Baliani, Giovanni Baptista De Motu Naturali Gravium Solidorum et Liquidorum 1646 Genf la balia_demot_064_la_1646.xml 064.xml

DE MOTV NATVRALI GRAVIVM SOLIDORVM ET LIQUIDORVM IO: BAPTISTAE BALIANI PATRITII ENVENSIS.

GENVAE

Ex Typographia IO: Mariæ Farroni 1646 Superiorum Permi&longs;&longs;u.

DE MOTV GRAVIVM SOLIDORVM LIBER PRIMVS.

Mihi quoque, sicut & caeteris hominibus, inest sciendi cupiditas, nec gra­ve fuit, usque a primis annis, & aliorum scripta percurrere, & naturales effectus observare, qui fa­cile mihi persuaserim, ex hisce fontibus, tum scientiam, tum sapientiam in animum de­rivare, si tandem ex effectibus diligentius perspectis, non modo ad inde consequentes, sed etiam ad causas, usque ad primam de­veniat intellectus. Statui igitur apud me ip­sum non acquiescere soli relationi pluri­morum, etiam doctiorum; potuisse siquidem contingere existimavi, ut aliqua laterent, etiam in plurimis oculatissimos, vel non ple­ne ab eis explicarentur; & ratus sum non inutilem laborem futurum, si ex accuratiori naturae rerum investigatione, & ex affection­um inde resultantium deductione, circa quod omnis demonstrativa scientia versatur, aut scitis adderem aliqua, aut doctioribus acuerem desiderium addendi plura: hinc fa­ctum est, ut excitata mens ex praecognitis le­gendo, ad ea, quae se offerebant, secun­dum privatas, aut publicas occupationes per­vestiganda, converteretur studiosus. Inter alia dum anno millesimo sexcentesimo un­decimo, per paucos menses, ex patriae legis praescripto, Praefectum Arcis Savonae agerem, ex militaribus observationibus quae occurre­bant, illud maxime depraehendi, ferreos, & lapideos tormentorum bellicorum glo­bos, & sic corpora gravia, seu eiusdem, seu diversae speciei, in inaequali satis Mole, & gravitate, per idem spatium, aequali tem­pore, & motu, naturaliter descendere, idque ita uniformiter, ut repetitis experimentis mihi plane constiterit, duos ex praedictis globis, vel ferreos ambos, vel alterum lapideum alterum plumbeum, eodem plane mo­mento temporis dimissos sibi, per spatium quinquaginta pedum, etiam si unus es­set librae unius tantum, alter quinquagin­ta, in indivisibili temporis momento, subje­ctum solum ferire, ut unus tantum ambo­rum ictus sensu perciperetur. Repetebam animo sapientum esse pronunciatum, gravia moveri naturali motu, secundum gravitatum proportionem; Processi ulterius, & pericu­lum feci, num forte iuxta eorum sententiam contingeret, si corpora dimissa, eiusdem fere essent molis, sed longe diversi ponderis, pu­ta unum plumbeum, cereum alterum; & ex­pertus sum in cereo aliquam longiorem mo­ram in descensu, attamen longe infra propor­tionem gravitatum, globus quippe ille ce­reus, in data distantia quinquaginta pedum descensus, uno circiter pede distabat a solo,quando plumbeus tangebat subjectum pla­num, objecto aere intermedio ni fallor, sen­sibiliter resistente, & impediente motum. Institi adhuc, & globos in gravitate, & in materia inaequales appendi funiculis aequali­bus, & agitatos animadverti moveri tempo­re aequali, & hoc servare adeo fideliter, ut globus plumbeus duarum unciarum, alter librarum duarum, ferreus librarum 34. & la­pideus quadraginta circiter, nec non, & la­pis informis, quorum funiculi comprehen­sis ipsorum semidiametris aequales essent, uno, & eodem temporis spatio moverentur, & vibrationes easdem numero darent hinc inde, sive motus unius globi fieret per aequa­le spatium, sive per inaequale, ita ut qui maiori impetu jactabatur, & sic majus spa­tium percurrebat, illud tanto velocius per­transiret. In quibus peragendis illud praeter expectationem sese mihi obtulit, quod quo­tiescunque globi penderent ex funiculis inae­qualibus, ita inaequali motu ferebantur, ut longitudines funiculorum, durationibus mo­tuum, in duplicata ratione responderent.

Porro cum ex praemissis satis superque li­queret, in naturali motu gravium, pro­portionem gravitatum communiter credi­tam, non servari; in eam descendi sen­tentiam, ut arbitrater fortasse, gravitatem se habere ut agens, materiam vero, seu mavis materiale corpus, ut passum, & proinde gravia moveri juxta proportionem gravitatis ad materiam, & ubi sine impedi­mento naturaliter perpendiculari motu fe­rantur, moveri aequaliter, quia ubi plus est gravitatis, plus pariter sit materiae, seu ma­terialis quantitatis; si vero accedat aliquid resistentiae, regulari motum secundum ex­cessum virtutis agentis supra resistentiam passi, seu impedientia motum; qui exces­sus momentum noncupabitur, & quod com­muniter gravitati attributum fuit, momen­to attribui debere, nimirum ut sit momen­tum ad momentum, ut velocitas ad velo­citatem; Et hinc fieri posse, ut cognosca­mus qua mensura, seu proportione corpora gravia naturali motu ferantur super subje­ctis planis, si super eis quomodolibet in­clinatis, ipsorum gravium momenta ubique innotescant, quae maiora, aut minora viden­tur censenda, secundum quod magis, aut minus super plano quiescunt, & sic secun­dum maiorem, aut minorem inclinationem plani resistentis; quod demum tali propor­tione facile fieri mihi existimandum vide­tur, juxta quam reciproce momentis pro­portionantur lineae dictorum planorum, si ambae ductae sint ab eodem puncto ad idem planum orizontale; de quo Simon Stevi­nus l. p. de Statica prop. 19. & acutissime Galileus in Mechanica manuscripta, ubi de Cochlea, & ego æliquali experientia com­pertum habui. Caeterum si per experien­tiam Scientia hominibus efficitur, praedicta de quibus saepius repetitis actibus expertus fui, ut principia scientiae habenda fore cen­sui; in quibus occultae conclusiones delites­cant, demonstrationibus duntaxat aperien­dae. Rimari caepi; an deprehenderim alio­rum erit judicium. Subjecta paucula, quae presens aliquod otium expedire permisit, de motu naturali solidorum gravium, Ami­ce lector tibi exhibeo, mox de liquidorum, & deinceps alia plura tam parata daturus, si haec placuerint. Placuit sane mihi, vel paucula tibi dare, qui te eius ingenij esse confidam, ut non verba, sed res, easque non mole, sed pondere censeas, felicior si de eorum genere existimaveris, quae non mole magna sunt, quod si talia non fue­rint, quo minora minus defatigabunt, sui exilitate, auctoris partus proprios omnino esse probatura. Idioma latinum elegi ut communius. Praemisi aliqua naturalia prin­cipia, sine quibus naturales conclusiones aliunde duci posse non video. Quae ex prae­dictis experimentis innotuerunt, supposi­tiones appellare, & a reliquis petitionibus secernere libuit. Petitiones illas, quibus quid fieri petimus, constructioni deservientes, tanquam factu, & cognitu faciles, & pro­inde supervacaneas, prudens praetermisi; ratus siquidem nil inde incredulitatis, aut difficultatis derivaturum. Septimum po­stulatum ea ratione segregavi, quod il­lud aliquo pacto a 22. prop. pendeat, & quod in illo etiamsi veritas non deficiat, evidentiam tamen ut in caeteris non agno­scens, certis dubia quo quo pacto permisce­re noluerim; ut proinde plura eorum, quae ex illo deducta sunt, & diversa Methodo & attingendo potius, quam demonstrando subjunxerim. Si quae demum minus pro­bata, seu explicata, aut quo quo pacto im­perfecta reperies, velim te tribuere cuidam naturali meae propensioni, ad nova potius, qualiacumque ea sint, invenienda, quam inventa perficienda. Vale.

De mandato Reuerendi&longs;&longs;imi Patris Magi&longs;tri lu&longs;tiniani Vagnoni Inqui&longs;itoris Generelis Genuæ, &c.

Rudi ego infra&longs;criptus Sancti Officij Con&longs;ultor De Motu Grauium Illu&longs;tri&longs;&longs;imi D. Ioannis Baptiste Baliani Libros sex. In quibus nil re peri S. Catholica fidei, bonis moribus, &longs;acri&longs;­ue decretis di&longs;&longs;onum; &longs;ed dignam ubique typis, & publica luce doctrinam, &longs;i prefato Reue­ rendi&longs;&longs;imo Patri ita videbitur. In quorum fi­ dem, &c.

Ex Conuentu Sancti&longs;&longs;ime Annunciatæ Veteris Genue 27. Nouembris 1646.

Magi&longs;t. Fr. Angelicus Riccobonus Aug.

IMPRIMATVR.

F. Iu&longs;tinianus Vagnonus a Calli S. T. M. Inqui&longs;itor Generalis Genuæ & c.

DEFINITIONES

Pendulus dicimus pondus filo appensum.

Pendula dicuntur aequalia, seu aequipendula, sive inae­qualia, quae, & longiora, aut breviora, quatenus fila, e quibus dependent, sunt aequalia, longiora, aut breviora.

Vibrationes pendulorum sunt eorum motus hinc inde

Vibrationes aequales dicimus, quae fiunt per spa­tia aequalia, & e contra inaequales.

Vibrationes aeque celeres si fiant per spatia aequa­lia tempore aequali.

Vibrationis diuturnitatem dicimus ipsius Dura­tionem, tempus nimirum, quo ipsa vibratio perficitur.

Vibrationes æquediuturne, sunt, quae fiunt tem­pore aequali, etiamsi per spatia inaequalia, inde diuturnior est, quae longiori perficitur tempore.

Vibrationes integras dicimus eas, quae se exten­dunt per integrum semicirculum, se hinc in­de moventes per circuli quadrantem.

Vibrationis portio est pars arcus, quem ipsa vi­bratio disignant.

Vibrationum similes portiones sunt arcus ipsa­rum intercepti inter binas lineas ductas a centro, a quo concipiuntur pendula pendere.

Vibrationis portionem priorem decimus eam mi­nimam portionem, a qua integra vibratio initium habet.

Momentum est excessus virtutis moventis supra motus impedimenta.

SUPPOSITIONES

PRIMA. Solidorum aequipendu­lorum cujuscumque gravitatis vibra­tiones aequales sunt aequediu­turnae.

2 Equipendulorum eorundem vibrationes sunt aequediuturnae, etiamsi inaequales.

3 Pendulorum inaequalium longitudines sunt in duplicata ratione diuturnitatum vi­brationum, seu ut quadrata vibratio­num.

4 Momentum gravis super plano inclinato est ad ipsius gravitatem, ut perpendi­cularis ad inclinatam, si ab eodem puncto ducta sint ad idem planum orizontale dicta perpendicularis, & di­ctum planum inclinatum, & proinde tali casu proportio gravitatis ad mo­mentum est reciproca proportioni li­nearum super quibus grave movetur.

PETITIONES, SEU POSTULATA

Pr. Pendulorum inaequalium portiones similes vi­brationum sunt inter se quoad diuturni­tatem, ut vibrationes integrae.

Sint pendula AB, AC; dependentia a puncto A, & eleventur ad libellam orizontis puncti A, in E, D, describentia arcus BD, CE, inte­grarum vibrationum, & in arcubus BD, CE sumantur portiones similes EF, DG, seu HI, KL ductis EA, FA, seu HA, IA. Peto mihi concedi, esse pendulorum diuturnitates in arcubus EC, DB, ut in portionibus EF, DG, nec non HI, KL, & ita deinceps.

2. Ut est momentum ad momentum solidi gravis, ita velocitas ad velocitatem.

Huiusmodi passio communiter attribui solet gra­vitati simpliciter, quod eum nimis clare expe­rientijs supra expositis nullo pacto congruere possit, momentis attribuenda esse visa est, ut in praefatione explicatum fuit.

3. Portiones minimae peripheriae Circuli con­cipiende sunt, ac si essent lineae rectae.

Quaecumque arcus portio est circularis, atta­men si est minima portio, tam parum aber­rat a linea recta, ut non modo quo ad sensum, sed quoad quascunque physicas passio­nes, perinde esse videatur, ac si esset linea re­cta, idcirco ut petitionem admittendam cen­seo, quemadmodum in mechanicis admittitur­ illa, quod perpendiculares sunt parallelae, etiamsi in centro concurrant universi, quatenus eis­dem sunt passionibus physicis subjectae, ac si vere essent parallelae.

4. Data recta linea, possimus concipere cir­culum talis magnitudinis, cujus portio pe­ripheriae aequalis quo ad sensum datae lineae, concipienda sit, ac si esset linea recta.

Haec petitio videtur concedenda, quia si conci­piamus circulum, eiusque portionem mini­mam, ut in praecedenti, si fiat ut huiusmodi portio ad datam lineam, ita circulus ad alium, portio huius, datae lineae aequalis erit, & simi­lis omnino praedicta minimae portioni, & proin­de pariter concipienda ut linea recta.

5. Solida perpendicula libero motu aeque velociter feruntur, & in tali proportione, ac si essent pendula, & moverentur in priori portione vibrationum.

Quoniam prior portio non differt sensibiliter a re­cta, ut in tertia petitione ijsdem physicis passio­nibus subjicitur, & exinde motibus aequalibus.

6. Solida naturaliter mota super plano incli­nato aeque velociter moventur ac si essent pendula, & moverentur in tali portione vi­brationum, quae quoad sensum esset aequa­lis, & paralella lineae dicti plani super qua dicta solida moverentur.

Non differt a praecedente, nisi quod in illa mo­tus est perpendicularis, in hac inclinatus, in reliquis est par ratio.

PRONUNCIATA

P. Quae sunt aequidiuturna tertio, sunt aequi­diuturna inter se.

2. Quadrata datorum temporum, sunt etiam quadrata aliorum datis aequalium.

3. Gravia eadem super planis aequalibus & pariter inclinatis, pariter moventur.

PROPOSITIO PRIMA.

Solidi penduli naturaliter moti vibratio­nes quantumvis semper minores, sunt aequidiuturnae.

Sit solidum A pendulum debite applicatum filo BA, quod ab altera parte elevatum naturaliter, postea faciat hinc inde vibrationes semper mi­nores, ita ut prior vibratio sit V.G. per spatium CD maius, posterior vero per spatium EF minus.

Dico quod dicta vibrationes erunt aequidiuturnae, ita ut vibratio per spatium CD sit eiusdem du­rationis, ac vibratio per spatium EF.

Sit aliud solidum G aequipendulum solido A, de­bite applicatum filo HG, quod elevetur ab una parte eodem tempore minus quam solidum A ita ut sint minores vibrationes solidi G, quam, solidi A, ut sit motus penduli G in initio per spatium IK aequale spatio EF.

Quoniam spatia EF, & IK, sunt aequalia ex sup­positione, sunt etiam vibrationes EF, & IK, aequidiuturnae,,sed IK, & CD sunt pariter aequidiuturnae, ergo EF, & CD sunt etiam aequidiuturnae. Quod fuit probandum.

Per primam suppositionem.

Per secundam suppositionem.

Per pr. pron.

PROPOSITIO II. PROB. PRIMUM

Pendula constituere, quorum diuturnita­tes vibrationum sint in data ratione.

Data sit proportio diuturnitatum vibratio­num, quam volumus esse inter solida A,B; & sit ea, quae est inter C, & D; quae est continuo eadem,,

Per pr. huius.

Venanda est longitudo filorum, quibus applicata dicta solida producant vibrationes quaesitas.

Fiat L tertia proportionalis ad C, & D, & fila IA, KB fiant inter se ut C ad L, & erunt fila quaesita.

Per 11 sexti.

Per 12 sexti.

Quoniam ita est IA ad KB ut C ad L per constr. erunt C, & D diuturnitates vibrorum pendu­lorum AB. Quod etc

Per 3 Supp.

PROPOSITIO TERTIA

Lineae descensus gravium, dum naturali motu perpendiculariter feruntur, sunt in dupli­cata ratione diuturnitatum.

Sint LN, KM linea descensus gravium L, K, & sint PO ipsorum diuturnitates.

Dico LN, KM esse in duplicata ratione ipsarum P, O.

Sint pendula AH, AI, dependentia a puncto A, & eleventur ad libellam ipsius A usque ad E, B, quae in elevatione producant arcus HB, IE, & sint talis longitudinis, ut ducta ACF, secet ar­cus BC, & EF, tam parvae curvitatis ut pro rectis habeantur, puta portionis minimae, & proinde aequales quo ad sensum rectis KM, LN, & fiat V tertia proportionalis ad O, P,

Per 3 pet.

Per 11 sexti.

Quoniam O, P sunt diuturnitates KM, LN ex constr., sunt itidem diuturnitates BC, EF, & quia diuturnitates vibrorum AH, AI sunt etiam ut O ad P AH AI sunt ut O, ad V & pariter BC, & EF sunt ut O ad V Ergo KM, LN eis aequales per constr. sunt etiam ut O ad V, & proinde in duplicata ratione O, P, temporum seu diuturnitatum earumdem. Quod, etc.

Per 5 pet.

Per p. pet.

Per 3 supp.

Per p. pet.

PROPOSITIO QUARTA. PROB. II.

Data diuturnitate gravis descendentis a data altitudine, constituere altitudinem, a qua idem grave cadat in data alia diuturnitate.

Sit A diuturnitas gravis B, dum cadit in C, & data sit diuturnitas quaecumque D.

Constituenda est alia altitudo, a qua grave de­scendat iuxta diuturnitatem D.

Fiat I, tertia proportionalis ad AD, & ut I ad A fiat altitudo GH ad altitudinem datam BC, Dico GH esse altitudinem quaesitam.

Per 11. sexti.

Per 12. sexti.

Quoniam BC, & GH sunt in duplicata ratione datarum diuturnitatum A, D, per constructio­nem; per ipsas gravia B, & G cadent in diu­turnitatibus A, & D datis, unde reperta est altitudo GH quaesita. Quod fuit faciendum.

Per 3. huius.

PROPOSITIO V. PROB. III.

Data altitudine, a qua descendat grave in no­ta diuturnitate; perquirere quanta sit diutur­nitas, qua descendat ab alia altitudine data.

Sit A altitudo per quam descendat grave diutur­nitate B nota, & data sit alia altitudo C.

Oportet reperire quanta sit diuturnitas, qua idem grave descendat per C.

Fiat ut A ad C ita B ad G, inter quas media, proportionalis F est diuturnitas quaesita.

Per 12. sexti.

Per 13. sexti.

Quoniam A, & C sunt in duplicata ratione diu­turnitatum B, & F per constructionem, per ipsas gravia descendent in diuturnitatibus B, F, unde F est diuturnitas ipsius C quaesita.

Per 3. huius.

Quod faciendum fuit.

PROPOSITIO VI.

Gravia naturali motu descendunt semper velo­cius ea ratione, ut temporibus aequalibus de­scendant per spatia semper maiora, iuxta proportionem quam habent impares nu­meri ab unitate inter se.

