de scemi e stagiuoli a mesurar botti in tutti luoghi cao. ultimo k.

Pervenuti (Idio laudato e il Seraphyco Patriarca de sancta povertá. Padre e fondatore del nostro sacro ordine Meser San Francesco benedecto) al desidera- to fine delo intento nostro in questa utilissima opera commenzato, altro, ale vostre lau- dabil exercitanti caritá, in remuneratione de tante fatighe, l’ umil servo di quelle non di- manda, se non per lui l’ altissimo li piacia pregare che con quel felici fine che ogni buon cristiano desidera a sé lo chiami e interim in lo curriculo de questa calamitosa vita, con sua gratia, lo go- verni e guidi. E non manco per lo degno e Reverendo Piovano de santo Apostolo de Vinegia. Me- ser pre Ysidero Bagnuoli. El simile per lo Mco. e Nobile dela excelsa Republica de Vinegia Patritio e in le scientie Mathematici fondatissimo. E de tutti virtuosi colonna firmissima Me- ser Marco Sannuto quondam Mci. domini Francisci. Perché mediante loro aiuto e favore tan- ta commoditá de’ volumi al’ universo è consequita. Con spesa e diligentia. E opifitio del pru- dente homo Paganino de’ Paganini da Brescia. Nella excelsa citá de Vinegia, con gran del suo excelso Dominio, che per anni .x. proximi null’altro in quello la possi restampare né altrove stampata in quello portarla sotto pena in ditta gratia contenuta. Negli anni de nostra Salute M.cccc.lxliiij. adí .10. de novembre. Sotto el felicissimo Governo del D.D. de’ venitiani Au- gustino Barbadico Serenissimo Principe di quello. Frater Lucas de Burgo sancti Se- pulchri Ordinis minorum. Et sacre theologie humilis professor suo parvo ingenio ignaris compatiens hanc summam Arithmetice et Geometrie Proportionunque et proportionalitum edi- dit. Ac impressoribus assistens die noctuque proposse manu propia castigavit. LAUS DEO Registrum Geometrie. A Tractatus Ogni linea Tutti i trian Denanze in e simile] C a’ quali agion- peró ciascuna il lato brie tetragono- to fo .on. E havere Sia il cerchio E se l’ area Al triangolo- re se ’l qua] G con la linea Distinctio .7a. de Se tu fosse e .ab. che me adunque] I obscura .3. che me dará questo e quel gia con la qua. B def.

E se ’l tri Havendo mo Onde oxigo Ancora pos] D sia il diame- agiognerai Se uno cer- Dico che gli é Per la .20a.] F se multiplicarai quadrilatero detta propor- Se uno solido il seratile] H Per la mitá ditti cerchi e perché lo la dal’ una al’ al po grosso] K .2 2/9. va.37348000. se fa .400.