Sit grave A quod descendat per lineam ABC, & tempus quo descendit ab A in B sit aequale tempori, quo descendit a B in C, & a C in D.

Dico quod lineae AB, BC, CD sunt inter se ut 1.3.5.& sic deinceps.

Sit G linea mensurans tempus, quo A descendit in B, & H, quo de­scendit a B in C, & I, quo descendit a C in D, quae tempora sunt ex suppositione aequalia, & sit K latus quadrati ipsius G, & L quadrati GH, & N quadrati totius GHI.

Quoniam quadrata K, L, N sunt ut AB, AC, AD, quae quadrata sunt ut 1, 4, 9, sunt itidem AB, AC, AD, ut 1. 4. 9. & dividendo AB, BC, CD, ut 1. 3. 5. & sic deinceps. Quod probandum fuit.

Per 3. huius.

PROPOSITIO VII.

Lineae descensus gravium super plano incli­nato motorum, sunt in duplicata ratione diuturnitatum.

Sint AB, CD plana pariter inclinata, super quibus moveantur gravia A, C, & sint EF ipsorum diuturnitates.

Dico AB, CD, esse in duplicata ratione ipsarum E, F.

Secetur AB bifariam in G, & erecta GH, per­pendiculari longissima, fiant pendula HI, HK, quae sint inter se ut AB, CD, & eleventur in L, M, describentia arcus LI, KM, secantes GH in N, O, & ab N hinc inde secentur ar­cus NP, NQ aequales quo ad sensum rectis GA, GB, & ductis PH, QH, secetur pariter arcus LI, in R, S, & intelligantur arcus PQ, RS, tam parvae curvitatis, ob maximam lon­gitudinem pendulorum HI, HK, ut pro re­ctis habeantur, puta portionis minimae, & pro­inde aequales rectis AB, CD.

Per 3. pet.

Quoniam EF sunt diuturnitates AB, CD per construct., sunt etiam diuturnitates portionum PQ, RS, & pariter vibrationum pendulo­rum HK, HI sunt autem diuturnitates praedictae E, F, in subduplicata ratione pendu­lorum HK, HI unde pariter portionum PQ, RS, & proinde plenorum AB, CD, Quod, etc.

Per 6. pet.

Per pr. pet.

Per 3. supp.

Corollarium

Hinc patet esse longitudines planorum per quae gravia feruntur ut quadrata temporum, & tempora ut radices longitudinum planorum.

PROPOSITIO VIII. PROB. IV.

Dato plano inclinato, super quo per spatium datum grave moveatur in nota diuturni­tate, determinare in eodem plano spatium per quod dictum grave moveatur in qua­vis alia diuturnitate data.

Sit A diuturnitas gravis B, dum descendit in C super plano inclinato BC, & data diu­turnitas D.

Praescribendum est aliud spatium in eodem pla­no BC, per quod idem grave pertranseat in diuturnitate D.

Fiat H tertia proportionalis ad A & D, & ut H ad A fiat BG ad BC, Dico BG esse spa­tium quaesitum.

Quoniam BC, & BG sunt in duplicata ratione datorum temporum A, D per constructionem, per ipsa cadet grave B diuturnitatibus A, D datis, ergo reperta est BG quaesita. Quod faciendum erat.

Per 6. huius.

PROPOSITIO IX. PROB. V.

Dato plano inclinato, super quo per spatium datum grave moveatur nota diuturnitate; & dato alio spatio quocumque; reperire diuturnitatem, qua grave per ipsum de­scendat.

Sit Nota diuturnitas gravis B, dum descendit in C super plano inclinato BC, & dato alio spatio BG.

Quaerendum quanta sit diuturnitas gravis in BG.

Intelligatur BC diuturnitas ipsius BC, & fiat BH, media inter BC, & BG, quae erit diu­turnitas quaesita.

Quoniam BC, & BG sunt in duplicata ratio­ne diuturnitatum BC, & BH, per constructio­nem; per ipsa cadunt gravia diuturnitatibus BC, BH, unde BH est diuturnitas per spa­tium BG quaesita. Quod, etc.

Per 7. huius.

PROPOSITIO X.

Gravia descendunt super planis inclinatis per spatia semper maiora, iuxta rationem, quam habent impares numeri successive inter se.

Sit grave A, quod descendat super plano ABC inclinato, & tempus quo descendit ab A in B sit aequale tempori, quo descendit a B in C, & a C in D.

Dico quod lineae AB, BC, CD sunt inter se ut 1. 3. 5. &. sic deinceps.

Sit E numerus mensurans tempus, quo A descen­dit in B, & F quo descendit a B in C, & G quo descendit a C in D, quae tempora sunt ex suppositione aequalia, & sit H quadratum ip­sius E, & I quadratum EF, & K quadra­tum totius EFG.

Quoniam quadrata HIK sunt ut AB, AC, AD, quae quadrata sunt ut 1. 4. 9. sunt pariter AB, AC, AD, ut 1. 4. 9. & dividendo AB, BC, CD, sunt ut 1. 3. 5. & sic deinceps. Quod probandum erat.

Per 7. huius.

PROPOSITIO XI.

Si Duo gravia descendant alterum super li­nea perpendiculari, alterum vero super inclinata; proportio velocitatum est reci­proca proportioni linearum.

Sit ABC planum normaliter erectum super lineam orizontalem BC, cuius latus AB sit perpendiculare, & AC, inclinatum.

Dico quod proportio velocitatum solidorum gra­vium motorum secundum lineam AB perpen­dicularem, & AC inclinatum, est ut propor­tio longitudinis inclinatae AC ad longitudinem perpendicularis AB; videlicet ita est longitudo AB ad longitudinem AC, ut velocitas super AC ad velocitatem in AB.

Quoniam est ut AC ad AB, ita momentum in AB, ad momentum in AC; & ut momentum in AB ad momentum in AC, ita velocitas in AB ad velocitatem in AC; ergo est etiam ut AC ad AB, ita velocitas in AB ad veloci­tatem in AC. Quod fuit probandum.

Per 4. supp.

Per 2. pet.

PROPOSITIO XII.

Gravia descendunt super plana diverse in­clinata tali proportione, ut si velocitas ad velocitatem reciproca longitudinibus pla­norum ductorum ab eodem puncto, ad idem planum orizontale.

Sint F, D plana inclinata ducta ad idem pla­num orizontale.

Dico esse ut planum D ad planum F, ita veloci­tatem gravis ducti super F, ad velocitatem eiusdem ducti super D.

Ducatur perpendicularis E, & sint B, A, C ve­locitates gravium latorum super perpendicu­lari, & super planis F, D.

Quoniam est A ad B, ut E ad F, item, & B ad C, ut D, ad E, erit A ad C ut D ad F, sci­licet velocitas gravis super F ad velocitatem gravis super D, ut lon­gitudo plani D ad longitudinem plani F. Quod fuit probandum.

Per 11. huius.

Per 13. Quinti.

PROPOSITIO XIII. PROB. VI.

Reperire inclinationem plani, super quo grave moveatur tali velocitate quae cum alia super diversa inclinatione sit in ra­tione data.

Moveatur grave A super recta AB, seu perpendiculari, seu inclinata, & data sit proportio C ad D.

Oportet reperire aliud planum inclinatum, ita ut velocitas gravis moti super AB ad velo­citatem alterius moti super illo reperiendo, sit ut D ad C.

Producatur BA; & fiat ut C ad D ita BA, ad AE; & centro A, intervallo AE describatur circulus, secans BF in F; ni secet, problema insolubile est; si secat, ducatur AF, quam di­co esse planum quaesitum.

Quoniam ut C ad D, ita AB ad AE, seu AF per constructionem, erit C velocitas super AF, & D super AB, unde velocitates super ip­sis sunt in ratione data. Quod faciendum fuit.

Per 12. huius.

PROPOSITIO XIV. PROB. VII.

Data linea perpendiculari, per quam grave descendat, cui annectatur linea, seu pla­num declinans; in declinante reperire punctum, quo grave perveniat eo tempo­re, quo pertransiverit perpendicularem.

Sit triangulum ABC orthogonaliter erectum super plano orizontali BC, cuius latus AB intelligatur linea perpendicularis, per quam grave descendat, & latus AC planum incli­natum.

Oportet in plano AC reperire punctum quo gra­ve perveniat eodem tempore, quo in B.

Fiat ut AC ad AB, ita AB ad tertiam AD, & D erit punctum quaesitum.

Per 11. Sexti.

Quoniam velocitas super AD ad velocitatem in AB est ut AB ad AC, & proinde ut AD ad AB per const, quae velocitates eadem con­tinuo duplicata proportione augentur, gra­via in eis moventur tempore aequali, quia quo­tiscunque spatia sunt ut velocitates, aequali peraguntur tempore, quod, etc.

Per 11. huius.

Per 3. & 7. huius.

Corollarium 1.

Hinc est quod in D, & B velocitates sunt ut AD, AB, & ita in quibuslibet punctis respondenti­bus paralellis ad DB cum in AD, & AB ve­locitates semper eadem ratione augeantur.

Corollarium 2.

Hinc est etiam quod si esset AE aequalis AB, & AF media inter AD, AE, tempus AD, & proinde AB ad tempus AE, esset ut AD ad AF.

Per 7. huius.

Corollarium 3.

Si AE est quadrupla AD, AF erit dupla AD, unde tempus AE erit duplum tempori AB.

Corollarium 4.

Si AC esset quadrupla AD, grave moveretur temporibus aequalibus per AB, AD, DC.

PROPOSITIO XV.

Si duo gravia descendunt alterum quidem perpendiculariter, alterum vero super pla­no declinante, perveniunt ad idem pla­num Orizontale tali ratione, ut sit eadem proportio inter diuturnitates eorum, quae inter perpendicularem, & declinantem.

Sit linea AB perpendiculariter erecta super plano Orizontali BC, & AC planum declinans.

Dico quod diuturnitates gravium descendentium per AB, & per AC, sunt ut AB ad AC.

Fiat AD tertia proportionalis ad AC, & AB,

Per 11. Sexti.

Quoniam est ut AD ad AC ita quadratum tem­poris AD ad quadratum temporis AC, & tempora AD, & AB sunt aequalia, & proin­de eorum quadrata, ergo ut AD, ad AC ita quadratum temporis AB ad quadratum temporis AC, sed ut AD ad AC ita quadra­tum AB ad quadratum AC, ergo ut quadratum temporis AB ad quadratum temporis AC, ita quadratum AB ad quadratum AC, sed quia latera sunt inter se ut eorum qua­drata, est ut AB ad AC ita tempus AB ad tempus AC. Quod, etc.

Per cor. 7. huius.

Per 14. huius.

Per 2. pron.

Per 19. Sexti.

Per 11. Quinti.

Per 22. Sexti.

PROPOSITIO XVI. PROBL. VIII.

Data linea perpendiculari, & plano decli­nante; reperire in perpendiculari produ­cta punctum, quo perveniat grave eo tem­pore, quo pertransit planum inclinatum.

Data sit perpendicularis AB, cui connexum planum inclinatum AD.

Oportet in AB producta reperire punctum, quo perveniat grave eo tempore, quo pervenit in puncto D.

In puncto D perpendicularis erigatur ad AD, & protrahatur usquequo coeat cum AB produ­cta in E, & E est punctum quaesitum.

Quoniam triangula, ADE, AEC sint aequian­gula, cum anguli ADE, AEC sint aequales, nempe recti, & BAD communis, sunt etiam similia, ergo ut AC ad AE, ita AE ad AD, unde tempora per AD, & AE sunt aequalia.

Per 32. prim.

Per 4. sexti.

Per 4. sexti.

Per 14 huius.

Corollarium

Hinc est quod super plano AC erit AD men­sura diuturnitatis motus peracti super AE.

PROPOSITIO XVII. PROBL. IX.

Dato plano declinante, super quo grave de­scendat, & dato alio plano minus declinan­te, in hoc reperire punctum, quo perveniat mobile eo tempore, quo pertransit dictum planum magis declinans.

Sint plana AB, AC quorum AC minus in­clinatum.

Oportet in AC reperire punctum, quo grave per­veniat, quando pervenit in B.

Fiat ut AC ad AB ita AB ad AD, & dico D esse punctum quaesitum.

Quoniam ut AC ad AD ita est quadratum AC ad quadratum AB, & ut AC ad AD ita quadratum temporis AC ad quadratum tem­poris AD ergo ut quadratum AC ad qua­dratum AB, ita quadratum temporis AC ad quadratum temporis AD Vnde AC ad ABut tempus AC ad tempus AD, sed ut AC ad AB, ita tempus AC ad tempus AB, ergo tempora AB, AD, sunt aequalia. Quod, etc.

Per 19. sexti.

Per cot. 7. huius.

Per 22. sexti.

Per 15. huius.

PROPOSITIO XVIII. PROBL. X.

Datis planis declinantibus ortis ab eodem puncto, reperire in magis declinante pun­ctum quo grave perveniat eo tempore, quo pertransit planum minus declinans.

Datum sit planum minus declinans AC, & magis AD, terminantia super plano ori­zontali BD.

Oportet in AD producta reperire punctum, quo perveniat grave eo tempore, quo pertransivit planum minus declinans AC.

Fiat ut AD ad AC ita AC ad dictam AD pro­ductam in E, quod est punctum quaesitum.

Quoniam ut AE ad AD ita est quadratum AC ad quadratum AD, sed AE ad AD est ut quadratum tempo­ris AE, ad quadratum temporis AD, ergo ut quadra­tum AC ad quadratum AD, ita quadratum temporis AE ad qua­dratum temporis AD, unde AC ad AD ut tempus AE ad tempus AD, sed AC ad AD est ut tempus AC ad tempus AD, ergo tem­pora AE, AC sunt aequalia. Quod, etc.

Per 19. sexti.

Per cor. 7. huius.

Per 11. Quinti.

Per 22. sexti.

Per 15. huius.

PROPOSITIO XIX. PROBL. XI.

Dato motus naturali gravis quomodocumque ad punctum datum, reperire seu in perpen­diculari, seu in plano quomodolibet incli­nato punctum, a quo digressum, perveniat ad idem punctum quo prius, tempore aequali.

Sit AB linea quomodocumque aut perpendicu­laris, seu planum inclinatum; super qua grave descendat in B, & data sit quaecunque linea BC, aut perpendicularis, aut quomodo­libet inclinata, quae cum AB, coeat in B.

Oportet in BC reperire punctum, a quo grave digres­sum perveniat in B tempore quo pervenit ab A in idem B.

Ducatur AC orizontalis, & fiat BD tertia pro­portionalis ad CB AB, & D est punctum quaesitum. Quod ut probetur.

Per 11. Sexti.

Fiat iterum rectae AC paralella, & aequalis BE, & ducta EA, secetur recta BF parallela ipsi AD.

Quoniam AF, BD sunt pariter inclinatae, & aequales, gravia per ipsas aequali tempore mo­ventur, sed per AF, grave movetur tempo­re quo per AB, ergo per BD movetur pari­ter tempore quo per AB, quod, etc.

Per 33. Primi.

Per 3. pronun.

Per 17 huius.

Per 1. pron.

Corollarium

Hinc est quod super plano CB, DB est mensura diuturnitatis motus in AB.

PROPOSITIO XX. PROBL. XII.

Datis duobus planis diverse inclinatis lon­gitudinis notae; & nota diuturnitate gra­vis moti super uno, reperire diuturnita­tem si moveatur super alio.

Sint plana AB, CD inclinata, & sit data diu­turnitas E plani AB.

Oportet reperire diuturnitatem plani CD.

Fiat AF, paralella, & aequalis datae CD, in qua reperiatur punctum G quo perveniat grave, tempore quo in B, unde E est etiam diuturnitas spatij AG, quo dato, & spatio AF perquiratur eias diuturnitas, quae sit H, & dico H esse diuturnitatem quae grave descendit in CD.

Per 17. huius.

Per 9. huius.

Quoniam E, H sunt diuturnitates gravium de­scendentium in AG, seu AB, & AF, per con­structionem, & AF est aequalis, & paralella datae CD per constructionem, sunt etiam E, H diuturnitates ipsarum AB, & CD, unde reperta est diuturnitas ipsius CD. Quod, etc.

Per 3. pron.

PROPOSITIO XXI. PROBL. XIII.

Datis duabus diuturnitatibus, quarum prior sit gravis moti super plano dato longitu­dinis notae, & dato alio plano diversimo­de declinante; reperiendum est in eo pun­ctum, quo grave perveniat in secunda diuturnitate data.

Dato plano declinante AB, super quo grave A moveatur diuturnitate C, & dato alio plano D declinationis quae sit dissimilis decli­nationi datae AB; data itidem diuturnitate E.

Oportet reperire in D punctum quo grave per­veniat in diuturnitate E.

Ducatur AF parallela ipsi D, in eaque reperia­tur punctum F, quo grave perveniat tempore quo in B, & praescribatur in eadem spatium AG per quod moveatur in diuturnitate E, & fiat DH aequalis ipsi AG, & dico H esse punctum quaesitum.

Per 17. huius.

Per 8. huius.

Quoniam diuturnitates in AB, AF sunt aequales per constructionem, & C, E sunt diuturnita­tes super planis AF, AG per constructionem, sunt etiam diuturnitates super AB, AG, & proinde super DH ipsi AG aequali, & paralellae, quod, etc.

PROPOSITIO XXII.

Data perpendiculari seu plano quomodoli­bet inclinato diuturnitatis notae, & assi­gnata ubivis quaecunque eius portione, re­perire eius diuturnitatem.

Data linea AB perpendiculari aut inclina­ta, cuius, diuturnitas sit CD, dataque qua­cunque eius portione EF.

Quaerenda eius diuturnitas.

Fiat CG diuturnitas AE, & CH diuturnitas AF, GH est diuturnitas quaesita.

Per 5. aut 9. huius.

Quoniam CH est diuturnitas AF per constr. ab ea ablata CG diuturnitate AE per const. resi­duum GH est diuturnitas portionis EF quod, etc.

PROPOSITIO XXIII.

Duo gravia descendentia super planis diversa ratione declinantibus, perveniunt ad idem planum orizontale ea ratione, ut sit eadem proportio inter diuturnitates, quae inter dicta plana si ab eodem puncto ad idem planum orizontale producta sint.

Datis planis AB, AC declinantibus, ductis ab eodem puncto A ad planum orizontale BC. Dico quod diuturnitates gravium descendentium per AB, AC sint ut AB ad AC.

Fiat ut AC ad AB ita AB ad AD, ita ut grave perveniat in D eodem tempore quo pervenit in B.

Per 17. huius.

Quoniam est ut AD ad AC, ita quadratum tem­poris AD ad quadratum temporis AC, & tempora AD, AB sunt aequalia, & proinde eorum quadrata; ergo ut AD ad AC ita qua­dratum temporis AB, ad quadratum tempo­ris AC, sed ut AD ad AC, ita quadra­tum AB ad quadratum AC, ergo ut quadra­tum temporis AB ad quadratum temporis AC, ita quadratum AB ad quadratum AC, ergo ut tempus AB ad tempus AC, ita AB ad AC. Quod fuit probandum.

Per Cor. 7. huius.

Per const.

Per 2. pronun.

Per 10. sexti.

Per 22. sexti.

PROPOSITIO XXIV

Datis planis, & perpendiculari ad eadem li­nea orizontali egressis, quae coeant infra in eodem puncto, gravia super ipsis mota procedunt ea ratione, ut sit eadem propor­tion inter diuturnitates, quae inter longitu­dines planorum, & dictam perpendicularem.

Data sit linea orizontalis AB, in qua ini­tium sumant plana declinantia AC, DC, nec non perpendicularis BC coeuntia in puncto C.

Dico quod diuturnitates gravium super ipsis mo­torum, sunt ut AC, DC, BC.

Ducatur CE paralella ipsi AB, & a puncto A du­cantur paralellae ipsis CB, CD, & sint AE, AF.

Quoniam diuturnitates super planis AF, AC, sunt ut AF, AC, & super planis eisdem, & perpendiculari AE, sunt ut AF, seu AC ad AE, & AE, AF sunt paralellae ipsis CD, CB, & eisdem aequales,, sequitur quod etiam super AC, DC, BC diuturnitates sunt iuxta proportiones longitudinum, Quod probandum fuit.

Per 23. huius.

Per 15. huius.

Per 33. prim.

Per 3. pron.

PROPOSITIO XXV.

In circulo Orthogonaliter erecto, si a sum­mitate ad puncta peripheriae ducantur pla­na, quo tempore grave perpendiculariter inde pervenit ad planum orizontale; si de­scendat per dicta plana, eodem perveniet respective ad quodlibet dictorum puncto­rum peripheriae.

Sit circulus cuius centrum B, & diameter AC erectus super plano orizontali GC, & in eo ducta sint plana declinantia a puncto A ad puncta peripheriae DEF, & descendant gravia super dicta plana, & perpendiculariter.

Dico quod eodem tempore pervenient ad, D, E, F, C.

Ducantur DC, EC, FC.

Quoniam puncta praedicta sunt ea, in quae cadunt perpendicularia ducta a puncto C in AD, AE, AF, eo perveniunt gravia eodem tempore quo in C. Quod probandum fuit.

Per 30. Tertij.

Per 16. huius.

PROPOSITIO XXVI.

Sit in circulo erecto, a puncto inferiori ducan­tur plana ad puncta peripheriae, & a dictis punctis descendant gravia super dicta pla­na eodem tempore quo a puncto supremo descendit aliud grave perpendiculariter; pervenient omnia eodem instanti ad di­ctum punctum inferius.

Sit circulus cuius diameter ABC erectus super plano orizontali, quod tangat in C, & a C ducantur plana CD, CE, & a punctis, E, D gravia descendant super dicta plana, nec non, & a puncto supremo A perpendiculariter.

Dico quod eodem tempore perveniunt in C.

A puncto A ducantur AF, AG paralellae ipsis CE, CD, & ducantur AF, FC.

Quoniam in triangulis AEC, AFC anguli al­terni FAC, ACE sint aequales,, & anguli AFC, AEC sunt etiam aequales puta re­cti, & basis AC communis, Triangula sunt aequalia, & proinde AF est aequalis CE, quod idem probabitur de reliquis, ergo cum AF, CE, & reliquae sint paralellae, & aequales, gra­via per CE, CD pervenient in C eodem tem­pore, quo digressa ab A perveniunt ad puncta FG, sed haec eodem tempore quo perpendicula­riter pervenit in C, ergo etiam ea quae per CE, CD. Quod, etc.

Per 29. primi.

Per 30. Tertij.

Per 16. primi.

Per 25. huius.

POSTULATUM VII

Ductis planis inclinatis, & linea perpen­diculari inter binas paralellas orizon­tales, Gravia super illis mota ubi perveni­unt ad paralellam inferiorem habent aequa­les velocitatis gradus; & proinde si ab in­de infra sortiantur parem inclinationem, aequevelociter moventur.

Videtur probabile. Primo quia si diuturni­tates sunt longitudinibus proportionales, ut propositione 15. huius probatum fuit, credibile est motus in fine esse aequales.

Secundo. Argumento ducto ab experientia pen­dulorum, quae quantumvis longiora, aut brevio­ra, & proinde circa finem magis, aut minus in­clinata, pariter ascendunt, si pariter descendant.

Tertio. Quia videmus aquam per siphones rectos, sive obliquos, seu inclinatos ductam, pariter ascendere, si pariter descendat. Ceterum fa­teor minorem evidentiam hoc postulatum caete­ris praemissis prae se ferre, quae fuit causa quod illud, ut in praefatione, segregaverim, & se­quentia, alia methodo, tangendo fere tantum­modo exposuerim, & a pluribus alijs proposi­tionibus, quae hinc deduci facile possent, data opera abstinuerim.

PROPOSITIO XXVII. PROBL. XIV.

Dato gravi moto perpendiculariter per spa­tium datum diuturnitate data, quod per­ficiat motum super plano inclinato per spatium itidem datum; perquirere in ipso diuturnitatem.

Moveatur grave A perpendiculariter per spatium AB diuturnitate C, & perseve­ret in motu super spatio BD in plano incli­nato BD.

Venanda est diuturnitas eius in ipso BD.

Producatur DB donec concurrat cum AE orizon­taliter ducta ab A in E, & fiat ut AB ad EB, ita diuturnitas C ad diuturnitatem G, quae idcirco erit diuturnitas ipsius EB, & sit H quadratum diuturnitatis G, & fiat ut EB ad ED, ita quadratum H ad aliud quod sit I a cuius latere K, quod est diuturnitas ipsius ED, ablata KL aequali G, erit LM reli­quum diuturnitas BD quaesita.

* Est quarta tertij.

Quoniam notum est triangulum AEB, cum no­tus sit angulus AEB aequalis alterno EDF inclinationis notae, & EAB rectus ex constru­ctione, & notum latus AB ex hypotesi, notum erit etiam latus EB, & quia diuturnitas in plano BD est eadem ac si motus antecedens esset per EB, EB & ED sunt in duplicata ratione diuturnitatum G, K ex con­structio­ne; unde a K deducta KL aequali G ex constructione, remanet LM diuturnitas BD. Quod, etc.

Per 22 huius.

Inde sequitur quod summa diuturnitatum C, & LM, est diuturnitas totius ABD.**

Eadem operatione pariter reperietur diuturni­tas BD si BD sit perpendicularis, & AB inclinata.

Item si ambo sint plana inclinata.

Ducta AD facile reperietur diuturnitas in ipsa si fiat ut ED ad AD, ita K ad aliud per 21. huius.

Ducto alio plano puta DN, reperietur eius diuturnitas.

Si fiat ut ED ad OD ita diuturnitas ipsius ED puta L ad diuturnitatem OD, quae sit P, deinde ut OD ad ON ita quadratum diuturnitatis P ad aliud quadratum, cuius Radix erit diuturnitas ipsius DN.

Ex his patet quod si addantur plura plana ea­dem ratione reperientur eius diuturnitates.

Ex his itidem patet quod si in circulo dentur plura, plana v.g. FA, AC, CB, & data sit diuturnitas super diametro orizonti perpen­diculari, dabitur diuturnitas cuiusvis dicto­rum FA, AC, CT, & omnium simul.7*

In super ex his facile cognosces esse breviorem, diuturnitatem per AC, CB, simul, quam per AB;8* nam ducta AE perpendiculari ad BC productam in D ad orizontalem AD, diutur­nitas motus in AC, super DB mensuratur per EC, ergo addita CB, quae est eiusdem diutur­nitatis, fuerit ne motus per AC an per DC, tota EB erit mensura diuturnitatis in ACB, sed AB mensurat diuturnitatem ipsius AB respectu eiusdem DB, quae est maior quam EB, maior ergo est diuturnitas in AB quam in ACB.

Per 7. post.

** Est pars secunda quartae tertij.

*** Est Tertia tertij.

**** Est corol. quartae tertij.

Eadem prorsus ratione probabitur citius grave descendere per FA, AC, CB, simul, quam per planum ductum ab F in B.9*

In figura propositionis 27. si facto H quadrato diuturnitatis G, fiat ML aequalis C, cui ad­dita LK aequali G, fiat I quadratum MK, & ut H ad I, ita EB ad ED; MK erit diuturnitas ED, & ML diuturnitas BD aequalis C. diuturnitas ipsius AB, unde diu­turnitates in AB, & in BD aequales erunt.10*

Et si BD esset fere Orizontalis, BE fieret longis­sima, & quia EB ad ED est ut G ad tertiam proportionalem ad G, & MK, haec tertia exce­deret ipsam G fere duplo ipsius ML, seu C, ob magnam diferentiam inter G, & C, ob quam G esset fere aequalis ipsi MK, unde itidem ED excederet EB fere duplo ipsius AB, & quo BD esset magis orizontalis, eo BD propinquior esset duplo AB.11*

Ceterum ex hisce plura alia postmodum deduci facile poterunt, haec vero in praesentia pauca sufficere mihi visa sunt.

DE MOTV GRAVIVM SOLIDORVM LIBER SECVNDVS VBI DE IMPETV.

LIBELLVM edidi octo ab bine annis anno &longs;iquidem 1638 de motu &longs;olidorum, mox de liquidis editurus, quibus nimirum &longs;olida &longs;oli­ dius &longs;truerent fundamen­ tum. Hucu&longs;que di&longs;tuli, exi­&longs;timans hos itidem duos libros de &longs;olidis prae­ mittendos; faciliorem &longs;iquidem vi&longs;i &longs;unt &longs;ter­ nere viam ad illorum demon&longs;trationem cla­riorem. Quod eo libentius feci, quoniam &longs;e­ptimum po&longs;tulatum, quod inter principia, connumerandum non videbatur, tanquam minus euidens, decima huius propo&longs;itione demon&longs;trare contigit; ex quo inde deducta, &longs;eu potius leuiter tacta, libro &longs;equenti re­ petere, & clarius explica re coactus mihi vi­&longs;us &longs;um. Quæ nihilomimus, citius perfici po­tui&longs;&longs;ent, ni pluribus litigijs, alijque negotijs proprijs, & alienis, tum muneribus publicis di&longs;tractus, litterarum &longs;tudia dimittere &longs;æpius mihi opus fui&longs;&longs;et. Non ignoro litteris auide deditos nu&longs;quam ijs obrui negotijs, quin horas furtiuas quotidie reperiant, quibus di&longs;cipli­narum &longs;tudijs vacent: verum &longs;atis con&longs;tat in­tellectum libentius elaborare in nouis per di­&longs;cendis, &longs;eu aliorum partus ingeniorum in­quiras, &longs;eu (quod delectabilius longe e&longs;t) noua proprio marte reperias, quam in iam repertis po&longs;tmodum expoliendis, in quo ni­ mirum labor ingens, nulla animi voluptas. Ex quo mirandum non e&longs;t &longs;iquid otij occupa­tiones permi&longs;&longs;erunt, meum ad noua potius pro­ pen&longs;um ingenium, ea &longs;æpius intermi&longs;i&longs;&longs;e, que ad opus perficiendum nece&longs;&longs;ario requireban­ tur: quod cau&longs;a fuit non modo proca&longs;tinatio­nis, &longs;ed cur opus prodeat impolitum, po&longs;tre­ma vide licet lima deficiente; vnde, &longs;i ani­mo meo morem gerere volui&longs;&longs;em, ad huc &longs;ub tenebris latitaret. Qualecunque &longs;it, tibi nunc exhibere libuit, & priorem librum iterum edi, allique alligari ad eorundem captum nece&longs;&longs;arium, tu illud accipias, & excu&longs;es, & corrigas velim.

DEFINITIONES

1. Motus dicitur aequabilis, si mobile fera­tur per spatia, quae inter se sint ut tempora, quibus conficiuntur.

2. Impetus est vis, quia mobile est aptum progre­di absque actione gravitatis, aut cuiusvis al­terius rei.

Petitio

Impetus sunt ut spatia, quae eius virtute aequis temporibus permeantur.

Axiomata

1. Pares causae producunt pares effectus.

2. In effectu procedente a duabus causis, ablata eius portione proveniente ab una, reliquum erit portio proveniens ab altera.

PROPOSITIO PRIMA.

Grave in motu naturali, sive perpendiculari, sive inclinato, fertur sine ope gravitatis, aequali tempore, per duplum spatii praece­dentis.

Dato gravi A naturaliter la­to ab A ad B tempore ab, cuius aequale sit tempus bc, & spatium BC, sit duplum spati AB. Dico quod tempore bc fertur grave sine ope gravitatis per spatium aequale ipsi BC.

Producatur AB, sumaturque portio BD aequalis, & DE dupla lineae AB, & pro­inde aequalis ipsi BC.

Quoniam ope gravitatis A tempore ab fertur in B per constructionem, tempore bc eadem ope prodibit in D per spatium BD aequale AB, at prodit in E, ergo fertur per DE du­plum ipsius AB sine ope gravitatis, cui cum sit aequalis BC per constructionem, constat, quod sine ope gravitatis tempore bc fertur per spatium aequale BC, quod etc.

Per axioma primum.

Per 3. primi huius.

Corollarium Primum

Hinc sequitur quod si spatium AB sectum esset in quatuor partes aequales, grave perficeret primam tempore aequali illi quo conficit tres reliquas, quia in fine primae acquisivit virtu­tem, seu impetum, quo perficeret duas partes, tertiam verum conficit eadem virtute qua per­ficit primam. Quod pari ratione sequitur si AE producatur, & in ea sumantur tres par­tes aequales ipsi AE, quae tres conficientur tem­pore ei aequali quo perficitur AE.

Corollarium II

Impetus autem non sumpsit initium in B, sed prius, attamen cum mobile est in B ille impe­tus qui simul cum gravitate tempore ab duxit mobile ab A in B non est sufficiens tempore bc aequali ab ducere illud ultra D per dictum pri­mum Axioma, unde impetus ducens grave a D in E eodem tempore bd necessario est is qui est acquisitus per motum AB in puncto B.

Corollarium III

Quoniam impetus de nouo acquisitus non operatur seorsim ab impetu qui simul cum gravitate duxit mobile ab A in B, sed eo­dem prorsus tempore ducitur mobile non modo ab impetu de novo acquisito in B, sed etiam, & gravitate, & ab impetu qui continuo produ­

citur respondens illi qui duxit mobile ab A in B, idcirco ipsum mobile a B in E fertur perpe­tuo velocius, unde motus est velocior in E quem fuerit in quolibet puncto superiori, & pro­inde in E sortitum est impetum maiorem quam habuerit prius, aptum ducere illud aequali tem­pore per spatium duplum ipsius AE.

PROPOSITIO II. PROBL. I.

Dato spatio per quod grave naturali­ter ducatur virtute impetus solius sine ope gravitatis, in dato tempore: repe­rire eius portionem per quam duca­tur eadem virtute in quavis portione dicti temporis.

Ducatur grave A per spatium AE tempore ae, nec non per spatium aequale EB duplum AE virtute impetus acquisiti in E sine ope gravitatis tempore eh aequale ipsi ae cuius temporis eh data sit portio quaelibet, & sit primo portio immedia­ta tempori ae, & sit eg.

Per pr. huius.

Oportet reperire portionem spatii EB, per quod grave A ducatur, virtute impetus solius acqui­siti in E, sine ope gravitatis, in dicta portione temporis eg.

Concipiantur tempora ae, eh, eg tanquam lineae rectae metientes tempora ae, eh, eg, & fiat ac tempus aequale tempori eg, & ut ae ad ac, fiat AE ad AD ad quas fiat tertia AC, ex quo AE, AC sunt in duplicata ratio­ne temporum ae, ac,. Fiat ut ae ad ag ita AE ad AF, quibus tertia AG, ex quo AG, AE sunt in duplicata ratione temporum ag, ae.

Per 12. sexti.

Per 11. sexti.

Per 10. def. quinti.

Per 12. sexti.

Per 11. sexti.

Per 10 def. 5.

Fiat EH aequalis AC, et ab AG abla­ta AH, residuo HG fiat aequalis EI.

Dico EI esse portionem quaesitam.

Quoniam AE est casus gravis A tempore ae per supp. & AE, AC sunt in dupl. ratione tem­porum ae, ac per constr. AC est casus gravis tempore ac, & proinde EH aequalis AC est casus tempore eg aequali ipsi ab si grave du­ceretur per EH eadem prorsus virtute qua ductum fuit per AC.

Per 3. pr. huius.

Per axioma primum.

Item quia AG, AE sunt in duplicata ratione tem­porum ag, ae per constr., AG est casus tempo­re ag, & proinde residuum EG est casus re­sidui eg, dum tamen motus proveniat tam e gravitate quam a quolibet impetu superaddi­to, at EH probatum est esse casum itidem, eg dum tamen grave ducatur ea solum virtute qua ductum fuit per AC, ig, residuum HG est spatium quod perficitur eodem tempore eg, a solo impetu acquisito in E, quod est aequa­le EI per constr., unde EI est spatium quaesitum.

Per 3. primi huius.

Per 19. Quinti.

Per axioma primum.

Per axioma secundum.

Sit deinde portio temporis eb disiuncta ab ae, puta gK, & sit rursus reperienda portio spatij EB per quod grave A ducatur vi solius impetus in E acquisiti in dicta portione temporis gk: reperto prius spatio EC respondenti tempori eg immediato ipsi ae modo quo supra dictum fuit; fiat ac tempus aequale tempori gK, & ut

ag ad ac fiat AG ad AD, ad quas tertia AC; AG, AC erunt in duplicata ratione tem­porum ag, ac. Item fiat ut ag ad aK ita AG ad AL, quibus tertia AK: AK, AH erunt in duplicata ratione temporum aK, ag; fiat GM aequalis AC, & ab AK auferatur AM, & residuo MK fiat aequale IN, & eodem ratio­cinio demonstrabitur IN esse spatium quae­situm. Reperta est igitur portio quaesita, quod etc.

PROPOSITIO TERTIA.

In motu naturali gravium, spatia quae conficiun­tur virtute impetus sine ope gravitatis sunt inter se ut tempora quibus conficiuntur.

Descendat grave A in E tempore ae, & tem­pore eh aequali ae, ex solo impetu, sine ope gravitatis, per spatium aequale EB, duplo ipsius AE, & secetur EI portio dicti spatij EB quae sit aequalis spatio per quod duci debeat gra­ve A tempore eg portione dicti temporis eh so­la vi impetus acquisiti in E.

Per pr. huius.

Per 2. huius.

Dico spatium EI ad spatium EB esse ut tempus eg ad tempus eh.

Percipiantur tempora ae, eh, eg tanquam rectae me­tientes tempora ae, eh, eg, & reperiantur ut in praecedenti puncta C, H, G, e, & describantur quadrata ab, ad, bd, supra ae, ag, eg.

Per 46. primi.

Quoniam AG, AE sunt in duplicata ratione ad ag, ae per constr., & quadrata ad, ab sunt pariter in duplicata ratione ad ag, ae, erunt AG, AE ut quadrata ad, ab, & di­videndo ut EG ad AE ita ad minus ab, hoc est gnomon edf, ad ab. Pari ratione probabimus ut AE ad EH esse quadrata ab, ad bd, & proinde EG ad EH est ut gnomon edf ad quadratum bd unde HG, ad EG, ut com­plementa gb, bf ad gnomonem edf, at EG ad AE sunt ut gnomon edf ad quadratum ab, ut probatum est supra, ergo HG, seu EI ipsi aequalis per constr. ad AE est ut dicta comple­menta gb, bf, ad quadratum ab, bisk seu ut gb ad ab,1 seu ut eg ad ae,m seu eh, ei aequale per constr. Quod, etc.

Per 20. sexti.

Per 11. Quinti.

Per 17. Quinti.

Per 22. Quinti.

Per 19. Quinti.

Per 22. Quinti.

Corollarium Primum

Si portio temporis eh non sit immediata tempori ae sed ab ea seiuncta, puta in schemate propo­sitionis secundae gK, reperto in EB spatio IN

ipsi gk, respondenten, eodem ratiocinio quo supra probabitur spatium EB ad eius portionem IN esse ut tempus eh ad eius portionem gK, quan­doquidem qua ratione EI respondet tempori eg, eadem EN respondet tempori eK, & proinde reliquum IN respondet reliquo gK.

Corollarium II

Motus ab impetu proveniens est aequabilis.

PROPOSITIO IV.

In motu naturali impetus successive acquisi­ti sunt ut tempora transacta.

Dato gravi moto naturali motu per AC, tem­pore ac, & per AB, tempore ab.

Dico impetum seu velocitatem in B ad impetum in C esse ut ab ad ac. Concipiantur tempora ab, ac tanquam lineae re­ctae metientes tempora ab, ac. Fiat BD dupla ipsius AB mensura impetus in B tempore ab, & CE dupla ipsius AC mensura impetus in C tempore ac, & BF media inter BD, CE.

k Per 25. Quinti.

l Per 22. Quinti & 43. pr.

Quoniam AB, AC sunt in duplicata ratione temporum ab, ac, BD, CE sunt pariter in duplicata ratione eorundem temporum ab, ac, sed BD, CE sunt etiam in duplicitata ratione spatiorum BD, BF per constructionem, ergo BD, BF sunt ut tempora ab, ac. Sed BD mensura impetus in B tempore ab, est spatium per quod percurrit mobile virtute solius impetus acquisiti in B tempore ab per constructionem, erit igitur BF spatium per quod percurret idem mobile eadem virtute impetus acquisiti in B tempore ac, at CE est spatium quod percurrit mobile eodem tempore ac per constr. Igitur eodem tem­pore ac mobile in C perficit spatium CE, & in B perficit spatium BF; sed impetus sunt ut spa­tia quae aequali tempore transignuntur g. Ergo impetus in C, & B sunt ut CE ad BF spatia, quae probatum est esse ut tempora ac, ab, unde impetus in C & B sunt ut tempora ac, ab, quod etc.

m Per 36. primi.

n Per 2. huius.

o Per primam defin.

Per primam huius.

Per 13 Sexti.

Per tertiam pr. huius.

PROPOSITIO V.

In motu naturali gravium impetus successive acquisiti sunt in subduplicata ratione spa­tiorum transactorum.

Iisdem positis.

Dico impetus, seu velocitates in B, & in C esse in subduplicata ratione spatiorum AB, & AC.

Quoniam impetus in B, & C sunt ut tempora ab, ac transacta.

Per 11. Quinti.

Sed tempora ab, ac sunt in subduplicata ra­tione spatiorum AB, AC. Pariter impetus in B, & in C sunt in subduplicata ratione spatiorum AB, AC, quod etc.

Per 11 Quinti.

PROPOSITIO VI.

Datis in perpendiculari quibuslibet pun­ctis reperire impetus singulorum in­ter se.

Data linea perpendiculari AB, & in ea punctis C, D,

Venandi impetus in C, D dum grave ab A dimissum fertur per AB.

Sit E media inter AC, AD, item fiat AF media inter AC, AB.

Dico impetus in C, D, B esse ut AC, AE, AF.

Quoniam AE est media inter AC, AD per con­structionem, AD, AC sunt in duplicata ratio­ne rectarum AE, AC.

Per 3. huius.

Ergo AC, AE metiuntur impetus in C & D.

Per pet. huius.

Item quoniam AF est media inter AC, AB per constructionem, AF, AC sunt in subduplicata ratione rectarum AB, AC, igitur AC, AF metiuntur impetus in C & B, quod etc.

PROPOSITIO VII.

In quolibet puncto motus reperire spatium, per quod mobile sit aptum duci sine ope gravitatis in dato tempore.

Ducatur grave tempore ab a puncto B per spatium aequale rectae BD sine ope gravi­tatis ut in praecedenti.

Oportet reperire in alio puncto ipsius motus, puta C, spatium aequale ei, per quod ducetur sine ope gravitatis eodem tempore ab.

Sit ac tempus, per quod ducitur grave naturali­ter motum ab A in C, & fiat CE dupla ad AC, & secetur CE in F ea ratione, ut partes CF, FE sint partibus ab, bc proportionales.

Per 11. Quinti.

Dico CF spatium aequari illi, per quod ducetur­ grave digressum a C tempore ab.

Quonniam CF ad FE est ut ab ad bc per constructionem, erit ut CE ad CF ita ac ad ab, & permutando ut CE ad ac, ita CF ad ab at spatium aequa­le CE perficitur tempore ac motu aequabili.

Per 4. huius.

Per 3. pr. huius.

Per 10. def. Quinti.

Per 5. huius.

Ergo spatium aequale CF conficitur tempore ab, quod etc.

Corollarium

Huic sequitur quod eodem tempore, puta ab, grave ducitur per BD, & per CF.

PROPOSITIO VIII.

Si lineae perpendicularis, & inclinata ab eo­dem puncto digressae, per quas idem grave naturaliter ducatur, secentur a recta norma­lis ad inclinatam; impetus in punctis sectionis, sunt ut portiones linearum intra sectiones.

Sint rectae AB perpendicularis, & AC quomo­documque; inclinata per quas grave naturaliter ducatur, sectae a BD normali ad AC declinantem.

Dico impetum in B ad impetum in D esse ut AB ad AD.

Fiat BE dupla AB mensura impetus in B, & DF dupla AD mensura impetus in D.

Per 10. sexti.

Quoniam grave ducitur per AB AD eodem tempore. Ducitur etiam sine ope gravitatis eo­dem tempore per spatia aequalia ipsis BE, DF & proinde BE, DF sunt ut impetus in B & D.

Per 18. Quinti.

Per 16. Quinti.

Per pr. huius.

At BE, DF sunt ut AB, AD per constr. quip­pe earum duplae. Igitur AB, AD sun t ut im­petus in B & D quod, etc.

Per cor. 3. huius.

Corollarium

Impetus sive velocitas in B ad impetum in D est ut AC ad AB.

PROPOSITIO IX.

Ductis a puncto superno perpendiculari, & inclinata ad planum Orizontale, & a pun­cto inferno perpendicularis ducta normali ad inclinatam, impetus inclinatae in pun­ctis, in quibus secat normalem, & orizon­talem, sunt ut perpendicularis, & inclinata.

Sint rectae AB AC ductae a puncto A ad orizon­talem CB & a B ducatur normalis BD ad AC.

Dico impetum in D ad impetum in C esse ut AB ad AC.

Quoniam AC AD sunt in duplicata ratione im­petus C ad impetum D.

Per pr. huius.

Sunt itidem in duplicata ratione AC ad AB.

Per 14. pr. huius.

Igitur impetus in C ad impetum in D sunt ut AC AB quod, etc.

Per pr. huius.

PROPOSITIO X.

Ductis a puncto superno perpendiculari, & inclinata in punctis in quibus secant lineam orizontalem sortiuntur impetus aequales.

A puncto A superno ducatur AB perpendi­cularis, & AC declinans ad BC Orizon­talem.

Dico, quod in B, & C sunt impetus aequales.

Quoniam impetus in C ad impetum in D est ut AC ad AB.

Per pet. huius.

Item impetus in B ad impetum in D est pariter ut AC ad AB.

Per 11. Quinti.

Igitur impetus in C, & B sunt aequales. Quod etc.

Per 5. huius.

PROPOSITIO XI. PROBL. IV.

Datis pluribus lineis æqualibus ab eodem puncto superno descendentibus, etiam si una sit perpendicularis, reperire impetus in fine ipsarum inter se.

Datis aequalibus AB, AC, AD, inclinatis, & AE perpendiculari oportet venari im­petus inter se in B, C, D, E.

Ducantur BF, CG, DH normales ad AE, & proinde orizontales, & fiat AI media inter AF, AG, & fiat AK media inter AF, AH, item fiat AL media inter AF, AE.

Per 10. definit. quinti.

Dico impetus in B, C, D, E esse inter se ut AF, AI, AK, AL.

Quoniam impetus in B, & F sunt aequales nec non in CL, & in DH, & impetus in F, G, H, E sunt ut AF, AI, AK, AL,

Per 16. Quinti.

Per 9. huius.

Igitur impetus in B, C, D, E, sunt ut AF, AI, AK, AL, Quod etc.

PROPOSITIO XII

Ductis pluribus lineis diversi mode inclinatis, & etiam perpendiculari, quae ab eadem li­nea Orizontali terminentur in idem pun­ctum inferius; ibi sortiuntur impetus aequales.

Sint lineae BD CD diversimode inclinatae, & AD perpendicularis, ductae a linea Orizontali AC ad punctum inferius D. Dico gravia a punctis A B C digressa, & in eis lata, in D sortiri im­petus aequales.

Fiat DEF parallela ad AC, & proinde ori­zontalis, ad quam dimittantur perpendicula­res BE CF.

Per cor. 8. huius.

Per 11. Quinti.

Quoniam gravia ducta per AD, BE, CF in DEF habent impetus aequales, quia omnia paria, & gravia ducta per BD, BE in DE habent im­petus aequales, item per CD, CF in DF habent impetus aequales sequitur quod etiam ducta per AD, BD, CD sortita sunt in D impetus aequales. Quod etc.

Per 12. sexti.

Per 10. huius.

Corollarium

Hinc sequitur, quod si ABC non sit linea, sed planum Orizontale, item loco puncti D sint plura puncta, dummodo in plano Orizontali; gravia in punctis D habebunt impetus aequales.

PROPOSITIO XIII. PROBL. V.

Datis gravibus descendentibus per perpendi­cularem, & declinantem reperire rationes im­petus in punctis datis.

Descendat grave per AC perpendicularem , & AB declinantem, & dentur puncta B, C.

Reperire proportionem impe­tus in B ad impetum in C.

Ducatur BD normalis ad AC, & fiat AE media inter AC, AD, Dico impetum in C ad impetum in B esse ut AE ad AD.

Per 6. huius.

Per 31. primi.

Quoniam impetus in C ad impetum in D est ut AE ad AD, & impetus in D & B sunt aequa­les, ergo impetus in C ad impetum in B est ut AE ad AD, Quod etc.

Per 13. primi.

Per axioma primum.

Corollarium

Eodem pacto reperies impetus in planis ut­cumque declinantibus ductis perpendicula­ribus ad AC.

DE MOTV GRAVIVM SOLIDORVM LIBER TERTIVS.VBI DE MOTV SVPERPLVRIBVS PLANIS DIVERSIMODE INCLINATIS.

Ex libro secundo praecedenti con­stat, mobile dum movetur fieri ap­tum ex se moveri, quatenus post priorem motum ei tribuitur, & im­primitur quaedam virtus, seu vis, a qua fit aptum duci, sine alicuius ope, ea velocitate qua movebatur, dum illa virtus imprimebatur, & proinde motu aequabili; quae virtus dicitur Im­petus, differens solum fortasse a velocitate, quia impetus sit velocitas in actu primo, ita ut ali­quo pacto impetus sit causa velocitatis; conve­niunt tamen, quatenus velocitates sunt ut spa­tia quae mobilia aequali tempore permeant, impetus vero ut spatia quae virtute ipsius im­petus sunt apta, & in potentia proxima per­meare, & de facto permeant ni impedimen­tum aliquod obijciatur, secus enim effectus causae non responderet. Porro ex impe­tu provenit quod missilia quaelibet, a mo­tore velociter ducta, deficiente motoris actio­ne, nihilominus a solo impetu ferantur, quod in proiectis quotidie experimur. De quibus locus postularet ut aliquid agerem, ni via quam eorum motu conficiunt, me adhuc late­ret; quamvis non ignorem viris oculatissimis visam esse parabolicam. Cum illis igitur sup­pono proiecta a motore seiuncta, motu du­plici moveri, nimirum ab impetu, aequabili motu, eadem prorsus directe via qua a motore novissime ducta fuerant, & itidem a gravitate deorsum, & proinde motu mixto secundum quamdam lineam curvam mihi ignotam, quamhoc argumento ducti parabolicam ar­bitrantur.

Proijciatur missile A versus D motu violento quo virtute impetus temporibus aequalibus conficiat aequalia spatia AB, BC, CD, & inpriori tempore, vi gravitatis descendat per spatium aequale AE, quod sit BF, motu mix­to describet curvam AF; ducatur mox ab impetu eodem quo prius tramite, ab F ver­sus G, unde si moveretur eo simplici motu violento, in tantundem temporis adiret ip­sum G, at quoniam urget etiam gravitas, ducitur in H, ita ut GH sit triplum ipsius AE, & proinde CH ad BF sit in duplicata ratione AC ad AB, describens motu mixto curvam FH, & demum eadem ratione du­citur in I. Probant puncta AF HI esse in­ parabola, per 20 primi A poll. quoniam quadrata rectarum AC, AB ordinatim ap­plicatarum, seu eis aequalium, sunt ut CH, BF ab eis ex diametro praecisae, seu ut eis aequa­les. At vero mihi quidem, contra id quod sup­ponitur, apparet proiectum descendere mi­nori celeritate, quam si a sola ducatur grav­itate, & libere dimissum, celerius solum attingere, quam orizontaliter latum. Insu­per si aequis temporibus proiectum conficit curvas AF, FH, HI, successive longiores motus est successive velocior, quippe maius spatium aequo tempore permeat, unde si vis pro­ijcientis provenit a maiori velocitate, ictus eo est validior, quo missile longius a proijciente distat; contra id quod quotidie experi­mur, nec sit tardior ab aeris resistentia, quam gravia deorsum mota persentirent, unde quo graviora, celerius descenderent; quod experientiae repugnat. Sed quia adducere inconveniens non est solvere argumentum, eius fallaciam pro viribus detegere conabor. Dum supponitur ab impetu duci perpetuo mobile iuxta orizontalem AD, ego equi­dem verum esse censeo, ubi mobile unico so­lum violento motu ducatur; sed quia fertur motu mixto, ab impetu nimirum, & a gravi­tate secundum curvam AFH, quemadmodum proiectum, a funda circumlatum, sibi dimis­sum fertur per tangentem curvae a funda descriptae, ita pariter censendum est, quo­tiescumque orizontaliter latum pervenit in H, non amplius dirigi secundum rectam orizontalem HL, sed secundurn contingen­tem ipsam curvam FH, fuerit ne ea para­bola nec ne, quae contingens sit HK; unde proiectum ab H digressum, motu violento, remota gravitate, tenderet non in L, sed in K; & proinde motu mixto tanto inferius puncto L, quanta est recta LK, puta in M, de­scribens curvam non HI, sed HM; at M non est in parabola, ut facile demonstrari posset ex ea­dem 20. primi Apollon. cum DM maior quam DI, & BF non sint in duplicata ratione ordina­tim aplicatarum AD, AB. Ex quo satis con­stare existimo proiectum suo moto parabo­lam non describere, quod probandum pro­posueram. De quibus proiectis aliquid in­ sequentibus addam fortasse ubi occasio tulerit. Reliquum est quod hoc tertio libro repetam ea quae in calce libri prio­ris dicta fuere, sed parum accurate, quippe pendentia ab eo septimo postulato, non satis tunc fidem merente, in praesentia vero deci­ma secundi huius, ut alibi dixi, ni fallor de­monstratum. Interim ibi in notis marginali­bus adnotari volui quem locum in hoc ter­tio libro sortiantur.

PETITIONES

PRIMA

Peripheria circuli concipiatur tanquam constans plurimis, seu mavis infinitis lineis rectis.

SECUNDA

Mobile naturaliter motum caeteris pari­bus, quo longius distat a puncto quie­tis sortitur maiorem impetum, & velocius movetur.

PROPOSITIO PRIMA.

Si grave perpendiculariter ductum perse­veret in motu super plano declinante; pro­dibit eadem velocitate, ac si motus praece­dens fuisset cum eadem declinatione, ini­tio ducto ab eodem plano Orizontali.

Ducatur grave perpendiculariter per AB, & perseveret in motu super BE declinante.

Dico, quod fertur per BE eadem velocitate ac si cepisset moveri in D; quod sit ad libellam ipsius A.

Quoniam in B sortitum est eundem impetum ductum per AB, ac si latum fuisset per DB.

Per 12. secundi huius.

Ergo per BE ducitur ab eadem virtute seu vi, ac si motus initium fuisset in D, quippe ubique ducitur a gravitate, & ab impetu in B, & pro­inde fertur eadem velocitate. Quod etc.

Corollarium primum.

Si initium motus fuisset per lineam declinantem, & demum per perpendicularem, seu declinantem diversa inclinatione, idem probabitur eadem ratione.

Corollarium II.

Hinc sequitur, quod impetus in E est idem si motus fuerit per ABE, ac si fuisset per DE.

PROPOSITIO II.

Grave ductum perpendiculariter per spatium datum diuturnitate data, perseveret in motu super plano inclinato; perquirere in eo motum in data diuturnitate.

Ducatur grave A perpendiculariter per AB diuturnitate quae sit AB, & perseveret in motu super BD plano inclinationis notae.

Venandus ibi motus in dicta diuturnitate AB.

Producatur BD in C donec concurrat cum AC orizontaliter ducta ab A ad C. Erit BC diu­turnitas ipsius BC.

Per 15. primi huius.

Fiat BE aequalis AB, & CD tertia ad CB, CE.

Per 11. sexti.

Dico BD esse quaesitum, nempe spatium transa­ctum diuturnitate AB.

Quoniam CE est diuturnitas CD, & CB est diu­turnitas motus per eundem CB ut supra pro­batum fuit.

Per 7. pr. huius.

Erit BE diuturnitas BD stante motu praecedenti per BC.

Per 19. quinti.

Et pariter si fuerit per AB, BE est diuturni­tas motus per BD.

Per pr. huius.

At AB est aequalis ipsi BE per constructionem.

Ergo motus per BD fit diuturnitate AB. Quod etc.

Corollarium I.

Hinc sequitur, quod in quolibet puncto infra B est par impetus, fuerit ne motus per CD aut per ABD, cum fuerit par impetus in B.

Per 12. secundi huius.

Corollarium II.

Quotiescunque CE est media inter CB, CD, etiamsi motus praecedens fuerit per AB; BE est diuturnitas motus per BD.

Corollarium III.

Idem sequitur etiamsi AB noni esset perpendicu­laris, nam probatur eodem pacto.

Corollarium IV.

Sequitur etiam, quod si datis AB, & CB, fiat AB lineae aequalis BE, & ad CB, CE fiat tertia CD; mobile cadens aC, seu ab A, movebitur super BD aequali tempore quo per AB.

Et notandum pr. quod BD semper excedit du­plum ipsius AB, quia excedit duplum rectae BE.

Nota secundo quod quo AC est longior, & proinde quo BD magis accedit ad orizontalem DE fit semper proximior longitudini EB.

Nota tertio quod si AC sit fere infinita, ex quo BD fere Orizontalis, DE insensibiliter differt ab EB, & proinde DB erit dupla ipsius AB, seu ab eius dupla insensibiliter differens.

Et quia in BD tali casu gravitas insensibiliter agit, quippe cum grave insensibiliter descendat, motus erit fere uniformis, & proinde par ve­locitas in BED.

Ex quo, etiam apparet velocitas in quocunque puncto descensus, puta in B; nam est talis, ut mobile ubi non agat gravitas, sit aptum duci per spatium duplum eius, per quod fuerit de­scensus, & paulo amplius.

PROPOSITIO III

Ducto gravi super plano inclinato, & in­de perpendiculariter; perquirere eius mo­tum in pari diuturnitate.

Ducatur grave super AB incli­nationis notae, diuturnitate AB data, & inde perpendiculariter, per BD; venari motum perpendicularem in diuturnitate AB.

Producatur DB, donec concurrat cum AC orizontaliter ducta in C, et sit BC diuturnitas motus per BC. Fiat BE aequalis AB, & CD tertia ad CB, CE.

Per 15. pr. huius.

Per 11. sexti.

Dico BD esse quaesitum.

Quoniam CE est diuturnitas CD, erit BE diuturnitas BD, si motus præcedens fuerit per CB; at pariter si per AB. Ergo diuturni­tate AB aequali BE pervenit in D. Quod etc.

Per 7. pr. huius.

Per pr. huius.

Corollarium

Hinc sequitur ut in praecedenti, quod impetus infra B idem est, fuerit ne motus praecedens per CD, ac per ABD.

PROPOSITIO IV

Dato gravi moto perpendiculariter per spa­tium datum, diuturnitate data, quod per­ficiat motum super plano declinante, per spatium itidem datum; Perquirenda in ip­so diuturnitas.

Moveatur grave per AB perpendiculariter diuturnitate data, quae sit eadem AB, inde super planum inclinatum BD.

Perquirenda est diuturnitas motus per BD, & per ABD.

Fiat CE media inter CB, CD, & AF nor­malis ad BD productam usquequo concurrat cum orizontali AC.

Dico BE esse diuturnitatem per motus BD, & FE esse diuturnitatem motus per ABD.

Quoniam nota est diuturnitas CB, & nota est EC per constructionem, nota est etiam BE diu­turnitas motus per BD, si motus praecedens fue­rit per CB; at idem est si fuerit per AB.

Per 15. pr. huius.

Per pr. huius.

Ergo EB est diuturnitas motus per BD; At FB est diuturnitas motus per AB. Igitur FE est diuturnitas motus per ABD. Quod etc.

Per Co. 19. pr. huius.

Corollarium

Idem sequitur eadem ratione, si AB non sit perpendicularis.

PROPOSITIO V

Data diuturnitate in plano perpendiculari motus gravis, quod perseveret moveri super plano declinante; & data super eo diutur­nitate, reperire longitudinem.

Ducatur grave perpendiculariter per AB diu­turnitate C, & demum super plano incli­nato BD, & data sit diuturnus E.

Perquirenda sit longitudo super BD quam grave conficiat diuturnitate E.

Fiat ut C ad E ita AB ad BF, unde si AB concipiatur tanquam diuturnitas motus super AB, erit BF diuturnitas motus super BD. Producatur FB donec concurrat cum A G ori­zontaliter ducta in G. Et fiat CD tertia pro­portionalis ad GB, GF.

Per 12. sexti.

Per 11. sexti.

Dico BD esse longitudinem quaesitam.

Quoniam AB est diuturnitas ipsius AB per sup­pos; GB erit diuturnitas ipsius GB, at GF est diuturnitas ipsius GD, igitur residuum BF est diuturnitas BD. Quod etc.

Per 15. primi huius.

Per 3. pr. huius.

Corollarium.

Grave prodibit per AB, BD aequis tempo­ribus si diuturnitas E fiat aequalis diu­turnitati C.

PROPOSITIO VI.

Moto gravi super pluribus planis diversimo­de inclinatis, venari diuturnitates in quo­libet eorum.

Ducatur grave per AB diuturnitate data, quae sit eadem AB; inde a B in D, & a D in H. Venanda est diuturnitam motus per DH.

Producatur DB in E donec concurrat cum AG orizontaliter ducta. Item producatur HD donec concurrat cum eadem AG. Fiat EC media inter EB, ED. Fiat itidem GF media inter GD, GH.

Per 13. Sexti.

Dico DF esse diuturnitate motus per DH.

Per 7. pr. huius.

Quoniam DF est diuturnitas motus per DH etiamsi motus praecedens fuerit per ED. At impetus in D est idem si motus praecedens fue­rit per GD, an per ED. Ergo etiam si mo­tus fuerit per BD, DF est diuturnitas motus per DH. Quod etc.

Per cor. 3.2. huius.

Per 12. secundi huius.

Corollarium I

Datis pluribus lineis in quadrante circuli puta FA, AB, seu FA, AC, CB, inno­tescent diuturnitates in quibuslibet earum, & etiam in omnibus simul sumptis.

Corollarium II.

Impetus infra D est idem fuerit ne motus prae­cedens per GD, an per ED, vero per ABD.

PROPOSITIO VII.

Grave naturaliter motum velocius ad idem ducitur punctum duabus lineis, quam una tantum.

Progrediatur grave per AB in B.

Dico quod citius perveniet in B motum per A CB.

Protrahatur BC, puta in D; & ab A in BD de­mittatur normalis AE.

Quoniam grave per BC pariter movetur, ductum per A CB, ac per DB, & per eamdem CB ve­locius fertur digressum a D quam ab E, per illam itidem velocius fertur motum per ACB, quam per EB, sed per A C aeque velociter fer­tur ac per CE, ergo per totum ACB velocius fertur quam per EB; sed aequali tempore fer­tur per EB ac per AB; ergo per ACB ve­locius fertur quam per AB. Quod etc.

Per pr. huius.

Per 2. peti.

Per 19. pr. huius.

Per 19. pr. huius.

Corollarium.

Hinc est, quod si motus fuerit per ACB, im­petus in B est maior ac si fuisset per AB secundum proportionem AB ad EB.

PROPOSITIO VIII

Grave naturaliter ductum, velocius fertur su­per tribus lineis descendentibus, quam su­per una tantum.

Feratur grave per AB, BC, CD.

Dico citius duci in D quam per AD.

Producantur CB, DC ad orizontalem AF in EF.

Ducantur normales AG, BH, & ducatur AC.

Quoniam grave pervenit citius in C per ABC, quam per AC. Item citius in D per ACD quam per AD, tanto citius perveniet in D per ABCD quam per AD. Quod etc.

Per 7. huius.

Per eamdem.

Corollarium. I.

Eodem pacto facile probabitur quod citius perveniet in D, quatenus ducitur pluribus inclinationibus.

Corollarium. II.

Impetus in D est maior, si fuerit motus per ABCD, quam per AD.

PROPOSITIO IX

In quadrante inferiori circuli grave celerius fertur, si moveatur super peripheria, quam si una, aut pluribus rectis lineis.

Sit ABC quadrans inferius.

Dico grave B velocius duci si moveatur in peripheria, quam si per BC, aut BDC, aut BDEFC.

Quoniam in peripheria ducitur pluribus inclina­tionibus.

Per primam pet.

Ergo grave super ipsa motum celerius transigit. Quod etc.

Per cor. primum 8. huius.

Corollarium I.

Idem sequitur, si digrediatur a quovis puncto Peripheriae, puta a D.

Corollarium II.

In C impetus est maior, si motus fuerit per Peripheriam, quam aliter quomodocunque.

DE MOTV GRAVIVM LIBER QVARTVS.ET LIQVIDORVM PRIMVS.

Hactenus mihi videor de scientia motus naturalis gravium solidorum satis pro viribus dixisse, dum ex quibusdam proprieta­tibus sensui notis, plures ignotae deductae, & patefa­ctae sunt: in hoc enim so­lummodo ex Aristotele omnis scientia ver­satur: ut in praxi apud Euclidem, & alios, qui veras, & simplices scientias tractant, videre est: unde nec agit Geometra de natura quan­titatis, nec Musicus de natura soni, nec per­spectivus de natura luminis, nec mechanicus de natura ponderis. At vero meus intelle­ctus non omnino acquiescit, ni causas priores, a quibus hi effectus demum proveniunt, si non assequatur, saltem investiget; perquirendo quae sit natura mobilium, corporum nimi­rum prout mobilia sunt; etiam si hoc non ad scientiam de motu, sed ad habitum supe­riorem, nimirum sapientiae pertineat; quo non effectus, sed rerum naturae, & principia nobis innotescunt, ut Aristoteles in Metaphis. etiam si in moralibus videatur secus sentire, seu quia ex communi potius quam ex propria sententia ibi loquutus fuerit, ubi exactam di­scussionem locus non postulabat, seu mavis culpa transcriptoris; in quo nihilominus plu­rimos, & magni nominis habuit sectatores. Ut ut sit ego quid tale delibavi, dum in prae­fatione priori libro praeposita, causam aperire conatus sum, cur duo quaelibet gravia, quan­tumvis inaequalia, aequalia spatia conficiant; videlicet quia natura gravium talis sit, ut utrobique gravitas tali pacto sit materiae con­nexa, & ita eam perpetuo sequatur, ut quanta sit gravitas, seu eius actio; tantumdem sit pa­riter materiae, & proinde resistentiae; ex quo demum aequales sequantur effectus: quod ta­men ad motuum indaginem supervacaneum erat. Non tamen ex hoc ego me adhuc gra­vium naturam omnino assecutum esse pro certo habeo. Non quilibet collimans scopum ferit; at quotus quisque propius dirigit, non inutiliter laborasse censendus est. Ut cumque sit, quod tum factum est, hic pariter peragere libuit, videlicet naturam motus pro viribus investigare, causas nimirum, & principia, a quibus hae demum motus passiones proveni­ant. Iam ante plures annos mihi visus sum assequi causam accelerationis motus , dum ad huc mobile a motore impellitur; quia nimirum mobili moto imprimatur impetus, causa mo­tus subsequentis; ex quo in secundo tempore adsunt duo motores, unde est velocior, & im­petus maior; in tertio tempore sunt duo iti­dem motores, at alter puta impetus maioris virtutis, unde motus adhuc celerior; & ita de­inceps. Non vero ex hoc constabat qua pro­portione talis acceleratio fieret. Interim dum pendulorum motus, perquirerem, praeter ex­pectationem se se mihi obtulit, eorum longi­tudines diuturnitatibus in duplicata respon­dere ratione; de quo in prioris libri praefatio­ne; ex quo demum, nihil minus cogitanti mi­hi, in sexta propositione eiusdem deducere con­tigit, motum tali pacto accelerari, ut in secun­do tempore sit prioris triplum, in tertio quin­tuplum, & deinceps iuxta numerorum impa­rium progressionem: quod miram mihi exci­tavit cupidinem venandi a qua nam virtute, in secundo tempore tanta motus fieret accretio,dum nec videbatur esse impetus primum im­pressi maior activitas, quam ipsius motoris a quo ortum duxerat; nec quid aliud ibi esse de novo productum suspicandum videbatur. Non tamen deterreri potui, quin ulterius progre­diens huius adhuc causam consequi sperarem: quamvis se mihi dificillimum obtulerit, & pluries me esse assecutum perperam existima­verim, meque demum fuisse deceptum com­pererim. Contigit interim reperire, quod est in Corol. Tertiae Secundi huius, motum or­tum ab impetu esse aequabilem; quod a natu­ra ipsiusmet mobilis emanere censendum vi­sum fuit: ex quo in spem adductus sum ut ip­sammet mobilis naturam assequi valerem. Pluries cogitaveram esse naturae consentane­um, ut ex simplicissimis principijs quam plur­imi mirabiles effectus educantur. Cuius rei, & si plura habeam, unicum tantum in praesentia aut alterum adducam exemplum. Perpen­das amabo quot qualia, & quanta, ex Solis sub Ecliptica circumlatione, in inferioribus gi­gnantur; et quot qualia, et quanta hominibus deficerent, ni eis necessitas quotidiani cibi imposita fuisset: ex quo mihi pariter probabi­le visum est, eam fuisse naturam mobilibus tri­butam, ut ex eius aliqua simplici immediata proprietate emanent caeterae. Cum igitur ut mox dictum fuit mobile motum aequabiliter demum moveatur sine motore; videtur infe­rendum, quod motus motum producat, seu potius quod motus perseveret, & se ipsum, ut ita dicam, extendat, & continuet; quatenus dum semel mobile motum est, sit potens, seu in potentia proxima se ipsum eadem ra­tione movendi: ex quibus in eam incidi sen­tentiam, ut existimem, eam esse fortasse na­turam mobilium, ut indiferenter se habeant tam ad quietem, quam ad quemlibet motum; unde, dummodo motus praecedat, a quacumque causa proveniens, seu naturali seu violenta, similis postmodum subsequatur, seu idem perseveret, eadem velocitate quam in quoli­bet instanti sortitum fuerit, donec impedia­tur; & hanc motus continuationem ab ipsa­met immobilis natura immediate emanantem, forsitam esse unicam, & simplicem causam, a qua fluant omnes illi effectus, & passiones, quae in motu demum tum naturali, tum vio­lento a nobis percipiuntur. Et quamvis huius­modi motus continuatio non sit nova entitas superaddita, eam nihilominus intellectus con­cipere tanquam quid noviter ortum, nimirum posito motu, ex eo oriri virtutem, novum pro­ducentem motum, ad faciliorem de motu ra­tiocinationem non parum deservientem, quam vir­tutem appellamus impetum; qui re vera nil aliud sit, nisi naturalis propensio ad motum, seu potentia mobili inexistens continuandi mo­tum semel adeptum quae potentia dum mo­bile quiescit, sit in actu primo, & mediante, motu reducatur in secundum, ea ratione qua homini discurrenti non additur nova rationa­litas; seu novum principium, & nova poten­tia ratiocinandi, sed eademmet, quam intrin­secus habet, & est in actu primo, reducitur in secundum. Porro quod vere talis fuerit natura mobilibus tradita, ut indiferenter se habeant ad motum, & quietem, quamvis ex dicta uniformis motus continuatione satis pro­babile videatur, non ego tamen pro certo af­firmare ausim: sumus in physicis, ubi demon­strationes rariores: non tamen videri deberet le­viter probatum, si ex hoc solummodo prin­cipio omnes probarentur sequi passiones, quae in motu quolibet percipiuntur absque quo ali­quid aliud, vel de novo oriatur, vel ortum de­pereat. Ex eo autem sequitur, quod dum mo­bile impellitur motus necessario augetur; un­de quo per maius spatium impellitur eo cor­pus obsistens validius percutit; ex quo tamen motus ipse fit debilior, respondens siquidem oppositi resistentiae; quae si augeatur, velocitas taliter minuitur, ut tandem deficiat, absquequo aliquid oriri, aut deperire supponatur: ex quibus vires percussionis metiri licet, de quo alibi. Inde est quod si manubrio parietem per­cutias, illud intra melleum intruditur, quoniam melleo minor obijcitur resistentia; facilius siquidem is a manubrio permeatur quam murus a manubrio. Si vero mo­bile expellatur, mo­veri perseverat, sine cuiusvis ope adiutoris de novo orti; cum ex ipsiusmet natura, prout mobile est, eiusdem motus continuatio neces­sario subsequatur. Si offendit in via quod mo­tum urgeat, aut retundat; augetur velocitas, aut minuitur; at quaecumque ea sit inde per­severat, quia ea motus natura ut continuetur; unde si permeet murum quem feriat, ei proin­de resistentem, remissius fertur, quatenus est maior muri durities, & proinde resistentia; ex quo velocitas magis retunditur; quae tamen si non omnino perit, qualis tandem remanet talis perseverat; idem quippe continuatur mo­tus; quousque tamen resistentia perdurat, motus paulatim minuitur, & tandem extin­guitur. Ceterum cum huiusmodi continuatio emanet a propria ipsiusmet mobilis natura, subsequi necessario debet quemlibet motum, etiamsi per brevem fuerit morulam; quod ap­paret in pila lignea, malleo ligneo lusorio lon­gioris manubrij longe propulsa, quamvis a malleo per parvam morulam, & per minimum spatium lata fuerit. Ex quo itidem sequitur, quod pila lusoria ad murum illidens, resilit; quia pars murum feriens, vi compressa, ictui cedens densatur, & ex curva complanatur; & si sit talibus praedita viribus, ut deficiente vio­lentia propellente, queat ex se in pristinam re­duci rotunditatem; pars explanata, quae ite­rum incurvatur, retrocedens versus locum cen­tri, eo fertur celeri motu; qui quamvis in tali reductione brevis fuerit, & proinde per brevem morulam, idem continuatur eadem celeritate, cum eius naturae competat, motum etiamsi per parvum fuerit spatium continuare. Quod idem sequitur si non pila, sed murus ipse caedat pri­us, & demum se in pristinum reducat; unde si neutrum caedat non fit resilitio. Si vero non perpendiculariter sed oblique murum feriat, resilit ea lege, ut angulus reflexionis sit angulo incidentiae proxime aequalis; quoniam dum impingit, centrum adhuc fertur antrorsum; unde pars pressa dum se in rotunditatem iterum reducit, pilam dirigit secundum lineam tran­seuntem per centrum iam antrorsum latum; qui motus etiamsi per breve spatium, postmodum continuatur: quoniam vero ex ea centri pro­gressione pilae plures successive partes super murum vertuntur, is motus itidem continua­tur unde pila ipsa vertiginem acquirit, eo ce­leriorem, quo angulus incidentiae plus acuitur; qua vertigine adepta, ex eius continuatione, ubi pila in planum iterum incidat, non servat praedictam regulam in angulo reflexionis, qui erit acutior, si pilae motus sit secundum ver­tiginis ordinem, si vero contra obtusior. Quae clarius apparent in pila reticulo, aut alio quo­libet transversim percussa, in qua maior impri­matur vertigo, quae demum eadem continuatur. Inde item est quod pila eadem dum lusoria palmula percussa, libere demum fertur, velo­cius prodit ipsam et palmula movente; expul­sa siquidem non modo ab ipsius impellentis motu, sed etiam quoniam ipsiusmet pilae pars percussa, ob modo dictam compressionem ce­dens, & exinde densata, & mox in pristinam redacta formam, ducitur versus ipsius pilae cen­trum maiori velocitate, quam si a sola impel­lentis vi ducta fuisset; quae maior velocitas con­tinuatur. Imo reticulo expulsa, fertur etiam ve­locius, a triplici nempe motore ducta, addito tertio, nimirum rete, cedente prius, & mox se in pristinum reducente. Hinc est etiam quod quandocumque sphaera circumvolvitur, continua­tur vertigo: unde contingere potest, ut inde, sequatur motus ipsius sphaerae progressivus, ei supposito nimirum plano, suo contactu motum partis inferioris impediente, ex quo pars su­perior non impedita, & libere mota celerius fertur, et quo vergit, vergit item centrum, & talis continuatur motus, unde tota sphaera pro­dit ulterius, absque quo alius novus motor su­peraddatur. Hinc itidem est, quod si sphaeram quiescentem ex aliqua sui parte digito com­primas contra subiectum planum, ea sortitur duplicem motum, progressivum antrorsum, & validiorem in gyrum retrorsum: unde cessan­te priori, si circumlatio continuatur, retro­cedit, ac si tum ei planum supponeretur, absque eo quod aliquid oriatur, aut depereat. Quod pariter evenit in trochulo puerorum, qui dum digitis in gyrum ducitur, circa pro­prium axem circumfertur, eius inferiori pro­minenti polo innixus; qui ubi demum ob im­petum diminutum declinans subiectum plan­um latere tangit, super illud circumvolvi­tur, fere ad instar asinariae molae, cuius pro­inde axis sua circumversione conum efficit, cuius vertex est polus inferior, superior vero dum rotatur circulum describit ipsius coni basim, contra ordinem vertiginis peripheriae, motu tali, qui minus diligenter intuentibus, apparet es­se prioris, adhuc perseverantis, inversio; pluri­bus mirabile visum, non percipientibus esse naturae congruum, ambos ibi continuari mo­tus, priorem quidem peripheriae circum, axem trochi, postremum vero poli superioris contra prioris ordinem; quod quibuslibet motibus, ut dictum fuit, commune est, ex ipsius mobilis natura proveniens, absque quod aliquid aliud oriatur, aut ortum depereat, remanente siquidem solummodo cuiuslibet velocitatis semel impressae, naturali continua­tione, quam quodlibet mobile, quocumque pacto, ubivis a quocumque motore sortitum fuerit; ex quo non modo praedictae oriuntur mo­tus passiones, sed omnes alias passim obvias emanare, facile demonstrabitur. A nullo au­tem experimento praedicta natura mobilium tam clare apparere videtur, quam a facilitate, qua mobilia quiescentia, a quolibet etiam mi­nimo saepius impelluntur motore. Quod ap­paret in cymbula in aqua natante, ponderis librarum quinquaginta, & ultra; quam non modo duces capillo mulieris, sed si illum ex alio capite uspiam alligaveris, suo solum pon­dere cymbulam trahit, & ad litus, ut ita dicam, appellere coarctat, non obstante aqua renu­ente, propriae siquidem divisioni saltem ali­qualiter obsistente: quod aliunde non vi­detur oriri nisi ex eademmet praedicta mo­bilis natura, indiferenter nimirum se haben­tis ad motum, & quietem. Vi autem ex eadem tandem videamus, qua proportione motus ac­celeratio fieri debeat, & an experimentis respondeat.

Ducatur mobile A, ab A versus E a quovis motore, seu naturaliter a gravitate deorsum, seu violenter ab impellente; et spatium AE con­cipiatur sectum in portiones aequales in pun­ctis B, C, D tali ratione, ut in B mobile ductum virtute motus ab A in B acquirat impe­tum, ex quo motus item subsequatur; seu quod idem est, cuius virtute potentia mobilis eun­dem continuendi motum, reducatur ad actum secundum modo superius explicato; si conci­piamus in B deficere actionem motoris, idem nihilominus eiusdem velocitatis perseverat, & continuatur motus; unde per tantundem tem­poris fertur per portionem aequalem ipsi AB, puta in C. Ni vero motoris actio deficiat, eius virtute fertur itidem mobile per portionem aequalem ipsi a AB; unde in secundo tempo­re conficit duas spatij portiones, eidem AB aequales; & proinde dum prodit in D, movetur motu dupliciter velociori, & sortitur dupli­cem impetum, seu huius duplicis motus con­tinuationem; ex quo in tertio tempore, ducitur per duplum eiusdem portionis AB, at peraequale a motore, ergo conficit tres portiones; in quarta quatuor, in decima decem, & ita deinceps. Obijcies primo, in portione AB iam adesse impetum; nec mobile recedere ab A quin impetus adsit: cum etenim impetus ema­net a motu, & sit eius passio, est ab eo insepa­rabilis, & proinde ubi est motus, est pariter im­petus, quemadmodum ubi est ignis, est pari­ter calor: nec causa est prior effectu tempore, sed natura; quod non obstat, quin in eo­dem instanti in quo est ignis, seu motus, sit pariter calor seu impetus. Responditur conceden­dum, quod etiam in eodem instanti in quo est motus, fieri possit ut sit pariter im­petus, si vice versa mihi concedatur, nil esse prius sua causa, & proinde impetum non antecedere motum a quo est productus: at dum mobile est adhuc in A non movetur, sed quiescit: nec potest vere dici quod moveatur, quin ab A recedens perveniat in B, unde sicut est absurdum dicere ignem producere calorem, quin prius sit productus ipsemet ignis, ita pa­riter esset obsurdum asserere, motum produ­cere impetum, quin sit productus ipsemet mo­tus, & proinde prius quam mobile sit in B. Nec dicas iam motum adesse priusquam perveniat in B; nam quocumque primo perventum erit, tum in eo puncto intelligo esse B: non enim quaerimus, portio AD sit ne magna aut parva, divisibilis an indivisibilis, & ma­thematice vel physice; quod ad praesentem spe­culationem non est necessarium; sufficit mi­hi namque in praesentia, aliquem motum non dici adesse ab impetu dependentem, quin ali­us a quocumque impetu independenter prae­cedat, productus siquidem a solo motore, cu­ius virtute, potentia mobilis in actum secun­dum reducatur, per quam demum continuetur motus ut supra dictum fuit; secus enim causa produceret suam causam in eodem genere causae; immo idem esset causa sui ipsius, quippe causa suae propriae causae. Obijcies secundo motum non augeri iuxta progressionem Arith­meticam naturalem, ut hic asseritur, sed secun­dum numeros impares, ut in sexta primi huius, & ut apud doctiores in praesentia fere communiter creditur. Responditur hanc sextam pro­positionem inniti experimentis, sensui dece­ptioni obnoxijs, quibus insensibilis error de­tegi nequit; quod hic evenit ex eo, quia por­tiones temporis aequales ei priori, in qua confi­citur prima motus portio independens ab im­petu, percipi nequeant, utpote insensibiles, prout est insensibilis dicta motus prima por­tio; quae si perciperentur, videremus augeri motum iuxta naturalem progressionem: Atin temporibus, & motibus sensibilibus res di­verse se habet, ubi cognosci nequit motus pars aliqua, nec tempus in quo conficiatur, quin iam sint plures temporis peractae portio­nes, ei aequales, in qua fuit motus ab impetu non adiutus; cui tempori si plures aequales subse­quantur, motus in eis, seu motus portiones, portionibus temporum, iuxta numerorum im­parium progressionem fere respondebunt.

1 Actum est de scientia motus naturalis.

2 Modo perquirendae causae.

3 Ut supra respectu gravitatis factum fuit.

4 Natura igitur motus investiganda.

5 Iam quaesiveram causam accel.

6 At non proportionem.

7 Reperta iuxta progressionem numerorum imparium. Quaesivi causam.

8 Repertus motus ab impetu aequabilis.

10 Natura utitur principijs simplicibus.

11 Unde visum ex simplici mobilis proprietate emanandas caeteras.

12 Quae sit motum ex se continuari.

13 Quia mobilia indiferenter se habeant, ad motum & quietem.

14 Huiusmodi continuationem non est nova entitas.

15 At ut nova concipitur. Dicitur & impetus.

16 Huiusmodi indiferentiam esse mobili naturalem.

17 Probatur per dictam naturalem motus continuationem.

18 Ex quo caeterae motus passiones.

19 Absque quo quid oriatur aut pereat.

20 Unde dum mobile impellitur motus augetur.

21 Et quo longius, ictus validior.

22 At motus debilior. Si resistentia maior motus tardior.

23 Et tandem deficit.

24 Patet experimento mallei.

25 Expulsum moveri perseverat.

26 Si quid urgeat aut retundat, variatur velocitas.

27 Et talis perseverat.

28 Si murum permeet remittitur.

29 Si perseveret, velocitas minuitur.

30 Idem etiam per morulam.

31 Ut in ludo mallei.

32 Unde pilae resilitio.

33 Si oblique feriat, oblique resilit.

34 Pila celerior instrumento expellente.

35 Et eo magis reticulo expulsa.

36 Vertigo durat.

37 Unde motus localis.

38 Pila digito compressa acquirit duplicem motum.

39 Ex quo trochulum retrocedere videtur.

40 Motus est a minimo motore.

41 Objectio prima non dari primam motus portionem sine impetu.

42 Responditur etiam si adsit impetus prima motus portio est ab eo independens.

43 Objectio 2. motum non augeri iuxta progressionem naturalem.

44 Responditur quod motus augetur iuxta progressionem naturalem per tempora insensibilia.

45 At per sensibilia fere iuxta progressionem numerorum imparium.

Quod ut planius fiat, Moveatur mobile A ab A in B sensibiliter, & tempore sensibili ab, cui subsequantur aequalia tempora bc, cd, & primum tempus ab intelligatur divisum in por­tiones minimas aequales, in quarum priori ae, latum fuerit mobile ab A in E independen­ter ab impetu, qui in puncto E motui con­currere incipiat; has portiones patet esse eo plures quo minores; sint decem, & mobile fe­ratur temporibus ab, bc, cd, per spatia AB, BC, CD; erunt portiones aequales portioni AE in AB 55, in BC 155, in CD 255, inter se ut 11, 31, 51. Si vero portio temporis ae sit adhuc minor, cui aequales sint in ab cen­tum, portiones spatij aequales portioni AE

erunt in AB 5050, in BC 15050, in CD 25050, inter se ut 101, 301, 501, fere iuxta rationem numerorum imperium 1, 3, 5. Ex quibus constat, quod eo portiones spatiorum magis accedunt ad rationem numerorum impa­rium, quo portio temporis, in qua motus est in­dependenter ab impetu, minor est. Eadem pror­sus ratione probabitur, quo est itidem minor, spatia propius esse in duplicata ratione tem­porum. Si namque concipiamus impetum incipere in b, tempora ab, ac, ad sunt ut 1, 2, 3, spatia vero AB, AC, AD, quae in duplicata ratione temporum essent ut 1, 4, 9, sunt ut 1, 3, 6, val­de ab eis discrepantes: si vero tempora ab, ac, ad, intelligantur divisa in portiones, quarum ab, contineat decem, erunt temporum in­ter se portiones, ut 10, 20, 30, seu ut prius ut 1, 2, 3, at vero portiones spatiorum, quarum prior ut supra sit AE, erunt ut 55, 210, 455 seu ut 11, 42, 93; si denique portiones tempo­rum sint 100, 200, 300, portiones spatiorum erunt 5050, 20100, 45150, ut 101, 402, 903, mi­nimus, & insensibiliter discrepantes ab 1, 4, 9, & proinde fere in duplicata temporum ratione;unde quo plures temporum portiones, spatia ad duplicatam rationem magis accedunt. Ut autem datis temporibus, facile spatia peracta reperiant, qui parum in arithmeticis progres­sionibus versati sunt, duc numerum tempo­rum, si sit par, in medietatem, & adde medie­ tatem, si impar, in portionem maiorem medie­tatis, & prodibit summa spatiorum in dato tem­pore peractorum. Dentur 4 tempora, duc in 2 producto 8 adde medietatem 2, sit 10 sum­ma spatiorum. Dentur tempora 9, duc in 5, productum 45 est summa spatiorum. Auge­tur igitur, ni fallor, motus iuxta progressionem arithmeticam, non numerorum imparium ab unitate huc usque creditam, sed naturalem; at nihilominus, cum fere ijdem effectus subse­quantur, ob insensibilem discrepantiam; mi­randum non est, creditum fuisse spatia esse in duplicata ratione temporum; quandoquidem etiam si verum precise fortasse non sit, est attamen adeo veritati proximum, ut verita­tem in adhibitis experimentis sensus percipe­re nequiverit, quamobrem excusandi sunt quicunque ita censuerunt. Ego autem modo veritatem delitescentem detexisse spero, cau­sam nimirum a qua huiusmodi proportio ema­nat aperuisse, & insuper quales errores fue­rint in suppositionibus, & experimentis hucusque habitis, quod an re vera consecutus fue­rim aliorum sit indicium: neque enim is sum qui tantum mihi tribuam, ut rerum arcana intimius caeteris rimari mihi videar, cui satis superque est inter illos connumerari, quo­rum disputationi mundus traditus fuit: nec inutiliter me laborasse existimavero, si cre­dar vitam silentio non pertransisse. Caete­rum cum ea, quae de solidis dicenda videban­tur, iuxta mei vires ingenij, pertractata sint, superest, ut ad naturalis motus liquidorum passiones inquirendas accedam.

46 Et fere in duplicata ratione temporum.

47 Augetur motus iuxta progressionem naturalem.

48 Et apparet esse in duplicata ratione temporum.

DEFINITIONES

Canale est vas oblongum, per quod aqua de­currit; quod in praesentia supponitur habere latera erecta, & basi perpendicularia, & pa­rallela inter se. Sectio vasis, est parallelogramum quod supponi­tur secare canale ad angulos rectos.

PETITIONES

Aqua transiens per eandem sectionem corre­spondet tempori.

PROPOSITIO PRIMA

Aqua aequaliter introducta in pluribus cana­libus inaequaliter inclinatis correspondet diuturnitatibus.

Sint Canales AB, CD, in quibus introducatur aqua aequalis, & aqua A ducatur in B diu­turnitate E, & aqua C perveniat in D diutur­nitate F.

Dico aquam AB ad aquam CD esse ut E ad F.

Quoniam aqua A B est ea, quae transit per A, diu­turnitate E, & aqua CD est ea quae transit per C, diuturnitate F per constructionem; sequi­tur quod aqua AB est ad aquam CD ut E ad F.

Per pet. huius.

Corollarium.

Si diuturnitates sint aequales, aquae quantita­tes sunt pariter aequales.

PROPOSITIO II.

In pluribus canalibus ductis ad idem planum orizontale, aquae quantitates sunt ut canales.

Sint canalia AB, AC, ducta ad planum Orizon­tale CB.

Dico aquam AB esse ad aquam AC, ut longitudo AB ad longitudinem AC.

Quoniam diuturnitas AB ad diuturnitatem AC est ut AB ad AC, at ut diuturnitas AB ad diuturnitatem AC, ita aqua AB ad aquam AC; ergo ut aqua AB ad aquam AC, ita longitudo AB ad longitudinem AC. Quod etc.

Per 15. primi. huius.

Per primam huius.

Per 11. Quinti.

Corollarium

Idem sequitur si alterum canale sit perpendi­culare.

PROPOSITIO III. PROBL. I.

In canali declinante, reperire portionem con­tinentem aquam, aequalem eius quae est in perpendiculari.

Sit AC canale inclinatum, & AB perpendicu­lare; oportet reperire in AC portionem con­tinentem aquam aequalem aquae AB.

Ducatur BD normalis ad AC.

Dico AD esse portionem quaesitam.

Quoniam aqua ab A ducitur in B eodem tempore, quo in D, erit aqua AB aequalis aqua AD. Quod etc.

Per 16. pr. huius.

Per Co. primae huius.

Corollarium.

Eadem ratione Dato canali AD reperietur in AB portio continens aquam aequalem AD, erecta a puncto D perpendiculari DB.

PROPOSITIO IV. PROBL. II.

In quibusvis canalibus quomodolibet inclina­tis, reperire portiones continentes aquam aequalem cuiusvis dicti canalis.

A Canalibus AB, AC, AD, etc. sint secandae portiones continentes aquam aequalem aquae canalis AE.

Iungantur omnes praedicti canales, retentis incli­nationibus, in puncto superiori A; et si AE est perpendicularis ad orizontem, circa ipsum tanquam diametrum, describatur circulus AE; sin minus a puncto E, erigatur ipsi AE perpen­dicularis EF, & ab A demittatur perpendicu­laris ad orizontem, donec cum EF coeat in F, & circa AF describatur circulus secans omnes praedictos canales in G, H, I.

Dico portiones AG, AH, AI continere aquam aequalem aquae canalis AE.

Quoniam in AG, AE, AH, AI diuturnitates sunt aequales, ergo sunt ibidem quantitates aquae aequales. Quod etc.

Per 25. pr. huius.

Per primam huius.

Corollarium

Si describantur quot vis circuli minores, seu maiores, cuiuscumque magnitudinis, se invicem tangentes in A, secabunt portiones dictorum canalium ea ratione, ut sectiones intra quem­vis circulum contineant aquam aequalem.

PROPOSITIO V.

In canali secto quomodolibet; aquae quantita­tes in eius portionibus correspondent diu­turnitatibus.

Sit canale AC sectum in B quomodolibet, & sit DE diuturnitas aquae donec perveniat in B, & DF diuturnitas donec perveniat in C, & proinde EF diuturnitas aquae ductae a B in C.

Dico aquam AB ad aquam BC esse ut diuturni­tas DE ad diuturnitatem EF.

Quoniam aqua AB est ea, quae transit per A diu­turnitate DE, & AC ea quae transit per idem A diuturnitate DF per constructionem; aqua AB ad aquam AC est ut diuturnitas DE ad diuturnitatem DF; igitur dividendo, aqua AB ad aquam BC est ut diuturnitas DE ad diuturnitatem EF. Quod etc.

Per pet. huius.

Per 19. quinti.

Corollarium

Si Diuturnitates DE, EF sint aequales, aqua AB aequatur aquae BC.

PROPOSITIO VI.

In canali secto quomodocumque; aqua in priori portione ad aquam totius est in sub­duplicata ratione longitudinum.

Sit canale AC sectum quomodocumque in D. Dico, quod aqua AD ad aquam AC est in sub­duplicata ratione longitudinum AD, AC.

Quoniam longitudines AD, AC sunt in duplicata ratione diuturnitatum, at diuturnitates sunt ut quantitates aquae, ergo quantitates aquae sunt in subduplicata ratione longitudinum. Quod etc.

Per 3. & 7. primi huius.

Per 5. huius.

Per 11. quinti.

Corollarium

Unde si fiat AE media proportionalis inter AD, AC, aqua AD ad aquam AC erit ut AD ad AE.

PROPOSITIO VII. PROBL. III.

Dato canali perpendiculari, & alio inclinato eiusdem longitudinis; reperire propor­tiones aquarum.

Sint canalia AC inclinatum, & AB perpen­diculare aequalia, & venanda sit proportio inter aquas AB, AC.

Ducatur BD perpendicularis ad AC, & fiat AE media proportionalis inter AD, AC.

Dico esse aquam AB ad aquam AC ut AD ad AE.

Quoniam aqua AD ad aquam AC est ut AD ad AE, sed aqua AD est aequalis aquae AB, ergo aqua AB ad aquam AC est ut AD ad AE: Quod etc.

Per 6. huius.

Per 3. huius.

Per 11. quinti.

PROPOSITIO VIII. PROBL. IV.

Datis canalibus aequalis longitudinis maio­ris aut minoris inclinationis; venari pro­portiones aquarum.

Sit canale AC minus, AF magis inclinatum ei aequale; & venandae sint proportiones aqua­rum ab eis contentorum.

Ducatur AB perpendicularis ad orizontem eiu­sdem longitudinis, & ductis perpendiculari­bus BD, BG, fiat AE media inter AD, AC, & AH inter AG, AF, & ut AG ad AH, ita AD ad AI.

Dico aquam AC ad aquam AF esse ut AE ad AI.

Quoniam ut aqua AC ad aquam AB ita AE ad AD; & ut aqua AB ad aquam AF, ita AG ad AH, seu ut AD ad AI per constructio­nem; erit aqua AC ad aquam AF ut AE ad AI. Quod etc.

Per 7. huius.

Per 22. quinti.

PROPOSITIO IX.

In canali secto iuxta proportionem nume­rorum imparium, in portionibus ex ea re­sultantibus sunt quantitates aquae aequales inter se.

Sit canale AD sectum in BC, & deinceps, ut portiones AB, BC, CD, etc. sint inter se ut 1, 3, 5, 7.

Dico quantitates aquae AB, BC, CD, esse aequales inter se.

Quoniam aqua aequali tempore progreditur ab A in B, quo a B in C, & deinceps, erit aqua AB aequalis aquae BC, etc. Quod etc.

Per 10. pr. huius.

Per cor. quintae huius.

PROPOSITIO X.

In quavis priori portione canalis, est aqua aequalis portioni sequenti, triplae prioris.

Dato canali A C secto in D ita ut AD sit 1/4 ipsius A C.

Dico aquam AD aequari aquae DC.

Quoniam eo tempore, quo A ducitur in D, D du­citur in C, ergo aqua AD est aequalis aquae DC. Quod etc.

Per 9. huius.

Per cor. quintae huius.

PROPOSITIO XI.

In canali declinante, duplo perpendicularis ductae ad idem planum orizontale sectum a linea ad illud normaliter ducta a puncto inferiori dictae perpendicularis, portiones continent aequales aquae quantitates.

Sit canale AC duplum AB, sectum in D a perpendiculari BD.

Dico aquam AD aequari aquae DC.

Quoniam AB est media inter AD, AC, & AB est medietas ipsius AC per constructio­nem, AD est medietas ipsius AB, & proinde quarta pars totius AC; igitur aqua in AD aequalis aquae in DC. Quod etc.

Per ea quae ad 16. pri. huius.

Per 10. huius.

DE MOTV GRAVIVM LIBER QVINTVS ET LIBER LIQVIDORVM SECVNDVS.VBI DE CANALIVM SECTIONIBVS.

Etiamsi simus in liqui­dis, lubet adhuc aliquid de solidis praefari, sum­pta occasione a Quest. 19. Mech. Arist. ubi cau­sam perquirit cur lignum facilius scindat qui secu­rim extollens percutit, quam qui securim impositam, addito pondere prae­mat. Quod perinde est ac si dicas, cur plus scin­das leviori securi mota, quam graviori quies­cente. Nimirum Quoniam grave, motionem gravitatis magis assumit, motum quam quies­cens: pro qua gravitatis motione impetus in­telligitur, qui primo delitescens, a gravi dein­de per motum assumitur; scilicet qui erat in potentia, in actum per motum reductus, mo­tum inde auget, ipsum reddens velociorem, suplente impetu vicem ponderis. Mihi ta­men semper visus est Arist. problema non in­tegre solvisse, reticuit siquidem cur huiusmo­di motio gravitatis, seu impetus sit talis virtu­tis, ut efficacius agat quam pondus additum, ex quo demum maior scissio subsequatur. Cuius quidem ego causam pro viribus investigare mihi proposui, quonam nimirum modo me­tiri queat actio percutientis securis, & passio ligni resistentis, ut demum percipi possit quan­tum sit pondus addendum, ut impetus eius vi­ribus respondeat. Quod ut breviter de more discutiatur, respectu actionis securis certum est, quod si eius potentia non excedit li­gni resistentiam, quamvis sit ei aequalis, nulla fiet actio; atqui si securis extollatur, quantum­vis minimum, actio subsequetur, quoniam mo­vens motum plus agit quam dum prius quiescebat, quatenus actio gravitatis adhuc perseverat, & insuper additur impetus, unde potentia quae prius erat aequalis resistentiae, iam eam excedit; & eius demum continuatur motus, quousque po­tentia minuatur, aut augeatur resistentia: Et quo magis securis extollitur, validius scindit; acquirit namque impetum maiorem, tali ad priorem proportione, ut sint impetus in sub­duplicata ratione spatiorum peractorum; ut in quinta secundi huius: Unde data minori actione, facile metieris maiorem, percipiens quantane ea sit, ex qualibet proveniens altitu­dine. Quod item sequitur in quavis percus­sione seu a securi, seu a quolibet ad percutien­dum idoneo naturaliter moto; trabes siqui­dem, seu pali longiores, fortius in terram pan­guntur, quo fistuca non modo est ponderosior, sed altius effertur, tali ratione, ut altitudines in duplicata proportione, percussionum viri­bus respondeant. Si vero securis a motore impellatur, validius percutit; quoniam motus in initio, est celerior ab impulsu, quam a gra­vitate; cuius perseverante actione, maior pro­ducitur impetus, unde motus celerior, & ictus validior, etiam nulla concurrente gravitate, ut si motus non deorsum sed ad latera tendat, aut sursum. Unde quo malleus a pariete re­motior in eum fortius impellitur, clavus ma­gis figitur, & longe facilius quam si omnibus adhibitis viribus, malleum contra clavum com­primas. Unde etiam est, quod mobile vehe­mentius impulsum, expulsum demum, in quodcumque illidat, validius ferit, & intimius intruditur, quod in ictu a funda, arcu, sclopo passim videre est. Huius autem vim impulsus pon­dere proxime metiri licebit, si illud adeo con­sentanee aptetur, ut illud extollas, eodem pa­cto illi innixus, eademque prorsus directio­ne, quemadmodum securim, aut quodvis aliud impellere lubeat. Quod facile continget, dua­bus adhibitis trochleis, unius tantum modo rotulae, altera superne appensa, inferne altera; quibus ductarius circunductus funis, altero extremo pondus, sustineat, alterum vero a po­tentia trahatur, modo quo mox dictum fuit, sit ne ea totum corpus animalis, seu hominis, sive eius ambo brachia, aut ipsorum alterum, seu tantum digiti, quorum omnium singilla­tim vim, seu potentiam, proxime metietur ma­ius aut minus pondus, quod ab uno, quoque eo­rum, hac ratione in altum ducatur. Ex qui­bus vires percussionis satis aperte apparere ar­bitror, nimirum a vi motoris, seu sit gravitas, seu impulsus, nec non ab impetu per motum acquisito, maiori aut minori, prout motor est maioris virtutis. Quo vero ad ligni resisten­tis passionem secundo loco propositam, certum est, quod si resistentia est maior, aut aequalis activitati securis, nulla fiet actio; si vero sit resistentia minoris virtutis, unde vires agen­tis securis excedant vires ligni resistentis, ali­qua fiet scissio; eo maior, quo minor erit resi­stentia, quam non vi duntaxat portionis ligni metiemur, quae securi opponitur; sed partium itidem ei a latere cohaerentium, & sic porro affixarum, ut ab eis difficulter divelli queat. Quantumvis autem huius resistentiae poten­tia minus percipiatur, hoc unum est, quod qualis qualis sit, velocitati securis contranititur, eam­que tali ratione retundit, ut quantum ei tri­buitur, tantundem velocitati detrahatur; un­de si resistentia addita sit priori decupla, aut centupla, velocitas reducitur ad decimam par­tem seu centesimam eius quae prius aderat, unde spatij quod securis per aerem peregit dum nil obstaret, addita postmodum ligni obvij re­sistentia, in aequali tempore, decimam pariter aut centesimam conficit portionem. Quandiu vero lignum permeat, resistentia success­ive augetur; partes quippe ligni ab ipsiusmet securis compressione fiunt densiores, praeter quam quod saepius, quo ea altius intruditur, eo plures sunt partes cohaerentes divellendae. Utcunque sit, certum est quod dum impetus inci­pit minui, & est successive minor proportio ac­tionis securis ad ligni resistentiam, velocitas non modo successive minuitur, sed paula­tim deficit. Quod idem sequitur de impetu, qui cum velocitate pari passu procedit; unde quantum velocitati detrahitur, tantundem impetus minuitur; qui proinde cessante mo­tu prorsus deperit. Et quoniam mox adducta communia sunt tam motae securi, quam cuili­bet mobili, quod nimirum resistentia motum retundit, & magis, quo maior proportio resi­stentis ad mobilis vires, duae pilae, etiam aequales in terram naturaliter cadentes, quae proinde in aere aequali feruntur celeritate, etiamsi pon­dere inaequales, terram inaequaliter perme­ant, resistente nimirum terra magis pilae le­viori, quam graviori. Unde est etiam quod si, mobili proiecto, aliud addatur quiescens, & proinde resistens, impetus minuitur; & quo maius mobile superadditur, tardius fertur, & minus, aequo tempore conficit spatium, tali ra­tione, ut ratio mobilis compositi, ad anterius simplex, spatijs aequali peractis tempore, reci­proce respondeat: unde si mobile composi­tum sit prioris quadruplum, velocitas demum subsequens sit praecedentis quadrans, & talis demum continuetur. Ut autem tandem ad propositam quaestionem propius accedamus, & innotescat quale pondus addi debeat se­curi, ut aequa fiat scissio, ac si ea extollatur, hoc, ex dictis visum est erui non posse a viribus ligni resistentis, utpote pariter se opponentis, & contranitentis viribus securis motae levioris, & immotae ponderosioris: Igitur tota quaestio pendet ab ipsamet vi securis, seu motae, seu quiescentis. Cum itaque iam visus sit, acti­vitatem securis motae a duobus pendere prin­cipijs, a vi nimirum impellentis, & imprimen­tis motum, quam metiuntur pondera ab eadem vi sublata, & itidem a vi impetus, virtute dicti motus a securi acquisiti, quam metiuntur spatia, quae dum percurruntur, impulsus perse­verat eiusdem virtutis; inde sequitur quod ratio potentiae, seu momenti, seu virium se­curis motae, ad potentiam eiusdem sensibili­ter immotae, componitur ex ratione ponderum inter se, nimirum eius quod aequipolet vi se­curis impulsae, additi ad percutientis securis pondus, ad pondus eiusdem quiescentis; nec non ex ratione spatiorum peractorum maio­ris securis in altum elatae, ad minus, fortasse insensibile, eiusdem sensibiliter immotae, adeo ut si vires tali pacto mensuratae utriusque se­curis motae, & immotae, sint v.g. in ratione de­cupla, & spatia peracta sint in centupla, ratio porro virium securis motae, ad vires quiescen­tis, sit in millecupla; unde si quiescens sit mil­lies gravior, aequa fiet scissio. Nec dicas inter spatia motae, & immotae nullam dari propor­tionem, quia agitur hic de sensibiliter immo­ta, & non praecise, seu mathematice, sed phy­sice, nec videtur dari posse casum quin securis imposita tantulum moveatur, etiamsi insen­sibiliter; quod eo facilius existimandum vide­tur, cum in hypotesi suppositum fuerit, secu­ris vires esse viribus resistentiae prorsus aequa­les: ex hoc tamen insensibili motu oritur, non modo ut videamus, quantum vires percussionis excedant vires ponderis, ex quo adeo facile li­gnum scinditur; sed ex illo itidem oritur difficul­tas percipiendi, qua precise proportione per­cussio, vi prementi respondeat. Caeterum haec sunt quae mihi in mentem venerunt de vi per­cussionis sapientioribus proponenda, ut ad­dant meliora.

1 De vi percussionis.

2 De activitate securis seu percutientis.

3 Quia motum plus agit ob impetum.

4 Et quo per longius spatium impetus est maior.

5 Proportio inter impetus et spatia.

6 In quavis percussione.

7 Etiamsi motus non sit deorsum.

8 Unde vis percussionis.

9 Vim impulsus pondus metitur.

10 De ligni resistentia.

11 Quae pendet etiam a partibus cohaerentibus.

12 Quo resistentia est maior minor est motus.

13 Et inde resistentia augetur.

14 Et velocitas minuitur. Et deficit.

15 Et pariter impetus.

16 Quod est commune cuivis mobili.

17 Cui addito immoto minuitur impetus.

18 Qua proportione.

19 Quod pondus percussionis aequivaleat.

PETITIONAE

1. In sectionibus aequalibus quantitates aquae sunt ut velocitates.

2. Si velocitates sint aequales, sectiones sunt ut quantitates aquae.

3.In canalium sectionibus Impetus, & veloci­tates pro eodem sumuntur.

PROPOSITIO PRIMA.

Si sectiones sint aequales; aquarum transeun­tium quantitates sunt, ut velocitates.

Transeat aqua A per sectionem A, ab A ad B; & aqua C per sectionem C aequalem sectioni A, a C ad D aequali tempore.

Dico aquam AB ad aquam CD esse ut velocitas aquae A ad velocitatem aquae C.

Quoniam velocitas in A ad velocitatem in C, est ut AB ad CD, & aqua AB ad aquam CD est itidem ut AB ad CD, sequitur quod velo­citas in A ad velocitatem in C, est ut aqua AB ad aquam CD. Quod etc.

Per 32. undec.

Per 11. Quinti.

Per primam huius.

PROPOSITIO II.

Velocitas aquae in pluribus eiusdem canalis sectionibus, est reciproca sectionibus ipsis.

Sint A, C, canalis sectiones, diversae magnitu­dinis.

Dico esse, ut magnitudo sectionis A ad magnitu­dinem sectionis C, ita velocitatem in C, ad ve­locitatem in A.

Fiat sectio B aequalis ipsi A, per quam intelliga­tur transire aquam aequaliter velocem ut in sectione C.

Quoniam ut quantitas aquae A seu C, ad quan­titatem aquae B, ita est velocitas aquae in A, ad velocitatem aquae in B seu C; sed ut magni­tudo sectionis C ad magnitudinem sectionis B, seu A, ita quantitas aquae C seu A, ad quanti­tatem aquae B.

Per 2. pet. huius.

Per 2. huius.

Ergo ut magnitudo sectionis C ad magnitudi­nem sectionis A, ita velo­citas aquae A ad velocitatem aquae C. Quod etc.

Corollarium I.

Idem sequitur, si sectiones sint canalium diversorum, dummodo ducant aquae quantitates aequales.

Corollarium II.

Impetus sunt ibidem ut sectiones reciproce.

PROPOSITIO III.

Sectiones canalis sunt reciproce in subduplicata ratione longitudinum.

Sit canale AB sectum in C.

Dico sectiones CB esse in subduplicata ratione AB, AC.

Quoniam sectiones CB sunt ut velocitates in B, & in C, at velocitas in B ad velocitatem in C est in subduplicata ratione AB ad AC, Ergo sectio C ad sectionem B est in subduplicata ratione AB ad AC. Quod etc.

Per 5. secundi huius.

Per 11. quinti.

Per 33. primi.

Corollarium I.

Igitur si canalis latera sint parallela, altitudines sectionem sunt in subduplicata ratione longitudinum.

Nam si latera perpendicularia canalis intelligantur bases, & ea ratione latitudines canalis ut altitudines, quae proinde sunt aequales, sectiones sunt ut dicta latera perpendicularia,quae cum sint altitudines sectionum, sequitur quod propositum fuit.

Per pri. sexti.

Per 3. huius.

Corollarium II.

Si sectiones sint reciprocae in subduplicata ra­tione longitudinum, exit aqua aequalis.

PROPOSITIO IV.

Impetus sectionum canalis, sunt in subdupli­cata ratione longitudinum ipsarum a pun­cto superno.

In canali ACB.

Dico impetum sectionis B ad impe­tum sectionis C esse in subduplicata ratione longitudinum AB ad AC.

Quoniam sectio C ad sectionem B est in subduplicata ratione AB ad AC. Impetus in B ad impetum in C est in eadem sub­duplicata ratione AB ad AC. Quod etc.

Per 2. huius.

Per 13. sexti.

PROPOSITIO V. PROBL. I.

Data canalis sectione, reperire sectionem in quolibet allo dato puncto.

Data sectione C, & puncto B in canali AB, Venanda est sectio puncti B.

Fiat AD media inter AC, AB, & sectio B ad sectionem C ut AC ad AD.

Per 20. sexti.

Dico B esse sectionem quaesitam.

Quoniam sectio B ad sectionem C est ut AC ad AD per constructionem; erit sectio B ad sectio­nem C in subduplicata ratione AC ad AB, unde sectio B est sectio puncti B. Quod etc.

Per 3. huius.

Defini. pr. quarti huius.

Fiet sectio B ad sectionem C ut AC ad AD, si fiat altitudo laterum sectionis B ad altitudinem laterum sectionis C ut AC ad AD.

Per 2. huius.

PROPOSITIO VI.

Datis pluribus sectionibus; ratio primae ad ter­tiam, est composita ex rationibus velocitatis secundae ad velocitatem primae, & velo­citatis tertiae ad velocitatem secundae.

Dentur in canali AB sectiones B, C, D. Dico proportionem sectionis B ad sectionem D, esse compositam ex rationibus velocitatis C ad veloci­tatem B, & velocitatis D ad veloci­tatem C.

Quoniam sectio B ad sectionem C est ut velocitas C ad velocitatem B, item sectio D ad veloci­tatem C ut velocitas C ad velocitatem D.

Per 5. def. sexti.

Sed ratio velocitatis D ad velocitatem B est com­posita ex rationibus velocitatis C ad velocita­tem B, & velocitatis D ad velocitatem C.

Per 8. secundi huius.

Ergo pariter ratio sectionis B ad sectionem D est composita ex rationibus velocitatis C ad velocitatem B, & velocitatis D ad velocita­tem C. Quod etc.

Corollarium

Si sint plures sectiones puta B, C, D, E, F, pariter ratio sectionis B ad sectionem F com­ponitur ex velocitatibus C ad B, D ad C, E ad D, F ad E.

PROPOSITIO VII.

Si canales perpendicularis, & inclinatus ter­minentur a recta normali ad inclinatum, sectio perpendicularis ad sectionem in­clinati est, ut inclinatus ad perpendicu­larem.

Dentur canales AB perpendicularis, & AD inclinatus, terminati a recta BD, ut an­gulus ADB sit rectus. Dico sectionem B ad se­ctionem D esse ut AD, ad AB.

Quoniam velocitas in B ad velocitatem in D est ut AB ad AD.

Per 2. huius.

Erit sectio B ad sectionem D ut AD ad AB. Quod etc.

Per cor. 8. sexti.

PROPOSITIO VIII.

In canalibus perpendiculari, & inclinato; se­ctiones terminatae a linea orizontali sunt aequales.

Dentur canales AB perpendicularis, & AC inclinatus, quorum sectiones CB sint ori­zontales.

Dico eas esse aequales inter se.

Ducatur normalis BD ad AC.

Quoniam AB est media inter AD, AC, AD ad AC habet duplicatam rationem AD ad AB. Unde sectio D ad sectionem C est ut AB ad AD. Et eadem sectio D ad sectionem B est pariter ut AB ad AD. Ergo sectiones C, B habentes eamdem rationem ad sectionem D, sunt aequales inter se. Quod etc.

Per 10. def. quin.

Per 3. huius.

Per 7. huius.

Per 9. quinti.

Per 3. huius.

PROPOSITIO IX.

Ductis pluribus canalibus a puncto superno quomodocunque; reperire rationes data­rum sectionum inter se.

Dati sint quilibet canales AB, AC, AD, in quibus assignentur puncta B, C, D.

Oportet reperire rationes dictarum sectionum inter se. Ducatur perpendicularis AE, & ad eam per­pendiculares BF, CG, DE, & sint F, G, E sectio­nes canalis AE.

Quoniam est nota ratio sectionum F, G, E, & B, C, D sectiones aequantur sectionibus F, G, E respective, sequitur notas esse ipsarum rationes. Quod etc.

Per 8. huius.

Per 8. huius.

Corollarium I.

Si sectiones B, C, D terminentur in perpendiculari BD, erit pariter ratio inter ipsas nota.

PROPOSITIO X

In canalibus inter binas orizontales, sectiones inferiores sunt aequales.

Sint canales AB, CD inter orizontales AC, BD. Dico sectiones B, D esse aequales.

Fiat canale CE.

Sectio E aequatur sectioni D. Aequatur pariter sectioni B, quia est par ratio. Ergo sectiones B, D sunt aequales. Quod etc.

Per 3. huius.

Corollarium I.

Si canales AB, CB ducti ab orizontali A C ter­minantur in B, sectio in B erit aequaliter de­serviens utrique canali.

PROPOSITIO XI.

Dato canali inflexo quomodolibet, venari quan­titatem datae sectionis.

Canalis AB inflectatur in B quovis angulo ABC, in quo data sectione C venanda sit eius quantitas.

Protrahatur CB ad orizontalem AD, & fiat DE media inter DB, DC, & sectionis C altitudo ad altitudinem sectionis B fiat ut DB ad DE.

Dico C esse sectionem in C.

Quoniam si canale sit DC, sectio C ad sectionem B est ut DB ad DE. At sectio B est eadem etiam, respectu canalis AB. Ergo sectio C ad sectionem B est ut DB ad DE.

Per co. decimae huius.

Corollarium I.

Eadem via reperietur quantitas se­ctionis C, si canalis sit declinans, & demum perpendicularis ut A, B, C.

DE MOTV GRAVIVM LIBER SEXTVS ET LIQUIDORVM TERTIVS VBI DE FORAMINIBVS VASIS.

Non alienum ab instituto arbitratus sum adhuc ali­quid huic postremo prae­fari libro, ubi nodum sol­vere conabor ab eruditis­simo Mersenno proposi­tum prop. 15. Ballist. quod quidem, explican­do, quantum ingenij fert imbecilitas, qua diu­turnitate pendulum, tam prius descendendo, quam inde ascendendo feratur, suppositis ex­perimentis cum ipso primo habitis, postmo­dum a me repetitis, quibus percipere mihi vi­sus sum diuturnitatem penduli in integra vibratione aequari diuturnitati gravis moti per spatium eius quadruplum, & in descensu, aequari diuturnitati gravis moti per eiusdem penduli duplum: quod non omnino congruit cum eo quod prop. 9. Terthuius huius proba­tum fuit, quoniam experimenta veritatem proxime, at non praecise patefaciunt.

Sit pen­dulum AB, quod in C translatum sua integra vibratione describat circulum CBD: ex dictis experimentis compertum est diuturnitatem il­lius percurrentis per quadrantem CB, aequari diuturnitati gravis descendentis per FB dia­metrum, ipsius penduli duplam; diuturnita­tem vero eiusdem conficientis integram vibra­tionem CBD, aequari diuturnitati eiusdem gravis descendentis per duplum ipsius FB, puta per FG. Quibus positis, mihi assequi visus sum, qua pro­portione sibi respondeant diuturnitates pen­duli moti in descensu a C in B, & in ascensu a B in D, secta CD in E tali ratione, ut E tan­tundem destet a C, quantum B; existimans diu­turnitates motuum per CB, & BD quadrantes, esse inter se ut CE ad ED. Quoniam ratio diu­turnitatum per FB, & FG est eadem ac per AB, & FB, cum utrobique sit subdupla pro­portio, quae ratio est pariter inter CB, & FB, cum CB sit media inter AB, FB, erit ratio diuturnitatum per FB, & FG, & itidem per quadrantem CB, & per semic. CBD eis aequalium ut CB ad FB, seu ut CE ad CD eis aequales: & dividendo, ratio diuturnitatum per CB, & BD quadrantes erit ut CE ad ED. Quod etc. Unde si ex Mersenno, grave ab A in B pedum 3 regiorum, qui quatuor palmis nostra­tibus proxime respondent, descendit in 30 ter­tijs, a C in B fertur non in 30 sed in 42, unde a B in D ascendit in 17 sibi respondentes ut 99 ad 41. Caeterum ex dictis facile demonstrabi­tur quod si vibrationes sint minores, v.g. ab H in I, pariter diuturnitates per HB, & per BI erunt ut CE ad ED, cum iam probatum fuerit, & experientia constet vibrationes CB, HB nec non CD, HI esse aequediuturnas. Ex his etiam constat esse aequales diuturnitates per BG, & BD, etiamsi per BD fiat ascensus, &proinde motus successive tardior, & per BG descensus, & proinde motus successive velo­cior. Quem nodum, de quo in praesentia nil addam, alijs enodandum relinquo.

Per 3. pr. huius.

Per cor. 8. sexti.

Per Observat.

Per 17. quinti.

DEFINITIONES.

1 Vas aquae intelligitur, cuius latera sint rectangula, & basis orizontalis.

2. Foramen intelligitur rectangulum cuius basis orizontalis.

3. Foramina inaequalia eiusdem altitudinis, quo­rum inaequalitas pendet a sola latitudine.

DIGNITATES

Ubi omnia sint paria, effectus sunt aequa­les.

PETITIONES

1 Quantitates eiusdem generis sunt omnes commensurabiles.

2. Aqua transiens per vasis foramen, decurrit a summo vasis ad foramen tanquam per cana­lem perpendicularem.

Quod experieris, si vas aqua plenum, in cuius imo sit foramen, sit perspicuum; videbis etenim in eo formari canale, per quod aqua supe­rior exeat.

PROPOSITIO PRIMA

Aquarum quantitates exeuntium per forami­na aequalia, aeque distantia a summo vasis, aequali tempore; sunt aequales.

In vase AB, sint foramina C, D aequalia, & orizontalia, per quae aqua aequali tempore de­currat.

Dico aquas decursas esse aequales inter se.

Quoniam ubi omnia sunt paria, effectus sunt aequales.

Per ax. huius.

Sed hic sunt omnia paria ex constructione.

Ergo habent effectus aequales.

Sed aquae decursa sunt effectus, & proinde aequa­les. Quod etc.

Seu mavis.

Ubi omnia paria effectus sunt aequales, & proinde si effectus sunt aquae decursae, ipsae sunt aequales.

Sed hic sunt omnia paria, & effectus sunt aquae decursae, ex constructione. Ergo aquae decursae sunt aequales. Quod etc.

PROPOSITIO II.

Si foramina sint orizontalia, eiusdem altitudi­nis, quantitates aquarum decursarum sunt inter se ut foramina.

In vase AB dentur foramina orizontalia aeque alta C minus, D vero maius.

Dico aquam decursam per C, quae sit E, se habere ad aquam decursam per D, quae sit F, ut foramen C ad foramen D.

Longitudinum C, & D commensurabilium, sit G communis mensura, & secentur lon­gitudines C, D in partes, quae sint aequales ipsi G, quibus divisis a perpendicularibus, producan­tur tot foramina, quot sunt dictae partes.

Per pr. pet.

Quoniam huiusmodi foramina erunt inter se aequalia. Ex eis effluent quantitates aquae aequales. Quot igitur sunt foramina in C, D, tot sunt quantitates aquarum in E, F. Igitur sunt quatuor quantitates C, D, E, F, quarum prima, C, est ad E, 2., ut D, 3., ad F, 4.; & per­mutando erit C ad D ut E ad F. Quod etc.

Per 36. primi.

Per primum huius.

Per 16. quinti.

Dices, quod fieri potest quod longitudines C, D, non sint commensurabiles, nec proinde G sit eo­rum communis mensura: sed hic non sumus in Mathematicis, sed in physicis, ubi non habetur ratio insensibilium.

PROPOSITIO III.

Foramina vasis perinde se habent ac sectio­nes canalis, respectu impetus.

Sit vas CD in quo foramen D, & sit AB ca­nalis perpendicularis in quo sectio B, & AB, CD, altitudines sint aequales.

Dico in B, & D esse impetus aequales.

Quoniam aqua fluens a foramine D decurrit per spatium CD, ac si decurreret per canalem AB perpendicularem, eiusdem longitudinis, in D, & B sortitur impetus aequales. Quod, etc.

Per 2. pet.

PROPOSITIO IV.

Impetus foraminum aequalium vasis, sunt in duplicata ratione distantiae a summo va­sis.

In vase AC, distantiae foraminum aequalium B, C a summo vasis AB, AC; media sit AD.

Dico impetus in C ad impetum in B esse ut AD ad AB.

Quoniam foramina B, C, sunt ac si essent sectio­nes canalis AC respectu impetus, impetus in B & C sunt ut AB ad AD. Quod etc.

Per 3. huius.

Per 4. quinti huius.

PROPOSITIO V.

Altitudines a foraminibus aequalibus ad sum­mum vasis, sunt in duplicata ratione aqua­rum per ea decurrentium.

In vase AC altitudines a foraminibus aequa­libus B, C, ad summum vasis A sint AB, AC, quarum media sit AD.

Dico AD ad AB esse ut aqua fluens per C ad aquam fluentem per B.

Quoniam ut AD ad AB ita est impetus in C ad impetum in B, & impetus sunt ut velocita­tes; impetus in C ad impetum B est ut aqua fluens per C ad aquam effluentem per B. Quod etc.

Per quartam huius.

Per 3. petit.

PROPOSITIO VI. PROBL. II.

Secto foramine in partes aliquotas a rectis orizontalibus, venari rationes aquarum ex eis fluentium.

Secetur foramen AB in partes AC, CD, DB aequales, quorum altitudines sint notae, & ab AC fluat aqua E, a CD aqua F, a DB aqua G, tempore aequali.

Venanda proportio aquarum E, F, G.

Fiant HI, KL, MN, altitudines foraminum AC, CD, DB a summo vasis; & inter ipsas mediae OP, QR.

Per 13. sexti.

Quoniam aqua E ad aquam F, est ut HI ad OP, Nota est ratio aquae E ad aquam F. Item quoniam aqua F ad aquam G est ut KL, ad QR, nota est pariter ratio aquae F ad aquam G. at ratio aquae E ad aquam G, composita ra­tionum inter EF & FG notarum, est pariter nota. Reperta est igitur ratio aquarum E, F, G. Quod, etc.

Per 5. huius.

Per 5. huius.

PROPOSITIO VII. PROBL. III.

Secto foramine vasis in partes a recta orizon­tali, reperire rationes aquarum effluen­tium ab ipsis.

Foramen CD vasis AB secetur a recta E in partes CE, CD, & effluat a parte superio­ri CE aqua F, & ab inferiori ED aqua G eo­dem tempore.

Quaeritur proportio F ad G.

Si ED foramen minus non mensurat CE, repe­riatur eorum maxima communis mensura, quae sit H, & iuxta eam secetur CE in partes CQ, QK, KE, item ED in partes EI, ID.

Per 3. decimi.

Quoniam foramen CD sectum est in partes CQ, QK, KE, EI, ID aequales per constructionem; venabitur ratio aquarum per eos fluentium, & proinde aquarum per CE, & ED. Quod etc.

Per 6. huius.

PROPOSITIO VIII. PROBL. IV.

Datis foraminibus inaequalibus super eadem orizontali, venari rationes aquarum.

Sint foramina AB, & CD super orizontali BD.

Quaerenda proportio aquarum ex eis eodem tem­pore fluentium.

Producatur CE FG parallela DB.

Quoniam nota est ratio aquarum fluentium ex CD, & FB, item per FB, & AG, Nota est pariter ratio ex eis composita inter aquas flu­entes per CD, & AG. Cum igitur sit nota ra­tio aquae fluentis per CD, ad fluentem per FB, & per AG partes, nota erit ratio eiusdem ad totam fluentem per AB. Quod etc.

Per 2. huius.

Per 7. huius.

PROPOSITIO IX. PROBL. V.

Datis foraminibus, quorum unum superius, alterum inferius inter easdem parallelas perpendiculares: Reperire rationes aqua­rum.

Dentur foramina AB, CD inter parallelas AC, & DB.

Venanda ratio aquarum ex eis, aequo tempore, fluentium.

Concipiatur BC tanquam foramen.

Quoniam nota est ratio aquarum fluentium ex CD, & ex CB, item ex CB, & ex AB, nota est pariter ratio ex eis composita aquarum fluen­tium per CD, & per AB. Quod etc.

Per 7. huius.

PROPOSITIO X. PROBL. VI.

Datis foraminibus venari aquas.

Data sint foramina AD, EH.

Oportet reperire rationem aquarum per illa aequo tempore fluentium.

Duc orizontales HI, FK, & producta DB in L, con­cipiatur IL tanquam foramen; & quaeratur ratio aquarum per AD, IL, & sit ut M ad N. Item quaeratur ratio IL ad EH,, & sit ut N ad O.

Per 9. huius.

Per 2. huius.

Dico M ad O esse rationem aquarum per AD, HE.

Quoniam ut M ad N ita est AD ad IL, & ut N ad O, ita IL ad EH per constr. Erit ex aequo ut M ad O, ita AD ad EH. Quod etc.

Per 22. quinti.

PROPOSITIO XI. PROBL. VII

Dato foramine, & linea orizontali intermi­nata; constituere super illa foramen, a quo aequalis aqua fluat.

Dato foramine AB, & orizontali CD.

Describendum sit foramen super CD, a quo effluat aqua ut per AB.

Erigantur perpendiculares AE, BC, & produca­tur DC in E, & super EC fait foramen aequale AB, & sit FC, & ducta FG parallela CD, fiat HI media inter K summum vasis B, & KE, & ut HI ad KE, ita DL ad EC.

Dico per LG foramen fluere aquam ut per AB.

Quoniam aqua LG ad aquam FC est ut HI ad KE, & aqua AB ad aquam CF est ut HI ad KE, erit ut aqua LG ad CF, ita aqua AB ad CF, & proinde aqua AB aequalis aquae LG. Quod etc.

Per 2. huius.

Per 5. huius.

Per 11. quinti.

Per nonam quinti.

PROPOSITIO XII. PROBL. VIII.

Dato foramine, & latere alterius, reperire fo­ramen, e quo aequalis aqua effluat.

Datum sit foramen AB, & latere DC. Oportet describere foramen, a quo effluat aqua ut ab AB, cuius latus sit CD.

Ductis CE, & DF, orizontalibus; protrahatur BE, & FE intelligatur foramen, & reperiatur ra­tio aquarum fluentium ab AB, & ab FE, quae sit ut C ad H; & fiat ut H ad G, ita FI ad FK, & a K erigitur perpendicularis KL, & fiat foramen cuius latus DC aequale, & simile ipsi FL, et sit DM.

Per 9. huius.

Dico a foramine DM fluere aquam, ut ab AB.

Quoniam aqua fluens per AB ad fluentem per FE est ut G ad H per const. item aqua fluens per FL seu ei aequale DM ad fluentem per eandem FE est itidem ut G ad H, aquae fluentes per AB & per DM sunt inter se aequales, DM ig. Est foramen quaesitum. Quod etc.

Per secundum huius.

Per 9. quinti.

PROPOSITIO XIII. PROBL. IX.

Dato foramine, reperire aliud aequale, a quo fluat aqua in ratione data.

Detur in vase AB foramen C, & data sit ratio aquarum D, E, quarum D fluat in dato tempore per foramen C.

Reperiendum ubi fiat aequale foramen, a quo fluat in aequali tempore aqua E.

Fiat ad D, E, AC quarta preportionalis AF, & ad AC, AF tertia proportionalis AG, & in G fiat foramen: quod si fieri nequit proble­ma est insolubile. Dico G esse locum forami­nis quaesitum.

Per 12. sexti.

Per 11. sexti.

Quoniam aquae fluentes per dicta foramina sunt in subduplicata ratione altitudinum AC, AG, & aquae D, E, sunt pariter in subduplicata ra­tione eorumdem altitudinum AC, AG, aquae fluentes per dicta foramina sunt ut aquae D, & E. Quod etc.

Per 5. huius.

Per eamdem.

Per 9. quinti.

Corollarium I.

Parum refert sint foramina quadrata nec ne.

Corollarium II.

Idem sequitur si ambo foramina sint rotunda.

PROPOSITIO XIV.

Dato foramine, aptandum sit aliud datum simile, magnitudinis diversae, a quo aqua fluens cum fluente a primo, habeat ratio­nem datam.

In vase AB, dato foramine C, & alio D ut supra dictum est; & data sit ratio aquarum E, F.

Aptandum est foramen D ea lege, ut aqua per il­lud fluens, cum aqua fluente a C, sit ut F ad E.

Super orizontali ducta CG fiat foramen G, aequale foramini D; & perquiratur ratio aquarum fluentium per C, & G, & sit ut E ad H: quae si est eadem quae est inter E, & F, habemus intentum; ni sit, fiat aliud foramen infra seu supra G ei simile, & aequale a quo fluat aqua quae cum fluente ab ipso G habeat rationem ut H ad F, & sit I. Quod si fieri nequit problema est insolubile. Dico I esse foramen quaesitum.

Per 8. huius.

Per 13. huius.

Quoniam probatum fuit aquam C ad aquam G esse ut E ad H, & aquam G ad aquam I esse ut H ad F, constat aquam C ad aquam I esse ut E ad F. Quod etc.

Per 22. quinti.

Corollarium I.

Parum refert sint ne foramina quadrata, nec ne.

Corollarium II.

Idem sequeretur si essent ambo rotunda.

Per 3. pet.

FINIS